2014年普通高等学校招生全国统一考试_大纲全国_数学(文)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,无答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}32.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15 输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）文科数学【整理人：赵小征】【版权归赵小征所有，翻版必究】注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，学科网则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，学科网则输出的M =( ) A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk xF A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，学科网则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014全国卷考试大纲
2014全国卷考试大纲2014年全国卷考试大纲是针对中国高考（全国普通高等学校招生统一考试）的指导性文件，它规定了各科目的考试范围、内容以及题型等。
以下是对2014年全国卷考试大纲的概述。
语文：语文考试大纲强调了对传统文化的重视，要求考生掌握一定的文言文阅读能力，同时对现代文阅读和写作能力也提出了较高要求。
考试内容涵盖了现代文阅读、文言文阅读、古诗文默写、作文等部分。
作文部分特别强调了考生的思辨能力和表达能力。
数学：数学考试大纲分为文科数学和理科数学两种。
文科数学侧重于基础数学知识和应用，而理科数学则更注重数学思维和逻辑推理能力的培养。
考试内容通常包括函数、导数、几何、概率统计等，题型有选择题、填空题和解答题。
英语：英语考试大纲注重考生的语言实际应用能力，包括听、说、读、写四个方面。
考试内容通常包括阅读理解、完形填空、翻译、写作等。
听力部分测试考生的听力理解能力，阅读部分则测试考生的阅读速度和理解力，写作部分则考察考生的语言表达和组织能力。
文科综合：文科综合考试包括政治、历史、地理三个学科。
政治部分要求考生理解基本的政治理论，历史部分要求考生掌握中国和世界历史知识，地理部分则要求考生了解自然地理和人文地理的基础知识。
考试形式多样，包括选择题、非选择题等。
理科综合：理科综合考试包括物理、化学、生物三个学科。
物理部分要求考生掌握基本的物理原理和概念，化学部分要求考生理解化学反应和物质结构，生物部分则要求考生了解生物体的结构和功能。
考试通常包含实验操作和理论知识的测试。
考试形式：考试形式通常为闭卷考试，考生需要在规定时间内完成试卷。
考试题型多样，包括选择题、填空题、解答题、论述题等。
选择题和填空题主要测试考生对基础知识的掌握，解答题和论述题则更侧重于考生的分析和解决问题的能力。
考试时间：高考通常在每年的6月举行，考试时间一般为两天，每天考试时间安排合理，确保考生有足够的时间完成所有科目的考试。
评分标准：评分标准通常由各省市教育考试院制定，评分时会综合考虑考生的答题准确性、答题思路和答题规范性。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014大纲全国,文1)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M ∩N 中元素的个数为( ). A .2 B .3 C .5 D .7答案:B解析:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M ∩N={1,2,6},∴M ∩N 中元素的个数为3,故选B .2.(2014大纲全国,文2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ). A .45B .35C .-35D .-45答案:D解析:设角α的终边上点(-4,3)到原点O 的距离为r ,则r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cos α=x x =-45,故选D .3.(2014大纲全国,文3)不等式组{x (x +2)>0,|x |<1的解集为( ).A .{x|-2<x<-1}B .{x|-1<x<0}C .{x|0<x<1}D .{x|x>1}答案:C 解析:{x (x +2)>0,x|x |<1,x由①得,x<-2或x>0, 由②得,-1<x<1,因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C .4.(2014大纲全国,文4)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ). A .16B .√36C .13D .√33答案:B解析:如图所示,取AD 的中点F ,连EF ,CF ,则EF ∥BD ,∴异面直线CE 与BD 所成的角即为CE 与EF 所成的角∠CEF.由题知,△ABC ,△ADC 为正三角形,设AB=2,则CE=CF=√3,EF=12BD=1. ∴在△CEF 中,由余弦定理,得cos ∠CEF=xx 2+E x 2-C x 22xx ·xx=√3)22√3)23×1=√36,故选B .5.(2014大纲全国,文5)函数y=ln(√x 3+1)(x>-1)的反函数是( ). A .y=(1-e x )3(x>-1) B .y=(e x-1)3(x>-1)C .y=(1-e x )3(x ∈R ) D .y=(e x-1)3(x ∈R )答案:D解析:由y=ln(√x 3+1),得e y =√x 3+1,∴√x 3=e y -1,x=(e y -1)3,∴f-1(x)=(e x-1)3.∵x>-1,∴y∈R,即反函数的定义域为R.∴反函数为y=(e x-1)3(x∈R),故选D.6.(2014大纲全国,文6)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ).A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a,b>-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.7.(2014大纲全国,文7)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ).A.60种B.70种C.75种D.150种答案:C解析:从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62·C51=6×52×1×5=75种选法,选C.8.(2014大纲全国,文8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( ).A.31B.32C.63D.64答案:C解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.9.(2014大纲全国,文9)已知椭圆C:x 2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为( ).A.x 23+x22=1B.x23+y2=1C.x 212+x28=1D.x212+x24=1答案:A解析:∵x 2x2+x2x2=1(a>b>0)的离心率为√33,∴xx =√33,∴a∶b∶c=3∶√6∶√3.又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点, △AF1B的周长为4√3,∴4a=4√3,∴a=√3.∴b=√2,∴椭圆方程为x 23+x22=1,选A.10.(2014大纲全国,文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ).A.81π4B.16πC.9πD.27π4答案:A解析:由图知,R2=(4-R)2+2,∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=94,∴S表=4πR 2=4π×8116=814π,选A .11.(2014大纲全国,文11)双曲线C :x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C 的焦距等于( ). A .2B .2√2C .4D .4√2答案:C解析:∵e=2,∴xx=2.设焦点F 2(c ,0)到渐近线y=x xx 的距离为√3, 渐近线方程为bx-ay=0, ∴x =√3.∵c 2=a 2+b 2,∴b=√3. 由x x=2,得√=2,∴x 2x 2-3=4,解得c=2.∴焦距2c=4,故选C .12.(2014大纲全国,文12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x+2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( ). A .-2B .-1C .0D .1答案:D解析:∵奇函数f (x )的定义域为R ,∴f (-x )=-f (x ),且f (0)=0.∵f (x+2)为偶函数,∴f (-x+2)=f (x+2). ∴f [(x+2)+2]=f (-x-2+2)=f (-x )=-f (x ), 即f (x+4)=-f (x ).∴f (x+8)=f [(x+4)+4]=-f (x+4)=-(-f (x ))=f (x ).∴f (x )是以8为周期的周期函数, ∴f (8)=f (0)=0,f (9)=f (8+1)=f (1)=1.∴f (8)+f (9)=0+1=1.故选D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014大纲全国,文13)(x-2)6的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答) 答案:-160解析:由通项公式得T 4=C 63x 6-3(-2)3=-8C 63x 3,故展开式中x 3的系数为-8C 63=-8×6×5×43×2×1=-160. 14.(2014大纲全国,文14)函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为 . 答案:32解析:∵y=cos 2x+2sin x=1-2sin 2x+2sin x=-2(sin x -12)2+32,∴当sin x=12时,y max =32.15.(2014大纲全国,文15)设x ,y 满足约束条件{x -x ≥0,x +2x ≤3,x -2x ≤1,则z=x+4y 的最大值为 .答案:5解析:画出x ,y 的可行域如图阴影区域.由z=x+4y ,得y=-14x+x4.先画出直线y=-14x ,再平移直线y=-14x ,当经过点B (1,1)时,z=x+4y 取得最大值为5.16.(2014大纲全国,文16)直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于 . 答案:43解析:如图所示,设l 1与圆O :x 2+y 2=2相切于点B ,l 2与圆O :x 2+y 2=2相切于点C ,则OB=√2,OA=√10,AB=2√2.∴tan α=xx xx =√2212. ∴tan ∠BAC=tan 2α=2tan x1-tan 2α=2×121-14=43.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2014大纲全国,文17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式.(1)可用定义证明b n+1-b n =2(常数)即可.(2)利用(1)的结果,求出{b n }的通项公式及a n+1-a n 的表达式,再用累加法可求数列{a n }的通项公式. (1)证明:由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2-a n+1=a n+1-a n +2, 即b n+1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解:由(1)得b n =1+2(n-1),即a n+1-a n =2n-1.于是xx =1x (a k+1-a k )=x x =1x (2k-1), 所以a n+1-a 1=n 2,即a n+1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n+2.18.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文18)△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a cos C=2c cosA ,tan A=13,求B.分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan C.根据三角形角和定理及两角和的正切公式求出tan B ,即可求角B.解:由题设和正弦定理得3sin A cos C=2sin C cos A.故3tan A cos C=2sin C ,因为tan A=13,所以cos C=2sin C ,tan C=12. 所以tan B=tan[180°-(A+C )]=-tan(A+C ) =tan x +tan x tan x tan x -1 =-1,即B=135°.19.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文19)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点A 1在平面ABC 的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC 1=2.(1)证明:AC 1⊥A 1B ;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为√3,求二面角A 1-AB-C 的大小.分析:解法一:(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.(2)为利用已知,先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E.再由三垂线定理,确定二面角A 1-AB-C 的平面角为∠A 1FD.最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解.(1)设出A 1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直. (2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为A 1D ⊥平面ABC ,A 1D ⊂平面AA 1C 1C ,故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC.又BC ⊥AC ,所以BC ⊥平面AA 1C 1C.连结A 1C.因为侧面AA 1C 1C 为菱形,故AC 1⊥A 1C. 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B. (2)BC ⊥平面AA 1C 1C ,BC ⊂平面BCC 1B 1, 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1,E 为垂足,则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1,因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离,A 1E=√3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线,故A 1D=A 1E=√3. 作DF ⊥AB ,F 为垂足,连结A 1F. 由三垂线定理得A 1F ⊥AB ,故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平面角.由AD=√xx 12-x 1x 2=1得D 为AC 中点,DF=12×xx ×xx xx =√55,tan ∠A 1FD=x 1Dxx=√15. 所以二面角A 1-AB-C 的大小为arctan √15.解法二:以C 为坐标原点,射线CA 为x 轴的正半轴,以CB 的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A 1D 与z 轴平行,z 轴在平面AA 1C 1C.(1)证明:设A 1(a ,0,c ),由题设有a ≤2,A (2,0,0),B (0,1,0), 则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,0,c ), xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-4,0,c ),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1,c ). 由|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2得√(x -2)2+x 2=2,即a 2-4a+c 2=0.①于是xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a 2-4a+c 2=0,所以AC 1⊥A 1B. (2)设平面BCC 1B 1的法向量m =(x ,y ,z ),则m ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⊥xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即m ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,0,c ), 故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c ,则z=2-a ,m =(c ,0,2-a ),点A 到平面BCC 1B 1的距离为|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|cos <m ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·x ||x |=√x 2+(2-a)=c.