一次方程组含参问题
含参的二元一次方程组训练题
含参的二元一次方程组训练题1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。
2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。
3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3-a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2.4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，-a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为x+y=2-k/3，所以k=6-2m。
5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。
6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b-a)y=0，即x-y=0，所以a=b。
代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。
由于ad-bc≠0，所以解唯一，所以k和m都是正整数。
若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。
8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10-a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10.9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
一元一次方程含参问题
例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程 ，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。 解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习： （1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无 数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。 （3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元 一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
一元一次方程含参问题知识点
一元一次方程含参问题知识点
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠一元一次方程含参问题的知识点。
比如说方程 ax+b=c 这样的，这里面的 a 就是参数啦！哎呀呀，就好
比你要去一个地方，a 就像是你选择走的路，不同的 a 就会让你走不同的路线呢！咱来看个例子哈，3x+5=14，这时候参数就是 3 呀。
那在一元一次方程含参问题里，咱得搞清楚参数对整个方程的影响嘞！这就好像搭积木，每一块积木的位置都很重要，参数就是那关键的一块呀！比如给你个方程 mx+2=7，这里的 m 就是关键参数咧，如果 m 不同，那
整个方程的解可就不一样咯！你想想，是不是很神奇？
有时候呢，我们得根据条件求出参数的值，就像寻找宝藏一样刺激呢！比如说知道方程 ax-3=0 的解是 x=2，那你就得赶快算出 a 是多少呀！
哎呀，一元一次方程含参问题可真是有趣又充满挑战呢！总之呢，咱只要认真去研究，肯定能把它搞明白！
我的观点结论就是：一元一次方程含参问题虽然有点难搞，但只要用心，就一定能掌握好它！。
二元一次方程(组)含参问题
二元一次方程（组）含参问题 二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。
一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。
在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种：1.根据定义求参数什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。
即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。
例题1、若方程21221=++-m n m y x是二元一次方程，则mn=______.例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0.2. 同解类问题什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。
例：已知x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。
3.用参数表示方程组的解类问题已知方程组⎩⎨⎧=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________.4.错解类问题遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。
例：小明和小红同解一个二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为⎩⎨⎧=-=31y x ，小红把方程（2）抄错，求得解为⎩⎨⎧==23y x ，求a 、b 的值。
5. 整体思想类 在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。
一元一次方程含参问题含答案(教师版)
一元一次方程含参问题含答案(教师版) 精锐教育学科教师辅导教案学员编号。
年级：初一。
课时数：3学员姓名。
辅导科目：数学。
学科教师：授课时间。
课程主题：含参数的一元一次方程研究目标：研究一元一次方程的定义、解及解的讨论教学内容：知识点1：一元一次方程的定义一元一次方程是只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
其一般形式是ax+b=(a,b为常数，且a≠0)。
经典题型：1、已知方程(m+1)xm+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是___。
解答：根据一元一次方程的特点可得|m|=1且m+1≠0，解得m=1.故填1.2、方程5m-4+5=0是关于x的一元一次方程，求m的值。
解答：方程5m-4+5=0是关于x的一元一次方程，所以5m-4=1，解得：m=1.3、方程x3m-4+5=0是关于x的一元一次方程，求m的值。
4、已知(m-1)x+(m+1)x-5=0是关于x的一元一次方程，求m的值。
知识点2：一元一次方程的解1、已知关于x方程1/(2x-1)=x-1/x，解互为倒数，求m的值。
2、已知y=3是6+(m-y)=2y的解，试求-m+m^2的值。
3、某书中有一方程2+口x3-x=-1，其中△处的数字是多少？4、已知方程2kx^2+2kx+3k=4x^2+x+1是关于x的一元一次方程，求k值，并求出这个方程的根。
知识点3：一元一次方程解的情况关于方程ax=b1)当a≠0时，方程有唯一解，x=b/a；2)当a=0，b≠0时，方程无解；3)当a=0，b=0时，方程有无数解。
经典题型：1、关于x的方程kx+2=4x+5有正整数解，求满足条件的k的正整数值。
解答：kx+2=4x+5，(k-4)x=3，由于x，k都是正整数，所以(k-4)，x都是正整数，因此k-4=1，k=5，满足条件的k的正整数值为5.3k-4=1，x=3；或k-4=3，x=1；因此，k=5或7.因此答案为5或7.已知方程a(2x-1)=3x-2无解，求a的值。
含参一元一次方程解的情况
含参一元一次方程解的情况作文一（针对初中学生）同学们，咱们今天来聊聊含参一元一次方程解的情况。
