辅助角公式专题

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辅助角公式例题及解析十道

辅助角公式例题及解析十道辅助角公式是解决三角函数问题的一种重要工具，它可以将复杂的三角函数表达式化简为更易于处理的形式。

以下是十道辅助角公式的例题及解析：1. 例题：求函数y = 2sin(x + π/3) + cos(x - π/6) 的值域。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sinx + cosx + 1，再进一步化简为y = 2sin(x + π/6) + 1。

由于正弦函数的值域为 [-1, 1]，因此原函数的值域为 [-1, 3]。

2. 例题：求函数 y = sin(2x - π/3) + cos(2x - π/6) 的单调递增区间。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sin(2x - π/6)，再利用正弦函数的性质，求得单调递增区间为[kπ - π/6, kπ + π/3]，其中 k 是整数。

3. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 的最大值和最小值。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，正弦函数的最大值为 1，最小值为 -1，因此原函数的最大值为√2，最小值为 -√2。

4. 例题：已知sinθ + sin(θ + π/3) = 1，求cos(θ + π/6) 的值。

解析：利用辅助角公式和已知条件，将原问题转化为求sin(2θ + π/6) 的值，再利用三角恒等式化简求解。

5. 例题：已知sinαcosβ = 1/2，求cosαsinβ 的取值范围。

解析：利用辅助角公式将原问题转化为求sin(α + β) 的取值范围，再利用三角恒等式和已知条件求解。

6. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 在区间[0, π] 上的最大值和最小值。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，再利用正弦函数的性质求解。

7. 例题：已知sinαcosβ = 1/3，求(sinαcosβ)^2 + (cosαsinβ)^2 的值。

常用的辅助角公式6个

常用的辅助角公式6个在研究物体运动的动力学时，利用辅助角可以更容易地求解物体的运动问题，而常用的辅助角公式有六个，分别是：摩擦角公式、推力角公式、恒力角公式、摩擦力角公式、欧拉角公式和空间欧拉角公式。

首先，摩擦角公式可以用于求解物体在摩擦力作用下的角速度。

它表示：物体在摩擦力作用下，它的角加速度等于摩擦力和物体转动惯量之间的比值，即：α=τ/I其中，α表示物体角加速度，τ表示摩擦力，I表示物体的转动惯量。

接下来，推力角公式可以用于求解物体在推力作用下的滞后角。

它表示：物体在推力作用下，它的滞后角等于推力和物体的质心距离之比，即：θ=Fd/I其中，θ表示物体的滞后角，F表示推力，d表示物体的质心距离，I表示物体的转动惯量。

紧接着，恒力角公式可以用于求解物体在恒力作用下的角位移。

它表示：物体在恒力作用下，它的角位移等于恒力和物体转动惯量之比，即：ΔΘ=F/I其中，ΔΘ表示物体的角位移，F表示恒力，I表示物体的转动惯量。

此外，摩擦力角公式可以用于求解物体在摩擦力作用下的角位移。

它表示：物体在摩擦力作用下，它的角位移等于摩擦力和物体转动惯量之比，即：ΔΘ =/I其中，ΔΘ表示物体的角位移，τ表示摩擦力，I表示物体的转动惯量。

另外，欧拉角公式可以用于求解物体在各种外力作用下的滞后角。

它表示：物体在各种外力作用下，它的滞后角等于物体质量、外力和运动惯量之比，即：θ = M|F|/I其中，θ表示物体的滞后角，M表示物体质量，F表示外力，I表示物体的运动惯量。

最后，空间欧拉角公式可以用于求解物体在各种外力作用下的角加速度。

它表示：物体在各种外力作用下，它的角加速度等于物体质量、外力和运动惯量之比，即：α = M|F|/I其中，α表示物体的角加速度，M表示物体的质量，F表示外力，I表示物体的转动惯量。

综上所述，常用的辅助角公式有六个，分别是：摩擦角公式、推力角公式、恒力角公式、摩擦力角公式、欧拉角公式和空间欧拉角公式。

辅助角公式专题训练

辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。

1(,)。

6 2 (1)求的值;1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。

43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。

1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。

(1)右 COSX4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。

(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间一，一上的值域。

12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。

4对称，求当x0,-时，y g(x)的最大值。

3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。

(1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。

310.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。

《辅助角公式应用》专题(简单题)

《辅助角公式应用》专题2017年（）月（）日班级姓名授之以鱼，不若授之以渔。

化下列代数式为一个角的三角函数1sin 22αα+；cos αα+；a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)．使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。

2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。

【求值】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最大值。

2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 53.2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

4.已知)4x y πθ+=+，)4x y πθ-=-，求证：221x y +=【求单调区间】求函数x x y 4sin 4cos 3+=的单调递增区间。

（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈已知函数()3f x x x =-，求：（1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.（2）求函数()f x 的单调区间、对称中心.（3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？【求值】已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcos x 。