又依题设,A 到平面BCC 1B 1的距离为√3,所以c=√3. 代入①解得a=3(舍去)或a=1. 于是xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3). 设平面ABA 1的法向量n =(p ,q ,r ), 则n ⊥xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即n ·xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-p+√3r=0,且-2p+q=0.令p=√3,则q=2√3,r=1,n =(√3,2√3,1). 又p =(0,0,1)为平面ABC 的法向量, 故cos <n ,p >=x ·x |x ||x |=14.所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 14.20.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.(2)由(1)分析k 的可能取值情况,比较即得结果.解:记A i 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i=0,1,2,B 表示事件:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,D 表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,E 表示事件:同一工作日4人需使用设备,F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (1)D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·x ·C ,P (B )=0.6,P (C )=0.4,P (A i )=C 2x ×0.52,i=0,1,2, 所以P (D )=P (A 1·B ·C+A 2·B+A 2·x ·C ) =P (A 1·B ·C )+P (A 2·B )+P (A 2·x ·C )=P (A 1)P (B )P (C )+P (A 2)P (B )+P (A 2)P (x )P (C ) =0.31.(2)由(1)知,若k=2,则P (F )=0.31>0.1. 又E=B ·C ·A 2, P (E )=P (B ·C ·A 2) =P (B )P (C )P (A 2) =0.06.若k=3,则P (F )=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文21)函数f (x )=ax 3+3x 2+3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数,求a 的取值围.分析:(1)由于导函数的判别式含参数a ,因此要根据导数值的正负判断单调性,需对a 进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a 进行二重讨论.(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式,注意对a>0或a<0进行讨论.解:(1)f'(x )=3ax 2+6x+3,f'(x )=0的判别式Δ=36(1-a ).①若a ≥1,则f'(x )≥0,且f'(x )=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f (x )在R 上是增函数.②由于a ≠0,故当a<1时,f'(x )=0有两个根:x 1=-1+√1-xx,x 2=-1-√1-xx.若0<a<1,则当x ∈(-∞,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时f'(x )>0, 故f (x )分别在(-∞,x 2),(x 1,+∞)是增函数;当x ∈(x 2,x 1)时f'(x )<0,故f (x )在(x 2,x 1)是减函数; 若a<0,则当x ∈(-∞,x 1)或(x 2,+∞)时f'(x )<0, 故f (x )分别在(-∞,x 1),(x 2,+∞)是减函数;当x ∈(x 1,x 2)时f'(x )>0,故f (x )在(x 1,x 2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f'(x )=3ax 2+6x+3>0,故当a>0时,f (x )在区间(1,2)是增函数. 当a<0时,f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-54≤a<0. 综上,a 的取值围是[-54,0)∪(0,+∞).22.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文22)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.分析:(1)设出Q 点坐标,利用|QF|=54|PQ|列出关于p 的方程,借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直.因直线l 过F (1,0),可设l 的方程为x=my+1(m ≠0).直线l 方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y 1+y 2,y 1y 2关于m 的表达式,借助弦长公式得|AB|=√x 2+1|y 1-y 2|(其中A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)),同理可得|MN|=√1+1x 2|y 3-y 4|(其中M (x 3,y 3),N (x 4,y 4)).由题目中的A ,M ,B ,N 四点在同一圆上得到关于m 的方程,进而求出m ,得到直线l 的方程. 解:(1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8x.所以|PQ|=8x ,|QF|=x 2+x 0=x 2+8x.由题设得x 2+8x=54×8x,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x.(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ),|AB|=√x 2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).又l'的斜率为-m ,所以l'的方程为x=-1xy+2m 2+3. 将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4x y-4(2m 2+3)=0.设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4x,y 3y 4=-4(2m 2+3).故MN 的中点为E (2x2+2x 2+3,-2x),|MN|=√1+1x 2|y 3-y 4|=4(x 2+1)√2x 2+1x 2.由于MN 垂直平分AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2, 即4(m 2+1)2+(2x +2x)2+(2x2+2)2=4(x 2+1)2(2x 2+1)x 4,化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十次适应性训数学(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十次适应性训练数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列几个式子化简后的结果是纯虚数的是（ ）A ．i i -1B ．2(1)i +C ．4iD ．11i i -+2.已知集合{}(){}23,0,ln 2.x A y y x B x y x x ==>==-则M N ⋂=（ ）A ．()1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞3．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥,且l b ⊥”是“l α⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知命题p 是真命题，命题q 是假命题，那么下列命题中是假命题的是（ ）A ．q ⌝B ．p 或qC ．p 且qD ．p 且q ⌝5．比较sin150,tan 240,cos(120)-三个三角函数值的大小，正确的是（ ） A ．sin150tan 240cos(120)>>- B ．tan 240sin150cos(120)>>- C ．sin150cos(120)tan 240>-> D ．tan 240cos(120)sin150>->6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ）A ．16B ．12+C ．20D ．16+7.点P 在边长为1的正方形ABCD 内部运动，则点P 到此正方形中心点的距离均不超过12的概率为( )A.12B.14C.π4 D ．π8.若实数,x y 满足条件01y xx y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则12()4x y ⋅的最小值是（ ）A ．18B ． 14C ．12 D ．19.已知对于正项数列{}n a 满足(),m n m n a a a m n N *+=⋅∈，若29a =，则3132312log log log a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=（ ）A ． 40B ．66C ．78D ．15610.2a <，则函数()2f x x =-的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11．已知直线x - y +c =0与圆(x - 1)2+y 2=2有且只有一个公共点，那么c =__________.12. 执行右图所示的程序框图，则输出的S 值为 .13．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-=()()，，，满足//p q ，则C ∠= ．14 . 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3-， 则PF；15．选做题（请在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（A ）（不等式选讲）已知函数()51f x x x =-+-，存在实数x ， 使得2()24f x a a ≤-++有解，则实数a 的取值范围为 ;（B ）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C 的方程是4sin ρθ=，过点4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭作曲线C 的切线，则切线长为 ;（C ）(几何证明选讲）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C , 点B 在圆O 上，2,30BC BCD ︒=∠=，则圆O 的面积为 .三．解答题：（本大题共6小题，共75分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江)(一)数学(文科)试卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江）（一）数学(文科)试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高如果事件A , B 互斥, 那么 P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设偶函数满足()24(0),xf x x =-≥则{}()0x f x >=A.{2x x <-或}4x >B.{0x x <或}4x >C.{2x x <-或}2x > D.{0x <或}6x > 2.已知复数z 满足(1)3,z i i i ⋅-=+为虚数单位，则z =C.5D.33.若a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线23(1)30x a y a a +-+-+=互相平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面A.若α∥,,,a b βαβ⊂⊂则a ∥bB.若α⊥,a β∥β，则a α⊥C.若,,a a b a α⊥⊥∥,β则b ∥βD.若α⊥,,,a b βαβ⊥⊥则a b ⊥ 5.已知某几何体的三视图（单位：cmA.1cm 2B.3cm 2C.cm 2D.+cm 26.矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，A 点在地面上，AB =a , BC =b ，AB 与地面成)20(πθθ≤≤角（如图）．则点C 到地面 的距离函数()h θ=A.θθsin cos b a +B.θθcos sin b a +C.|cos sin |θθb a -D.|sin cos |θθb a -7.设12,x x 是函数()(1)xf x a a =>定义域内的两个变量，且12x x <.设122x x m +=，则下列不等式恒成立的是 A.12()()()()f m f x f x f m ->- B.12()()()()f m f x f x f m -<- C.12()()()()f m f x f x f m -=- D.212()()()f x f x f m > 8.若函数32()(,,0)f x ax bx cx d a b c =+++>在R 上是单调函数，则'(1)f b的取值范围为 A.(4,)+∞ B.(2)++∞ C.[4,)+∞ D.[2)++∞9.过椭圆22222(0)x y c a b a b+=>>的右焦点(,0)F c 作圆222x y b +=的切线FQ (Q 为切点)交椭圆于点P ,当点Q 恰为FP 的中点时，椭圆的离心率为C.1210.已知函数ln ,0e()2ln ,ex x f x x x ⎧<≤=⎨->⎩,若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为A.2(1e,1e+e )++ B.21(2e,2+e )e+ C.22+e ) D.1+2e)e2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江）（一）正视图俯视图（第5题图）（第6题图）数学(文科)非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2014高考考试大纲
2014高考考试大纲2014年的高考考试大纲是针对中国普通高中毕业生参加的全国统一考试的指导性文件。
它详细规定了各科目的考试内容、考试形式、题型和分值分布，为考生提供了复习和准备的方向。
语文：语文考试大纲强调了对考生阅读、写作和语言表达能力的考查。
考试内容包括现代文阅读、古诗文阅读、语言知识运用和写作四个部分。
现代文阅读部分要求考生能够理解和分析文章内容，古诗文阅读则考查对古代文学的理解与鉴赏。
语言知识运用部分测试考生对汉语语法、修辞等知识的掌握。
写作部分则要求考生能够根据给定材料或题目，写出符合逻辑、语言流畅的文章。
数学：数学考试大纲分为文科数学和理科数学两部分。
文科数学主要考查基础数学知识，如函数、几何、概率统计等，而理科数学则在此基础上增加了更深入的数学内容，如微积分、线性代数等。
考试形式包括选择题、填空题和解答题，旨在考查学生的数学思维和解题能力。
英语：英语考试大纲注重考生的听说读写能力。
考试内容涵盖词汇、语法、阅读理解、写作和听力。
阅读理解部分要求考生能够理解不同文体的文章，并从中提取信息。
写作部分则考查考生的英语表达能力，要求考生能够根据给定的题目或材料，写出结构清晰、语言准确的短文。
文科综合：文科综合考试包括政治、历史、地理三个学科。
考试大纲要求考生对这三个学科的基础知识有全面的了解，并能够运用这些知识分析和解决实际问题。
考试形式可能包括选择题、填空题、简答题和论述题。
理科综合：理科综合考试包括物理、化学、生物三个学科。
考试大纲强调对基础科学原理和概念的理解，以及科学探究和实验技能的掌握。
考试形式多样，旨在考查学生的科学思维和实验操作能力。
考试形式与分值：高考考试通常为闭卷考试，考试时间一般为两天。
语文、数学和英语各科满分为150分，文科或理科综合满分为300分。
考试形式可能包括选择题、填空题、简答题、论述题和作文等。
复习建议：考生在复习时应该注重基础知识的掌握，同时加强练习，提高解题速度和准确率。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3 （2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11 5.下列函数为奇函数的是（ ） A.x x212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是 “B A sin sin ≤”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*； 则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分 16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ- 17（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.18（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1） 证明：CF ⊥平面MDF （2） 求三棱锥M-CDE 的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。
2014年普通高等学校全国统一招生考试(浙江卷)数学(文史类)(模拟试题)
1 3
C．
2 3
D．
3 4
4． “ a 0 ， b 0 ”是“ A．充分不必要条件 C．充要条件 5．若椭圆 C ： A． 30