比如说，方程 3x + a = 7，这里的 a 就是参数。
要是 a 等于2，那方程就变成 3x + 2 = 7，很容易算出 x = 5 / 3。
可要是 a 等于 1 呢？方程就成了 3x 1 = 7，解出来 x = 8 / 3。
再看一个例子，ax 5 = 0 这个方程。
如果 a = 0，那不管 x 是多少，方程都不成立，因为 0 乘任何数都得 0，不可能等于 5。
但要是 a = 5，方程就变成 5x 5 = 0，x 就等于 1 啦。
所以呀，含参一元一次方程的解，会因为参数的不同而不同。
咱们做题的时候，可要仔细分析参数的取值，才能求出正确的解哟！作文二（针对家长）各位家长，您家孩子是不是正在学含参一元一次方程解的情况？别着急，我来给您讲讲。
比如说，您孩子遇到这样一个方程 2(x + b) = 10，这里的 b 就是参数。
要是 b 是 1，那方程就是 2(x + 1) = 10，展开算一算，2x + 2 = 10，x 就等于 4。
但要是 b 是 3 呢？方程变成 2(x + 3) = 10，解出来 x = 2 。
还有像 4x + c = 8 这种方程。
要是 c 是 0，那 x 很容易就算出来是 2。
可要是 c 是 4，就得重新算啦，x 就等于 1 。
您看，就这么一个小小的参数，就能让方程的解发生变化。
所以孩子学习的时候，得多练多思考，您在家也可以适当问问孩子，帮他巩固巩固。
作文三（针对数学老师）亲爱的同行们，咱们今天来说说含参一元一次方程解的情况。
在教学中，咱们经常会碰到像 mx + n = p 这样的方程。
比如说，m = 2，n = 3，p = 7 时，方程就是 2x + 3 = 7，学生们很容易算出 x = 2。
但要是 m = 0，n = 5，p = 10 ，这方程就没解啦，因为 0 乘 x 加 5 不可能等于 10 。
二元一次方程组含参问题教学设计
二元一次方程组含参问题教学设计今天我要和你聊的是关于二元一次方程组含参问题的教学设计。
这是一个非常重要的数学概念，也是中学阶段数学教学中的重点之一。
通过深入的理解和掌握，学生可以更好地应用这一概念解决实际问题，培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在本篇文章中，我将从深度和广度两个方面对二元一次方程组含参问题的教学进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、理论基础在进行教学设计之前，首先要对二元一次方程组含参问题的理论基础有一个清晰的认识。
二元一次方程组含参问题是指方程组中的系数或常数是未知数的函数的问题。
在初中数学中，一般是用代数方法来解决这类题目。
学生需要掌握代数方法的基本原理和运用技巧，包括解方程、消元、代入等。
还需要了解二元一次方程组的图像解释和几何意义，从而更好地理解和应用这一概念。
二、教学目标针对二元一次方程组含参问题，我们的教学目标应该是帮助学生：1. 理解含参常数的概念，掌握含参一次方程的解法；2. 掌握解二元一次方程组的方法，并能熟练运用代数方法解决含参问题；3. 了解二元一次方程组的图像解释和几何意义；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学内容在教学过程中，我们应该注重以下几个方面的内容：1. 含参常数的概念：通过具体的例子，引导学生理解含参常数的概念，明确含参常数与未知数的关系，为后续解题打下基础；2. 含参一次方程的解法：结合实际问题，引导学生掌握含参一次方程的解法，重点培养学生的应用能力；3. 解二元一次方程组的方法：通过实例详细讲解解二元一次方程组的方法，并且通过实际问题的应用，培养学生解决实际问题的能力；4. 图像解释和几何意义：引导学生理解二元一次方程组的图像解释和几何意义，加深对这一概念的理解。
四、教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，包括：1. 讲授法：通过讲解基本原理和解题方法，帮助学生理解和掌握知识点；2. 实例分析法：通过具体的例子，引导学生熟练应用知识，培养解决实际问题的能力；3. 合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高学习效果；4. 案例教学法：以真实案例为背景，引导学生深入理解知识点，加强对知识点的实际运用能力。
一元一次方程含参问题
一元一次方程含参问题
基本概念
一元一次方程含参问题是指在形如ax + b = c的一元一次方程中，将系数a、b和c中的某个或某些项用参数表示，并研究方程解随参数的变化而变化的问题。
解法
解一元一次方程含参问题的基本思路是：
1. 将含参数的方程表示为一元一次方程形式；
2. 根据方程的系数和常数项的变化情况，讨论方程解的取值范围；
3. 根据参数的取值范围，确定方程在不同条件下的解。
例题
1. 已知一元一次方程8x + a = 10，其中参数a的取值范围为[1, 5]，求方程的解。
- 当a = 1时，方程化简为8x + 1 = 10，解得x = 1。
- 当a = 5时，方程化简为8x + 5 = 10，解得x = 1/2。
因此，当a取值范围为[1, 5]时，方程的解为x = 1或x = 1/2。
2. 已知一元一次方程2x + 3y = m，其中参数m的取值范围为[1, 10]，求方程的解。
- 当m = 1时，方程化简为2x + 3y = 1，解的取值范围较广。
- 当m = 10时，方程化简为2x + 3y = 10，解的取值范围较窄。
因此，当m取值范围为[1, 10]时，方程的解的取值范围也会相
应变化。
总结
一元一次方程含参问题是通过引入参数，使一元一次方程的解与参数的取值相联系的问题。
解决这类问题需要将含参数的方程化简为一元一次方程，然后根据参数的取值范围讨论方程的解的取值范围。
通过掌握一元一次方程含参问题的解法和应用，可以进一步提高数学问题的分析解决能力。
初一数学下册二元一次方程组含参问题3种解题思路
初一数学下册二元一次方程组含参问题3种解题思路初一数学下册：二元一次方程组含参问题3种解题思路_参数_方法_不等式01用参数表未知数二元一次方程组含参问题一般含有两个未知数，一个参数。
我们在求解时，将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。
分析：本题将方程组含参问题与不等式组相结合，主要考查的就是对含参问题的处理，将参数a当作常数，利用加减消元法求出x和y的值，然后再根据“x为非正数，y为负数”得到不等式组，求出a的取值范围。
在解这类题目时一定要分清未知数与参数的区别，应该是用参数分别表示两个未知数。
比如本题应该用a表示x与y，不能用a表示x，然后用y再表示x或者用x再表示y，这些都是不可取的。
02消去参数得新方程组有些题目直接利用参数表示x或y，数据计算上比较繁琐，比如出现比较大的分数，这样的话我们可以考虑其它的方法，比如先将参数消去，求出x、y的值，然后再将x、y的值代入方程求出参数的值。
比如本题，计算量不是很大，可以选择第一种方法进行求解。
本题也可以先将（1）式扩大2倍，然后两式相减消去参数a，与x-2y=4得到二元一次方程组，解出x、y的值，代入方程（1）即可求出参数的值。
两种方法各有优缺点，在解题时根据题目的特征，灵活选择合适的方法进行解题。
03整体思想解决含参问题解含参问题时，我们首选的应该的整体思想，如果整体思想无法解决问题，我们可以选择上述两种方法进行解题。
分析：利用参数m表示x、y，然后代入不等式组中求解，肯定能够做，但是计算量大，并且容易出错。
因此，在解这类题目时，我们首先想一下能不能使用整体思想，一般就是将两式相加或相减，有时也需要稍作变形。
如果不能使用整体思想，再利用上述两种方法进行考虑。
比如本题，将两式相加即可得到3x+y=3m+4，将两式相减即可得到x+5y=m+4，代入不等式中得到关于m的不等式组，可求出m的取值范围，然后再取其中的整数。
初中数学知识归纳解含有参数的方程
初中数学知识归纳解含有参数的方程参数在数学中是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种不确定的情况。
在代数学中，我们经常会遇到一类特殊的方程，即含有参数的方程。
下面我将对初中数学中关于含有参数的方程的解法进行归纳总结。
