高中数学《函数的极限(一)》教案
高中数学函数的极值教案

高中数学函数的极值教案教学目标:1. 理解函数的极值的概念并掌握求解极值的方法。
2. 能够应用求解极值的方法解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点:1. 函数的极值的概念。
2. 求解函数的极值的方法。
教学难点:1. 解决实际问题中函数的极值。
2. 怎样应用求解函数的极值来解决问题。
教学内容:1. 函数的极值的定义。
2. 求解函数的极值的方法。
3. 应用求解函数的极值解决实际问题。
教学步骤:1. 导入:通过实际例子引入函数的极值概念。
2. 发现:让学生通过观察函数图像和数值找出函数的极点。
3. 教学:讲解函数的极值的定义和求解方法。
4. 实践:让学生通过练习题进行巩固。
5. 应用:通过实际问题让学生应用求解函数的极值的方法解决问题。
6. 总结:对本节课内容进行总结和归纳。
教学手段:1. 演示板2. 教材3. 练习册4. 计算器教学过程设计:1. 导入:通过一个生活中的例子引入函数的极值的概念,引起学生的兴趣。
2. 发现:让学生观察函数图像、数值和函数性质找出函数的极点。
3. 教学:介绍函数的极值的定义和求解方法,让学生明白极值的重要性。
4. 实践:让学生通过练习题进行巩固,培养学生的计算能力和解题能力。
5. 应用:通过实际问题让学生应用求解函数的极值的方法解决问题,培养学生的分析和解决问题的能力。
6. 总结:对本节课内容进行总结和归纳,让学生掌握本节课的重点和难点。
教学反馈:1. 师生互动:鼓励学生提问,师生互动,及时解决学生的疑问。
2. 课堂讨论:组织学生进行小组讨论,共同解决问题,促进学生的思维能力和合作能力。
教学延伸:在课后作业中加入更多的应用题,引导学生继续深入掌握函数的极值的概念和求解方法,提高学生的解决问题的能力。
教学评估:通过学生的表现、课堂练习和课后作业来评估学生是否掌握了函数的极值的概念和求解方法,及应用求解函数的极值解决实际问题的能力。
函数的极限教案

函数的极限教案教案标题:函数的极限教案教案目标:1. 了解函数的极限的概念和基本性质。
2. 掌握计算函数在某一点的极限的方法。
3. 理解函数的极限与函数的连续性之间的关系。
4. 能够应用函数的极限解决实际问题。
教学资源:1. 教科书:包含函数的极限概念、性质和计算方法的章节。
2. PowerPoint演示文稿:用于引入和解释函数的极限概念。
3. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔:用于演示计算函数的极限的步骤和解答学生问题。
4. 练习题集:包含不同难度级别的函数极限计算练习题。
教学步骤:引入(5分钟):1. 使用PowerPoint演示文稿引入函数的极限概念,解释函数在某一点趋近于某个值的行为。
2. 引导学生思考函数极限的意义和应用。
概念讲解(15分钟):1. 解释函数极限的定义:当自变量趋近于某一点时,函数值的变化趋势。
2. 介绍函数极限的性质:唯一性、局部性、保号性等。
3. 讲解计算函数极限的方法:代入法、夹逼准则等。
示例演示(15分钟):1. 在白板/黑板上选择一个简单的函数,如f(x) = x^2,演示如何计算函数在某一点的极限。
2. 解释每个步骤的原理和推理过程。
3. 通过更复杂的例子,如f(x) = sin(x)/x,演示夹逼准则的应用。
练习与讨论(20分钟):1. 分发练习题集,让学生独立或小组完成一些函数极限的计算练习题。
2. 在学生完成后,逐一讲解练习题的解题思路和方法。
3. 鼓励学生提问和讨论,澄清疑惑。
应用拓展(10分钟):1. 引导学生思考函数极限在实际问题中的应用,如物理学中的速度、加速度等概念。
2. 提供一些实际问题,让学生尝试应用函数极限解决。
总结与作业布置(5分钟):1. 总结函数的极限的概念和计算方法。
2. 布置相关的作业,要求学生继续练习函数极限的计算和应用。
教学反思:1. 在引入部分,通过PowerPoint演示文稿引起学生的兴趣和好奇心,为后续的概念讲解打下基础。
《函数的极限》教学设计

《函数的极限》教学设计函数的极限教学设计
简介
这份教学设计旨在帮助学生掌握函数的极限概念,理解其应用以及解决其中的问题。
教学目标
- 学生能够定义函数的极限概念
- 学生能够计算数列的极限
- 学生能够用数列的极限证明函数的极限
- 学生能够运用函数的极限概念解决实际问题
教学内容和方法
1. 概念讲解:首先通过PPT和讲解介绍函数的极限概念及其特点,帮助学生了解极限的概念与性质。
2. 例题演练:通过多个例子演示,帮助学生加深对极限概念的理解,掌握极限的基本计算方法。
3. 理论总结:通过对前面所学知识的梳理和总结,帮助学生更清晰地认识到极限的应用范围并说明其中的问题。
4. 应用拓展:通过实际问题引入,让学生学会运用函数极限来解决实际问题。
教学评估
针对学生的掌握情况与适应程度,我会使用以下方法来进行评估和反馈:
- 课堂练:通过课堂练来检验学生对应用的掌握程度。
- 知识点检测:通过随堂测验来检验学生对知识点的掌握和理解,以方便我的后续教学。
- 个性化指导:对学生的研究情况进行个性化指导和调整,帮助学生更好地掌握知识。
结论
通过本教学设计,我相信学生将会获益甚多,对极限概念和应用有更深入的了解,并有能力运用它解决实际问题。
同时,我也将在教学过程中反思和完善自身的教学方法,为学生提供更优质的教学体验。
函数的极限 高三数学极限全章教案[整理五套]人教版 高三数学极限全章教案[整理五套]人教版
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函数的极限教学目标:1、使学生掌握当0x x →时函数的极限;2、了解:A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点:掌握当0x x →时函数的极限教学难点:对“0x x ≠时,当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程: 一、复习:(1)=∞→nn q lim _____1<q ;(2)).(_______1lim*∞→∈=N k xk x (3)?lim 22=→x x二、新课就问题(3)展开讨论:函数2xy =当x 无限趋近于2时的变化趋势当x 从左侧趋近于2时 (-→2x )从右侧趋近于2 (+→2x )我们再继续看112--=x x y当x 无限趋近于1(1≠x )时的变化趋势;函数的极限有概念:当自变量x 无限趋近于0x (0x x ≠)时,如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向0x 时,函数)(x f y =的极限是A ,记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地,C C x x =→0lim ;00lim x x x x =→三、例题求下列函数在X =0处的极限(1)121lim 220---→x x x x (2)x x x 0lim → (3)=)(x f 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结:函数极限存在的条件;如何求函数的极限。
五、练习及作业:1、对于函数12+=x y 填写下表,并画出函数的图象,观察当x 无限趋近于1时的变化趋势,说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2、对于函数12-=x y 填写下表,并画出函数的图象,观察当x 无限趋近于3时的变化趋势,说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3* 121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→ )cos (sin 2lim 22x x x x --→π2321lim4--+→x x x xa x a x -+→20lim(0>a ) x x 1lim 0→。
高中数学教案——函数的极限 第一课时

