考研数学一真题知识点分布

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考研数学(一)真题知识点分布总结

考研数学(一)真题知识点分布总结科目/知识题型点高等数学线性代数概率论与数理统计选择题 1. 渐近线的计算2. 函数图形的凹凸性3. 交换累次积分的次序与坐标系的转换4. 定积分的计算5. 数值型行列式的计算6. 向量组的线性无关7. 概率的基本公式8. 随机变量函数的期望、方差填空题9. 曲面的切平面10. 函数的周期性11. 变量替换求解微分方程12. 斯托克斯公式13. 惯性指数14. 无偏估计解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 函数的极值17. 二阶偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程18. 曲面积分的计算19. 级数收敛的比较判别法20. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解21. 矩阵可相似对角化的充要条件22. 随机变量函数的分布、随机变量的数学期望23. 随机变量的数学期望、最大似然估计、辛钦大数定律科目/知识题型点高等数学线性代数选择题 1. 高阶无穷小2. 渐近线的计算3. 函数图形的凹凸性4. 曲率半径5. 等价无穷小、洛必达法则6. 多元函数的最值7. 数值型行列式的计算8. 向量组的线性无关填空题9. 反常积分的计算10. 函数的周期性11. 多元函数的全微分12. 坐标系的变换、导数的几何意义13. 质心14. 惯性指数解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 函数的极值17. 二重积分的计算（轮换对称性）18. 二阶偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程19. 函数单调性的判别20. 平面图形的面积21. 旋转体的体积22. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解23. 矩阵可相似对角化的充要条件科目/知识题题点高等数学线性代数概率论与数理统计选择题 1. 极限的概念2. 渐近线的计算3. 高阶无穷小4. 函数图形的凹凸性5.数值型行列式的计算6. 向量组的线性无关7. 概率的基本公式8. t分布填空题9. 导数的经济意义10. 平面图形的面积11. 定积分的分部积分法12. 交换累次积分的次序、二重积分的计算13. 惯性指数14. 随机变量的数学期望解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 二重积分的计算（轮换对称性）17. 多元函数的偏导数、一阶线性微分方程18. 幂级数的收敛域、和函数19. 函数单调性的判别20. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解21. 矩阵可相似对角化的充要条件22. 随机变量函数的分布、随机变量的数学期望23. 二维离散型随机变量的概率分布、概率的计算。

考研数学分析详解

考研数学分析详解当然，有的同学不考数学。

不考数学的请跳过这部分。

考数学的请注意，数学对你来说是最重要的科目。

首先大家应该知道，统考的数学包括数学一、数学二、数学三，相同的是满分都是150分，不同的是难度和考试范围以及适用专业。

适用专业请大家参照2018年学术型研究生考试科目（参见附录6），这里就不再赘述了。

考试范围方面，数学一中，高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%；数学二中，高等数学占78%，线性代数占22%，概率论与数理统计不考；数学三中，高等数学（或微积分）占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。

考试内容方面，因篇幅有限，具体的数学一、数学二、数学三大纲及考试内容请自行在网络上搜索。

这里仅介绍大纲中要求的章节范围。

数学一：①高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）；③概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）。

数学二：①高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）。

数学三：①高等数学（这里请注意。

上面我为什么在说数学三的时候加了一个括号写上微积分呢？这个就跟我们要看的一些数学复习的经典教材有关了！数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有）（函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）；③概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）。

近15年历年考研数学真题考点分布分析【打印版】

近15年历年考研数学真题考点分布分析有意报考硕士研究生的学生或其他人员，除了极少数专业外，一般都需要参加数学考试，如何有效地复习好数学，对考研能否成功起着重要的作用。

硕士研究生数学考试分为三类：数学（一），数学（二），数学（三），不同的专业需要参加不同类别的数学考试，不同类别考试的要求和考点也不相同，复习过程中既要遵照考试大纲的要求进行知识点的复习，也要分析研究历年考研真题的侧重点、风格和规律，这样才能做到心中有数，有针对性地复习好数学。

为了帮助广大考生复习好、考好数学，老师对近15年的历年考研数学真题考点的分布进行了细致的总结分析，供各位考生参考，希望对大家有所帮助。

近15年考研数学真题考点的分布：数学(一)中的高等数学(上)表中数字表示相应年份的试卷中考题的题号。

如果同一个题号出现在两部分内容中，表示该题综合了这两部分的知识点。

其中：1)函数部分包括：函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，渐近线，连续与间断，最值定理，零点定理，介值定理等知识点；2)极限包括：函数极限，数列极限，无穷小等；3)导数与微分包括：定义、高阶导数、分段函数、反函数、隐函数和参数函数的导数等；4)导数的应用包括：单调性，凹凸性，一元极值，曲率，物理应用等；5)定积分包括：定积分计算，定积分不等式的证明，变限积分求导，反常积分等；6)定积分的应用包括：几何应用(面积，体积，弧长)，物理应用(功，引力，压力，质心，形心等)。

