八年级复习尺规作图知识点

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(完整版)八上数学尺规作图归纳总结

八上数学教师辅导讲义学员编号：年级：新初二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：赵老师课题尺规作图授课日期及时段教学目的教学内容一、知识梳理（一）尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

（二）五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；已知：如图，线段a .求作：线段AB,使AB = a . 訂〈己知）作法：A 1H p①作射线AP;:作线段等干记知线段）②在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；已知：如图，线段MN.求作：点O,使MO=NQ即0是MN的中点）作法：完美WORD 格式.整理①分别以M N为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q;②连接PQ交MN于O.则点O就是所求作的MN的中点。

（试问：PQ与MN有何关系？）4、作已知角的角平分线；已知：如图，/ AOB求作：射线OP,使/ AOP=Z BOP （即卩OP平分/ AOB 。

作法：①以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA OB于M N;②分别以M N为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧交/ AOB内于P;③作射线OP则射线OP就是/ AOB的角平分线。

5、过一点作已知直线的垂线；①以已知点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于②分别以A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径分别作弧,两弧分别交于点M点N;③连接MN则直线MN为所求作的直线。

6、过直线外一点作直线的平行线（三）尺规作图拓展（1）已知三边作三角形。

已知：如图，线段a, b, c.求作：△ ABC 使AB = c , AC = b , BC = a.作法：（作线段的中点）（作角平分线）B两点;--------------------- b（巳知）（已知三边作三凭形）作线段AB = c ;以A 为圆心b 为半径作弧，以 B 为圆心为半径作弧与前弧相交于 C ;连接AC, BG则厶ABC 就是所求作的三角形。

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

八年级数学上册第1章知识点解读：尺规作图(青岛版)

知识点解读：尺规作图“尺规作图”问题是几何学习的重要内容之一，那么如何学好“用尺规作线段和角”呢？一、理解“尺规作图”的含义1、只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.显然，尺规作图的工具只能是直尺和圆规.其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆弧等.值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.2、基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1、用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2、用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1、已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2、求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3、作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.四、典题精析例1 如图，已知线段a 和b （a>b ）.求作：线段c ，使c=a －b.解析：作法：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取线段AB=a ；（3）在线段AB 上截取AC=b.则线段BC 就是所求作的线段.评注：用尺规作图，首先要弄明白所作的是什么图形，要作这个图形应从哪里入手.一些复杂的图形都是由简单的基本作图得到的.本题就是两次利用“作一条线段等于已知线段”.例2 如图，已知∠α和∠β（∠α>∠β），求作∠AOB ，使∠AOB =∠α－∠β.解析：作法：（1）作射线OA ；（2）以射线OA 为一边作∠AOC=∠α；（3）以O 为顶点，以射线OC 为一边，在∠AOC的内部作∠BOC=∠β.则∠AOB 就是所求作的角.评注：本题同样是两次运用基本图形——“作一个角等于已知角”.值得注意M B αβ A O C βα- ab α β的是作∠BOC时，应在∠AOC的内部，为什么不在∠AOC的外部呢？答案非常明显是两角的和.。

1.6 尺规作图八年级上册数学浙教版

B
[解析]
选项
判断
理由
A
×
射线是从向无限延伸
B
√
圆心和半径长即可确定弧线的形状
C
×
直线的长度无法测量
D
×
延长线段至，则
知识点2 两种基本尺规作图
1.用尺规作一个角等于已知角
已知：（如图）.求作：，使 .理论依据是：“三边对应相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”基本尺规作图包括：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；⑥过直线外一点作这条
难度
常考题型
考点：尺规作图，通过阅读尺规作图的步骤理解属于哪种基本尺规作图，并结合线段垂直平分线、角平分线的性质等知识进行计算.
选择题、填空题、解答题
考点尺规作图背景下的有关计算
典例4 [2021·宜昌中考] 如图，在中，， .
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_____________，射线是的_________；
求作: ，使 , , .
作法与示范：
作法
作一条线段 .
分别以点，为圆心，以，的长为半径作弧，两弧交于点 .
连结，就是所求作的三角形.
示范
2.尺规作图的基本要求：只能使用没有刻度的直尺和圆规.
3.直尺和圆规的用途：没有刻度的直尺的主要用途是画直线；圆规的主要用途是画圆、画弧、截取一条线段等于已知线段.
典例1 下列尺规作图的语句正确的是( )A.延长射线到 B.以点为圆心，任意长为半径画弧C.作直线 D.延长线段至，使
敲黑板已知三角形的三条边作该三角形的方法已知三角形的三条边作该三角形的方法:先作出一条边（即先确定三角形的两个顶点），再分别以这条边的两个端点为圆心作弧，这两条弧的交点即该三角形的第三个顶点.