课 题:2.3函数的极限(一)教学目的:1.理解当x →+∞,x →-∞,x →∞时,函数f (x )的极限的概念.2.从函数的变化趋势,理解掌握函数极限的概念.3.会求当函数的自变量分别趋于+∞,-∞,∞时的极限 教学重点:从函数的变化趋势来理解极限的概念,体会极限思想. 教学难点:对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:一、复习引入: 1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....某个常数a (即n a a -无限趋近于0),那么就说数列}{n a 以a 为极限,或者说a 是数列}{n a 的极限.记作lim n n a a →∞=,读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作:当n →∞时,n a →a .理解:数列的极限的直观描述方式的定义,只是对数列变化趋势的定性说明,而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大,数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面:一方面,数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的,即随着n 的增大a n 越来越接近于a ;另一方面,a n 不是一般地趋近于a ,而是“无限”地趋近于a ,即|a n -a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限: (1)01lim=∞→nn (2)C C n =∞→lim (C 是常数)(3)无穷等比数列}{nq (1<q )的极限是0,即 )1(0lim <=∞→q q nn3. 将a n 看成是n 的函数即a n =f (n ).自变量n ∈N *,a n 就是一个特殊的函数. 数列的项a n ,随着n 的增大a n 越来越接近于a ,也就是f (n ) 越来越接近于a . 对于一般的函数f (x ),自变量x ∈R ,是否有同样的结论呢?这节课就来研究当x →∞时,函数f (x )的极限.二、讲解新课: 1. 举特殊例子 我们先来看函数y =x1(x ∈R ,x ≠0),画出它的图象,或者列表观察.当x 取正值并无限增大,和当x 取负值并绝对值无限增大时,函数值的变化趋势. (1)函数 y =1(x ∈R ,x ≠0)的图象:绝对值增大时,y 的值也趋于0.如果也用数列中的极限符号表示:01lim ,01lim==-∞→+∞→x x x x .2.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于正无穷大时,函数f (x )的极限是a . 记作:+∞→x lim f (x )=a ,或者当x →+∞时,f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于负无穷大时,函数f (x )的极限是a .记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →-∞时,f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ,记作:∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时,f (x )→a .3.常数函数f (x )=c .(x ∈R ),有∞→x lim f (x )=c .注意:∞→x lim f (x )存在,表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在,且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 三、讲解范例:例1分别就自变量x 趋向于+∞和-∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.(1)y =(21)x分析:作出这个函数的图象,由图就能看出变化趋势. 解:由图可知,当x →+∞时,y =(21)x 无限趋近于0,即 +∞→x lim (21)x=0;当x →-∞时,y =(21)x无限趋近于+∞.极限不存在. (2)y =2x解:由图可知,当x →+∞时.y =2x无限趋近于+∞,极限不存在. 当x →-∞时,y =2x无限趋近于0,即-∞→x lim 2x =0.(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(0)0(1)(时时时x x x x f解:由图可知,当x →+∞时,f (x )的值为1,即+∞→x lim f (x )=1;当x →-∞时,f (x )的值为-1,即-∞→x lim f (x )=-1.说明:当x →+∞时,f (x )不是无限趋近于某个常数a ,而是f (x )的值等于常数a ,那么函数f (x )当x →+∞时的极限也就是a .x →-∞时,情况也是如此.四、课堂练习: 1.1.对于函数y =21x,填写下表并画出函数的图象,观察当x →∞时,函数y 的变化趋势. 答案:当x →∞时,y =21x 无限趋近于0.即∞→x lim 21x=0. 2.写出下列函数极限的值. (1)xx 1lim+∞→; (2)-∞→x lim 10x; (3)35lim x x +∞→;(4)12lim ++∞→x x答案:⑴0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 0 3.判断下列函数的极限:(1)x x )21(lim +∞→ (2)xx 10lim -∞→(3)21lim xx ∞→ (4)4lim ∞→x答案:⑴0 ⑵0 ⑶0 ⑷ 4五、小结 :当x 分别趋向于+∞,-∞,∞时,函数f (x )的极限,以及常数函数的极限,注意∞→x lim f (x )中的∞和数列极限∞→n lim a n 中的∞的不同意义.以概念为依据,结合函数图象,学会求一些函数的极限 六、课后作业:1. 判断下列函数的极限:(1)xx 4.0lim +∞→ (2)xx 2.1lim -∞→(3))1lim(-∞→x (4)41limx x ∞→ (5)x x )101(lim +∞→ (6)xx )45(lim -∞→(7)11lim 2+∞→x x (8)lim ∞→x答案: ⑴0 ⑵0 ⑶-1 ⑷0 ⑸0 ⑹0 ⑺0 ⑻5 七、板书设计(略)八、课后记:。
高中数学函数极限的教案

高中数学函数极限的教案
一、教学目标:
1. 了解数学函数极限的概念及性质;
2. 掌握计算函数极限的方法;
3. 能够运用函数极限解决实际问题;
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点:
重点:函数极限的定义和性质,计算函数极限的方法;
难点:理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容:
1. 函数极限的定义与性质;
2. 常见函数的极限计算方法;
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程:
1. 导入:通过一个简单的例子引入函数极限的概念;
2. 讲解:介绍函数极限的定义和性质,讲解常见函数的极限计算方法;
3. 演练:组织学生做一些练习题巩固所学内容;
4. 应用:通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题;
5. 总结:对本节课的内容进行总结,并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源:
1. 教科书;
2. 手册和笔记。
六、作业布置:
1. 完成教材上的相关习题;
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思:
通过本节课的教学,学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识,提高了解决实际问题的能力。
同时,也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难,需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中,需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
函数极限 教案

函数极限教案教案标题:函数极限教案目标:1. 理解函数极限的概念和意义;2. 掌握计算函数极限的方法;3. 能够应用函数极限解决实际问题。
教案步骤:一、导入(5分钟)1. 引入函数极限的概念,例如:当自变量趋向于某个特定值时,函数的取值会趋向于一个确定的值。
2. 提问学生是否了解函数极限,并鼓励他们分享自己的理解和经验。
二、概念讲解(15分钟)1. 解释函数极限的数学定义:对于函数f(x),当x趋近于某个特定值a时,如果存在一个实数L,使得对于任意给定的正数ε,都存在一个正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - L| < ε,那么我们称L是函数f(x)在x=a处的极限。
2. 引导学生理解ε-δ语言的含义,并通过图示和实例说明。
三、计算方法(20分钟)1. 介绍计算函数极限的方法,包括代入法、夹逼准则、无穷小量法等。
2. 通过例题演示不同方法的应用,让学生理解和掌握计算函数极限的步骤和技巧。
四、实例分析(15分钟)1. 提供一些实际问题,例如物理、经济等领域的应用问题。
2. 引导学生分析问题,建立函数模型,并利用函数极限解决问题。
五、练习与总结(15分钟)1. 给学生分发练习题,包括计算函数极限和应用题。
2. 鼓励学生独立解题,并及时给予指导和反馈。
3. 总结本节课的要点和难点,并鼓励学生提出问题和分享自己的思考。
教案评估:1. 课堂参与度:观察学生在导入环节的回答和讨论,评估他们对函数极限概念的理解程度。
2. 计算能力:通过练习题的完成情况评估学生对计算函数极限的掌握程度。
3. 应用能力:观察学生在实例分析环节的表现,评估他们能否将函数极限应用于实际问题的解决。
教案扩展:1. 深入讨论函数极限的性质和定理,如函数极限的唯一性、函数极限与连续性的关系等。
2. 探究无穷大和无穷小的概念,引入无穷小量的定义和性质,拓展函数极限的应用范围。
函数的极限 教学设计