一、一次方程一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的参数。
我们可以通过移项，将参数项和常数项分开，然后根据x的系数求解x的值。
例题1：求方程2x + a = 0的解。
解：将参数项和常数项分开，得到2x = -a。
然后将方程两边都除以2，得到x = -a/2。
所以方程的解为x = -a/2。
例题2：求方程3x + 2a = 5的解。
解：将参数项和常数项分开，得到3x = 5 - 2a。
然后将方程两边都除以3，得到x = (5 - 2a)/3。
所以方程的解为x = (5 - 2a)/3。
二、二次方程二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的参数。
我们可以通过求解方程的根来求得方程的解。
例题3：求方程x² + a² = 0的解。
解：根据平方根的性质，方程的解可以表示为x = ±√(-a²)。
由于在实数范围内，-a²是负数，所以方程的解不存在实数解。
但在复数范围内，我们可以得到x = ±i√(a²)，其中i是虚数单位。
例题4：求方程x² + 2ax + a² = 0的解。
解：根据二次方程的求解公式，可以得到方程的根为x = (-2a ±√(4a² - 4a²))/2，即x = (-2a ± 0)/2，即x = -a。
所以方程的解为x = -a。
三、分式方程分式方程是含有参数的方程中经常遇到的一类。
我们可以通过整理方程，将参数项和常数项整理到一起，然后利用等式两边的性质求解。
例题5：求方程(3/a)x + (3/b) = 1的解。
一元一次方程含参组合问题
一元一次方程含参组合问题问题描述在初中数学中，我们研究了一元一次方程的解法，即求解形如`ax+b=0`的方程。
今天我们来探讨一些稍微复杂一点的一元一次方程，这些方程中含有参数，并需要我们求解参数的范围。
问题分析我们可以把这类问题分为两类：关于参数的条件和关于未知数的条件。
关于参数的条件在这种情况下，我们已知方程的形式是`ax+b=0`，但是未知数`x`的取值范围受到参数的限制。
例如，我们要求方程`2ax+3=0`的解，但是在求解之前我们需要考虑参数`a`的值。
关于未知数的条件在这种情况下，我们已知方程的形式是`ax+b=0`，但是未知数`x`的取值受到其他条件的限制。
例如，我们要求方程`2x+3b=1`的解，但是在求解之前我们需要考虑其他条件，比如`x`大于等于0。
求解方法关于参数的条件对于关于参数的条件，我们可以通过列举不同的参数值，然后求解方程来确定参数的范围。
例如，对于方程`2ax+3=0`，我们可以考虑不同的`a`的取值，比如`a=1`、`a=2`和`a=3`，然后分别求解方程。
关于未知数的条件对于关于未知数的条件，我们可以通过代入条件求解方程来确定未知数的取值范围。
例如，对于方程`2x+3b=1`，如果已知条件是`x>=0`，我们可以将这个条件代入方程中，然后求解。
示例关于参数的条件对于方程`2ax+3=0`，我们可以分别考虑`a=1`和`a=2`的情况。
当`a=1`时，方程变为`2x+3=0`，求解可以得到`x=-3/2`。
当`a=2`时，方程变为`4x+3=0`，求解可以得到`x=-3/4`。
所以，当`a=1`时，解为`x=-3/2`；当`a=2`时，解为`x=-3/4`。
关于未知数的条件对于方程`2x+3b=1`，如果已知条件是`x>=0`，我们可以将这个条件代入方程中。
代入条件后，方程变为`2(0)+3b=1`，即`3b=1`，解得`b=1/3`。
所以，在满足条件`x>=0`的情况下，解为`b=1/3`。
中考数学模拟题汇总《一次方程(组)的含参及应用问题》练习题
中考数学模拟题汇总《一次方程(组)的含参及应用问题》练习题（含答案解析）1、关于x 的方程mx 2m ﹣1+（m ﹣1）x ﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ________ ．2、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．43、若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ．4、已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________．5、已知x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b 的值为__．6、已知关于,x y 的方程组7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，则1m n -的平方根为________．7、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax −y =43x +by =4的解是{x =2y =−2，则a +b 的值是（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．08、已知{x =3y =−2是方程组{ax +by =2bx +ay =−3的解，则a +b 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．59、若方程组213212x y x y -=⎧⎨+=⎩的解也是二元一次方程511x my -=-的一个解，则m 的值等于__________．10、若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．11、母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种12、学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种13、2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．14、某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？15、在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？16、小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？17、同时满足二元一次方程和的，的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．19、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．420、某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）9x y -=431x y +=x y45x y =⎧⎨=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩36x y =⎧⎨=-⎩()1552x x =--()1552x x =++()255x x =--()255x x =++x 224a x m -+=1x =a m +A ．7.4元B ．7.5元C ．7.6元D ．7.7元21、把一根长9m 的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ） A ．3种 B ．4种C ．5种D ．9种22、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A ．里 B ．里C ．里D ．里23、学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种24、在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）． A ． B ．1C ．0D ．225、为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A ．4种 B ．3种C ．2种D ．