说明：1)中值定理经常结合介值定理考;2)极限内容经常结合很多其它知识点考，如中值定理，导数，定积分等。

从表中可以看出，极限、导数与微分、定积分和微分方程考得比较多，而函数与不定积分考得比较少，这主要是因为：一般将函数揉到其它部分中考，而不定积分与定积分本质上相同，因此一般将不定积分揉到定积分或微分方程中考。

这部分的考试难点在于运用中值定理进行证明，以及运用导数、定积分和微分方程求解实际问题。

近15年的历年考研数学真题考点的分布：数学(一)高等数学(下)表中数字表示相应年份的试卷中考题的题号。

数一考研数学知识点归纳

【海文考研数学】：考研数学知识点归纳2008 年总考点数：50个。

其中高等数学25个。

线性代数11个。

概率论与数理统计14个。

2009 年2010年考研数一真题知识点分布计难所属知识点大纲要求类型题型算度科目量技巧%@高等12个特殊极限掌握利用两个重要极限求极限的方法计算型%@数学掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的多元复合函数求法；O/2求导；会求分段函数的导数，会求隐函数和由常规计算%O/@高等Mr当隐函数求导法参数方程所确定的函数以及反函数的%数学导数%@反常积分的收%@超纲分析计高等3敛性了解反常积分的概念，会计算反常积分%@题目算数学（审敛法）%@%@定积分的定义概念%@高等4理解不定积分与定积分的概念常规求极限理解%@数学理解矩阵的秩的概念，掌握用初基础线性5矩阵秩的性质常规%@等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法概念代数矩阵的特征值的定义；理解矩阵的特征值和特征向量的@6实对称矩阵相概念及性质，会求矩阵的特征值和特征常规概念%@线性理解代数似对角化的结向量@论理解随机变量的概念，理解分布函数的随机变量的分概念及性质，会计算与随机变量相联系布函数；基础概%@概率7的事件的概率；常规概率的加法公念应用%@统计掌握概率的加法公式、减法公式、乘法工式公式、全概率公式以及贝叶斯公式常用分布（均匀理解离散型随机变量及其概率分布的刀布，正态刀概念，掌握0—1分布、二项分布B基础概%@概率8的密度函数；常规（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松念应用%@统计概率密度函数（Poisson）分布及其应用。

的性质（归一性）9参数方程求导了解高阶导数的概念，会求简单函数的常规，综合%@高等法；高阶导数；技巧计算%@数学积分上限的函理解积分上限的函数，会求它的导数型@数的导数高阶导数定积分的换元掌握不定积分和定积分的性质及定积%%@ 高等数学10 积分法；分中值定理，掌握换元积分法与分部积常规计算@分部积分法分法。

考研数一知识点新东方考研数二知识点

考研数一知识点新东方考研数二知识点考研数一知识点:2015年考研数学必考知识点——数学一2015年考研数学必考知识点——数学一- 1 -希望通过我们总结的以上资料，帮助广大考生在最后的这段关键时间里，梳理好知识体系，准确把握考点，直击命题要害，做好最终的考前冲刺。

- 2 -考研数一知识点:数一：考研数学知识点归纳【海文考研数学】：考研数学知识点归纳2008年钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%- 1 -2009年钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%- 2 -2010年考研数一真题知识点分布计知识点大纲要求类型题型算量1 2个特殊极限掌握利用两个重要极限求极限的方法掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的多元复合函数2 求导;隐函数求导法求法；会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数%反常积分的收3 敛性(审敛法)了解反常积分的概念，会计算反常积分超纲题目分析计算%%%%4定积分的定义求极限理解不定积分与定积分的概念理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法常规概念理解基础概念%@ %%@@@@@ @@高等数学线性代数高等数学常规计算%%高等@数学技巧型计算%%难度@@所属科目高等数学5 矩阵秩的性质矩阵的特征值的定义; 6 实对称矩阵相似对角化的结论随机变量的分7布函数; 概率的加法公式常用分布(均匀8 分布,正态分布)的密度函数;常规理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量常规概念理解%@@@线性代数理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率；掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松常规基础概念应用%%@@概率统计常规基础概念应用%%@@概率统计钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%- 3 -概率密度函数的性质(归一性) 参数方程求导法;9 积分上限的函数的导数高阶导数定积分的换元10 积分法;分部积分法曲线积分的计算; 11 (格林公式);二重积分的对称性会用重积分、曲线积分及曲面积分求一_考研数一知识点。

考研数学一每年必考的知识点

考研数学一每年必考的知识点考研数学一每年必考的重点一元函数微分学：隐函数求导、曲率圆和曲率半径;一元积分学：旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等;向量代数与空间解析几何：向量、直线与平面、旋转曲面、球面、柱面、常用的二次曲面方程及其图形、投影曲线方程;多元函数微分学：方向导数和梯度、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面和法线;隐函数存在定理;多元函数积分学：三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度;无穷级数：傅里叶级数;微分方程：伯努利方程、全微分方程、可降阶的高阶微分方程、欧拉方程。