当 时, 当 时,
二、 时函数的极限
当 时, 当 时,
三、单侧极限( 、 )
四、函数极限的性质定理
六、教学反思与改进
三、教学思想
根据教材编排的教学内容和学生的认知特点,在教学中要特别注意从学生已有的知识和经验出发,利用各种学习内容为学生提供充分的、现实的数学探究活动以及交流的机会,让学生在获得丰富的数学经验的同时,逐步形成探索数学问题的兴趣和创新的意识,逐步发展数学思维能力。
四、教学方法和策略
讲授、启发式、讲练结合
课题名称
函数的极限
科目
高等数学
教学对象
大一学生
一、教学分析
教学内
容分析
函数的极限安排在数列极限之后,数列的极限自变量只能取正整数,而由于函数自变量变化范围的灵活性,分为 、 、 、 、 、 这几种情况。
教 学
重难点
重点:从函数自变量的变化趋势来理解函数的极限的概念,体会极限的思想。
难点:体会自变量不同变化情况下,函数极限的严格定义。
五、教学安排
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
时间分配
创设情境,导入新课
1、结合例题回顾数列的极限
2、把数列改编成函数,考虑函数 的极限
类比计算
复习旧知,引入新课
3-5分钟
合作探究,得出定义
3.总结得出 时函数极限的严格定义,进而得到 、 的函数极限的定义
理解 的定义
师生共同探索抓住重点
6-8分钟
例题讲解、及时巩固
二、教学目标
知识与技能
目 标
使学生在直观理解函数极限的基础上掌握函数的 定义和 定义,并会用 和 的定义去证明极限。
函数极限教案

函数极限教案一、教学目标:1. 了解函数极限的概念和基本性质;2. 学会计算函数极限的方法;3. 掌握函数极限的一些基本定理;4. 能够应用函数极限解决实际问题。
二、教学重点:1. 函数极限的概念和性质;2. 函数极限的计算方法。
三、教学难点:1. 函数极限的应用;2. 函数极限的证明。
四、教学准备:1. 教材:高中数学课本;2. 教具:黑板、粉笔、教案。
五、教学过程:Step 1: 引入教师向学生介绍函数极限的概念和重要性,从实际生活中的例子引入函数极限的概念,如用车辆行驶速度来解释函数极限的概念。
Step 2: 基本概念和性质1. 定义函数极限的概念,即当自变量逼近某一特定值时,函数值的变化趋势;2. 解释函数极限的性质,如唯一性、局部性、保号性等。
Step 3: 函数极限的计算方法1. 讲解函数极限的计算方法,包括代入法、夹逼法、特殊函数极限的计算方法等;2. 给出一些常见函数极限的计算例题,带领学生进行计算和解答。
Step 4: 函数极限的一些基本定理1. 引入函数极限的一些基本定理,如函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数的左极限和右极限等;2. 结合例题进行讲解和解答,巩固学生对基本定理的理解和掌握。
Step 5: 函数极限的应用引导学生将函数极限的概念、计算方法和基本定理应用到实际问题中,如物理学中的运动问题、经济学中的生产函数问题等。
Step 6: 函数极限的证明介绍函数极限的证明方法,如用ε-δ语言证明函数极限等;以一些典型的函数极限为例,进行证明过程的演示。
六、教学延伸:1. 教师可以引导学生做一些拓展探究和实际运用的练习,进一步理解和巩固函数极限的概念和计算方法;2. 鼓励学生多阅读相关文献和材料,扩大对函数极限的了解和认识。
七、教学反思:通过本节课的教学,学生对函数极限的概念和性质有了初步的了解,掌握了一些函数极限的计算方法和基本定理。
但是,部分学生对函数极限的证明仍然存在障碍,需要在后续的学习中强化。
高中数学教案学习函数的极限

高中数学教案学习函数的极限高中数学教案:学习函数的极限一、引言函数的极限是数学中非常重要的概念之一,对于学习高中数学的学生来说,理解和应用函数极限是提高数学能力的关键。
本教案旨在帮助学生全面理解函数的极限概念,并能够熟练应用相关的计算方法。
二、教学目标1. 理解函数的极限定义,并能够用严谨的语言描述;2. 学会通过图像观察、数值逼近和基本性质判断函数的极限;3. 掌握利用极限的定义进行具体计算;4. 进一步培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学内容1. 函数的极限概念引入- 引导学生理解当自变量接近某个值时,函数的取值趋于无限接近于某个常数,即函数的极限;- 解释极限的正式定义和常用符号表示。
2. 极限的可视化理解- 利用图像观察的方式引导学生直观理解函数的极限;- 通过绘制函数图像,让学生观察函数在自变量趋于某个值时对应的函数值的变化趋势,并理解极限的概念。
3. 数值逼近法求极限- 介绍数值逼近法的思路,即通过给定的自变量逐渐靠近某个值,利用计算工具(如计算器)得到对应的函数值;- 引导学生通过该方法判断函数的极限,并进行简单的计算练习。
4. 极限的性质与运算规则- 介绍函数极限的一些重要性质,如极限存在的唯一性、四则运算法则等;- 引导学生进行相关练习,巩固对性质与规则的理解。
5. 用极限求解实际问题- 将极限理论应用于实际问题的解决中,例如速度与加速度问题、几何问题等;- 引导学生通过建立函数模型、利用极限进行求解。
四、教学方法1. 讲授与演示相结合的教学方法,既进行理论知识的讲解,又通过具体的例子和图像展示进行演示;2. 启发式教学方法,鼓励学生主动思考,在教师的引导下自己发现和解决问题;3. 分组合作学习,可以让学生通过合作探讨和交流,提高学习效果。
五、教学过程1. 导入与激发兴趣:通过提问或者介绍实际问题,引发学生对函数极限的好奇心;2. 概念引入与讲解:按照教学内容的顺序,依次引入和讲解相关概念和知识;3. 图像观察与讨论:提供一些基本函数的图像,让学生观察函数在不同自变量取值下的趋势,并进行相关讨论;4. 数值逼近与计算实践:给定一些函数,要求学生使用计算器等工具进行数值逼近法的计算,并与图像观察的结果进行验证和比较;5. 性质与规则总结与练习:总结函数极限的性质与运算规则,然后提供一些练习,让学生进行实践;6. 实际问题应用讨论:提供一些实际问题,让学生通过极限的求解方法进行讨论和求解;7. 总结与作业布置:总结本节课的重点内容,并布置相关的练习作业。
第一章函数与极限(教案)