ab ab ”的 2
B．必要不充分条件 D．既不充也不必要条件
x2 y 2 1 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 在 C 上，且 PF1 4 ，则 F1 PF2 9 2
2 ,sin B 5 cos C 。 3
2 ，求 ABC 的面积。
19．（本题满分 14 分） 在数列 {an } 中， a2 n q n , a2 n 1 d (n 1), (n N *) ，且前 n 项和为 S n ，若 a5 S 2 8 ． (1) 求实数 q, d ； (2) 求数列 {an } 的前 n 项和为 S n ．
16．已知函数 f ( x) x | x a |, 若对任意的 x1 , x2 2, ，且
x1 x2 , ( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为
．
17． 若任意 x A, 则
1 1 1 A, 就称 A 是“和谐”集合.则在集合 M {1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的 x 3 2
log 3 x, x 0 2 , x 0
x
，则 f ( f ( ))
1 9
．
13．一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体 的体积是 cm3． 14．已知 a b a 2b 1 ，则 2a b
2
．
15. 抛物线 y x 上的点到直线 4 x 3 y 8 0 距离的最小 值是 ．
【精校】2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲版)数学理
2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲版）数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.设z=，则z的共轭复数为( )A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i解析：∵z==，∴.答案：D.2.设集合M={x|x2-3x-4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=( )A. (0，4]B. [0，4)C. [-1，0)D. (-1，0]解析：由x2-3x-4＜0，得-1＜x＜4，∴M={x|x2-3x-4＜0}={x|-1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|-1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4).答案：B.3.设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则( )A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. c＞a＞b解析：由诱导公式可得b=cos55°=cos(90°-35°)=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a答案：C4.若向量、满足：||=1，(+)⊥，(2+)⊥，则||=( )A. 2B.C. 1D.解析：由题意可得，(+)•=+=1+=0，∴=-1；(2+)•=2+=-2+=0，∴b2=2，则||=，答案：B.5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种解析：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；答案：C.6.已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A. +=1B. +y2=1C. +=1D. +=1解析：∵△AF1B的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1.答案：A.7.曲线y=xe x-1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 1解析：函数的导数为f′(x)=e x-1+xe x-1=(1+x)e x-1，当x=1时，f′(1)=2，即曲线y=xe x-1在点(1，1)处切线的斜率k=f′(1)=2，答案：C.8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.B. 16πC. 9πD.解析：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=(4-R)2+()2，∴R=，∴球的表面积为4π•()2=.答案：A.9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=( )A.B.C.D.解析：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|-|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===，答案：A.10.等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3解析：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4·a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg(a1·a2…a8)=lg(a4·a5)4=4lg(a4·a5)=4lg10=4答案：C11.已知二面角α-l-β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AB⊥l，∴∠BAE=60°，又∠ACD=135°，∴∠EAF=45°，在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===.答案：B.12.函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，则y=f(x)的反函数是( )A. y=g(x)B. y=g(-x)C. y=-g(x)D. y=-g(-x)解析：设P(x，y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′(y，x)一点在y=f(x)的图象上，又∵函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，∴P′(y，x)关于直线x+y=0的对称点P″(-x，-y)在y=g(x)图象上，∴必有-y=g(-x)，即y=-g(-x)∴y=f(x)的反函数为：y=-g(-x)答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)解析：的展开式的通项公式为 T r+1=·(-1)r•·=·(-1)r··，令 8-=-4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，答案：70.14.设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为.解析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C(1，1).化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得. 由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大.此时z max=1+4×1=5.答案：5.15.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于.解析：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A(1，3)在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，答案：.16.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(，)是减函数，则a的取值范围是. 解析：由f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=-2t2+at+1.∵x∈(，)时f(x)为减函数，则y=-2t2+at+1在t∈(，1)上为减函数，∵y=-2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=.∴，解得：a≤2.∴a的取值范围是(-∞，2].答案：(-∞，2].三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B.解析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)即可得出.答案：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=.∴tanB=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=-1，∵B∈(0，π)，∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公18.(12分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4.(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=，求数列{b n}的前n项和T n.解析：(Ⅰ)由题意得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=-3，即可写出通项公式；(Ⅱ)利用裂项相消法求数列和即可.答案：(Ⅰ)由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得-≤d≤-，∴d=-3，∴{a n}的通项公式为a n=13-3n.(Ⅱ)∵b n==(-)，∴T n=b1+b2+…+b n=(-+-+…+-)=(-)=.19.(12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.解析：(Ⅰ)由已知数据结合三垂线定理可得；(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，解三角形由反三角函数可得. 答案：(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，由三垂线定理可得AC1⊥A1B；(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，由三垂线定理可得A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1-AB-C的大小为arctan20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解析：记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)P(D)=P()，代入计算即可，(Ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可.答案：记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)D=，P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i)=所以P(D)=P()=P(A1·B·C)+P(A2•B)+P()=0.31 (Ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，4=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25P(X=4)=P(A2•B•C)=0.52×0.6×0.4=0.06，P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.21.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.解析：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0，4)，把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为 x=my+1 (m≠0)，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，求得m的值，可得直线l的方程.答案：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0，4)，把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px(p＞0)，可得x0=，∵点P(0，4)，∴|PQ|=.又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=-2(舍去).故C的方程为 y2=4x.(Ⅱ)由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为 x=my+1 (m≠0)，代入抛物线方程可得y2-4my-4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=-4.∴AB的中点坐标为D(2m2+1，2m)，弦长|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-y+2m2+3.过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y-4(2m2+3)=0，∴y3+y4=，y3•y4=-4(2m2+3).故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3，)，∴|MN|=|y3-y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4(m2+1)2++=，化简可得 m2-1=0，∴m=±1∴直线l的方程为 x-y-1=0，或 x-+y-1=0.22.(12分)函数f(x)=ln(x+1)-(a＞1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1=1，a n+1=ln(a n+1)，证明：＜a n≤.解析：(Ⅰ)求函数的导数，通过讨论a的取值服务，即可得到f(x)的单调性；(Ⅱ)利用数学归纳法即可证明不等式.答案：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=，①当1＜a＜2时，若x∈(-1，a2-2a)，则f′(x)＞0，此时函数f(x)在(-1，a2-2a)上是增函数，若x∈(a2-2a，0)，则f′(x)＜0，此时函数f(x)在(a2-2a，0)上是减函数，②当a=2时，f′(x)＞0，此时函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，③当a＞2时，若x∈(-1，0)，则f′(x)＞0，此时函数f(x)在(-1，0)上是增函数，若x∈(0，a2-2a)，则f′(x)＜0，此时函数f(x)在(0，a2-2a)上是减函数，若x∈(a2-2a，+∞)，则f′(x)＞0，此时函数f(x)在(a2-2a，+∞)上是增函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a=2时，此时函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)＞f(0)=0，即f(x+1)＞，(x＞0)，又由(Ⅰ)知，当a=3时，f(x)在(0，3)上是减函数，当x∈(0，3)时，f(x)＜f(0)=0，f(x+1)＞，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立.②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln(a n+1)＞ln()，a n+1=ln(a n+1)＜ln()，即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2014年成人高等学校招生全国统一数学考试及答案
绝密★启用前2014年成人高等学校招生全国统一考试数 学（文史财经类）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点．．．．．．．．．．．上。
