高中数学《函数的极限(一)》教案

课 题：2.3函数的极限(一)

教学目的：

1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念.

2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念.

3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限

教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想.

教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞

=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞

=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．

理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0.

2.几个重要极限：

（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1

→q q n n 3. 将a n 看成是n 的函数即a n =f (n ).自变量n ∈N *

，a n 就是一个特殊的函数. 数列的项a n ,随着n 的增大a n 越来越接近于a ,也就是f (n ) 越来越接近于a ． 对于一般的函数f (x )，自变量x ∈R ，是否有同样的结论呢？这节课就来研究当

x →∞时，函数f (x )的极限.

二、讲解新课：

1. 举特殊例子

我们先来看函数y =x

1(x ∈R ，x ≠0)，画出它的图象，或者列表观察.当x 取正值并无限增大，和当x 取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势.

(1)函数 y =

1 (x ∈R ，x ≠0)的图象：

绝对值增大时，y 的值也趋于0.

如果也用数列中的极限符号表示：01lim ,01lim

==-∞→+∞→x x x x . 2.函数极限的定义:

(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .

记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .

(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .

记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .

(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞

→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，

记作：∞

→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a . 3.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞

→x lim f (x )=c . 注意：∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞

→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞

→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义

三、讲解范例：

例1分别就自变量x 趋向于+∞和－∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.

(1)y =(2

1)x 分析：作出这个函数的图象，由图就能看出变化趋势.

解：由图可知，

当x →+∞时，y =(2

1)x 无限趋近于0，即 +∞→x lim (21)x =0； 当x →－∞时，y =(

21)x 无限趋近于+∞.极限不存在． (2)y =2x

解：由图可知，

当x →+∞时.y =2x 无限趋近于+∞，极限不存在．

当x →－∞时，y =2x

无限趋近于0，即-∞→x lim 2x =0.

(3)⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(0)0(1)(时时时x x x x f

解：由图可知，

当x →+∞时，f (x )的值为1，即+∞→x lim f (x )=1;

当x →－∞时，f (x )的值为－1，即-∞→x lim f (x )=－1．

说明：当x →+∞时，f (x )不是无限趋近于某个常数a ，而是f (x )的值等于常数a ，那么函数f (x )当x →+∞时的极限也就是a .x →－∞时，情况也是如此.

四、课堂练习：

1．1.对于函数y =

21x ，填写下表并画出函数的图象，观察当x →∞时，函数y 的变化趋势.

答案：当x →∞时，y =21x 无限趋近于0.即∞→x lim 21x

=0. 2.写出下列函数极限的值.

(1)x

x 1lim +∞→； (2)-∞→x lim 10x ； (3)35lim x x +∞→；(4)12lim ++∞→x x