第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
教学重点:1、复合函数及分段函数的概念;2、基本初等函数的性质及其图形;3、极限的概念极限的性质及四则运算法则;4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较;6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质。
教学难点:1、分段函数的建立与性质;2、左极限与右极限概念及应用;3、极限存在的两个准则的应用;4、间断点及其分类;5、闭区间上连续函数性质的应用。
教学方法:翻转课堂分享式教学知识框图§1. 1 映射与函数(2课时)一、映射1. 映射的概念定义 设X 、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作 f : X →Y ,其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作f (x ), 即y =f (x ),而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作D f , 即 D f =X ;X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为R f , 或f (X ), 即R f =f (X )={f (x )|x ∈X }.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域D f =X ; 集合Y , 即值域的范围: R f ⊂Y ; 对应法则f , 使对每个x ∈X , 有唯一确定的y =f (x )与之对应.(2)对每个x ∈X , 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个y ∈R f , 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域R f 是Y 的一个子集, 即R f ⊂Y , 不一定R f =Y .例1设f : R →R , 对每个x ∈R , f (x )=x 2.显然, f 是一个映射, f 的定义域D f =R , 值域R f ={y |y ≥0}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y , 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x , y )|x 2+y 2=1}, Y ={(x , 0)||x |≤1}, f : X →Y , 对每个(x , y )∈X , 有唯一确定的(x , 0)∈Y 与之对应.显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X , 值域R f =Y . 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-→[-1, 1], 对每个x ∈]2 ,2[ππ-, f (x )=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2 ,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y , 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f (x 1)≠f (x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射?2. 逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ∈R f , 有唯一的x ∈X , 适合f (x )=y , 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g , 即g : R f →X ,对每个y ∈R f , 规定g (y )=x , 这x 满足f (x )=y . 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射? 设有两个映射g : X →Y 1, f : Y 2→Z ,其中Y 1⊂Y 2. 则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则, 它将每个x ∈X 映射成f [g (x )]∈Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射, 这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射, 记作f o g , 即f og : X →Z ,(f o g )(x )=f [g (x )], x ∈X .应注意的问题:映射g 和f 构成复合映射的条件是: g 的值域R g 必须包含在f 的定义域内, R g ⊂D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g 和f 的复合是有顺序的, f o g 有意义并不表示g o f 也有意义. 即使f o g 与g o f 都有意义, 复映射f o g 与g o f 也未必相同.例4 设有映射g : R →[-1, 1], 对每个x ∈R , g (x )=sin x ,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u ∈[-1, 1], 21)(u u f -=.则映射g 和f 构成复映射f o g : R →[0, 1], 对每个x ∈R , 有|c o s |s i n 1)(s i n )]([))((2x x x f x g f x g f =-=== .二、函数1. 函数概念定义 设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为 y =f (x ), x ∈D ,其中x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作D f , 即D f =D .应注意的问题:记号f 和f (x )的含义是有区别的, 前者表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f (x ), x ∈D ”或“y =f (x ), x ∈D ”来表示定义在D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数y =f (x )中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母, 例如“F ”, “ϕ”等. 此时函数就记作y =ϕ (x ), y =F (x ).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内, 因此构成函数的要素是定义域D f 及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412--=x xy 的定义域.要使函数有意义, 必须x ≠0, 且x 2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D ={x | | x |≥2}, 或D =(-∞, 2]⋃[2, +∞]).单值函数与多值函数:在函数的定义中,对每个x ∈D , 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D , 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r , r ],由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r , r )内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P (x , y )|y =f (x ), x ∈D }称为函数y =f (x ), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f (x )的值域.函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-≥==00 ||x x x x x y . 称为绝对值函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ].函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z .0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。
函数的极限教案

3:几何解释:对 0,作两条平行直线 y A , y A 。由
定 义 , 对 此 , 0 , 当 x0 x x0 , 且 x x0 时 , 有
A f (x) A 。 即 函 数 y f (x) 的 图 形 夹 在 直 线
y A , y A 之间( f (x0 ) 可能除外)。换言之:当 x U (x0 , ) 时,
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讲授 教 学过 程
教法运用及板书 要点
一、函数极限的定义
由上节知,数列是自变量取自然数时的函数, xn f (n) ,因此,数
列是函数的一种特殊情况。对于函数,自变量的变化主要表现在两个方面:
(1)自变量 x 任意接近于有限值 x0 ,记为 x x0 ,相应的函数值 f (x)
的变化情况。
x x
【例 8】 证明 lim 1 0 x x
分析
| f (x) A|| 1 0| 1 0 x |x|
要使|f(x)A|
只要
|
x
|
1
证明
因为0
X
1
0
当|x|X 时
有| f (x) A|| 1 0| 1 x |x|
所以 lim 1 0 x x
直线 y0
是函数 y 1 x
的水平渐近线
二、函数极限的性质
时,有
2
(ax b) (ax0 b) 。
【例 3】 证明 lim x2 1 2 。 x1 2x 2 x 1 3
证明:对 0,因为 a 1, 所以
x 1 0.
x 2x2
2 1 x
1
2 3
x 1 2 2x 1 3
1 x 3(2x 1)
[ 此 处 x 1 , 即 考 虑 x0 1 附 近 的 情 况 , 故 不 妨 限 制 x 为 0 x 1 1 , 即 0 x 2 , x 1 ] 。 因 为
函数的极限运算教案

函数的极限运算教案一、引言函数的极限是微积分中的重要概念,对于理解函数的性质和计算函数的变化趋势等问题有重要的作用。
本教案将从定义、性质和运算等方面系统地介绍函数的极限运算,帮助学生全面理解和掌握这一概念。
二、定义和记法1. 函数的极限定义:对于函数f(x),当自变量x趋向于某一实数a时,如果存在一个实数L,使得对于任意给定的正数ε(无论ε有多么小),总能找到一个正数δ(对应于ε),使得当0 < |x - a| < δ时,都有|f(x) - L| < ε成立,则称函数f(x)当x趋近于a时的极限是L。
记作:lim(x→a)f(x) = L2. 函数的单侧极限:当函数f(x)在a点的邻域内只有一个方向的极限存在时,称其为单侧极限。
分别表示为:lim(x→a+)f(x) 和lim(x→a-)f(x)3. 极限的无穷性:当x趋向于±∞时的极限称为无穷极限,分别表示为:lim(x→∞)f(x) 和lim(x→-∞)f(x)三、函数极限的性质1. 极限的唯一性:函数的极限如果存在,那么极限值唯一。
2. 极限的局部有界性:如果函数f(x)在某一点a的某个邻域内极限存在,那么f(x)在该邻域内有界。
3. 四则运算法则:若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)分别存在,则有以下运算法则:a) 两个函数的和的极限等于极限的和:lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)b) 两个函数的差的极限等于极限的差:lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)c) 两个函数的乘积的极限等于极限的乘积:lim(x→a)(f(x) * g(x)) = lim(x→a)f(x) * lim(x→a)g(x)d) 一个函数的极限与另一个函数的商的极限的商等于极限的商(假设分母的极限不为0):lim(x→a)(f(x) / g(x)) = lim(x→a)f(x) /lim(x→a)g(x)4. 复合函数的极限:若lim(x→a)f(x) = L,lim(y→L)g(y) = M,则有以下复合函数的极限关系:lim(x→a)g(f(x)) = M四、极限运算的计算方法1. 直接代入法:当函数在极限点处有定义时,可以通过将极限点代入函数来计算极限值。
高中数学教案函数的极限