（1）设集合M =﹛x ︱-1≤x ＜2﹜，N=﹛x ︱x ≤1﹜，则集合M ∩N =（ ）（A ）﹛x ︱x ＞-1﹜ （B ）﹛x ︱x ＞1﹜（C ）﹛x ︱-1≤x ≤1﹜ （D ）﹛x ︱1≤x ≤2﹜（2）函数15y x =-的定义域为（ ） （A ）（-∞，5） （B ）（-∞，+∞）（C ）（5，+∞） （D ）（-∞，5）∪（5，+∞）（3）函数y =2sin6x 的最小正周期为（ ）（A ）3π （B ）2π （C ）2π （D ）3π （4）下列函数为奇函数的是（ ） （A ）2log y x = （B ）sin y x = （C ）2y x = （D ）3x y =（5）抛物线23y x =的准线方程为（ ）（A ）32x =- （B ）34x =- （C ）12x = （D ）34x = （6）已知一次函数2y x b =+的图像经过点（-2,1），则该图像也经过点（ ）（A ）（1，-3） （B ）（1，-1） （C ）（1,7） （D ）（1,5）（7）若a ，b ，c 为实数，且a ≠0，设甲：24b ac -≥0，乙：20ax bx c ++=有实数根，则（ ）(A) 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件(B) 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件(C) 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(D) 甲是乙的充分必要条件（8）二次函数22y x x =+-的图像与x 轴的交点坐标为（ ）（A ）（-2, 0）和（1，0） （B ）（-2, 0）和（-1，0）（C ）（2, 0）和（1，0） （D ）（2, 0）和（-1，0）（9）不等式3x -＞2的解集为（ ）（Ａ）{1}x x < （Ｂ）{5}x x >（Ｃ）{51}x x x ><或 （Ｄ）{15}x x << （10）已知圆2248110x y x y ++-+=，经过点P （1,0）作该圆的切线，切点为Q ，则线段PQ 的长为（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）16（11）已知平面向量a =（1,1），b =（1，-1），则两向量的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （12）若0＜lg a ＜lg b ＜2，则（ ）（A ）0＜a ＜b ＜1 （B ）0＜b ＜a ＜1（C ）1＜b ＜a ＜100 （D ）1＜a ＜b ＜100（13）设函数1()x f x x+=，则(1)f x -=（ ） （A ）1x x + （B ）1x x - （C ）11x + （D ）11x - （14）设两个正数a ，b 满足a +b =20，则a b 的最大值为（ ）（A ）400 （B ）200 （C ）100 （D ）50（15）将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书恰好在两端的概率为（ ）（A ）110 （B ）114 （C ）120 （D ）121（16）在等腰三角形ABC 中，A 是顶角，且cosA= 12-，则cosB=（ ）（A ）2 （B ）12 （C ）12- （D ）2- （17）从1,2,3,4,5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有（ ）（A ）80个 （B ）60个 （C ）40个 （D ）30个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,小题部分,解析版)
2014年高考北京卷数学（文）卷小题解析（精编版）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x =C.ln y x =D.y x = 【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大. 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都则最短交货期为工作日【答案】42++=天. 【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解
2014天津文第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2． 故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>．所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-，所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==，焦距2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥≥=，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解．因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P B D A D P P C C B D AP CD P +=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]213(25)13(DP -+=-+=+λλ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB的F中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=≥， 所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题(文科)解析版
2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合，则中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角的终边经过点，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.不等式组的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==MN α(4,3)-cos α=453535-45-(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩{|21}x x -<<-{|10}x x -<<{|01}x x <<{|1}x x>1661335.函数的反函数是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知为单位向量，其夹角为，则（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列的前n 项和为，若则（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．641)(1)y x =>-3(1)(1)x y e x =->-3(1)(1)xy e x =->-3(1)()x y e x R =-∈3(1)()xy e x R =-∈a b 、60(2)a b b -∙={}n a n S 243,15,S S ==6S =9. 已知椭圆C ：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C 于A 、B 两点，若的周长为C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A．B ．C ．D ．11.双曲线C ：的离心率为2，则C的焦距等于（）A ．2B ．C ．4D ．22221x y a b+=(0)a b >>1F 2F 32F l 1AF B ∆22132x y +=2213x y +=221128x y +=221124x y +=814π16π9π274π22221(0,0)x y a b a b-=>>12.奇函数的定义域为R ，若为偶函数，且，则（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为 .（用数字作答）14.函数的最大值为 .()f x (2)f x +(1)1f =(8)(9)f f +=6(2)x -3x cos 22sin y x x =+15. 设x 、y 满足约束条件，则的最大值为 .16. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.解：（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.（18）（本小题满分10分）02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩4z x y =+1l 2l 222x y +=1l 2l 1l 2l 111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=，所以cosC=2sinC.tanC=.所以tanB=tan[180-(A+C)]=-tan(a+c)==-1,即B=135.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1，求二面角A1-AB-C的大小.解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A1，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1131312︒tan tan1tan tanA CA C+--︒︒⊂⊂作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F,由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平面角，由,得D 为AC 的中点，DF=,tan ∠A 1FD=,所以二面角A 1-AB-C的大小为解法二：以C为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ，由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内. （1）设A 1（a ，0，c ），由题设有a ≤2，A （2,0,0）B （0,1,0），则(-2，1，0),，，由，即，于是①,所以.（2）设平面BCC 1B 1的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x -c z =0，令x =c ，则z =2-a ，，点A到平面BCC 1B 1的距离为，又依题设，点A 到平面BCC 1B 1的距c=.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，设平面ABA 1的法向量，则,即.且-2p +q =0，令p，则q，r=1，，又为1=12AC BC AB ⨯⨯=1A DDF=AF =1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-12AA =2=2240a a c -+=11AC BA ⋅=2240a a c -+=11AC BA ⊥(,,)m x y z =m CB ⊥1,m CB m BB ⊥⊥10,0m CB m BB ⋅=⋅=11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-(,0,2)m c a =-cos ,CA m CA m CA c mc ⋅⋅<>===1(1AA =-(,,)n p q r =1,n AA n AB ⊥⊥10,0n AA n AB ⋅=⋅=0p -=(3,2n =(0,0,1)p =平面ABC 的法向量，故cos ，所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i=0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2··CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i )=.所以P(D)=P(A 1·B ·C+A 2·B+A 2··C )= P(A 1·B ·C)+P(A 2·B)+P(A 2··C ) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p ()·p (C )=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B ·C ·A 2,P(E)=P(B ·C ·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06； 若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21. （本小题满分12分）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（1），的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1，则，且当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.1,4n p n p n p⋅<>==14B 220.5,0,1,2i C i ⨯=B B B 2()363f x ax x '=++2()3630f x ax x '=++=()0f x '≥()0f x '=（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，有两个根：， 若0<a<1,则当x ∈（－，x 2）或x ∈（x 1，+）时，，故f （x ）在（－，x 2），（x 1，+）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x >0时, ，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得. 综上，a 的取值范围是. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.解：（1）设Q （x 0，4），代入由中得x 0=， 所以，由题设得，解得p =－2（舍去）或p =2.所以C 的方程为.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为，（m ≠0）代入中得，()0f x '=12x x ==∞∞()0f x '>∞∞()0f x '<()0f x '>(1)0f '≥(2)0f '≥504a -≤<5[,0)(0,)4-+∞22(0)y px p =>54QF PQ =l '22(0)y px p =>8p088,22p p PQ QF x p p ==+=+85824p p p+=⨯24y x =1x my =+24y x =2440y my --=设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4， 故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），，有直线的斜率为－m ，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则. 故MN的中点为E（）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得 m 2-1=0，解得m =1或m =－1，所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=02124(1)AB y m =-=+l 'l '2123x y m m=-++24y x =2244(23)0y y m m+-+=234344,4(23)y y y y m m+=-=-+23422223,),m MN y y m m ++-=-=12AE BE MN ==2221144AB DE MN +=222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m+++++++=。
2014考试大纲-数学文
2014年普通高等学校全国统一考试大纲数学（文科）I.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试内容根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容.数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养. 数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能.一、考核目标与要求1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.(1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.(2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判断，初步应用等.(3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.(1)空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.（2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断.(3)推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.(4)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形和几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.(5)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.(6)应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.(7) 创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越高.3. 个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观. 要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以事实求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.4. 考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构.(1)对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意迫求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度. (2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度.(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.对能力的考查要全面，强调综合性、应用性，并要切合考生实际.对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力.（4）对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经验，使教学应用问题的难度符合考生的水平.