1种26、若是二元一次方程组的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD37896482412A B A 60B 75150034561a b a b =+-☆232314=+-=☆21x =☆x 1-21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩27、已知a 、b 满足方程组，则a+b 的值为( )A ．2B ．4C ．—2D ．—428、已知，，则的值为_________．29、已知是方程组的解，则的值为__．30、已知关于的方程组的解为，则的平方根为________．31、《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x 辆车，有y 人，则可列方程组为_____．32、已知关于x 、y 的方程的解满足，则a 的值为__________________．33、今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．34、有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．35、“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本324236a b a b +=⎧⎨+=⎩1023a b +=16343a b +=+a b x a y b =⎧⎨=⎩2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩+a b ,x y 7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩12x y =⎧⎨=⎩1m n -221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩3x y +=-A B和售价信息如下表：问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？36、某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？参考答案与解析1、关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为________．【答案】x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3【解析】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；当2m﹣1＝0，即m=12时，方程为12−12x﹣2＝0，解得：x＝﹣3，故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．2、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可． 【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选C ． 【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．3、若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ．【答案】1【解析】把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y ＝3中，a +2＝3，解得a ＝1． 故答案是：1．点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．4、已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 【详解】解：1023a b +=①，16343a b +=②， ②-①得，2a+2b=2， 解得：a+b=1, 故答案为：1．【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．5、已知x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b 的值为__．【答案】1. 【解析】【分析】先把x=a ，y=b ，代入原方程组，再解关于a 、b 的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】 把x a y b =⎧⎨=⎩代入方程组2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩得：2623a b a b +=⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得： 333a b +=，1a b +=，故答案为1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，先将x ，y 的值代入，再计算即可．6、已知关于,x y 的方程组7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，则1m n -的平方根为________．【答案】12± 【解析】【分析】根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m 、n,再代入求平方根. 【详解】 将1,2x y =⎧⎨=⎩代入方程组7,234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩得27264m n m n +=⎧⎨-=⎩， 解得51m n =⎧⎨=⎩.所以114m n =- 所以1m n -的平方根为12±故答案为：12±【点睛】考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键． 7、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax −y =43x +by =4的解是{x =2y =−2，则a +b 的值是（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．0【答案】B【解析】将{x =2y =−2代入{ax −y =43x +by =4得：{a =1b =1， ∴a +b ＝2； 故选：B ．点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．8、已知{x =3y =−2是方程组{ax +by =2bx +ay =−3的解，则a +b 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．5【答案】A【解析】将{x =3y =−2代入{ax +by =2bx +ay =−3，可得：{3a −2b =23b −2a =−3，两式相加：a +b ＝﹣1， 故选：A ．点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．9、若方程组213212x y x y -=⎧⎨+=⎩的解也是二元一次方程511x my -=-的一个解，则m 的值等于__________．【答案】7【解析】【分析】先把2x-y=1中的y用x表示出来，代入3x+2y=12求出x的值，再代入2x-y=1求出y的值，最后将所求x，y的值代入5x-my=-11解答即可．【详解】解：根据题意得21 3212x yx y-=⎧⎨+=⎩①②∴由①得：y=2x-1，代入②用x表示y得，3x+2（2x-1）=12，解得：x=2，代入①得，y=3，∴将x=2，y=3，代入5x-my=-11解得，m=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．10、若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，如x﹣y．【解析】【分析】根据方程组的解的定义，11xy=⎧⎨=⎩应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕11xy=⎧⎨=⎩列一组算式，然后用x，y代换即可. 