高中数学教案函数的极限高中数学教案:函数的极限一、引言在高中数学中,函数的极限是一个重要的概念。
本教案将介绍函数的极限的概念和性质,以及如何计算函数的极限。
二、函数的极限的定义函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时,函数的取值会趋于某个确定的值或者无穷大。
我们用符号来表示函数的极限,如下所示:lim(x→a) f(x) = L其中,lim表示极限的运算符,x→a表示自变量x趋于a,f(x)表示函数f关于自变量x的取值,L表示极限的结果。
三、函数的极限的性质1. 唯一性:函数的极限在给定条件下是唯一的。
即同一个函数在同一个点的极限结果是唯一确定的。
2. 局部性:函数的极限是局部的,即只关注自变量在某个特定点附近的取值。
3. 有界性:如果函数在某个点的极限存在,则函数在该点附近是有界的。
4. 保号性:如果函数在某个点的极限存在且大于(或小于)0,则函数在该点附近保持正(或负)号不变。
四、计算函数的极限的方法1. 代入法:当函数在某个点的极限存在且可以直接代入计算时,可以通过代入法求出极限的结果。
例如,对于函数f(x) = 2x + 1,要求lim(x→2) f(x)的值,我们只需要将x的值代入函数中即可得到结果。
2. 分解因式法:当函数在某个点的极限存在但无法直接代入计算时,可以通过分解因式的方法进行计算。
例如,对于函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1),要求lim(x→1) f(x)的值,我们可以将函数分解为f(x) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1,然后将x的值代入函数中即可得到结果。
3. 常用极限公式法:当函数满足一定条件时,可以通过常用的极限公式来进行计算。
例如,对于函数f(x) = sin(x) / x,要求lim(x→0) f(x)的值,我们可以使用常用极限公式lim(x→0) sin(x) / x = 1,直接得出结果。
五、实例分析1. 求lim(x→2) (2x + 1)的值,根据代入法,将x的值代入函数中,可得lim(x→2) (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5。
函数的极限教案范文

函数的极限教案范文一、教学目标1.理解函数极限的概念;2.掌握函数极限的计算方法;3.能够通过极限计算解决一些实际问题。
二、教学重点1.函数极限的概念;2.极限的计算方法。
三、教学难点1.通过极限计算解决实际问题。
四、教学准备1.教材《高中数学新课标(必修4)》;2.随堂练习题;3.讲解用的PPT。
五、教学过程Step 1 引入新课1.引导学生回顾一元函数的概念和相关知识;2.提出问题:当自变量趋近于一些值时,函数的取值会发生什么变化?请解释你的回答。
Step 2 理解函数极限的概念1.引导学生思考自变量趋近于一些值时,函数的取值趋近于什么值;2.引导学生理解极限的概念:当自变量无限接近一些值时,函数的取值无限接近一些值;3. 讲解函数极限的定义:设函数 f(x) 在 x=a 的一些去心邻域内有定义,如果存在常数 L ,对任意给定的正数ε,总能找到正数δ,使得当 0<,x-a,<δ 时,有,f(x)-L,<ε 成立,则称函数 f(x) 在x=a 时的极限为 L,记作 lim(x->a) f(x)=L;4.通过实例讲解函数极限的概念和定义。
Step 3 掌握函数极限的计算方法1.讲解函数极限的计算方法:a.代数运算法则:如果f(x)和g(x)在x=a时的极限都存在,则有以下运算法则:- lim(x->a) [f(x)+g(x)] = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)-g(x)] = lim(x->a) f(x) - lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)/g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x),g(x)≠0b.无穷小代换法则:若f(x)在x=a时的极限为0,g(x)在x=a时的极限存在,且不等于0,则有以下运算法则:- lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) * lim(x->a) [f(x)/g(x)]c.已知极限的基本公式:常用的已知极限公式有:- lim(x->0) sin(x)/x = 1- lim(x->0) (a^x-1)/x = ln(a),a>0,a≠12.通过例题讲解函数极限的计算方法。
函数的极限 教案

函数的极限教案教案标题:函数的极限教案概述:本教案将帮助学生理解函数的极限概念,并掌握常见的函数极限计算方法。
通过引导学生进行实例分析和数学推理,培养学生的思维逻辑和问题解决能力。
同时,通过相关应用问题的讨论,帮助学生理解极限在实际中的意义和应用。
教学目标:1. 理解函数极限的定义和概念;2. 掌握函数极限的计算方法,包括直接代入法、夹逼准则等;3. 能够应用函数极限解决实际问题;4. 培养学生的问题分析与解决能力以及数学推理能力。
教学重点:1. 函数极限的定义和概念;2. 函数极限的计算方法;3. 实际问题的极限应用。
教学难点:1. 函数极限的计算方法的掌握;2. 实际问题的极限应用的理解和解决。
教学准备:1. 教材《高中数学教程》等相关教材;2. 针对性的示例和练习题;3. 多媒体教学工具。
教学过程:步骤一:导入与概念讲解(15分钟)1. 引入函数和极限的概念,解释函数极限的意义和重要性;2. 让学生观看一段相关的视频或示例,激发学生的兴趣与思考;3. 对函数极限的定义进行解读和讲解,引导学生形成初步印象。
步骤二:函数极限计算方法介绍(20分钟)1. 介绍常见的函数极限计算方法,如直接代入法、夹逼准则等;2. 通过示例演示不同计算方法的应用步骤和技巧;3. 强调每种方法的适用范围和注意事项,帮助学生理解方法的合理性。
步骤三:练习与提问(30分钟)1. 给学生提供一些基础练习题,让他们在教师指导下独立尝试解答;2. 鼓励学生多与同学合作、讨论,共同解决难题;3. 教师要随时引导学生思考和解决问题,及时纠正错误。
步骤四:实际问题应用(15分钟)1. 展示一些实际问题,引导学生分析问题中存在的极限概念;2. 引导学生运用所学的函数极限计算方法解决实际问题;3. 鼓励学生提出自己的问题,并引导他们进行探究和解决。
步骤五:总结与扩展(10分钟)1. 对本节课所学内容进行总结,强调函数极限的重要性和应用;2. 扩展函数极限概念,引导学生对其他相关内容进行进一步学习;3. 鼓励学生提出关于函数极限的问题和疑惑,及时解答。
人教版高中数学(理科)选修函数的极限1