初中数学总复习尺规作图

尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段 a .求作：线段AB，使AB = a .作法：①作射线AP；②在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；②连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：①以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；③作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：①作线段AB = c；②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；③连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠.求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.作法：①作∠A=∠；②在AB上截取AB=m ,AC=n；③连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目七：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠，∠，线段m .求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.作法：①作线段AB=m；②在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠，∠A与∠B的另一边相交于C。

尺规作图知识要点

尺规作图知识要点一、工具：直尺(不用刻度)、圆规；使用铅笔作图。

二、使用工具：直尺用于画直线、射线、连接线段；圆规用于画弧、圆。

三、交轨法找点：1 .到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的弧上；2 .到两点的距离相等的点在连结这两点的线段的中垂线上；3 .到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；4 .到一直线的距离等于定长的点在距离这条直线为定长的双轨平行线上;5 .到两条平行线距离相等的点在距离这两条平行线相等的单轨平行线上。

四、五个基本作图：L 作一条线段等于已知线段；基本作图语句：作线段唯四。

作法：(1)作射线壁；(2)以A 为圆心，以a 为半径画弧交AE 于B 。

则线段也为所求作线段。

2 ,作一个角等于已知角；基本作图语句：作∕A∣ 0' B'=NA0B 。

作法：(1)作射线0' E ；(2)以Q_为圆心，以适当长为半径画弧，交 ”于此交型于N ；(3)以。

二为圆心，以0M 为半径画弧交射线0' E 中B'；(4)以也为圆心，以幽为半径画弧交前弧于心；八(5)作射线0' A'。

决/ \则NA' 0' B'为所求作的角o3 .平分已知角；基本作图语句：作空平分N 顿。

7T 一作法：(1)以殳为圆心，适当长为半径画弧，交”于旦交空于£；(2)分别以E 、F 为圆心，以大于‘EF 相同长度为半径画弧，在NA0B_ _ 2 — I —内部相交于点C ； C(3)作鼐线工。

则射线0C 为NA0B 的平分线。

'4 .经过一点作已知直线的垂线；，广F 一基本作图语句：过£作胆于D 。

半M 作法：(1)以C 为两心，适当长为半径画弧，交直线AB 于E 、F ；则直线CM 为所求作直线型的垂线。

5 .作线段的垂直平分线。

基本作图语句：作MN,使MN 垂直且平分AB 。

初中尺规作图总结

初中尺规作图总结一、引言初中数学学习中，尺规作图是一个重要的内容。

尺规作图是通过使用直尺、圆规等绘图工具进行准确、规范的绘制图形的方法。

在初中阶段，学生主要学习了直线的作图、角的作图以及等腰三角形、菱形等特殊图形的作图方法。

本文将总结初中尺规作图相关的基本知识和作图方法，帮助初中生更好地掌握这一技能。

二、直线的作图1. 已知一点和一条直线，作与该直线垂直的直线步骤：1.以已知直线上的一点为圆心，画一个任意半径的圆；2.在圆上任取一点，分别与已知直线上的点相连；3.分别以这两条线段为直径作圆；4.两个圆的交点即为垂直于已知直线的直线。

2. 已知两点，作两点之间的线段步骤：1.以其中一个点为圆心，另一个点到该点的距离为半径作圆；2.以另一个点为圆心，与上述圆的交点为半径作圆；3.两个圆的交点即为所求线段的两个端点。

三、角的作图1. 已知一条边和一个角，作与给定角相等的角步骤：1.在给定角的一边上选择一个点A；2.以A为圆心，以给定边的长度为半径作圆；3.以给定角的另一边为直径作弧交于点B；4.连接B与A，所得线段即为所求角的一边。