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，而1﹣1＝0，∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.11、母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种 B ．4种C ．5种D ．6种【答案】B 【解析】【分析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【详解】解：设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30， ∴y ＝10﹣23x ． ∵x ，y 均为正整数， ∴38x y =⎧⎨=⎩，66x y =⎧⎨=⎩，94x y =⎧⎨=⎩，122x y =⎧⎨=⎩， ∴小明有4种购买方案． 故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．12、学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种【答案】B 【解析】【分析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个，根据学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，其中A 种每个15元，B 种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x ，y 为正整数可求出解． 【详解】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个， 根据题意得：1525200x y +=， 化简整理得：3540x y +=，得385y x =-，∵x ，y 为非负整数，∴08x y =⎧⎨=⎩，55x y =⎧⎨=⎩，102x y =⎧⎨=⎩，∴有3种购买方案：方案1：购买了A 种奖品0个，B 种奖品8个； 方案2：购买了A 种奖品5个，B 种奖品5个； 方案3：购买了A 种奖品10个，B 种奖品2个. 故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x ，y 的值．13、2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．【答案】该电饭煲的进价为580元 【解析】【分析】根据满600元立减128元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式． 【详解】解：设该电饭煲的进价为x 元 根据题意，得(150%)80%128568x +⋅-= 解，得580x =．答；该电饭煲的进价为580元【点睛】本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．14、某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？ 【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥． 【解析】【分析】设每节火车车厢平均装x 吨化肥，每辆汽车平均装y 吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解． 【详解】解：设每节火车车厢平均装x 吨化肥，每辆汽车平均装y 吨化肥， 由题意得，615360810440x y x y +=⎧⎨+=⎩， 整理得：25120521102x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：504x y =⎧⎨=⎩．答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．15、在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【答案】（1）跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）该店的商品按原价的9折销售． 【解析】【分析】（1）设跳绳的单价为x 元/条，毽子的单件为y 元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；（2）设该店的商品按原价的x 折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．【详解】解：（1）设跳绳的单价为x 元/条，毽子的单件为y 元/个，可得：30607201050360x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩，答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）设该店的商品按原价的x 折销售，可得：1001610041800()10x⨯+⨯⨯=，解得：9x =，答：该店的商品按原价的9折销售．【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．16、小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【答案】2元、6元 【解析】【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【详解】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：12201121220144y x x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：26x y =⎧⎨=⎩，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 17、同时满足二元一次方程和的，的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】 【分析】联立和解二元一次方程组即可． 【详解】9x y -=431x y +=x y 45x y =⎧⎨=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩36x y =⎧⎨=-⎩9x y -=431x y +=解：有题意得： 由①得x=9+y ③将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5 则x=9+（-5）=4 所以x=4，y=-5． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．18、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程． 【详解】设索为尺，杆子为()尺， 根据题意得：()． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．19、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【答案】C9431x y x y -=⎧⎨+=⎩①②()1552x x =--()1552x x =++()255x x =--()255x x =++x 5x -x x 5x -12x =5x -5-x 224a x m -+=1x =a m +【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可． 【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选C ．【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．20、某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ） A ．7.4元 B ．7.5元 C ．7.6元 D ．