（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求.二、考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分.必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题.（一）必考内容与要求1.集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. （2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集和交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.2．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函致、幂函数)（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.(3)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数：了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.③知道对数函数是一类重要的函数模型 .④了解指数函y =a x 与对函数y =log a x 互为反函数（a >0，且a ≠1）.（4）幂函数①了解幂函数的概念 . ②结合函数2132,1,,,x y x y x y x y x y =====的图像，了解它们的变化情况 .(5)函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 .②根据其体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解 .(6)函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长，对增长等不同函数类型增长的含义 .②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用 .3.立体几何初步①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构 .②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求).⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.(2)点、直线、平面之间的位置关系.①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 .●公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 .●公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 .●公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .●公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.●定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 .理解以下判定定理.●如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.●如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.●如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.●如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.●如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.●如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.●垂直于同一个平面的两条直线平行.●如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平而垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.5.算法初步(1)算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想.②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.(2)基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.统计(1)随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法让从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法 .(2)用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差)，并给出合理的解释 . ④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想 .⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.(3)变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.7.概率(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的不稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.(2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义 .8.基本初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念 .②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.(2）三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出απααπ±±,的正弦、余弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图像，了解三角函数的周期性 . ③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性 . ④理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x = .⑤了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义；能画出y=A sin (ωx+φ)的图像，了解参数A、ω、φ对函数图像变化的影响.⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.9.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.10.三角恒等变换(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).11.解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与侧量和几何计算有关的实际问题 .12.数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） . ②了解数列是自变量为正整数的一类函数 .(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式 .③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 .13.不等式(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 .(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 .②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 .②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 . ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.(4)基本不等式：)0,(2≥≥+b a ab b a ①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 .14.常用逻辑用语(1)命题及其关系①理解命题的概念 .②了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与你否命题，会分析四种命题的相互关系 .③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.(2)简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义 .(3)全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义 .②能正确地对含有一个量词的命题进行否定 .15.圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. ④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.16.导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景 .②理解导数的几何意义.(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y =C (C 为常数)，y =x ，y =2x ，y =1x的导数 . ②能利用下面给出的基本初等函效的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.●常见基本初等函数的导数公式：'()C =0（C 为常数）；'()n x =n 1n x -，n ∈N *；'(sin )x =cos x ；'(cos )x =-sin x ；'(e )x =e x ；'()x a =x a ln a (a >0，且a ≠1)；'(ln )x =1x ；'(log )a x =1log a e x（a >0，且a ≠1） . ●常用的导数运算法则：法则1：[])(')('')()(x v x u x v x u ±=± .法则2：[]''()()()()()u x v x u x v x u x =+'().v x法则3：''''()()()()()(()0).()()u x v x u x v x u x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ (3)导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次） .（4）生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 .17.统计案例。
2014年高考(大纲全国)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲全国文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014大纲全国，文1)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()．A．2 B．3 C．5 D．7答案：B解析：∵M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{1,2,6}，∴M∩N中元素的个数为3，故选B.2．(2014大纲全国，文2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()．A．45B．35C．35-D．45-答案：D解析：设角α的终边上点(－4,3)到原点O的距离为r，则5r==，∴由余弦函数的定义，得4cos5xrα==-，故选D.3．(2014大纲全国，文3)不等式组(2)01x xx>⎧⎪⎨<⎪⎩+，的解集为()．A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}答案：C解析：(2)01,x xx>⎧⎪⎨<⎪⎩+，①②由①得，x＜－2或x＞0，由②得，－1＜x＜1，因此原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.4．(2014大纲全国，文4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()．A．16B．6C．13D．3答案：B解析：如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EF∥BD，∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF.由题知，△ABC ，△ADC 为正三角形，设AB ＝2，则C E C F ==112EF BD ==. ∴在△CEF 中，由余弦定理，得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅＝，故选B.5．(2014大纲全国，文5)函数1)(1)y x =>-的反函数是( )．A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1)B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1)C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R )D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R ) 答案：D解析：由1)y =，得e 1y1y-，x ＝(e y －1)3， ∴f －1(x )＝(e x －1)3.∵x ＞－1，∴y ∈R ，即反函数的定义域为R . ∴反函数为y ＝(e x －1)3(x ∈R )，故选D.6．(2014大纲全国，文6)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B解析：由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2 ＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.7．(2014大纲全国，文7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )．A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 答案：C解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521⨯⋅=⨯=⨯种选法，选C. 8．(2014大纲全国，文8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )． A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案：C解析：∵S 2＝3，S 4＝15，∴由等比数列前n 项和的性质，得 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63，故选C.9．(2014大纲全国，文9)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为则C 的方程为( )．A ．22=132x y +B ．22=13x y + C ．22=1128x y + D ．22=1124x y + 答案：A解析：∵2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的离心率为3，∴c a =，∴::a b c =又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为∴4a =，∴a =∴b =22=132x y +，选A. 10．(2014大纲全国，文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )．A ．81π4 B ．16π C ．9π D ．27π4答案：A解析：由图知，R 2＝(4－R )2＋2，∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴94R =， ∴281814π4ππ164S R ⨯=表==，选A. 11．(2014大纲全国，文11)双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到C 的焦距等于( )．A ．2B ．C ．4D ．答案：C解析：∵e ＝2，∴2ca=.设焦点F 2(c,0)到渐近线by x a= 渐近线方程为bx －ay ＝0，=∵c2＝a2＋b2，∴b=由2ca=2=，∴2243cc=-，解得c＝2.∴焦距2c＝4，故选C.12．(2014大纲全国，文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()．A．－2 B．－1 C．0 D．1答案：D解析：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．∴f[(x＋2)＋2]＝f(－x－2＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－f(x)．∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－(－f(x))＝f(x)．∴f(x)是以8为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)＝0，f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.