辅助角公式专题练习

cos x)a 2b 2(3) sin cos (4)¥ cos(3如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=对称，那么a=辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx 402~b 2 (a -sin x■- a 2 b 2 sin(x )cosa其中辅助角由、a 2 b 2 确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）sinb■. a 2 b 2二.训练1.化下列代数式为一个角的二角函数(1) -sincos(2) •. 3 sincos ；22(A) 2 (B) 2 (C) 1 ( D) -13、已知函数的值域4、函数的值域5、求5sin 12cos 的最值n6.求函数y = cos x + cos x + 的最大值7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，贝卩的单调递增区间是（过程（）A. B. C. D.（果过程.a 2 b 2 sin(x )参考答案asi nx bcosx1. (6)_b_a 2b 2cosx)2.［答案］C …nn［解析］y = 2sin -3 — x — cos — + xn=cos x + ~ (x € R).n■/ x € R,「. x + — € R,「. y min =— 1.3.答案：B 解析因为==当是，函数取得最大值为 2.故选B 4.答案Ccos其中辅助角由sinaa 2b 2 b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）7t 7t=2cos + x — cos + x6 6［解析］法3n 1Tcos x +— +2sin7tn n—cos — — x — — = 3cos nx +石ny =cos x +cos x cosT —sin. n x sin 33 2cos x —*nx = -3cos x — Jsin x 2 2 解析，由题设的周期为，•••, 由得，，故选C5.解：可化为 y 1 a 2sin(2x)。

辅助角公式》专题(更新版)

辅助角公式》专题(更新版)XXX高一数学组辅助角公式》专题2017年（日期未知）班级姓名XXX从磨砺出，梅花香自苦寒来。

我们知道sin(π/6+x)，那么sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx=13(cosx-sinx)(cosx-3sinx)/(2sinx+cosxsin(π/12)-3cos(π/12))，这就是辅助角公式asinx+bcosx=a^2+b^2sin(x+φ)。

接下来，我们来看如何将asinx+bcosx化为Asin(ωx+φ)的形式。

问题请写出把asinx+bcosx化成Asin(ωx+φ)形式的过程。

asinx+bcosx=a+b(sin x+cos x)/(a^2+b^2)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2))a^2+b^2(sin x+cosx)/(a^2+b^2)^0.5(a/(a^2+b^2)^0.5+b/(a^2+b^2)^0.5)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a^2+b^2)^0.5(sin φ+cos φ)a^2+b^2sin(x+φ)，其中sinφ=b/(a^2+b^2)，cosφ=a/(a^2+b^2)。

辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用。

接下来，我们来试一试将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<π。

1)sinx+cosx2^0.5/2)sin(x+π/4)+ (2^0.5/2)cos(x+π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=π/4.2)sinx-cosx2^0.5/2)sin(x-π/4)- (2^0.5/2)cos(x-π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=-π/4.3)3sinx+cosx10/2sin(x+0.197)-√10/2cos(x+0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=0.197.4)3sinx-cosx10/2sin(x-0.197)+√10/2cos(x-0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-0.197.5)sinx+3cosx10/2sin(x+1.373)-√10/2cos(x+1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=1.373.6)sinx-3cosx10/2sin(x-1.373)+√10/2cos(x-1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-1.373.接下来，我们来求函数的周期。

辅助角公式专题训练

辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;求m 的值。

(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。

4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3， f(-)-。

2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。

4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点1(6,2)。

(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。

43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。

4对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。

329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。

(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。

10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。

(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。

5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。

6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间一，一上的值域。

12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。

辅助角公式专题练习

辅助角公式专题训练2013.3一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。

记a a b 22+=cos θ，ba b 22+=sinθ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*cos ,θ=sin θ=来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin 22αα+；（2cos αα+；（3）sin cos αα- （4）sin()cos()6363ππαα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 53.若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ( )A ．1B ．2C 1D 24.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-16．函数y ＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________．7.2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

(完整)辅助角公式专题训练

辅助角公式专题训练教学目标1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取教学过程一、复习引入(1)两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_______________________； ()sin αβ-=________________________.(2）利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=___________________；αα=____________。

尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式(11cos 2αα+ （2）sin αα二、辅助角公式的推导对于一般形式ααcos sin b a +(a 、b 不全为零）,如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？)sin()cos sin (cos sin 22222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a b a b a 其中辅助角β由cos sin ββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式,其中角β为辅助角。

三、例题反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式。

(11cos 2αα- （2）ααcos sin +(3αα （4)ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式。

（1）sin cos αα- (2)ααsin cos -(3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=,且0360x ≤<,求角x 的值。