函数的极限教学目标(一)教学知识点1.数列的极限是一个十分重要的概念,它的通俗定义是:随着项数n的无限增大,数列的项a n无限地趋近于某个常数a(即|a n-a|无限地接近于0),它有两个方面的意义.2.ε—N定义定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a,要深刻理解|a n-a|能任意小,并保持任意小.对于ε的理解它既具有任意性又具有相对的固定性.3.定义法求简单数列的极限.(二)能力训练要求※1.掌握数列极限的ε—N的定义.※2.会用ε—N,求数列的极限.(三)德育渗透目标1.培养学生有限与无限、精确与近似、量变与质变的辩证关系.2.培养学生数形结合、极限的数学思想方法和灵活应变的解题能力,培养学生学会利用定义解题.3.通过“割圆术〞的介绍,培养学生的爱国主义精神和弘扬中华民族优秀文化的精神.教学重点理解数列的极限的直观描述方式的定义,只是对数列变化趋势的定性说明,而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大,数列的项a n无限地趋近于某个常数a〞的意义有两个方面:一方面,数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的,即随着n的增大a n越来越接近于a;另一方面,a n不是一般地趋近于a,而是“无限〞地趋近于a,即|a n-a|随n的增大而无限地趋近于0.理解数列的极限的ε—N的定义是定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a.对于预先指定的任意小的正数ε,都存在一个正整数N,使得只要n>N,就有|a n-a|<ε.教学难点数列的极限的ε—N定义的理解,这个定义具有一定的抽象性.数列{a n}的极限为a,意味着当n无限增大时,|a n-a|能任意小,并保持任意小.这就是说,对于预先给定的任意小的正数ε,都可以找到相应的N,当n>N时,|a n-a|比ε还要小,即{a n}中第N项以后的所有项都保持|a n-a|<ε.利用数列的极限的定义求数列的极限的步骤是:求|a n-a|的解析式(关于n)→求解关于n的不等式|a n-a|<ε(ε是任意给定的小正数)n>n0→取n0的整数部分作为N→由定义得出∞→n lima n =a .教学方法建构主义理论指导教学法. 教具准备 准备三X 幻灯片 第一X :(记作A)作圆的内接正六边形,再平分每条边所对的弧,作圆的内接正十二边形;用同样的方法继续作圆的内接正二十四边形,正四十八边形,…….问题1:随着边数的不断增加,圆内接正多边形圆,圆内接正多边形的周长也圆的. 问题2:设圆的半径为R ,圆内接正三角形,正四边形,…,正n 边形…的周长组成数列,P 3,P 4,P 5,P 6,…,P n ,….通项P n 的公式是什么:即P n =.当n 无限增大时, P n 是否应无限呢?第二X :(记作B)请观察以下数列,随n 变化时,a n 是否趋向于某一个常数:(1)n n a n 12+=; (2)nn a )31(3-=; (3)a n =4·(-1)n -1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n101第三X :(记作C)Ⅰ.课题导入[师]高一上学期我们学习了数列的有关概念、数列通项公式的求法,仔细研究了两个重要的数列——等差数列,等比数列.打出幻灯片A ,让同学们解决以下问题:[师]按影片上的要求,我们再画出正二十四边形,正四十八边形,…,从直观上看,随着边数的不断增加,圆内接正多边形与圆的关系?正多边形的周长与圆周长的关系是什么?[生1]正多边形越来越接近(逼近、趋近)于圆;圆内接正多边形的周长也就越来越接近(逼近、趋近)于圆的周长.[师]设圆的半径为R ,圆内接正三角形、正四边形、正五边形、…,正n 边形的周长所组成的数列P 3,P 4,P 5,…,P n ,….那么通项公式P n =.[生2]P 3=3·2R sin R333=π,P 4=4·2R sin R244=π,P 5=2R sin 5π×5=10R sin 5π,…,P n =n ·2R sin n π.[师]由图形可以直观看出当n 趋向无限大时,P n 就无限地趋向于什么呢? [生3]P n 无限地趋向于2πR .[师]这也是数列的另一个重要方面,今天我们就来学习研究数列的另一个侧面:随n 变化时,a n 是否趋向于某一个常数(虽然“趋向于〞并没有确切定义,但是同学们能感觉是什么意思——由“粗〞到“细〞.板书:研究数列a n 随n 变化时是否趋向于某一个常数) Ⅱ.讲授新课打出幻灯片B ,请同学们观察以下数列,随n 变化时,a n 是否趋向于某一个常数:(1)n n a n 12+=; (2)nn a )31(3-=; (3)a n =4·(-1)n -1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n101.大部分学生在观察、思考,有的在草稿纸上写、画,有的在一起共同讨论.(几分钟以后)教师:“第一个数列a n =n n 12+趋向于一个常数吗?〞几乎全体学生:“趋向于2〞(板书:(1)n →∞,a n →2).“第二个呢〞“趋向于3〞(板书:(2)n →∞,a n →3).[师](小结)数列(1)中,a n 趋向于2;数列(2)中,a n 趋向于3. “第三个数列a n =4·(-1)n -1趋向于一个常数吗?〞 [生4]n 为奇数时趋向4,n 为偶数时趋向于-4. [生5]不趋向于任何常数.持这两种观点的学生在一起激烈地争论.经过短暂的探讨,形成了一致的结论,学生一致认为:它一会儿是4,一会儿是-4,不趋向于一个固定的常数.[师]噢,原来它是一个“朝三暮四〞的数列.不“朝四暮负四〞的数列. 学生大笑,课堂气氛十分和谐、宽松.[师]第四个数列a n =2n ,它是否趋向某一个常数呢? [生6]数列a n =2n ,趋向于+∞.几乎有80%的同学都认为这是对的,但也有几个学生提出质疑,或在位子上直摇头. [生7](突然站起来)数列a n =2n 不趋向于+∞,实质上+∞不是一个具体的固定的常数. [生6]站起来(反驳)+∞是一个很大很大的数,是一个要多大有多大的数.[生7](也不甘示弱,同时生7的支持者也参与声援),一个要多大有多大的数,那么究竟是什么样的固定常数呢?你们能找出来吗?或者讲,能确定这个数吗?[生6](思考片刻后)不能,但好像应该存在.[师](小结)大家争论得很好,你的思维能力就是在思维火花碰撞中发展起来的,“‘+∞’不是一个确定的数,是用来描述变量状态的.〞这一次是真理掌握在少数人的手中.课堂中,学生热烈鼓掌,异常兴奋.[师]第五个数列a n =3是否趋向某一个常数呢?这时学生中又出现很大的分歧.80%的学生认为不趋向于3,认为它就是3,谈不上趋向不趋向于3.还是形成两种观点的激烈辩论.[生8]刚才大部分学生没有把数列看成函数,根据数列的定义,它可以是一个特殊的函数.而a n =3表示一个常量函数,不论n 取何值,a n 都是3,也就是常数为3.(板书:n →∞时,a n →3)此时学生都认为[生8]的解释是完全正确的,大家齐为她鼓掌,该生在掌声中微笑,从掌声中体验到成功的乐趣.[师]第六个数列a n =n n 2)1(1--是否趋向于某一个常数? [生9]数列a n =n n 2)1(1--趋向于零.(板书:n →+∞时,a n →0)[师]它是怎样趋向于零的呢? [生9]像阻尼振动一样,振幅越来越小. [师]能靠上零吗? [生9]不能.[师]这个“运动〞会停止吗? [生9]不会.[师]第七、第八两个数列是否趋向于某一个常数?[生10]a n =(21)n 趋向于0,a n =6+(101)n 趋向于6(板书n →∞时,a n =(21)n →0,a n =6+(101)n→6).教师小结各数列是否“趋向于〞一个常数的情况.[师]你们认为随着n 的不断变化,数列a n =n n 12+趋向于2.你们的“趋向于〞我还不明白是怎么回事,我想请一个同学来解释一下什么叫“趋向于2〞.[生11]就是无限接近2. [师]什么叫“无限接近〞?[生11]“就是n 越来越大,a n 与2的差越来越小〞.学生又补充说“就是距离|a n -2|越来越小.〞[师]距离|a n -2|比要小,行不行?(板书:|a n -2|<0.1) [生11]行,只要n >10即可.[师]距离|a n -2|比要小,行不行?(板书:|a n -2|<0.01). [生11]行,只要n >100即可.教师打出投影C.从图象上来看a n 与常数的距离越来越小,同时教师也可以借助于电脑来验证一下.这时教室的屏幕上出现数列a n =n n 12+的图象,并同时给出y ,y 的图象,故意给出的n 的取值X 围是1,…,5.图象并不在,2.1)间.[师]数列中的各项并不在,2.1)上,并不靠近2呀. 片刻[生12]:老师,你给出的n 太小了.把n 的X 围设定为11,12…,19时,数列的各项都在区间,2.1)上了.