以上内容为数学一单独考查的内容，是数学一特有的内容，所以这些内容每年必考。

其中：多元函数积分学中曲线曲面积分三重积分几乎每年必考，常与空间解析几何一起考查，尤见于大题，2017年考查了第一型曲面积分及投影曲线，散度旋度常见于小题。

无穷级数中的傅里叶级数考过解答题也考过小题，31年真题中考过4次大题，6次小题。

多元函数微分学中考点常见于小题，切线和法平面，切平面和法线尤其喜欢出填空题，隐函数存在定理考过选择题。

微分方程中可降阶出现频率较高，常在微分方程的应用题中出现，欧拉方程单独直接考查出现过1次。

一元微分学中的曲率常见于小题如选择题填空题，隐函数求导属于常考题型，是一种计算工具，常与其他考点结合考查，如与极值、拐点相结合。

一元积分学中的物理应用：功、压力、质心等考频不高，考过3次。

由于这些考点属于数一单有的，也是考官比较青睐的内容，难度不大，只要我们复习到了就能拿分，所以希望大家引起重视。

考研数学线性代数考点预测：向量的数学定义首先回顾一下，在中学我们是如何表示向量的。

中学数学中主要讨论平面上的向量。

平面上的向量是可以平行移动的。

两个相互平行且长度相等的向量我们认为是相等的。

好，假设在平面直角坐标系中，对于平面上的任何一个向量，我们总是可以将其平移至起点坐标原点重合。

考研备考数学题型分布及分值比例

考研备考数学题型分布及分值比例考研数学一题型及分值分析数一考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学 56%线性代数 22%概率论与数理统计 22%四、试卷题型结构单选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分函数，多重微积分，微积分方程，级数，是高数部分大题必考的。

线性代数部分无论出不出大题都要全看，因为线代是一个整体，思路贯穿始终。

概率的大题求概率分布，函数的比较多。

五、科目考试区别：1.线性代数数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识，不过通过研究近五年的考试真题，我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过，其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点，而且从近两年的真题来看，数一、数二、数三中线性代数部分的试题是一样的，没再出现变化的题目，那么也就是说从以往的经验来看，2015年的考研数学中数一、数二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!2.概率论与数理统计数学二不考察，数学一与数学三均占22%，从历年的考试大纲来看，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件，广大的考研学子们都知道大纲中的“了解”与“掌握”是两个不同的概念，因此，建议广大考生在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲，不要做无用功!3.高等数学数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。

考研数学一全部知识点总结

考研数学一全部知识点总结考研数学一是考研数学中难度较大的一门科目，涵盖了众多的知识点。

以下是对考研数学一全部知识点的总结：一、高等数学1、函数、极限、连续函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限。

无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。

极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则。

两个重要极限：sin x/x → 1（x → 0），（1 ＋ 1/x)＾x → e（x → ∞）。

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。

2、一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。

导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

高阶导数的概念，某些简单函数的 n 阶导数。

微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。

3、一元函数积分学原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。

定积分的概念和基本性质，定积分中值定理。

积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

反常积分的概念和计算，定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积、功、引力、压力等）。

4、向量代数和空间解析几何向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积。

两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角。

向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向余弦，向量的模。

平面方程和直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离。

曲面方程和空间曲线方程，常见的曲面（如球面、柱面、旋转曲面）和空间曲线（如空间曲线在坐标面上的投影曲线）。

考研数学一详细知识点总结

考研数学一详细知识点总结一、线性代数1. 行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有特定数学性质的标量函数，它可以对矩阵进行某种代数计算，得到一个数。

通过行列式的性质和运算法则，我们可以求解线性方程组的解，判断矩阵的逆矩阵是否存在等。

行列式的基本定义、性质和运算法则是线性代数中的重要基础知识点。

2. 矩阵与向量空间矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个矩形数组，它是向量空间的一种表达形式。

矩阵的定义、运算法则、转置矩阵、伴随矩阵、特征值和特征向量等都是线性代数中的重要知识点。

3. 线性变换与矩阵的相似变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是定义在向量空间上的一个运算，将一个向量空间中的一个向量映射到另一个向量空间中的一个向量。

线性变换与矩阵的相似变换在数学和工程中有着广泛的应用，对于理解线性代数的基本概念和运用都具有重要意义。

4. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它是由一系列线性方程构成的方程组。

通过行列式和矩阵的知识可以求解线性方程组的解，判断矩阵的逆矩阵是否存在等。

5. 向量的线性相关性向量的线性相关性是线性代数中的另一个重要概念，它是判断向量空间中向量之间的线性组合是否有零解的一个关键概念。

向量的线性相关性的性质、判断方法和应用是线性代数中的重要知识点之一。

6. 最小二乘法最小二乘法是线性代数中的另一个重要概念，它是一种用于数据拟合和参数估计的数学方法。

通过最小二乘法可以得到一个最优的拟合曲线或者参数估计，它在数学、统计学和工程领域中都有着广泛的应用。

二、概率统计1. 随机事件与概率随机事件是概率统计中的一个重要概念，它是指在一定条件下，结果是不确定的事件。

概率是描述随机事件发生可能性的一种数学方法，它是随机事件发生可能性的度量标准。

随机事件的基本性质和概率的基本性质是概率统计中的基础知识点。

2. 条件概率与独立性条件概率是指在已知一件事情发生的情况下，另一件事情发生的可能性。

考研数学一高等数学五大考点汇总

考研数学一高等数学五大考点汇总来源：文都图书高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广，并且出题的角度和方向也比较琐屑，但是也并非无迹可寻。