例42)cos()12123x x ππ+++=,且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

四、小结思考（1)公式()sin cos a b αααβ+=+中角β如何确定?(2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零)化为只含有余弦的一个三角比的形式？五、作业布置1。

辅助角公式例题

辅助角公式例题
特殊三角形辅助角公式
1、什么是特殊三角形辅助角公式？
特殊三角形辅助角公式是由前苏联高等教育学者贝尔科夫提出的，用以解决特殊三角形中辅助角的问题，该公式可以有效地减少三角形中辅助角的计算步骤，极大地节省计算角度的时间。

2、特殊三角形辅助角公式的形式
特殊三角形辅助角公式是：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，γ为α加β所代表的辅助角.
3、应用特殊三角形辅助角公式解决问题的步骤
（1）找出全等三角形中的任意一个角的值。

（2）根据全等三角形的边的长度，找出另外一个角的值。

（3）将所求的角的值代入特殊三角形辅助角公式，计算出所求的辅助角的值。

4、应用实例
实例：一个直角三角形的两直角边长分别为3m和4m，求该三角形的斜边对应的锐角角度。

解：由直角三角形的两直角边长，可以求出斜边c为5m，a=3，b=4 带入特殊三角形辅助角公式可得：sinγ=sin45°/cos45°=1/1=1，
由此，该三角形的锐角角度为γ=45°.。

辅助角公式专题

4
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：（1）C 的普通方程为 x2
1
3

y2
1,........2分
由于曲线C2的方程为sin(
+

4
)=2
2,
所以sin + cos =4,
因此曲线C 的直角坐标方程为x+y-4=0....4分 2
(2)由题意，可设点P的直角坐标为( 3cos ,sin ).
题型一、三角函数式的化简：
例1、化简 3 sin x cos x ____
解：3 sin x cos x
3 2 1（2
3 sin x
1
cos x）
2 3 12
2 3 12
2（ 3 sin x 1 cos x）
2
2
2(cos 30 sin x sin 30 cos x)
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
题型三、链接高考题
, x 3 cos
(2016·全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ysin
极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
(sαin为(参数))．以2坐2标原点为
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
命题式、辅助角公式是高考的热点，题型全面，
规律考查三角函数式的化简、求值，难度中低档．预测利用和差角公式及二倍角公式进行三
考向角函数的化简与求值仍是 2019 年的高考命预测题热点，利用公式的恒等变换解决有关三角
函数的性质问题是必考内容.
题型三、链接高考题

辅助角公式专题训练

辅助角公式专项训练（主观题安徽 2012 高考数学）1. 已知函数31cos x 。

(1) 若 cosx 5, ，求 f (x) 的值； f ( x)sin x ， x4 4132(2) 将函数 f ( x) 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像对于原点对称，若0 m ，求 m 的值。

2. 已知函数 f ( x)1 s in 2x sin cos2 x cos 1 s in() (0) ，其图像过点222( ,1)。

6 2(1) 求的值；(2) 将 yf ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到本来的1 ，纵坐标不变，获得函数 y g(x) 的2图像，求函数 y g( x) 在区间 0,上的最值。

43. 已知函数 f ( x) 2cos x sin( x)3 。

32（ 1）求函数 f (x)（ 2）求函数 f (x)的最小正周期及获得最大值时 x 的取值会合；图像的对称轴方程。

4. 已知函数f ( x) 2a cos2x b sin x cos x 3 ，且 f (0) 3 ， f ( ) 1 。

2 2 4 2 （1）求f ( x)的单一递减区间；（2）函数f ( x)的图像经过如何的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数5. 设f (x) cos(x 2 ) 2cos2x, x R 。

3 2（1）求f ( x)的值域；（ 2）求f ( x)的对称中心。

6. 已知( ) cos(2 ) 2sin( )sin( ) 。

f x x 3 x 4 x 4（1）求函数 f (x) 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数 f (x) 在区间,上的值域。

12 27. 已知函数 f ( x)cos(x)cos(x), g (x)1 1sin 2x。

3 324（1）求 f ( x) 的最小正周期；（2）求函数 h( x)f ( x)g (x) 的最大值，并求使 h(x) 获得最大值的 x 的会合。

辅助角公式专题训练

辅助角公式专项训练1.已知函数31()sin cos 44f x x x =-。

（1）若5cos 13x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。

2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<<，其图像过点1(,)62π。

(1)求的ϕ值；(2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值。

3.已知函数3()2cos sin()32f x x x π=+-。

（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程。

4.已知函数23()2cos sin cos 2f x a x b x x =+-，且3(0)2f =，1()42f π=。

（1）求()f x 的单调递减区间；（2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？5.设22()cos()2cos ,32x f x x x R π=++∈。

（1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。

6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+。

（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。

7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324f x x xg x x ππ=+-=-。

（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。