∴f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2014大纲全国，文13)(x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答) 答案：－160解析：由通项公式得363333466C(2)8CT x x-=-=-，故展开式中x3的系数为366548C8160321⨯⨯=⨯=-⨯⨯--.14．(2014大纲全国，文14)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．答案：32解析：∵y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝2132sin22x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当1sin2x=时，max32y=.15．(2014大纲全国，文15)设x，y满足约束条件2321x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，，，则z＝x＋4y的最大值为________．答案：5解析：画出x，y的可行域如图阴影区域．由z ＝x ＋4y ，得144z y x =-+. 先画出直线14y x =-，再平移直线14y x =-， 当经过点B (1,1)时，z ＝x ＋4y 取得最大值为5.16．(2014大纲全国，文16)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．答案：43解析：如图所示，设l与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点B ，l 2与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点C，则OB ，OA =，AB =∴1tan 2OB AB α===. ∴2122tan 42tan tan 211tan 314BAC ααα⨯∠====--. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2014大纲全国，文17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式． (1)可用定义证明b n ＋1－b n ＝2(常数)即可．(2)利用(1)的结果，求出{b n }的通项公式及a n ＋1－a n 的表达式，再用累加法可求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.18．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B . 分析：先由已知及正弦定理，将边的关系转化为角的关系， 再由同角三角函数基本关系化弦为切，求出tan C .根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B ，即可求角B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为1tan 3A =，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝tan tan tan tan 1A CA C +-＝－1， 即B ＝135°.19．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1A 1－AB －C 的大小．分析：解法一：(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，再由面面垂直证线面垂直，利用三垂线定理即得线线垂直．(2)为利用已知，先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E .再由三垂线定理，确定二面角A 1－AB －C 的平面角为∠A 1FD .最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值，即可得出二面角的大小．解法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识求解．(1)设出A 1点坐标，确定点及向量坐标，利用数量积为0，证明线线垂直． (2)设法向量，由已知垂直关系，确定坐标．利用向量夹角公式求二面角大小．解法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ， 故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连结A 1C .因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，1A E =.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故11A D A E ==作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F . 由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1－AB －C 的平面角．由1AD ==得D 为AC 中点，125AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan A D A FD DF ∠==所以二面角A 1－AB －C 的大小为arctan 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a,0，c )，由题设有a ≤2，A (2,0,0)，B (0，1,0)， 则(2,1,0)AB =-，(2,0,0)AC =-，1(2,0)AA a c =-，，11(4,0)AC AC AA a c =+=-，，1(1)BA a c =-，，．由|12AA =2=，即a 2－4a ＋c 2＝0. ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则CB ⊥m ，1BB ⊥m ， 即0CB ⋅=m ，10BB ⋅=m .因()0,1,0CB =，11(2,0)BB AA a c ==-，， 故y ＝0，且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a，m ＝(c,0,2－a )，点A 到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA CA CA c ⋅⋅===〈〉m m m.又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c =代入①解得a ＝3(舍去)或a ＝1. 于是1(AA=-．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则1AA ⊥n ，AB⊥n ， 即10AA ⋅=n ，0AB ⋅=n ，0p -=，且－2p ＋q ＝0.令p =q =r ＝1，n =． 又p ＝(0,0,1)为平面ABC 的法向量，故1cos||||4⋅==〈，〉n p n p n p .所以二面角A 1－AB －C 的大小为1arccos4. 20．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥与独立事件的概率可求． (2)由(1)分析k 的可能取值情况，比较即得结果．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E 表示事件：同一工作日4人需使用设备，F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()22C 0.5ii P A ⨯＝，i ＝0,1,2，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅＝()()122()P A B C P A B P A B C ⋅⋅⋅⋅⋅++＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1. 又E ＝B ·C ·A 2， P (E )＝P (B ·C ·A 2) ＝P (B )P (C )P (A 2) ＝0.06.若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1. 所以k 的最小值为3.21．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文21)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．分析：(1)由于导函数的判别式含参数a ，因此要根据导数值的正负判断单调性，需对a 进行分类讨论．当判别式为正时，导函数有两根，为比较两根的大小，需对a 进行二重讨论．(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式，注意对a ＞0或a ＜0进行讨论． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根：11x a-+=，21x a --=.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数； 若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )＜0， 故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1,2)是增函数． 当a ＜0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∪(0，＋∞)． 22．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文22)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．分析：(1)设出Q 点坐标，利用54QF PQ =列出关于p 的方程，借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p .(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直．因直线l 过F (1,0)，可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．直线l 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1＋y 2，y 1y 2关于m 的表达式，借助弦长公式得12|||AB y y =-(其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，同理可得34|||MN y y =-(其中M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4))． 由题目中的A ，M ，B ，N 四点在同一圆上得到关于m 的方程，进而求出m ，得到直线l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得08x p=. 所以8||PQ p =，08||22p p QF x p =+=+.由题设得85824p p p+=⨯，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，212|||4(1)AB y y m =-=+．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则344y y m +=-，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为222223,E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，23424(|||m MN y y m+=-=. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211||||||44AB DE MN +=， 即2222222242241214(1)22m m m m m m m (+)(+)⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学模拟试题
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．()2,6D ．[)2,62. 四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不．正确．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④ 3．已知)2 , 1(-=a ，52||=b ，且b a //，则=bA ．)4 , 2(-B ．)4 , 2(-C ．)4 , 2(-或)4 , 2(-D ．)8 , 4(-4．a 、R b ∈，“b a ≠”是“ab b a 222>+”成立的 A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件 5．某几何体的三视图如图1所示，则该几何的体积为A. 168π+B. 88π+C. 1616π+D. 816π+ 6．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如图2所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为A ．4B ．8C ．11D ．137．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A B C D 9．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤ 且02OP OB ≤⋅≤ ，则点P 到点C 的距离大于14的概率为（ ）A ．5164π-B ．564πC ．116π-D ．16π10．（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]- 二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ） （一）必做题（11-13题）11．函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷)数学(文)试题(一) Word版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东模拟卷）数学（文科）试题参考答案及评分标准本试卷共5页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 用最小二乘法求线性回归方程：()()()1122211.nniiiii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑，一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【原创题】已知集合{}{}210,230A x x B y y y =->=+->，则AB =A ．()1+∞，B ．()(),31-∞-+∞，C. ()1-∞， D ．()3-∞-， 【命题意图：考查解简单不等式、集合运算等知识】2．【原创题】已知i 是虚数单位，则31i +=A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【命题意图：考查复数的化简】3．【原创题】函数()()()()1,0,00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则(){}1f f f -=⎡⎤⎣⎦A ．0B ．πC ．1π+D ．1 【命题意图：考查分段函数求值】 4．【原创题】若()=1,3a ，()=2,x b ，且1a b = ，则x = A ．0 B ．13 C ．1 D ．13- 【命题意图：考查向量及向量的数量积运算】5．【原创题】直线0x y -=截圆222210x y x y +--+=所得弦长为 A ．2 B ．1 C． D【命题意图：考查直线与圆的综合应用】6．【原创题】如果执行图1的程序框图，那么输出的S 是A ．6B ．24C ．120D ．720 【命题意图：考查程序框图】7．【原创题】已知某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是 A ．9 B ．172 C ．112D ．1【命题意图：考查空间几何体的三视图、求表面积等知识】8．【原创题】设标量x ，y 满足约束条件,1,2,y x y x x k ≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩且目标函数2z x y =-的最大值为4，则k =A ．4B ．43 C ．2 D ．83【命题意图：考查直线、线性规划求最优解等知识】9．【改编题】设ABC ∆的内角A BC 、、所对的边分别是a b c 、、，若c o s c o s s i n a B b A c C +=，则ABC ∆的形状为A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【命题意图：考查正弦定理、三角函数的诱导公式等知识】10．【原创题】已知方程()log 0,0,1a x b a a -=>≠有且只有二个解，则A ．=1bB ．=0bC ．1b >D ．0b >【命题意图：考查函数思想与数形结合思想的应用】二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．【原创题】设32παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3tan 4α=，则sin α= ． 【命题意图：考查同角异名三角函数求值】12．【原创题】某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据表如下表：根据上表得回归直线方程=9.4y x a +，据此模型预报广告费用为6万元的销售额为：_________万元.