[师]看样子,当n 在(10,20)上时,数列的各项是在,2.1)上了,会不会n 到了(100,120)间,数列中有一项跑出,2.1)呢?把n 的X 围设定为(100,120),同学们发现数列的各项离2更近了. [师]你们认为在区间,2.1)上,此数列有多少项? [生13]有无限项.[师]有无限项?赞成的请举手(全体学生都举手).再给出|a n -2|<呢?多少项以后,这个数列的各项就能在区间,2.01)上,大多数同学说100项以后,但有几个同学不假思索就说1000、2000等都可以.[师]对,是100项以后.刚才,我听到几个同学说1000、2000、10000项,你们算了吗? [生14](这类学生的代表)没算.只要有就行. [师]你们认为他的说法对不对呢? 学生齐声道:对![师]对给出的小正数,只要能找到一项,使这一项以后的各项与2的差的绝对值小于就可以了,不必计较大小.(然后,再给出|a n -2|<,|a n -2|<,用电脑进行了演示).刚才那几个同学找出1000、2000、10000项的同学在课堂学习中能实事求是回答自己的过程是十分可贵的,有了这种精神和态度,你们不仅数学成绩能大幅度提高,同时你们的优秀品质也正在形成.(教师的人格力量对学生的影响是永远的,教师不仅仅是传授知识,同时也是学生思想工作的第一线工作者).教师一边与学生讨论一边板书,至此,黑板形成的板书是:(1)a n =n n 12+,n →∞,a n →2n >N : 10 100 1000 10000 …… |a n -2|<:0.1 0.01 0.001 0.0001 ……[师]我们把第二行中的数找个代表记作ε,第一行中的数记作N .此时ε代表了,,,,…就是不论给定一个多么小的正数ε(如,,,,……),都能找到一个自然数N (如10,100,1000,10000,……),使a N 以后各项与2的差的绝对值|a n -2|都小于ε,即|a n -2|<ε恒成立.你们的“趋向于1〞是这个意思吗?[生](齐声回答)是.[师]给出一个ε,都可以找到一个N ,那么ε与N 是什么样的关系呢? [生15]N 与ε的关系是通过解关于n 的不等式|a n -2|<ε找出来的. [师]你能具体地解一下吗?[生15](走上讲台,拿起粉笔在黑板上写)|a n -2|<ε即是n 1<ε(因为|a n -2|=|n n 12+-2|=|2+n 1-2|=n 1).∴n >ε1.这样N =ε1(检验ε,,,时都是正确的).[师]如果ε呢?[生15]也可以,3100000003.01==N ?(片刻)噢,不对,310000不是整数.那就取N =3334,就可以了.(又补充道)或3334以后的任何一个整数都可以作为N .[师]回答很好.究竟N 如何确定呢?[生16]刚才解出n >ε1,取ε1的整数部分作为N ,记作N =[ε1].(同学们一致赞同)教师小结,提出数列极限的定义,请几位同学总结概括,教师与学生共同完成定义(板书):对于无穷数列{a n },如果存在一个常数A ,无论预先指定的多么小的正数ε,都能在数列中找到一项a N ,使得这一项后面的所有项与A 的差的绝对值都小于ε,即当n >N 时,|a n -A |<ε恒成立,我们把常数A 叫做数列{a n }的极限,记作∞→n lima n =A .也可以写成:当n →∞时,a n→A .这就是数列极限的定义(板书:本节课题数列极限的定义).根据这个定义,我们再来查一下其他几个数列.[师]运用定义说明(3)a n =4·(-1)n -1;(4)a n =2n 为何没有极限?[生17]据第(3)题数列通项取n 的特殊值,一会儿是4,一会儿是-4,不存在常数A .对于第(4)题a n =2n ,也是不存在常数A .[师]“3〞是常数列{a n =3}的极限吗?为什么?[生18](停顿片刻,原来认为数列a n =3不趋向于某一个常数的代表生8)3是常数列{a n =3}的极限.[师]对,数列{3}的极限就是3,这符合数列极限的定义吗?[生18]符合数列极限的定义.因为|a n -3|=|3-小于任何一个小正数ε,即对任意给定的小正数ε,都可以找到一项a N (N =1),使得从这一项开始以后的所有项a n ,都满足|a n -0|<ε恒成立.对于这个数列,第一项开始就满足.[师]回答很好.常数列的极限就是这个常数本身,你们赞成不赞成? 生齐声回答:赞成! Ⅲ.例题分析例(课本P 65例1)考查下面的数列,写出它们的极限:(1),1,,271,81,13n ;,,,…,7-n105,…; (3) ,)2(1,,81,41,21n---.[师]求数列的极限,可以归为前面我们常见的几道题型中去.然后再利用定义直观判断. 此题的知识点:极限的定义.[生19](1)数列{31n }的项随n 的增大而减小,但大于0,且当n 无限增大时,31n 无限地趋近于0.因此,数列{31n }的极限是0.事实上,|a n -0|=|31n -0|=31n ,对于给定任意小的正数ε,都能找到N ,使得当n >N 时,|a n -0|<ε恒成立,此题N =[31ε].[生20](2)数列{7-n 105}的项随n 的增大而增大,但小于7,且当n 无限增大时,7-n105无限地趋近于7.因此,数列{7-n105}的极限是7.[生21](3)数列{n)2(1-}的项正负交替,随n 增大其绝对值减小,但不等于0,并且当n 无限增大时,n )2(1-无限地趋近于0.因此,数列{n)2(1-}的极限是0.Ⅳ.课堂练习 1.选择题(1)命题:①单调递减的无穷数列不存在极限;②常数列的极限是这个常数本身;③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的选项是( )A.0B.1(2)数列{a n }的极限为a 的意义为( )A.当n 无限增大时,|a n -a |能任意小,并保持任意小.B.当n 无限增大时,a n -a 单调递减C.当n 无限增大时,|a n -a |能取到零D.当n 无限增大时,|a n -a |必能取到零 (3)以下数列,不存在极限的是…( )A. ,)1(,,271,81,131n n --- B. ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n nC.-1,1,-1,1,…,(-1)n ,…D.,1,,34,23,2n n +答案:(1)B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n 1这是无穷单调递减数列,它的极限是零;③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列,它的极限是零.因为|a n -0|=|n n 2)1(1---0|=n 21可以任意小.应选B.(2)A.由极限的定义知应选A.对于B 、C 、D 可以举反例:a n =n n 2)1(1--它的极限是0,但a n -a =n n 2)1(1--是一个摇摆的数列,故排除B.当n 无限增大时,|a n -a |=n 21永远不能为0,故排除C 、D.(3)C.选项A 的极限是0,选项B ,a n =)1(1+n n 的极限是0,选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1.2.将以下数列的前n 项分别在数轴上表示出来,并根据图形,“估计〞它们的极限值.(1){n 1};(2){1-n21};(3)a n =(-1)n ·n 1;(4)a n =(-1)n -1·2.解:(1)lim =∞→n n a(2)估计:a n 的极限为1(3)估计:a n 的极限为0 (4)a n 的极限不存在.3.数列的通项公式是a n =1+n n,那么该数列{a n }在第项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.解:|a n -1|=|1+n n -1|=1000111<+n∴n >999. 故N =999.第999项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.4.举一个无穷递增数列、无穷递减数列、无穷摇摆数列,使它们的极限均为2.解:单调递增数列:a n =2-n 1,a n =2-n21,…单调递减数列:a n =2+n 1,a n =2+n 21,…摇摆数列:a n =2+(-1)n n 1,a n =2+(-1)n ·n 21,…师:(解题回顾)本套课堂练习题着重是考查学生对数列极限定义的直观地认识和领悟,并能会用ε—N 的定义求数列的极限.同时定义法解题是解题策略中最常见的方法,美籍·匈牙利数学家G ·波利亚说过:让我们回到定义去吧!Ⅴ.课时小结本节学习了数列的极限的定义,经历两个阶段的演变,第一阶段是直观定义(描述性定义),它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力,例如第二X 幻灯片中的8个小题,数列是否趋近某一个常数,而这个定义不是很科学的,我们如何进行量化呢?