7.7元【答案】C 【解析】 【分析】设该商品每件的进价为x 元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品每件的进价为x 元， 依题意，得：， 解得：． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．21、把一根长9m 的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．9种【答案】B120.82x ⨯-=7.6x =【分析】可列二元一次方程解决这个问题． 【详解】解：设的钢管根，根据题意得：，、均为整数，，，，． 故选：B ． 【点睛】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．22、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A ．里 B ．里C ．里D ．里【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可． 【详解】解：设第一天的路程为里 ∴ 解得∴第三天的路程为 故答案选B 【点睛】2m b 29a b +=a b 14a b =⎧∴⎨=⎩33a b =⎧⎨=⎩52a b =⎧⎨=⎩71a b =⎧⎨=⎩37896482412x x x x x x x xx+++++=3782481632x=192x 192==4844本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键． 23、学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种【答案】B 【解析】 【分析】设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论． 【详解】解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个， 依题意，得：，． ，均为正整数，，，，，该学校共有种购买方案．故选：B ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点.24、在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）． A ． B ．1C ．0D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【详解】A B A 60B 7515003456A x B y =⨯x y x y A x B y 60751500x y +=∴4205y x =-x y ∴11516x y =⎧⎨=⎩221012x y =⎧⎨=⎩33158x y =⎧⎨=⎩44204x y =⎧⎨=⎩∴41a b a b =+-☆232314=+-=☆21x =☆x 1-解：由题意知：， 又， ∴， ∴． 故选：C ． 【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．25、为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A ．4种 B ．3种C ．2种D ．1种【答案】B 【解析】【分析】设购买篮球x 个，排球y 个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x 、y 的方程，由x 、y 均为非负整数即可得． 【详解】设购买篮球x 个，排球y 个， 根据题意可得120x+90y=1200， 则y=， ∵x 、y 均为正整数，∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种， 故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．26、若是二元一次方程组的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【答案】C 【解析】2211☆=+-=+x x x 21x =☆11x +=0x =4043x-21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩【分析】将代入二元一次方程组中解出x 和y 的值，再计算x ＋2y 的算术平方根即可．【详解】解：将代入二元一次方程中，得到：，解这个关于x 和y 的二元一次方程组，两式相加，解得，将回代方程中，解得，∴， ∴x ＋2y故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．27、已知a 、b 满足方程组，则a+b 的值为( )A ．2B ．4C ．—2D ．—4【答案】A 【解析】【分析】观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案. 【详解】， ①+②，得5a+5b=10， 所以a+b=2， 故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题21a b =⎧⎨=⎩21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3522+=⎧⎨-=⎩x y x y 75x =75x =45y =7415223555+=+⨯==x y 324236a b a b +=⎧⎨+=⎩5510a b +=324236a b a b +=⎧⎨+=⎩①②28、已知，，则的值为_________． 【答案】1 【解析】【分析】观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 【详解】 解：①，②，②-①得，2a+2b=2， 解得：a+b=1, 故答案为：1．【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键． 29、已知是方程组的解，则的值为__． 【答案】1. 【解析】【分析】先把x=a ，y=b ，代入原方程组，再解关于a 、b 的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】把代入方程组得：，①+②得： ，，故答案为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，先将x ，y 的值代入，再计算即可． 30、已知关于的方程组的解为，则的平方根为________．【答案】 1023a b +=16343a b +=+a b 1023a b +=16343a b +=x a y b =⎧⎨=⎩2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩+a b x a y b =⎧⎨=⎩2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩2623a b a b +=⎧⎨+=-⎩①②333a b +=1a b +=1,x y 7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩12x y =⎧⎨=⎩1m n -12±【分析】根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m 、n,再代入求平方根. 【详解】将代入方程组得， 解得 .所以所以的平方根为故答案为：【点睛】考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键．31、《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x 辆车，有y 人，则可列方程组为_____．【答案】 【解析】【分析】根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可． 【详解】由题意，可列方程组为：，故答案为：．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键． 32、已知关于x 、y 的方程的解满足，则a 的值为__________________．