2. 两直线相交成的角步骤：1.已知两直线AB和CD相交于点E；2.以E为圆心，任意半径作圆与两直线交于两点F、G；3.以F和G为圆心分别作等半径的圆；4.两个圆的交点分别连接到E点，所得线段即为所求角的一边。

四、特殊图形的作图1. 等腰三角形的作图步骤：1.已知底边和底边上的一个高；2.以底边上的点为圆心，高为半径作圆、两条连线；3.连接两个圆的交点与底边上的点，所得线段即为所求等腰三角形的两边。

2. 正方形的作图步骤：1.已知正方形的一条边；2.将该边平分，并在平分点处以该边长为边长作正方形；3.连接正方形的四个顶点，所得线段即为所求正方形的四条边。

五、总结尺规作图是初中数学学习中的重要内容，通过尺规作图的练习，可以帮助学生巩固几何知识，提高几何思维能力。

本文总结了初中数学中常见的尺规作图方法，包括直线的作图、角的作图以及特殊图形的作图。

初中数学尺规作图重要知识点及典型题解析

初中数学尺规作图重要知识点及典型题解析1、尺规作图规范用语第一、、用直尺作图的几何语言有三种，分别为：1、过点x、点x作直线xx;或作直线xx;或作射线xx；2、过两点xx做线段xx;或连结xx:3、延长xx到点x;或延长(反向延长)xx到点x，使xx=xx;或延长xx交xx于点x;第二、用圆规作图的几何语言可总结为四种，分别为：1、在xx上截取xx=xx:2、以点x为圆心，xx的长为半径作圆(或弧);3、以点x为圆心，xx的长为半径作弧，交xx于点x:4、分别以点x、点x为圆心，以xxxx的长为半径作弧，两弧相交于点x、x.2、尺规作图基本步骤当发现作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件:2能根据题目可以画出要求作出的图形，以及可以列出该图形应满足的条件有哪些:3能根据作图的过程写出每一步的操作过程当不要求写作法时，一般会保留作图痕迹应该注意的是，对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法。

3、尺规作图典型题分析典型题1：难度★如图（a），已知∠AOB和点C、D.求作一点M，使点M到∠AOB两边的距离相等，且与C、D组成以CD为底边的等腰三角形.【答案解析】因为到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；而根据题意，点M应满足条件MC＝MD，所以点M又在连结CD所得线段的垂直平分线上.（1）作∠AOB的平分线OG；（2）连结CD，作CD的垂直平分线，交OG于点M，如图（b），M就是所要求作的点.典型题2：难度★如图，桌面上有黑白两球P、Q，试用尺规在边AD上找出一点，使黑球射向这点后反弹，正好击中白球.【答案解析】（1）以P为圆心，适当长为半径作弧，交AD于两点E、F；（2）分别以E、F为圆心，以同样长（即PE）为半径作弧，在AD的另一侧交于点R（即P关于AD的对称点）；（3）连结RQ，交AD于点M，M就是所求作的点.典型题3：难度★★如图（a），A、B、C三个城市准备共建一个飞机场，希望机场到B、C两市的距离相等，到较大城市A的距离最近，试确定飞机场的位置.【答案解析】机场到B、C两市的距离相等，则应在线段BC的垂直平分线上；而这条垂直平分线上的点到A的最短距离是点A到这条直线的垂线段的长.（1）连结BC，作线段BC的垂直平分线l；（2）过点A作直线⊥的垂线，垂足P，如图（b），点P就是飞机场的位置典型题4：难度★★如图（a），已知线段a、b和∠AOB，C是边OB上一点，求作点M，使M到OA的距离为a，到点C的距离为b.【答案解析】（1）在OA上任取一点D，过D作OA的垂线l；（2）在⊥上截取DE＝DF＝a，过E、F作l的垂线l1、l2；（3）以C为圆心，b为半径作弧，与直线l2相交于点M1、M2，如图（b），则点M1、M2都是所要求作的点.典型题5：难度★★如图（a），已知线段a、b，求作△ABC，使BC＝a，AB＝b，∠C＝90°.【答案解析】（1）作线段BC＝a；（2）过点C作CD⊥BC；（3）以B为圆心，b为半径作弧，交CD于点A；（4）连结BA，如图（b），△ABC就是所求作的三角形.典型题6：难度★★如图（a），已知线段a，∠a，求作△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠a，AB＝a.【答案解析】（1）作∠DAE＝∠a；（2）在AD上截取AB＝a；（3）过点B作BC⊥AE于C，如图（b），△ABC即所求作的三角形.典型题7：难度★★已知等腰三角形的底角及底边上的中线，求作这个等腰三角形。