只要我们认真的剖析和剖析考研真题，还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。

数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。

下面具体为大家剖析高等数学各篇章在数一的考点。

·极限首先是极限。

极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。

我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。

·导数和微分虽然导数是由极限定义的，然而真正在考试的过程中，我们求一个函数的导数时，我们并不会直接用定义去求，更多的是直接从求导公式中去求一个函数的导数。

导数的考查方式主要还是和其它的知识点相结合，很少直接给你一个函数让你求导数。

例如不等式的证明，函数单调性，凹凸性的判断，二元函数的偏微分等等。

换句话说，导数是一个基础。

·中值定理中值定理一般会两年至少考一次，多是以证明题的方式出现，而且常常和闭区间上的连续函数的性子相结合，以与罗尔定理为重点。

·积分与不定积分积分与不定积分是考试的重中之重，尤其是多元函数积分学更是每年的必考题型，平均一年会出两道大题，而且定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等种种积分的求法都是重要的题型。

而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。

二重积分的计算，固然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。

另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。

对于曲线积分和曲面积分，考查方式以格林公式和高斯公式的应用为主，大家一定要注意格林公式和高斯公式的使用条件，考试的过程中往往会在这里设置陷阱。

考研数一题型

考研数一题型摘要：一、考研数学一的重要性1.数学一在考研中的地位2.对未来学习和职业发展的影响二、考研数学一题型及分值分布1.选择题2.填空题3.解答题1) 高等数学部分2) 线性代数部分3) 概率论与数理统计部分三、备考策略与方法1.理解考试大纲和命题规律2.制定合理的学习计划3.注重基础知识的学习和巩固4.加强解题能力和应试技巧的训练5.模拟试题和真题的练习与总结四、提高考研数学一成绩的技巧1.培养良好的学习习惯2.增强自信心和保持积极的心态3.及时调整学习方法和计划正文：考研数学一作为研究生入学考试的重要组成部分，对于考生来说具有举足轻重的地位。

数学一的成绩不仅关乎到考生能否顺利进入研究生阶段，而且对未来学术研究和职业发展都有着深远的影响。

因此，全面了解考研数学一的题型及备考策略至关重要。

首先，让我们来了解一下考研数学一的题型及分值分布。

数学一考试共计150 分，题型包括选择题、填空题和解答题。

其中，选择题共10 题，每题10 分，总计100 分；填空题共6 题，每题10 分，总计60 分；解答题共9 题，每题10-20 分不等，总计90 分。

在解答题中，高等数学部分包括4 题，线性代数部分包括2 题，概率论与数理统计部分包括3 题。

面对如此重要的考试，如何进行有效备考呢？首先，考生应深入研究考试大纲，了解命题规律，以便更好地把握复习方向。

其次，制定合理的学习计划并持之以恒，确保每个知识点都得到充分的学习和巩固。

此外，考生还应通过大量练习，提高解题能力和应试技巧，尤其要重视模拟试题和真题的训练，从中总结经验教训。

要想在考研数学一考试中取得优异成绩，考生还需掌握一些技巧。

例如，培养良好的学习习惯，如定时复习、做好笔记等，有利于提高学习效率。

同时，保持自信心和积极的心态，对于应对考试压力至关重要。

最后，考生应及时调整学习方法和计划，以便更好地适应考试要求，提高自己的竞争力。

总之，考研数学一作为考试中的“拦路虎”，考生需要对题型有充分了解，并采取针对性的备考策略。

考研数一真题试卷分析

考研数一真题试卷分析考研数学一（简称数一）是众多考研学子在备考过程中必须面对的科目之一。

数一主要考察的是高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。

真题试卷分析对于考生来说至关重要，它不仅能够帮助考生了解考试的难度和重点，而且能够指导考生在复习过程中有所侧重。

试卷结构分析考研数学一的试卷通常由选择题、填空题和解答题三部分组成。

选择题和填空题主要考察基础知识点的掌握情况，解答题则更侧重于综合运用能力和解题技巧。

试卷的分值分配通常为：选择题40分，填空题20分，解答题90分。

题型特点分析1. 选择题：选择题通常覆盖面广，但难度相对较低。

考生需要掌握好基本概念和基本公式，以快速准确地选出正确答案。

2. 填空题：填空题往往需要考生对公式和定理有更深入的理解，能够灵活运用。

3. 解答题：解答题是试卷中分值最高的部分，也是最能体现考生综合能力的题型。

解答题通常包括证明题、计算题和综合应用题，要求考生不仅要掌握知识点，还要能够灵活运用解题技巧。

考点分布分析通过对历年考研数学一真题的分析，我们可以发现一些常见的考点分布规律：1. 高等数学：重点考察微积分、级数、多元函数微分学等部分，其中微积分是重点中的重点。

