2018届高三数学每天一练半小时：第55练 空间角与距离 含答案

一、选择题
1.如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的投影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为【 )
A.3
4 B.54
C.
74
D.34
2．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为9
4，底面是边长为3的正三角形．若P 为△A 1B 1C 1的中
心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为【 ) A.π6 B.π3
C.π4
D.23
π 3.如图所示，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是等腰三角形，AB ＝BC ＝2a ，∠ABC ＝120°，SA ＝3a ，且SA ⊥平面ABC ，则点A 到平面SBC 的距离为【 )
A.3a 2
B.a
2
C.5a 2
D.
7a 2
二、填空题
4.如图，在等腰直角三角形ABD 中，∠BAD ＝90°，且等腰直角三角形ABD 与等边三角形BCD 所在平面垂直，E 为BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为________．
5.如图所示，在三棱锥S －ABC 中，△SBC ，△ABC 都是等边三角形，且BC ＝1，SA ＝3
2
，则二面角S －BC －A 的大小为________．
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题：
①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P －BC 1－D 的大小为定值； ③三棱锥D －BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值． 其中真命题的个数为________． 三、解答题
7.【2016·潍坊模拟)如图所示，底面ABC 为正三角形，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，EA ＝AB ＝2DC ＝2a ，设F 为EB 的中点．
【1)求证：DF ∥平面ABC ；
【2)求直线AD 与平面AEB 所成角的正弦值．
8.【2016·辽宁沈阳二中月考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，点O 在AB 上，且OB ＝OC ＝23AB ，PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA ＝AO ＝12
PO .
【1)求证：PB ∥平面COD ； 【2)求二面角O －CD －A 的余弦值．
9.如图，正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为BC ，SC ，CD 的中点．设P 为线段FG 上任意一点．
【2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．
答案精析
1． D [连接A 1B ，易知∠A 1AB 为异面直线AB 与CC 1所成的角， 2． 设AB ＝a ，易求得AD ＝
32a ，A 1D ＝a
2
， 则A 1B ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22＝22a ，故cos ∠A 1AB ＝
a 2＋a 2－⎝
⎛⎭⎪⎫22a 2
2·a ·a
＝3
4
.] 2．B [因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1，所以∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成的角．因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，所以∠APA 1为PA 与平面ABC 所成角．因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为9
4，底面
三角形的边长为3，所以S △ABC ·AA 1＝9
4，可得AA 1＝ 3.
又易知A 1P ＝1，所以tan ∠APA 1＝
AA 1
A 1P
＝3，
又直线与平面所成的角属于[0，π2]，所以∠APA 1＝π
3.]
3．A [作AD ⊥CB 交CB 的延长线于点D ，连接SD ，如图所示．
∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴SA ⊥BC .又BC ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ，SA ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD ， ∴BC ⊥平面SAD ，又BC ⊂平面SBC ，
∴平面SBC ⊥平面SAD ，且平面SBC ∩平面SAD ＝SD .在平面SAD 内，过点A 作AH ⊥SD 于点H ，则AH ⊥平面SBC ，AH 的长即为点A 到平面SBC 的距离．
在Rt △SAD 中，SA ＝3a ，AD ＝AB ·sin 60°＝3a .由AH SA ＝AD SD
， 得AH ＝
SA ·AD SD ＝SA ·AD SA 2＋AD 2＝3a 2
，即点A 到平面SBC 的距离为3a
2.] 4．45°
解析 取BD 的中点F ，连接EF ，AF 【图略)，易得AF ⊥BD ，AF ⊥平面BCD ，则∠AEF 就是AE 与平面BCD 所成的角，由题意知EF ＝12CD ＝1
2BD ＝AF ，所以∠AEF ＝45°，即AE 与平面BCD
所成的角为45°. 5．60° 6．4
解析 对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， 在正方体中有B 1C ⊥平面ABC 1D 1，而C 1P ⊂平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥C 1P ， 所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；
对于②，因为二面角P －BC 1－D 为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角， 而这两个平面为固定不变的平面， 所以夹角也为定值，故②正确；
对于③，三棱锥D －BPC 1的体积还等于三棱锥P －DBC 1的体积， 而△DBC 1面积一定，
又因为P ∈AD 1，而AD 1∥平面BDC 1，
所以点A 到平面BDC 1的距离即为点P 到该平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，故③正确；
对于④，因为直线A 1P 和BC 1分别位于平面ADD 1A 1， 平面BCC 1B 1中，且这两个平面平行， 由异面直线间的距离定义及求法，
知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离， 所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确． 综上知，真命题的个数为4.