尺规作图知识归纳

考点名称：尺规作图尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。

还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。

注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

••尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处 B．二处C．三处 D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK 与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．考点一尺规作图 1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤： (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； (2)分析作图的方法和过程； (3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法．考点二五种基本作图 1．作一线段等于已知线段； 2．作一个角等于已知角； 3．作已知角的平分线； 4．过一点作已知直线的垂线； 5．作已知线段的垂直平分线．考点三基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.•。

初中尺规作图总结

2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角 .
利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差 . 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1. 用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交
则线段 AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=N（O即 O是 MN的中点） . 作法：（１）分别以 M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；（２）连接 PQ交 MN于 O．则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。（试问： PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠ AOB，求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠ AOB）。作法：（1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，
题时，保留作图痕迹很重要 . 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本
规作图 , 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段；
2 、作一个角等于已知角； 3 、作已知线段的垂直平分线； 4 、作已知角的角平分线； 5 、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 作法：（ 1）作射线 AP；（ 2）在射线 AP上截取 AB=a .
图（ 2）
图（ 3）
正解如图（ 3）．（1）作直线 PQ，在直线 PQ上任取一点 D，作 DM⊥ PQ；（2）在 DM上截取线段 DA=h；

初二数学-尺规作图总结

初二数学尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1•在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图•其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧•由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.2•基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1•用直尺作图的几何语言：①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；②连结两点XX；或连结XX;③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX交X X于点X;2•用圆规作图的几何语言：①在XX上截取XX = XX;②以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）；③以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X;④分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤:1•已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2•求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3•作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程•当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹•对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法•在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要•尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本，最常用的尺规作图通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线;4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线;题目一：作一条线段等于已知线段。

初二数学-尺规作图总结

初二数学尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

八年级数学上人教版《尺规作图》课堂笔记

《尺规作图》课堂笔记
一、基本概念和定义
1.尺规作图：只使用圆规和无刻度直尺进行的作图方法。

2.基本作图：通过尺规可以完成的基本图形绘制。

二、尺规作图的基本步骤和要求
1.明确题目要求，确定需要绘制的图形。

2.选择合适的圆心和半径，用圆规进行作图。

3.使用无刻度直尺进行连线，完成图形。

4.标记必要的角度和长度信息。

5.检查图形是否符合题目要求，进行调整。

三、常见图形的尺规作图方法
1.等分线段：利用圆规和无刻度直尺将线段等分为指定份数。

2.作一个角等于已知角：利用圆规截取已知角两边等长线段，再在无刻度直尺上
画出等长线段，连接两端点得到所求角。

3.作已知线段的垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，以大于线段长度一半为
半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即为所求垂直平分线。