2. 线性代数：矩阵理论、线性空间、特征值问题等是常见的考点。

3. 概率论与数理统计：随机事件的概率、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等是重点内容。

备考策略建议1. 基础知识打牢：数学一的备考首先要从基础知识抓起，确保对每个知识点都有清晰的理解和记忆。

2. 真题训练：通过做历年真题，熟悉考试的题型和难度，了解命题的规律。

3. 查漏补缺：在做题过程中，要及时总结自己的不足，针对性地进行复习和强化。

4. 解题技巧掌握：掌握一些常用的解题技巧和方法，提高解题效率。

5. 模拟考试：定期进行模拟考试，检验自己的备考效果，调整复习计划。

总结考研数学一的备考是一个系统工程，需要考生有计划、有条理地进行。

通过对真题试卷的深入分析，考生可以更好地把握考试的方向，制定出适合自己的备考策略。

2017考研数学数学一考点分值分布

2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。

中公考研辅导老师为考生准备了考研数学方面的建议，希望可以助考生一臂之力。

同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。

【试题结构】1. 试卷结构选择题：8题(每题4分);填空题：6题(每题4分);解答题：9题(每题10分左右);满分150分，考试时间3小时。

2. 考试科目及分值高等数学：84分，占56%(4道选择题，4道填空题，5道大题);线性代数：33分，占22%(2道选择题，1道填空题，2道大题);概率论与数理统计：33分，占22%(2道选择题，1道填空题，2道大题)。

3. 考试特点①总分150分，在公共课中所占分值大，全国平均分在70左右，分数之间差距较大;②注重基础，遵循考试大纲出题，考查公式定理，知识点固定;③注重高质量的考点训练与题型总结。

在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。

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When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

考研数学一考试范围

考研数学一考试范围一、考试内容概述考研数学一是中国大学数学一等级的研究生入学考试科目之一，主要涵盖高等数学的各个分支。

该科目的考试范围较为广泛，要求考生掌握高等数学的基本概念、定理和运算方法，并且能够熟练应用于解决各类数学问题。

二、考试知识点1. 高等代数高等代数是考研数学一中的重要内容之一，涉及线性方程组、矩阵与行列式、特征值与特征向量、线性空间等。

具体的知识点包括但不限于：•线性空间的定义与性质•线性方程组的解法•矩阵的性质和运算•行列式的定义和运算•特征值和特征向量的计算与应用2. 数学分析数学分析是考研数学一中的核心内容，主要研究函数、极限、微分和积分等。

具体的知识点包括但不限于：•函数的连续性与可导性•一元函数的极限和连续性•一元函数的导数和微分•一元函数的积分及其应用•多元函数的极限、连续性、偏导数和全微分3. 概率统计与随机过程概率统计与随机过程是考研数学一中的重点内容，主要研究概率论和数理统计。

具体的知识点包括但不限于：•随机事件、概率和概率分布•随机变量及其分布、密度函数•多维随机变量的分布和相关性•随机过程的基本概念和性质•参数估计和假设检验4. 数学建模与计算方法数学建模与计算方法是考研数学一中的实践内容，主要研究数值计算和数学建模的基本方法。

具体的知识点包括但不限于：•数值计算的基本思想和方法•常用的数值计算算法和计算误差分析•数学建模的基本步骤和方法•常见的数学建模问题三、备考建议考研数学一的考试范围较广，备考需要全面深入地学习各个知识点。