1,2x y =⎧⎨=⎩7,234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩27264m n m n +=⎧⎨-=⎩51m n =⎧⎨=⎩114m n =-1m n -12±12±()3229x yx y ⎧-=⎨+=⎩()3229x yx y ⎧-=⎨+=⎩()3229x yx y ⎧-=⎨+=⎩221255x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩3x y +=-【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可． 【详解】解：，①+②，得 3x+3y=6-3a ， ∴x+y=2-a ， ∵， ∴2-a=-3， ∴a=5． 故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．33、今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次． 【答案】4 【解析】【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得：， 整理得：，解得：．221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②3x y +=-1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩10530x y y +=⎧⎨=⎩46x y =⎧⎨=⎩故答案为：4．【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解． 34、有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元． 【答案】100或85． 【解析】【分析】设所购商品的标价是x 元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90元， x ﹣20+x ＝150， 解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元， x ﹣20+x ﹣30＝150， 解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元． 故答案为100或85．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．35、“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【答案】，两种产品的销售件数分别为160件、180件． 【解析】A B A B【分析】设，两种产品的销售件数分别为件、件，由题意列方程组，再计算即可得到答案. 【详解】设，两种产品的销售件数分别为件、件；由题意得：，解得：；答：，两种产品的销售件数分别为160件、180件． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的实际应用.36、某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ (2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【答案】(1)购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱；(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元． 【解析】【分析】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=单箱利润×销售数量，即可求出结论． 【详解】解：(1)设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱， 依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．A B x y A B x y 5720602420601020x y x y +=⎧⎨+=-⎩160180x y =⎧⎨=⎩A B 500253514500x y x y +=⎧⎨+=⎩300200x y =⎧⎨=⎩。
第3章一元一次方程的含参问题(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解含参一元一次方程的基本概念。含参的一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数，这些参数通常表示未知的常量。它在数学建模和解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个实际速度问题转化为含参的一元一次方程，并通过求解方程来解决问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相对顺利。但我观察到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在未来的教学中，我需要考虑如何更好地调动每个学生的积极性，确保每个人都能在小组活动中得到充分的锻炼。
学生小组讨论时，大家对于含参方程在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在引导讨论时，我发现自己在提问的技巧上还有待提高，有些问题可能不够开放，限制了学生的思考空间。我将在下一次的教学中注意这一点，设计更多具有启发性的问题。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论与合作，共同解决复杂问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解含参一元一次方程的概念，包括参数的概念和含参方程的特点；
-掌握含参一元一次方程的求解方法，特别是换元法和消元法的应用；
-能够将实际问题抽象为含参一元一次方程模型，并进行求解；
-通过对含参方程求解过程的分析，理解方程解的多样性和参数对解的影响。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程含参问题的基本概念、求解方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对含参问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
专题02 方程、不等式中的含参问题
k 的取值范围为
．
【答案】k＜ 且 k≠±1
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 2、一元二次方程的二次项系数不为 0．
变式 2.3 已知α、β是方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个实数根，则α3+8β+6 的值为（ ） A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【解析】
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于 A、B 的二元 一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网
考点二、一元二次方程的含参问题
例 2 关于 x 的方程 x2+mx﹣9=0 和 x2﹣3x+m2+6m=0 有公共根，则 m 的值为
．
【答案】﹣3，0，﹣4.5．
④若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根，可得 x0=
，
把 x0 的值代入（2ax0+b）2，可得 b2﹣4ac=（2ax0+b）2， 综上所述其中正确的①②④． 故选 B 【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示 x0，整体代入求 b2﹣4ac=（2ax0+b）2．