4.作一个角大于、小于或等于已知角：通过截取和比较已知角两边等长线段来得
到所求角。

四、注意事项
1.圆规使用时要固定好圆心，保持半径不变。

2.无刻度直尺只能用来进行连线和画直线，不能进行度量。

3.作图过程中要保持图形清晰、整洁，避免混淆。

4.完成作图后要进行检查，确保符合题目要求。

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

八年级上册尺规作图知识点

八年级上册尺规作图知识点尺规作图是中学数学最基础的一部分之一，也是非常重要的一部分。

在八年级上册，学生们将进行深入的尺规作图学习。

本文将介绍八年级上册尺规作图知识点。

第一部分：基础知识在学习尺规作图之前，需要了解一些基础知识。

首先是尺规作图的基本规则和对象。

尺规作图只能使用尺子和圆规，只能作直线和圆。

直线是通过尺子进行作图的，而圆是通过圆规进行作图的。

因此，尺规作图的基本规则是使用尺子和圆规，只能作直线和圆。

其次是尺规作图的基础术语。

直线和圆都有一些基础的术语。

直线上的点称为点，在直线上画出的小段称为线段，在直线上的两个点之间画出的直线称为线段。

圆的中心为圆心，圆的周围称为圆周，圆周上的点称为点。

第二部分：尺规作图的主要步骤尺规作图的主要步骤如下：1.画出给定的直线和圆。

2.通过尺规，从给定的直线或圆的一个点开始作出需要的线段或圆。

3.通过圆规，从圆心或圆周上的点开始作出需要的圆。

4.用尺规或圆规测量所画出的线段或圆的大小。

第三部分：尺规作图的基本构造在学习尺规作图时，需要了解一些基本的构造。

以下是一些基本的尺规构造：1. 画直线段：这是尺规作图中最基础的构造之一。

利用尺子可以快速精准地画出直线段。

2. 画平行线：利用尺子可以相对较容易地画出平行线。

3. 画垂直线：画出两条互相垂直的线通常被称为画出垂直线。

4. 作圆：圆可以通过圆规方便地作出。

圆的大小只需要通过圆规测量就可以得知。

5. 作垂线：利用圆规可以方便地作出垂线。

第四部分：尺规作图的高级构造在掌握了基础构造之后，学习尺规作图的高级构造就变得相对容易。

以下是一些高级构造：1.倍增线段：掌握倍增线段的构造可以快速且准确地将线段长度增大或减小。

2.三分线段：三分线段是尺规作图中另一个重要的概念。

掌握三分线段的构造可以将任意线段三等分。

3.求平均数：通过尺规作图可以快速求出一组数的平均数。

总结：尺规作图是中学数学的基础之一。

在八年级上册，学生将学习到更深入的尺规作图知识，如基础构造和高级构造。

人教版八年级上册中考复习之尺规作图

（2）连接CF，试猜想AB与CF的数量关系与位置关系。
D
A
E
B
C
小结： 1、五种基本作图的方法？依据？ 2、基本作图的应用。
温馨提醒：
注意保留作图痕迹。
你能完成吗？
如图，已和⊙O。 (1)请用尺规作图画出圆O的一个内接正方形ABCD. (2)若圆O的半径为4，求四边形ABCD的面积.
O
反思：（1）点在线上，方法也是要 A
先截取。
（2）从图中，你可以得到什
P
么结论？
C
B
5．作一个角等于已知角你能说说这样作的依据是什么吗？SSS
D
D’
C
C’
预测题：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，点E是 AC的中点. (1) 利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①过点A作AM∥BC。 ②连接BE并延长交AM于点F。
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
一、基本尺规作图 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的平分线． 5、过一点作已知直线的垂线
两种类型！
作不等边三角形的高：先截取、再作所截取线段的垂直平分线。
4、过一点作已知直线的垂线
Rt△ABC中，∠C=900，P为AB上的一点，请用尺规作图：过点P作PM⊥AB，垂足为P，交BC于点M。
已知：如图，线段 a . 求作：线段BC，使BC = a.
a
B
C
P
2．作已知线段的垂直平分线.
B
C
1、等边对等角 2、三线合一 B

尺规作图知识归纳

尺规作图知识归纳考点名称：尺规作图尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。

注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点某和点某画射线某某，或画射线某某．(2)在射线某某上截取某某＝某某．(3)以点某为圆心，某某为半径画弧．(4)以点某为圆心，某某为半径画弧，交某某于点某．(5)分别以点某，点某为圆心，以某某，某某为半径作弧，两弧相交于点某．(6)在射线某某上依次截取某某＝某某＝某某．(7)在∠某某某的外部或内部画∠某某某＝∠某某某．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段某某＝某某．(2)画∠某某某＝∠某某某．(3)画某某平分∠某某某，或画∠某某某的角平分线．(4)过点某画某某⊥某某，垂足为点某．(5)作线段某某的垂直平分线某某，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED 可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由可得到．的关系可作出点B和点C，于是△ABC即作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．一处B．二处C．三处D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7(2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE 线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为某cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴某＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8(2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．考点一尺规作图1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法．考点二五种基本作图1．作一线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．考点三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.。

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