以下是一些建议：1.制定学习计划：合理分配学习时间，制定每个阶段的学习目标，并坚持按计划学习。

2.理解概念与原理：对于每个知识点，要逐步深入理解其中的概念和原理，掌握其内在关联和逻辑结构。

3.多做习题：通过大量的习题练习，加深对知识点的理解，并提高解题能力。

4.多进行实际应用：将所学知识应用于实际问题的解决中，提升对知识的灵活应用能力。

考研数学历年真题线性代数的考点总结

考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。

为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。

?线性代数章节总结第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。

主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。

而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。

06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。

第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。

本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。

其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。

14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。

16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。

第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。

重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。

复习的时候要注意构造和从不同角度理解。

1997考研数一真题解析

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sin ln(1)lim1,lim 1x x x x x x→→+==.【解析】将原式的分子、分母同除以x2001sin 13sin cos 3cos3.ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x→→++==++++评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0g x→''应存在或为,而本题中,[]201(3sin cos )3cos 2cos sin1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x xx→→'+++=+'++-+++极限不存在,也不为∞,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.(2)【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系.令1tx 111n n n nnnn n n na ttna tt a t ∞∞∞+-==='==∑∑∑.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nn n a t∞=∑的收敛半径为3⇒1n nn a t ∞='∑的收敛半径为3.从而2111n n n n n n t a t na t∞∞+=='=∑∑的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑,它的收敛区间为313x -<-<(2,4)-.幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.对于n n n a x ∞=∑,若1n n na a ρ+→+∞=⇒它的收敛半径是1R ρ=.但是若只知它的收敛半径为R ⇒11n n naa R+→+∞=,因为1n n na a +→+∞可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】2x yeπ【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y '=,而x y '可由e θρ=的参数方程cos cos ,sin sin x e y e θθρθθρθθ⎧⎪⎨⎪⎩求得：2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin xxy e e y y x e e θθθπθθθθθθθθθθθθ='++''='--,所以切线的方程为2(0)y e x π-=--2x y eπ.本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】3t 【解析】由0AB =,对B 按列分块,设B βββ=[][][],,,,0,0,0AB A A A A ββββββ===,即βββ是齐次方程组0Ax =的解.又因B O ≠0Ax =有非零解,那么1221024343373031131A tt t --==+=+=-,由此可得3t .若熟悉公式0=()3r B n ≤=,可知3,亦可求出.(5)【答案】25利用全概率公式.求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件i A =“第i 个人取得黄球”,1,2i =,则完全事件组为,A A (分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知1202505P A =黄球的个数球的总数；1303505P A =白球的个数球的总数；20119|50149P A A--(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成0119,球的总数变成50149,第二个人取得黄球的概率就为1949)；20|49P A A =(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为2049).故应用全概率公式21211212193202||5495495P A P A P A A P A P A A =+=⋅⋅=.方法二：利用“抽签原理”.只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为202505=.【相关知识点】1.全概率公式:2121121||P A P A P A A P A P A A=+；2.古典型概率公式：i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论f x y 在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义(0,0)(0,0)(,0),(0,)x y f df df y x dxy dy==∂∂==∂∂,(,0)0(),(0,)0()f x x f y y =∀=∀,⇒∃偏导数且(0,0)(0,0)0,0f f .再看f x y 在(0,0)是否连续？由于2(,)(0,0)01lim(,)lim(0,0)2x y xx f x y f →→===≠+,因此f x y在(0,0)不连续.应选(C).①证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数x y在某点000M x y 不连续的方法之一是：证明点沿某曲线趋于0M f x y的极限不存在或不为f x y.②证明(,)(,)lim (,)x y x y f x y →不存在的重要方法是证明点沿两条不同曲线趋于000M x y f x y的极限不想等或沿某条曲线趋于y的极限不存在.对于该题中的f x y ,若再考察(,)(0,0)(,)(0,0)01lim(,)lim 00lim (,)2y x y xf x y f x y →→→====≠=,(,)(0,0)lim(,)f x y →⇒不存在.C a bE Dxy OAB 由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如(,),f x y x y 它在点0,0)处连续,但(0,0)'与(0,0)y f '都不存在.可见二元函数的连续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系.(2)【答案】(B)用几何意义.由)0,()0f x '''<>可知,曲线是上半平面的一段下降的凹弧,y f x =的图形大致如右图.1baS f x dx =⎰是曲边梯形ABCD 的面积；2()()S f b b a是矩形ABCE 的面积；31[()()]()2S f a f b b a =+-是梯形ABCD 的面积.由图可见213S S S ,应选(B).观察法.因为是要选择对任何满足条件的都成立的结果,故可以取满足条件的特定的来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]f x x x=∈21213211115248S dx S S S S S x ====⇒<<⎰.