于是进入了第二个阶段,数列的极限的ε—N 的定义,这个定义的产生过程是由直观概括,通过图象演示,引入距离|a n —A |来刻划它们项与该数A 的相距问题,经过我们大家的共同努力,终于得出了数列的极限的科学的定义.Ⅵ.课后作业1.选择题(1)数列{a n }的极限为a 可理解为:①随着项数n 的无限增大,数列的项a n 无限地趋近于常数a ;②数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的,随n 的增大a n 越来越接近于a ;③a n 无限地趋近于a ,|a n -a |随n 的增大而无限地趋近于0.以上命题正确的个数为( )A.0B.1答案:D (2)数列a n =n n )1(-中,如果预先给定的正数ε=3101存在正常数N ,使得只要正整数n >N时,就有|a n -0|<ε,那么正常数N 的最小值为( )4 B.103 4-3-1答案:B2.填空题(1)数列41,0,31,0,21,0,1,…的极限为. 答案:0(2)数列412,,37,25,3+n ,…,那么|a n -2|=,第项以后的所有项都满足|a n -2|<1001.答案:n 11003.考察数列,,,…,2+n 101,…它的极限是什么?说明理由.答案:设第n 项为a n =2+n 101,|a n -2|=n 101,对于任意给定的小正数ε,|a n -2|<ε,即n 101<ε.∴10n >ε1,∴n >lg ε1=-lg ε.取N =[-lg ε].∴当n >N 时,|a n -2|<ε恒成立,∴a n 的极限为2,即2)1012(lim =+∞→n n .板书设计。
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课 题:2.3函数的极限(一)
教学目的:
1.理解当x →+∞,x →-∞,x →∞时,函数f (x )的极限的概念.
2.从函数的变化趋势,理解掌握函数极限的概念.
3.会求当函数的自变量分别趋于+∞,-∞,∞时的极限
教学重点:从函数的变化趋势来理解极限的概念,体会极限思想.
教学难点:对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解.
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.数列极限的定义:
一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....某个常数a (即n a a -无限趋近于0),那么就说数列}{n a 以a 为极限,或者说a 是数列}{n a 的极限.记作lim n n a a →∞
=,读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于a ”
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思n a a →∞
=有时也记作:当n →∞时,n a →a .
理解:数列的极限的直观描述方式的定义,只是对数列变化趋势的定性说明,而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大,数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面:一方面,数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的,即随着n 的增大a n 越来越接近于a ;另一方面,a n 不是一般地趋近于a ,而是“无限”地趋近于a ,即|a n -a |随n 的增大而无限地趋近于0.
2.几个重要极限:
(1)01lim =∞→n n (2)C C n =∞
→lim (C 是常数) (3)无穷等比数列}{n q (1<q )的极限是0,即 )1(0lim <=∞
→q q n n 3. 将a n 看成是n 的函数即a n =f (n ).自变量n ∈N *
,a n 就是一个特殊的函数. 数列的项a n ,随着n 的增大a n 越来越接近于a ,也就是f (n ) 越来越接近于a . 对于一般的函数f (x ),自变量x ∈R ,是否有同样的结论呢?这节课就来研究当
x →∞时,函数f (x )的极限.
二、讲解新课:
1. 举特殊例子
我们先来看函数y =x
1(x ∈R ,x ≠0),画出它的图象,或者列表观察.当x 取正值并无限增大,和当x 取负值并绝对值无限增大时,函数值的变化趋势.
(1)函数 y =
1 (x ∈R ,x ≠0)的图象:
绝对值增大时,y 的值也趋于0.
如果也用数列中的极限符号表示:01lim ,01lim
==-∞→+∞→x x x x . 2.函数极限的定义:
(1)当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于正无穷大时,函数f (x )的极限是a .
记作:+∞→x lim f (x )=a ,或者当x →+∞时,f (x )→a .
(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于负无穷大时,函数f (x )的极限是a .
记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →-∞时,f (x )→a .
(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞
→x lim f (x )=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ,
记作:∞
→x lim f (x )=a 或者当x →∞时,f (x )→a . 3.常数函数f (x )=c .(x ∈R ),有∞
→x lim f (x )=c . 注意:∞→x lim f (x )存在,表示+∞→x lim f (x )和-∞
→x lim f (x )都存在,且两者相等.所以∞
→x lim f (x )中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义
三、讲解范例:
例1分别就自变量x 趋向于+∞和-∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.
(1)y =(2
1)x 分析:作出这个函数的图象,由图就能看出变化趋势.
解:由图可知,
当x →+∞时,y =(2
1)x 无限趋近于0,即 +∞→x lim (21)x =0; 当x →-∞时,y =(
21)x 无限趋近于+∞.极限不存在. (2)y =2x
解:由图可知,
当x →+∞时.y =2x 无限趋近于+∞,极限不存在.
当x →-∞时,y =2x
无限趋近于0,即-∞→x lim 2x =0.
(3)⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(0)0(1)(时时时x x x x f
解:由图可知,
当x →+∞时,f (x )的值为1,即+∞→x lim f (x )=1;
当x →-∞时,f (x )的值为-1,即-∞→x lim f (x )=-1.
说明:当x →+∞时,f (x )不是无限趋近于某个常数a ,而是f (x )的值等于常数a ,那么函数f (x )当x →+∞时的极限也就是a .x →-∞时,情况也是如此.
四、课堂练习:
1.1.对于函数y =
21x ,填写下表并画出函数的图象,观察当x →∞时,函数y 的变化趋势.
答案:当x →∞时,y =21x 无限趋近于0.即∞→x lim 21x
=0. 2.写出下列函数极限的值.
(1)x
x 1lim +∞→; (2)-∞→x lim 10x ; (3)35lim x x +∞→;(4)12lim ++∞→x x
答案:⑴0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 0
3.判断下列函数的极限:
(1)x x )21(lim +∞→ (2)x
x 10lim -∞→ (3)21lim x x ∞→ (4)4lim ∞
→x 答案:⑴0 ⑵0 ⑶0 ⑷ 4
五、小结 :当x 分别趋向于+∞,-∞,∞时,函数f (x )的极限,以及常数函数的极限,注意∞→x lim f (x )中的∞和数列极限∞
→n lim a n 中的∞的不同意义.以概念为依据,结合函数图象,学会求一些函数的极限
六、课后作业:
1.判断下列函数的极限:
(1)x x 4.0lim +∞→ (2)x
x 2.1lim -∞→ (3))1lim(-∞→x (4)41lim
x
x ∞→ (5)x x )101(lim +∞→ (6)x x )4
5(lim -∞→ (7)11lim 2+∞→x x (8)lim ∞→x 答案: ⑴0 ⑵0 ⑶-1 ⑷0 ⑸0 ⑹0 ⑺0 ⑻5
七、板书设计(略)
八、课后记:。