7．【1)证明 如图，过点F 作FH ∥EA 交AB 于点H ，连接HC .
∵EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，
∴EA ∥DC . 又FH ∥EA ， ∴FH ∥DC . ∵F 是EB 的中点， ∴FH ＝1
2
AE ＝DC .
∴四边形CDFH 是平行四边形， ∴DF ∥CH .
又CH ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC .
【2)解 ∵△ABC 为正三角形，H 为AB 的中点，∴CH ⊥AB . ∵EA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ， ∴CH ⊥EA .
又EA ∩AB ＝A ，EA ⊂平面AEB ，
AB ⊂平面AEB ，
∴CH ⊥平面AEB . ∵DF ∥CH ， ∴DF ⊥平面AEB ，
∴AF 为DA 在平面AEB 上的投影， ∴∠DAF 为直线AD 与平面AEB 所成的角．
在Rt △AFD 中，AD ＝5a ，DF ＝3a ，sin ∠DAF ＝DF AD ＝155
， ∴直线AD 与平面AEB 所成角的正弦值为
155
. 8．【1)证明 因为PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，AB ⊂平面ABC ， 所以PO ⊥AB ，DA ⊥AB .
又DA ＝AO ＝1
2PO ，所以∠AOD ＝45°.
因为OB ＝2
3
AB ，
所以OA ＝13AB ，所以OA ＝1
2OB ，
又AO ＝1
2PO ，所以OB ＝OP ，
所以∠OBP ＝45°，即OD ∥PB . 又PB ⊄平面COD ，OD ⊂平面COD ，
所以PB ∥平面COD .
【2)解 如图，过A 作AM ⊥DO ，垂足为M ，
过M 作MN ⊥CD 于N ，连接AN ，
则∠ANM 为二面角O －CD －A 的平面角．设AD ＝a ， 在等腰直角三角形AOD 中，得AM ＝2
2
a ， 在直角三角形COD 中，得MN ＝33a ， 在直角三角形AMN 中，得AN ＝30
6
a ， 所以cos ∠ANM ＝
105
. 9．【1)证明 设AC 交BD 于O 点， ∵S －ABCD 为正四棱锥， ∴SO ⊥底面ABCD ，BD ⊥AC ， 又AC ⊂平面ABCD ， ∴SO ⊥AC ，∵BD ∩SO ＝O ，
BD ⊂平面SBD ，SO ⊂平面SBD ，
∴AC ⊥平面SBD ，
∵E ，F ，G 分别为BC ，SC ，CD 的中点， ∴FG ∥SD ，BD ∥EG . 又FG ∩EG ＝G ，SD ∩BD ＝D ，
FG ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ， SD ⊂BSD ，BD ⊂平面BSD ，
∴平面EFG ∥平面BSD ， ∴AC ⊥平面GEF .
又∵PE ⊂平面GEF ，∴PE ⊥AC .
【2)解 过B 作BH ⊥GE 于H ，连接PH ，
∵BD ⊥AC ，BD ∥GH ， ∴BH ∥AC ，
由【1)知AC ⊥平面GEF ， 则BH ⊥平面GEF .
∴∠BPH 就是直线BP 与平面EFG 所成的角． 在Rt △BHP 中，BH ＝22，PH ＝132，PB ＝152
， 故cos ∠BPH ＝PH PB ＝19515
.。