【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点ξ,使()()(),baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ成立,再由()0,'<所以是单调递减的,故(),f b >从而12()()()()()baS f x dx f b a f b b a S ==->-=⎰ξ.为证31S S >,令1()()()]()(),2x a x f x f a x a f t dt ϕ=+--⎰则()0,a ϕ=11()()()(()())()2211()()(()())2211()()()()()()221(()())(),2x f x x a f x f a f x f x x a f x f a f x x a f x a a x f x f x a ''=-++-'=---''=---<<''ϕηηη拉格朗日中值定理0>,所以是单调递增的,故,在上单调递增的.由于()0,a ϕ=所以()0,[,]x x a b >∈ϕ,从而1()[()()]()()02b a b f b f a b a f t dt =+-->⎰ϕ,即31S S >.因此,213S S S ,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数在积分区间,]上连续,则在上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ.这个公式叫做积分中值公式.2.拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间,]上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点ξ,使等式()()()f a f b a ξ'=-成立.(3)【答案】(A)【解析】由于函数sin sin tet 是以2π为周期的函数,所以,22sin sin 0()sin sin x tt xF x etdt e tdt +==⎰⎰ππ,F x 的值与x 无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计2sin 0sin t e tdt ⎰π的值有多种方法.划分in t 取值正、负的区间.22sin sin sin 0sin sin 0sin sin 0()sin sin sin sin (sin )()sin tttt ut tF x e tdte tdt etdte tdte u duee tdt--==+=⎰⎰⎰πππππππ当0t π0>,sin 0,t e -->所以0>.选(A).用分部积分法.22sin sin 022sin sin 0220sin 2sin 20()sin cos cos cos (11)cos cos 0.tttttt F x etdte d tettde e et dt e t dt ==-+=--+=>⎰⎰⎰⎰⎰ππππππ故应选(A).【评注】本题的方法1十分有代表性.被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可.(4)【答案】(D)三条直线交于一点的充要条件是方程组222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c++=+=-⎧⎧⎪⎪++=⇒+=-⎨⎨⎪⎪++=+=-⎩⎩有唯一解.将上述方程组写成矩阵形式：32A X b⨯=33ab ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是其系数矩阵,123c c c -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.则AX b =有唯一解⇔()2r A r A b (方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A 的列向量组线性相关.所以应选(D).用排除法.(A)ααα线性相关,当ααα时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合,相交有无穷多点,(A)不成立.(B)ααα线性无关,3α不能由线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩(,,)r ααα=秩,当)α=(,)1r =时,三条直线重合,不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.由排除法知选(D).应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来.(5)【答案】(D)【解析】因X 与Y 独立,故3X 和2Y 也相互独立.由方差的性质,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.【相关知识点】方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+b c为常数.三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标中的计算,其中柱面坐标中又可分先z 后r θ,或先r θ后z 两种方法.本题的区域Ω为绕z 轴旋转的旋转体,用柱面坐标先r θ后z 方便.采用柱面坐标,先后,为此,作平面.{}(,,)|2,,z D x y z x y z z z =+≤=82zD I x y dv dz r rdrd θΩ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(将直角坐标化为柱面坐标)82301024.3dzd dr ππθ==将投影到平面,得圆域{}(,)|16,x y x y +≤用柱面坐标先后,有22248433210242(8).r r I x y dv ddr r dz r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰做二次积分或三次积分时,如果里层积分的结果不含外层积分变量,那么里、外层积分可以分别积分然后相乘即可.如本例方法2中20d πθ⎰可以单独先做.(2)【解析】写出的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式.由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t 从π2到0.在把参数方程代入被积表达式之前,先用C 的方程将被积表达式化简,有2222222()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.C CI z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dzx t dx t t t t tdtz t dz t t t t t dt tdt ππππππ=-+-+-=-+-+-=-+--+=+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰用斯托克斯公式来计算.记为平面2z +=上所围有限部分,由的定向,按右手法则S 取下侧.原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z yx zx y∂∂∂==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰.S 在xy 平面上的投影区域xy D 为1+≤.将第二类曲面积分化为二重积分得原积分xyD dxdyπ=-=-⎰⎰.这里因S 取下侧,故公式取负号.(3)【解析】已掌握新技术人数x t 的变化率,即dxdt,由题意可立即建立初值问题0(),(0).dx kx N x dt ⎧⎪⎨⎪=⎩把方程分离变量得,dxkdt x N x=-dx kdt N x N x -.积分可得11ln x kt c N N x -,1kNtkNt cNe x ce=+.以0(0)=代入确定00x c N x =-,故所求函数为0.kNtkNtNx e x N x x e=-+四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)【分析】求出曲面:0S x y z +-=在点0(1,2,5)M -(位于S 上)处的切平面方程,再写出L 的参数方程,L 上的点的坐标应满足切平面方程,由此定出参数a 与b .【解析】曲面S 在点0M 的法向量{2,2,1}{2,4,1}M n x y =-=--.切平面∏的方程是2(1)4(2)(5)0x y z --+--=,即2450x y z ---=.将直线L 的方程改写成参数方程,(1) 3.y x bz a x ab ⎧⎨=---⎩将它代入平面∏方程得24()(1)350x x b a x ab -----++-=(5)420a x b ab +++-=.解得5,2=-=-.(2)【分析】(sin )xz f e y =是由一元函数z f u =与二元函数sin xu e y =复合而成的二元函数,它满足方程2xe z .(*)为了求f u ,我们将用复合函数求导法,导出z x ∂∂,z y ∂∂,22z x ∂∂,22zy∂∂与(),()f u f u '''的关系,然后由(*)式导出f u 满足的常微分方程,从而求出f u .【解析】先用复合函数求导法导出2222()()sin ,()()cos ,()sin ()sin ,()cos ()sin .x xx x xx zuz uf u f u e y f u f u e y y yz z f u e y f u e y f u e y f u e y x y''''∂∂''''''=+=-∂∂将后两式代入(*)得f u e e f u''+==()()0f u f u ''.