【命题意图：考查回归直线系数的计算，并能对回归直线方程进行简单应用】13．【原创题】已知数列{}n a ，满足113,21n n a a a +==+，则9=a ． 【命题意图：考查递推数列】（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．【原创题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=-的圆心O 到直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离为 ． 【命题意图：考查极坐标系、直线、圆、点到直线的距离等知识】15．【原创题】（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，AD DE =,10AB =,8BD =,则DC = ． 【命题意图：考查圆周角定理、相似三角形的性质等知识】三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．【原创题】（本小题满分12分）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅． （1）求()f x 最小正周期及最值；（2）若2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值.【命题意图：考查三角函数的化简、三角函数的周期性与最值、同角三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力】 17．【原创题】（本小题满分12分）为了解某地区用电高峰期居民的用电量，抽取一个容量为200的样本，记录某天各户居民的用电量（单位：度），制成频率分布直方图，如图4. （1） 求样本数据落在区间[10,12]内的频数；（2） 若打算从[4,6)和[6,8)这两组中按分层抽样抽取4户居民作进一步了解，问各组分别抽取多少人？（3） 在（2）的基础上，为答谢上述4户居民的参与配合，从中再随机选取2户居民发放奖品，求这2户居民来不同组的概率是多少？【命题意图：考查统计、分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识】 18．【原创题】（本小题满分14分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，ABCD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥.E 和F 分别是CD 和PC 的中点.（1）求证：PA ⊥底面ABCD ;（2）求证：BE平面PAD ;（3）若2PA =,1AB =,3AD =,求三棱锥B EFC -的体积．【命题意图：考查空间线面关系、求几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力】19．【原创题】本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n S n ,*n ∈N ，数列{}n b 满足：2n n n b a =⋅，且{}n b 的前n项和记为n T ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）证明：对任意*n ∈N ，2n T ≥恒成立.【命题意图：考查等差数列、错位相减法求数列的前n 项和、不等式、恒成立等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识】20．【改编题】（本小题满分14分）已知直线:1l x my =+过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴与点M ，且1M A AF λ=,2MB BF λ=,当m 变化时，12λλ+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【命题意图：考查直线、椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力】21．【改编题】（本小题满分14分）已知函数()()3221132a f x x a x ax =+--． （1）若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为820x y +-=，求a 的值； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值；（3）若=1a 时，存在实数m ，使得方程()f x m =恰好有三个不同的解，求m 的取值范围.【命题意图：考查函数的导数、曲线的切线方程、函数的极值、函数的单调性、函数的图象等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识】2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东模拟卷）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分）（本小题主要考查三角函数的化简、三角函数的周期性与最值、同角三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）1()cos 2cos =2sin 2cos 2=2sin 226f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …3分所以2=2T ππ=．…………………………………………………………………………………………4分 ()max 2f x =⎡⎤⎣⎦;()min 2f x =-⎡⎤⎣⎦.………………………………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin 2=26f παα⎛⎫=--⎪⎝⎭， 得：sin 2=16πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即32=2,62k k Z ππαπ-+∈．得：5=,6k k Z παπ+∈…………………8分又因为2παπ<<，所以5=6πα.………………………………………………………………………10分 577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分）（本小题主要考查统计、分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）解：（1）数据落在区间[10,12]的频率为：()10.0220.0520.1520.192=0.18-⨯+⨯+⨯+⨯……2分数据落在区间[10,12]的频数为：2000.18=36⨯ 人. …………………………………………………4分 （2）数据落在区间[4,6）的频数为：2000.052=20⨯⨯人； 数据落在区间[6,8）的频数为：2000.152=60⨯⨯人.二组频数之比为1:3，……………………………………………………………………………………6分故：从用电量在区间[4,6）度中抽取的人数为：14=14⨯人； (7)分从用电量在区间[6,8）度中抽取的人数为：34=34⨯人；……………………………………………8分（3）记“这2户居民来自不同组”为事件A ，用电量在区间[6,8）度中的3人编号为：1、2、3用电量在区间[4,6）度中的1人编号为：a ………………………………………………………9分则从4户居民中依次随机抽取2户的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,a ，()2,3，()2,a ，()3,a 共6种. ………………………………………………………………………………………10分事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()2,a ，()3,a ，共3种. ………………………………………………………………11分则31()62P B ==． 所以从4户居民中随机抽取2户，抽到的2户居民来自不同组的概率为12．………………12分18．（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：PAD ABCD ⊥面面,且=PAD ABCD AD 面面又PA AD ⊥PA ABCD ∴⊥面………………………………………………………………………………………4分（2）证明：由已知得：AB DE ,ABCD ∴四边形为平行四边形.………………………………6分BE AD ∴，又AD PAD ⊂面，BE PAD ⊄面BE PAD ∴面……………………………………………………………………………………………8分（3）解：B EFC F BEC V V --=，且点F 到平面A B C D的距离等于PA 的一半. ………………………10分1131=13322B EFC F BEC BEC V V S h --=⨯=⨯⨯=.故几何体ABFED 的体积为12．………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、错位相减法求数列的前n 项和、不等式、恒成立等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）当1n =时，111a S ==；…………………………………………………………………2分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-.…………………………………………4分21n a n ∴=-，*n N ∈ ………………………………………………………………………………6分()212n n b n ∴=-⋅，*n N ∈…………………………………………………………………………8分（2）123n n T b b b b =++++即()123123252212n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅------------○1 ○1⨯2：2()2341123252212n nT n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ -----------------○2 ○1-○2：()12312222222212n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-- ()()123122222212n n n +=+++⋅⋅⋅+--()()114122221212n n n -+-=+---()6426nn =--……………………………………………………………………………12分()4626n n T n ∴=-+n T 随着n 的增大而增大，12n T T ∴≥=,2n T ∴≥，对任意n N *∈恒成立. …………………………………………………………………………14分20．（本小题满分）（本小题主要考查直线、椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：因直线:1l x my =+过椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的右焦点F ，令0y =得1x =，所以()1,0F ，即1c =，又抛物线的焦点坐标为()0,3，，所以b =………………………………………1分由222a b c =+得：24a =，…………………………………………………………………………………2分所以椭圆C 的方程为：22143x y += ………………………………………………………………………4分 （2）证明：由题意知0m ≠，且直线l 交y 轴于点10M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，………………………………………5分设直线l 交椭圆于点()11,A x y ，()22,B x y .联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690my my ++-=.所以()()()222=6363414410m m m ++=+>，由根与系数的关系知：122634m y y m +=-+，122934y y m ⋅=-+.………………………………………………………………9分 又由1MA AF λ=得()111111,1,x y x y m λ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，所以111=1my λ--， 同理，221=1my λ--，所以1212111=2m y y λλ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭…………………………………………11分因为1222121211692===34343y y m my y y y m m +⎛⎫+-⋅- ⎪⋅++⎝⎭，…………………………………………12分 所以1212111=2m y y λλ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭=12128=233m m λλ+--=-. 即当m 变化时，12λλ+为定值83-.…………………………………………………………………14分21．（本小题满分）（本小题主要考查函数的导数、曲线的切线方程、函数的极值、函数的单调性、函数的图象等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为()()221f x ax a x a '=+--由题意可得()()211=8f a a a '=+---，2=9a ，解得=3a ±.………………………………………2分当=3a 时，()3243f x x x x =--，()16f =-，()2383f x x x '=+--，()18f '=-，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()681y x +=--.即820x y +-=； 当=3a -时，()3243f x x x x =--+，()12f =-，切点为()1,2-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()281y x +=--.即860x y +-=不合题意舍去.综上，=3a .……………………………………………………………………………………………………4分（2）()()221f x ax a x a '=+--=()()1x a ax -+=()1a x a x a ⎛⎫-+⎪⎝⎭.……………………………5分分二种情况讨论：当0a >时，令()0f x '=，解得11x a=-，2x a =.当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数. ……………6分 函数()f x 在2x a=处取得极小值()f a ，且()f a =()3224211113262a a a a a a a a ⨯+--⨯=--，函数()f x 在11x a=-出取得极大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()3221111=1132a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21162a =+.………………………………………………………………………………………………………7分当0a <时，令()0f x '=，解得1x a =，21x a=-，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化所以()f x 在区间(),a -∞，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1a a⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数. ………………8分 函数()f x 在1x a=处取得极小值()f a ，且()f a =()3224211113262a a a a a a a a ⨯+--⨯=--，函数()f x 在21x a=-处取得极大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()32211111=132a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21162a =+.…………………………………………………………………………………………………10分 （3）当=1a 时，()313f x x x =-，()2=1f x x '-，由（2）知()313f x x x =-在区间()1-∞-，， ()1+∞，内为增函数，在区间()11-，内为减函数. ………………………………………………………11分 函数()f x 在21x =处取得极小值()1f ，且()1121=623f --=-，…………………………………12分函数()f x 在11x =-处取得极大值()1f -，且()1121=623f --=，…………………………………13分如图，分别作出()313f x x x =-与直线x m =的图象，从图象上可以看出当2233x -<<时，两个函数的图象有三个不同的交点，即方程()f x m =有三个不同的解.故m 的取值范围是2233⎛⎫- ⎪⎝⎭，.……………………………………………………………………………14分。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲全国文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014大纲全国，文1)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()．A．2 B．3 C．5 D．7答案：B解析：∵M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{1,2,6}，∴M∩N中元素的个数为3，故选B.2．(2014大纲全国，文2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()．A．45B．35C．35-D．45-答案：D解析：设角α的终边上点(－4,3)到原点O的距离为r，则5r==，∴由余弦函数的定义，得4cos5xrα==-，故选D.3．