变式 3.3 已知关于 x 的方程
只有整数解，则整数 a 的值为
．
【答案】﹣2，0 或 4 【解析】试题分析：首先 解此分式方程，即可求得 x=
=﹣2﹣ ，由方程只有整数
解，可得 1﹣a=3 或 1 或﹣3 或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验． 试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2）， 得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，
一元一次方程含参问题
1 2
(x
1)]
2 3
(x
1)
x
11
5
1、已知方程解的情况求参数
例1、已知方程 3ax ax3 的解是x=4，
求a的值。
2
练习：
①已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方
程｜x-0.5 ｜=0，则m= 2 。
②若方程2(x+1)-3(x-1)=0的解为a+2，求方程：
2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解。 21
(3)当m-3=0且-n-4≠0时，即m=3且n≠-4时， 方程无解
练习：
（1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无
数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
9
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无b)x2a xb0是关于x的一元
一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
练习：已知a，b为定值，关于x的方程 kx3a12x6bk，无论k为何值，它
的解总是1，求a+b的值。
解：把x=1代入方程得 ka12bk
3
6
化简得：(2+b)k=4-2a ∵ 无论k为何值，它的值总是1 ∴2+b=0且4-2a=0 解得b=-2，a=2
∴a+b=0
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数 解，求整数k。
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
例2、关于x的方程4x-1=-5与
2 a x 3
的0
解相同，求a的值；若解互为倒数，互为
相反数时，求a的值
练习：当m=
三元一次方程(组)含参问题
三元一次方程(组)含参问题1. 概述本文档旨在介绍三元一次方程(组)含参问题的基本概念、求解方法以及相关例题分析。
通过研究本文档，您将了解到如何有效地解决含参数的三元一次方程(组)。
2. 什么是含参问题含参问题指的是方程(组)中包含参数的情况。
参数可以是任意实数，它的值可以影响方程(组)的解。
含参问题的解通常不是唯一的，而是由参数的取值范围决定。
3. 解决含参问题的方法3.1 求解一元含参方程对于一元含参方程，我们可以通过代入法或消元法来求解。
3.1.1 代入法代入法是将参数的取值代入方程中，然后根据参数的取值求解方程。
通过对不同取值情况进行讨论，我们可以得到参数对应的方程解。
3.1.2 消元法消元法是通过将含参方程与消参方程相减或相除，从而得到一个不含参数的方程。
然后，我们可以通过求解不含参数的方程来确定参数的取值。
3.2 求解三元含参方程组对于三元含参方程组，我们可以通过消元法或高斯消元法来求解。
3.2.1 消元法消元法是通过消去含参方程组中的某个变量，从而得到一个含有两个变量的方程组。
然后，我们可以使用代入法或其他方法求解这个方程组。
3.2.2 高斯消元法高斯消元法是一种利用矩阵的行变换来简化方程组的方法。
通过将方程组转化为增广矩阵形式，然后进行行变换，我们可以得到简化后的方程组。
最后，通过回代法求解简化后的方程组，我们可以确定参数的取值范围以及方程组的解。
4. 相关例题分析下面通过一些具体例题来进一步说明如何解决含参数的三元一次方程(组)。
4.1 例题一求解方程组：2x + 3y = 53x + ky = 82x - y = 1使用消元法将方程组转化为不含参数的形式，然后求解简化后的方程组即可得到参数的取值范围以及方程组的解。
4.2 例题二求解方程组：ax + by = cdx + ey = fgx + hy = i使用高斯消元法将方程组转化为增广矩阵形式，并通过行变换得到简化后的方程组。
一元一次方程组有解、无解、有理数解求参问题
一元一次方程组有解、无解、有理数解求参问题引言本文旨在讨论一元一次方程组的求参问题，主要涉及方程组的有解、无解以及有理数解三种情况。
我们将通过简单的策略和方法来解决这些问题，避免复杂的法律纠纷，并确保所引用内容的可验证性。
一元一次方程组的定义一元一次方程组是由若干个一元一次方程组成的集合。
每个方程都具有类似于以下形式的表达式：$$a_1 x + b_1 = 0$$其中，$a_1$和$b_1$是已知的有理数，$x$是未知数。
有解的情况一元一次方程组有解的情况发生在以下两种情况之一：1. 方程组中的方程是等价的，即它们描述了同一个直线。
此时，方程组有无穷多个解。
2. 方程组中的方程是矛盾的，即没有满足所有方程的解。
此时，方程组无解。
为了确定一元一次方程组是否有解，我们可以通过以下方法来判断：1. 检查方程组中的方程是否等价。
如果是等价方程，则方程组有无穷多个解。
2. 如果方程组中的方程矛盾，则方程组无解。
有理数解的情况对于一元一次方程组，如果解是有理数，则我们可以使用以下方法来求解：1. 将方程组中的每个方程转化为标准形式：$ax = b$。
确保系数$a$为非零有理数。
2. 使用等价变换来消除系数$a$的分数形式。
3. 定义一个合适的解范围，通常是有理数的集合，如整数或分数。
4. 针对定义的解范围，逐个尝试解答，找到满足所有方程的解。
结论通过采用简单的策略和方法，我们可以解决一元一次方程组中的求参问题。
我们可以判断方程组是否有解，以及确定有理数解的范围，并通过逐步尝试找到满足所有方程的解。
在解决这些问题时，我们应避免复杂的法律纠纷，并确保所引用内容具有可验证性。
请注意，以上所述均为简化描述，并不详尽涵盖所有可能的情况和方法。
在现实世界中，方程组求参问题可能会涉及更复杂的情况和策略。
三元一次方程(组)含参问题
三元一次方程(组)含参问题引言三元一次方程(组)是数学中一种常见的方程形式，其中含有三个未知数和一次项的系数。
当这些系数中含有参数时，就称为三元一次方程(组)含参问题。
本文将讨论三元一次方程(组)含参问题的基本概念和解题方法。
基本概念三元一次方程(组)含参问题指的是在三元一次方程(组)中，方程的系数或常数项中包含一个或多个参数。
这些参数可以代表实际问题中的变量，通过对参数的不同取值进行求解，可以得到方程(组)的解的一般性质。
解题方法解决三元一次方程(组)含参问题的常规方法是分别对方程中的未知数进行消元和解得参数的取值范围。
以下是一些常用的解题方法：1. 消元法：通过代入法或消元法，将方程转化为只含有一个未知数的一元方程。
然后根据参数的取值范围，求解得到未知数的值。
2. 系数比较法：通过比较方程中各项系数的大小关系，得到参数的取值范围。
然后代入方程，求解得到未知数的值。
3. 图像法：将方程中的系数和常数项作为参数，绘制图像。
通过观察图像的交点、趋势等特征，得到方程的解。
4. 数值法：将参数取一组合适的数值，代入方程进行计算。
通过不同参数取值下的计算结果，得到方程的解的范围。
示例以下是一个示例三元一次方程含参问题的求解过程：假设有一个三元一次方程组：2x + 3y + 4z = a3x + 4y + 5z = b4x + 5y + 6z = c其中a、b、c为参数。
通过消元法，可以得到一个只含有未知数x的一元方程：x = (a - 2b + c) / 3根据参数a、b、c的取值范围，可以求解得到未知数x的取值范围。
同样的方法可以应用于y和z的求解。
结论三元一次方程(组)含参问题是数学中常见的问题类型。
通过不同的解题方法，可以求解三元一次方程(组)含参问题并得到未知数的取值范围。
在实际问题中，可以根据参数的取值，对方程进行求解，得到问题的解的一般性质。