这是二阶线性常系数齐次方程,相应的特征方程2λ的特征根为1=±,因此求得uuf uC eC e-1、2为任意常数.五、(本题满分6分)【分析】通过变换将x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据x A x→=,知(0)0f =,从而1(0)(0)0fdt ϕ⎰,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定xϕ'在0x =处的连续性.【解析】由题设0x A x→=知,0,(0),f A '且有.又1(0),xf u dux f xt dtu xtxxϕ≠⎰⎰于是2(0),xxf x f u duxx x ϕ-'=≠⎰由导数定义,有02000()(0)(0)limxx x x f u du x f xAxx xϕϕϕ→→→-'==⎰.而22lim ()limlimlimxxx x x x xf x f u duf u dux x ϕ→→→→-'=⎰⎰(0)AAA ϕ'=-==,从而知xϕ'在0x =处连续.评注：对1x f xt dt ϕ=⎰作积分变量变换xt u =时,必附加条件0x ≠.因此,由1xxf u du x ϕ=⎰得到的xϕ'也附加有条件0≠.从而(0)应单独去求.六、(本题满分8分)【解析】(1)先证n a 单调有界.显然0(1,2,)n a n >= ,由初等不等式：对∀非负数,必有2x y +≥1(21(1,2,)n n na a n a +=+≥⋅== .再考察121111(1(1)1221n n n a a a +=+≤+=.因此,n a 单调下降且有界,存在极限nn a →+∞.(2)方法1：由n a 单调下降11110n n n n n a a aa a +++-⇒-=≥.⇒原级数是正项级数.现适当放大,注意1n a ≥1111.nn n n n n n aa aa a a a ++++-≤-=≤-11nn n aa ∞+=-∑的部分和1n k k n k S a a a a ∞++==-=-∑,11lim lim n n n n S a a +→+∞→+∞⇒=-存在,可见级数11n n n a a∞+=-∑收敛.由比较判别法知,级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.方法2：令11nnn ab a +,利用递推公式,有2212211lim lim 41n n nn n n n n b a a b a a ρ+→∞→∞+==⋅⋅=<+,由比值判别法知级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.【评注】由证明中可见,有下述结论：11n n n aa∞+=-∑收敛⇔nn a →∞存在.在考研题中多次用到这个知识点,考生可倍加注意.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解.【解析】(1)因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因线性无关,是方程组0=的解,由解空间的基的定义,是解空间的基.用施密特正交化方法先将其正交化,令：11,1,2,3,521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.153TTTT βααββαβββ=-=---将其单位化,有1212121,1,2,3,2,1,5,3TTββηηββ==--,即为所求的一个标准正交基.此题是一个基本计算题,只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可.由于解空间的基不唯一,施密特正交化处理后标准正交基也不唯一.已知条件中3α是线性相关的(注意αα),不要误认为解空间是3维的.(2)(I)设ξ是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量,即0,A ξλξ=021*******,1211a b λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦即00021253a b λλλ--=⎧⎪+-=⎨⎪-++=-⎩0130,a ,b λ⇒=-=-=.(II)将(1)解得的30a ,b =-=代入矩阵A 212533102A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.其特征方程为3212533(1)0,102E A λλλλλ---=-+-=+=+知矩阵A 的特征值为1λλλ===-.312()5232101E A r --⎡⎤⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,从而1λ只有一个线性无关的特征向量,故A 不能相似对角化.相似于对角阵A的每个重特征值有个线性无关的特征向量.八、(本题满分5分)【解析】由于ij B E A=是初等矩阵11ij i E j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)因为A 可逆,0A ≠0ij ij B E A E A A ==⋅=-≠,所以B 可逆.(2)由ij B E A =,知11111.ij ij ij ijABA E AAA E E E -----====①本题考查初等矩阵的概念与性质,要知道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩阵的逆矩阵的三个公式.有的考生写不出初等矩阵ij E ,或将B 写成ij B AE =,或不知道1ij ij E E -=,或认为A B =±,而不知道BA等,这些要引起注意.②经初等变换矩阵的秩不变,易知r B r A n,也可证明可逆.九、(本题满分7分)【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验,试验的结果只有两个(要么遇到红灯(成功),要么不遇到(失败)),每次成功的概率都为25,X 表示遇到红灯的次数,相当于做了3次试验成功的次数,故2~(3,)5X B .【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义,有33(1),0,1,2,3.k k kp X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义,有kk xF x p ≤=∑,(1)当0x <()k k xF x p ≤∑；(2)当x ≤<,3003003223270())555125kk xF x p p P X C -≤⎛⎫=====-== ⎪⎝⎭∑；(3)当x ≤<,{}{}1131327228101()(1)12555125kk xF x p p p P X P X C -≤==+==+==+-=∑；(4)当x ≤<,12012k k xF x p p p p P X P X P X ≤==++==+=+=∑223238122117()(1)12555125C -=+-=；(5)当3x ≥时{}{}{}{}012301231kk xF x p p p p p P X P X P X P X ≤==+++==+=+=+==∑.因此X 的分布函数为：0,0,27,01,12581,12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2~(3,)5X B 的数学期望为26355EX np ==⋅=.【相关知识点】1.二项分布分布律的定义：(1),0,1,,kkn k n P X k C p p k n-==-= .2.离散型随机变量分布函数的定义：i iF x P X x p ≤=≤=∑.3.二项分布~(,)X B n p 的期望为EX np =.十、(本题满分5分)【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)；最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.【解析】(1)矩估计由期望的定义：11100()()(1)(1)E X xf x dx x x dx x dxθθθθ+∞+-∞==+=+1211001(1)(1)x x dx θθθθθθθ+++=+=+=++⎰.样本均值11ni i X X n ==∑,用样本均值估计期望有EX X=12X θθ+=+,解得未知参数θ的矩估计量为：^.1X Xθ-=-(2)最大似然估计设,,...,nx x x 是相应于样本,,...,n X X X 的样本值,则样本的似然函数为：1(1)01(1,2,,)0 .nn i i i x x i n L θθ=⎧+<<=⎪=⎨⎪⎩∏ 其他当ix 10nii x θ=>∏,又1θ>-θ+>n.所以.111ln ln (1)ln(1)ln ln(1)ln n n nn i i i i i i L x n x n x θθθθθθ===⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦∑∑∏.(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便)1ln ln 1nii d L nx d θθ=+∑.令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑,解得θ的最大似然估计值为^11ln nii nxθ=∑,从而得θ的最大似然估计量为：^11ln nii nXθ=∑.。

考研数学一真题知识点分布