(2014大纲全国，文3)不等式组(2)01x xx>⎧⎪⎨<⎪⎩+，的解集为()．A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}答案：C解析：(2)01,x xx>⎧⎪⎨<⎪⎩+，①②由①得，x＜－2或x＞0，由②得，－1＜x＜1，因此原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.4．(2014大纲全国，文4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()．A．16B．6C．13D．3答案：B解析：如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EF∥BD，∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF.由题知，△ABC ，△ADC 为正三角形，设AB ＝2，则C E C F ==112EF BD ==. ∴在△CEF 中，由余弦定理，得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅＝，故选B.5．(2014大纲全国，文5)函数1)(1)y x =>-的反函数是( )．A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1)B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1)C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R )D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R ) 答案：D解析：由1)y =，得e 1y1y-，x ＝(e y －1)3， ∴f －1(x )＝(e x －1)3.∵x ＞－1，∴y ∈R ，即反函数的定义域为R . ∴反函数为y ＝(e x －1)3(x ∈R )，故选D.6．(2014大纲全国，文6)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B解析：由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2 ＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.7．(2014大纲全国，文7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )．A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 答案：C解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521⨯⋅=⨯=⨯种选法，选C. 8．(2014大纲全国，文8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )． A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案：C解析：∵S 2＝3，S 4＝15，∴由等比数列前n 项和的性质，得 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63，故选C.9．(2014大纲全国，文9)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为则C 的方程为( )．A ．22=132x y +B ．22=13x y + C ．22=1128x y + D ．22=1124x y + 答案：A解析：∵2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的离心率为3，∴c a =，∴::a b c =又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为∴4a =，∴a =∴b =22=132x y +，选A. 10．(2014大纲全国，文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )．A ．81π4 B ．16π C ．9π D ．27π4答案：A解析：由图知，R 2＝(4－R )2＋2，∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴94R =， ∴281814π4ππ164S R ⨯=表==，选A. 11．(2014大纲全国，文11)双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到C 的焦距等于( )．A ．2B ．C ．4D ．答案：C解析：∵e ＝2，∴2ca=.设焦点F 2(c,0)到渐近线by x a= 渐近线方程为bx －ay ＝0，=∵c2＝a2＋b2，∴b=由2ca=2=，∴2243cc=-，解得c＝2.∴焦距2c＝4，故选C.12．(2014大纲全国，文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()．A．－2 B．－1 C．0 D．1答案：D解析：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．∴f[(x＋2)＋2]＝f(－x－2＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－f(x)．∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－(－f(x))＝f(x)．∴f(x)是以8为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)＝0，f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.∴f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2014大纲全国，文13)(x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答) 答案：－160解析：由通项公式得363333466C(2)8CT x x-=-=-，故展开式中x3的系数为366548C8160321⨯⨯=⨯=-⨯⨯--.14．(2014大纲全国，文14)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．答案：32解析：∵y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝2132sin22x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当1sin2x=时，max32y=.15．(2014大纲全国，文15)设x，y满足约束条件2321x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，，，则z＝x＋4y的最大值为________．答案：5解析：画出x，y的可行域如图阴影区域．由z ＝x ＋4y ，得144z y x =-+. 先画出直线14y x =-，再平移直线14y x =-， 当经过点B (1,1)时，z ＝x ＋4y 取得最大值为5.16．(2014大纲全国，文16)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．答案：43解析：如图所示，设l与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点B ，l 2与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点C，则OB ，OA =，AB =∴1tan 2OB AB α===. ∴2122tan 42tan tan 211tan 314BAC ααα⨯∠====--. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2014大纲全国，文17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式． (1)可用定义证明b n ＋1－b n ＝2(常数)即可．(2)利用(1)的结果，求出{b n }的通项公式及a n ＋1－a n 的表达式，再用累加法可求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.18．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B . 分析：先由已知及正弦定理，将边的关系转化为角的关系， 再由同角三角函数基本关系化弦为切，求出tan C .根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B ，即可求角B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为1tan 3A =，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝tan tan tan tan 1A CA C +-＝－1， 即B ＝135°.19．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1A 1－AB －C 的大小．分析：解法一：(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，再由面面垂直证线面垂直，利用三垂线定理即得线线垂直．(2)为利用已知，先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E .再由三垂线定理，确定二面角A 1－AB －C 的平面角为∠A 1FD .最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值，即可得出二面角的大小．解法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识求解．(1)设出A 1点坐标，确定点及向量坐标，利用数量积为0，证明线线垂直． (2)设法向量，由已知垂直关系，确定坐标．利用向量夹角公式求二面角大小．解法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ， 故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连结A 1C .因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，1A E =.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故11A D A E ==作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F . 由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1－AB －C 的平面角．由1AD ==得D 为AC 中点，125AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan A D A FD DF ∠==所以二面角A 1－AB －C 的大小为arctan 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a,0，c )，由题设有a ≤2，A (2,0,0)，B (0，1,0)， 则(2,1,0)AB =-，(2,0,0)AC =-，1(2,0)AA a c =-，，11(4,0)AC AC AA a c =+=-，，1(1)BA a c =-，，．由|12AA =2=，即a 2－4a ＋c 2＝0. ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则CB ⊥m ，1BB ⊥m ， 即0CB ⋅=m ，10BB ⋅=m .因()0,1,0CB =，11(2,0)BB AA a c ==-，， 故y ＝0，且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a，m ＝(c,0,2－a )，点A 到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA CA CA c ⋅⋅===〈〉m m m.又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c =代入①解得a ＝3(舍去)或a ＝1. 于是1(AA=-．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则1AA ⊥n ，AB⊥n ， 即10AA ⋅=n ，0AB ⋅=n ，0p -=，且－2p ＋q ＝0.令p =q =r ＝1，n =． 又p ＝(0,0,1)为平面ABC 的法向量，故1cos||||4⋅==〈，〉n p n p n p .所以二面角A 1－AB －C 的大小为1arccos4. 20．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥与独立事件的概率可求． (2)由(1)分析k 的可能取值情况，比较即得结果．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E 表示事件：同一工作日4人需使用设备，F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()22C 0.5ii P A ⨯＝，i ＝0,1,2，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅＝()()122()P A B C P A B P A B C ⋅⋅⋅⋅⋅++＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1. 又E ＝B ·C ·A 2， P (E )＝P (B ·C ·A 2) ＝P (B )P (C )P (A 2) ＝0.06.若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1. 所以k 的最小值为3.21．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文21)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．分析：(1)由于导函数的判别式含参数a ，因此要根据导数值的正负判断单调性，需对a 进行分类讨论．当判别式为正时，导函数有两根，为比较两根的大小，需对a 进行二重讨论．(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式，注意对a ＞0或a ＜0进行讨论． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根：11x a -+=，21x a--=.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数； 若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )＜0， 故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1,2)是增函数． 当a ＜0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∪(0，＋∞)． 22．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文22)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．分析：(1)设出Q 点坐标，利用54QF PQ =列出关于p 的方程，借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p .(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直．因直线l 过F (1,0)，可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．直线l 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1＋y 2，y 1y 2关于m 的表达式，借助弦长公式得12|||AB y y =-(其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，同理可得34|||MN y y =-(其中M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4))． 由题目中的A ，M ，B ，N 四点在同一圆上得到关于m 的方程，进而求出m ，得到直线l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得08x p=. 所以8||PQ p =，08||22p p QF x p =+=+.由题设得85824p p p+=⨯，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，212|||4(1)AB y y m =-=+．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则344y y m +=-，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为222223,E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，23424(|||m MN y y m+=-=. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211||||||44AB DE MN +=， 即2222222242241214(1)22m m m m m m m (+)(+)⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。