2018考研数学二真题_最新修正版
2018年考研数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（ ）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2
x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。 （ 17 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成， 计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X A. r ( A C. r ( A
Y ） 表示分块矩阵，则（ ）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0
2018年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)
C. a 1 , b 1 2
D. a 1 , b 1 2
【答案】B
【解析】
1 lim e ax bx e e e x
2
1 x2
ln ex ax2 bx
lim
x0
x2
lim ex 2axb x0 2 x ex ax2 bx
lim ex 2axb x0 2x
x0
lim
f 0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0,
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0
D 不可导：
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 -x
2 x
1, 2
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
1 2
x
1
x x0
2
f 0 f 0
3.设函数
f
x
1, 1,
则
A. a 3, b 1 C. a 3, b 1
g
x 1b
1 1 b b
2
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 2 a
1 a
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 1 2 2
1 a
a
3
4. .设函数 f x 在0,1 上二阶可导，且 1 f xdx 0, 则 0
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及标准答案
(总分：150.00，做题时间：180分钟)
一、单项选择题
选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(总题数：8，分数：32.00)
1. （分数：4.00）
A.a=1/2，b=-1
(1) 求f(x1,x2,x3) = 0 的解
(2) 求f(x1,x2,x3) 的规范型（分数：11.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(
）
解析：
12.曲线 对应点处的曲率为__________。（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
2/3
）
解析：
13.设函数z = z(x，y)由方程l __________。
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
1/4
）
正确答案：(
)
解析：
19.将长为2m的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存 在最小值？若存在，求出最小值。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________
2
）
解析：
三、解答题
解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2018考研数二真题答案
2018考研数二真题答案（正文开始）2018考研数二真题答案一、选择题部分1. A2. B3. D4. C5. A6. D7. C8. B9. D 10. C11. B 12. A 13. D 14. C 15. B 16. D 17. A 18. C 19. D 20. B二、计算题部分21. 设正方体的边长为x。
则从正方体底面上任一点到正对面上的点的距离为2x。
根据题意，有：2x = 12 => x = 6则正方体的体积为 V = x^3 = 6^3 = 21622. 记事件A为甲同学物理考试及格，事件B为甲同学数学考试及格，事件C为甲同学英语考试及格。
根据题意，有：P(A) = 0.9P(B) = 0.8P(C) = 0.7P(A∩B) = 0.4P(A∩C) = 0.5P(B∩C) = 0.6根据两两事件的交集关系，有：P(A∩B∩C) = P(A) + P(B) + P(C) - (P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C)) = 0.9 + 0.8 + 0.7 - (0.4 + 0.5 + 0.6) = 1.3所以甲同学三门课程都及格的概率为1.3。
三、解答题部分23. 解：设随机变量X为硬币朝上的次数。
根据题意，有：P(X = 0) = (1/2)^10 = 1/1024P(X = 1) = 10 * (1/2)^10 = 10/1024P(X = 2) = C(10, 2) * (1/2)^10 = 45/1024P(X = 3) = C(10, 3) * (1/2)^10 = 120/1024P(X = 4) = C(10, 4) * (1/2)^10 = 210/1024所以P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = (120 + 210) / 1024 = 330 / 1024 ≈ 0.32224. 解：根据题意，A、B交换座位等价于把A、B按照某种顺序排列在一起。
2018考研数学二真题及答案解析
2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。
以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。
【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。
解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。
解方程得到：4a + 2b + c = 3。
(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。
对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。
带入 x = 1，得到 2a + b = 3。
(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。
因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。
【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。
现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。
解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。
根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。
解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。
因此，学生总数 N 约为 17857人。
【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。
解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。
（完整版）2018考研数学二真题
（完整版）2018考研数学二真题2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）2120lim()1,x x x e ax bx →++=若则（） (A)112a b ==-， (B)1,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12a b =-= （2）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-?-<<+??≥??-≥?设函数若在上连续，则（）(A)3,1a b == (B) 3,2a b ==(C) 3,1a b =-= (D) 3,2a b =-=（4）10()[0,1]()0,f x f x dx =?设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时 (B) 1()0,()02f x f ''<<当时(C) 1()0,()02f x f '><当时 (D) 1()0,()02f x f ''><当时（5）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===++则（）(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>（6）22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=（）(A)53 (B) 56 (C) 73 (D) 76（7）下列矩阵中与矩阵110011001??相似的为（）(A) 111011001-??(B) 101011001-??(C) 111010001-?? ? ? ???(D) 101010001-?? ? ? ???（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =(D) ()(),T T r A B r A B =二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= （10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是（11）25143dx x x +∞=-+? （12）33cos 4sin x t t y tπ?==?=?曲线，在对应点处的曲率为（13）()1,ln ,1(2,)2z z z x y z e xy x -?=+==?设函数由方程确定则（14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若则A 的实特征值为 .三、解答题：15~23小题，共94分。
2018年考研数学二真题
2018年考研数学二真题2018年考研数学二真题是考研数学考试中的一套真题，包含一系列的数学问题，主要涵盖代数、几何、概率与统计等数学领域。
接下来，我们将逐一讨论这些问题，帮助大家更好地理解和应对这些数学难题。
第一部分：代数（共7题）第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象关于原点对称，且有两个相异的实根x1和x2。
（1）若a+b+c=4，则a=_______。
（2）若x1=2，则a+b+c=_______。
解析：此题考查二次函数对称轴与实根之间的关系。
根据题意，已知二次函数关于原点对称，故对称轴必过原点，因此，二次函数的对称轴方程为x=0。
又根据题意，已知二次函数有两个相异的实根x1和x2，则其解必为x=0的根，即x1=-x2。
根据二次函数求解根的公式可得：x1=-b/2a=-x2。
则有b=0。
将b=0代入a+b+c=4，可得a+c=4。
根据题意，若x1=2时，则二次函数的另一个实根为x2=-2。
代入y=ax^2+bx+c中，可得4a-2c=4。
联立求解方程组，解得a=1，c=3。
所以，答案为：（1）a=1；（2）a+b+c=4+0+3=7。
第二题：设a，b为正实数，且满足a<b，则下列不等式成立的是（）。
（A）loga(b+1)>1（B）log(b+1)/loga<b（C）logb(a+1)>1（D）log(a+1)/logb<b解析：此题考查对数函数的性质。
对数函数的性质有：loga(m*n)=loga(m)+loga(n)、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)等。
对于选项（A），我们可以进行如下推导：loga(b+1)>1等价于 a^1 < b+1即 a < b+1由a < b，得出 a < b+1，故选项（A）成立。
对于选项（B），我们可以进行如下推导：log(b+1)/loga < b等价于 log(b+1) < b*loga即 log(b+1) < loga^b由于已知a<b，那么 a^b < b^b，进而 loga^b < logb^b，所以 loga^b 还是小于log(b+1)的。
2018年考研数学二真题与答案解析
2018年考研数学二真题及答案解析1.若()212lim 1→++=xx x e ax bx，则A.1,12==-a b B.1,12=-=-a b C.1,12==a b D.1,12=-=a b 【答案】B 【解析】()()()22022002ln lim21limlim22201lim x x x xx x x e ax be ax bxe ax b xeax bxx x x x x e ax bx e ee→→→++++++++→=++===02lim 02x x e ax b x →++⇒=()00lim 20112lim 022xx x x e ax b b e ax b a x →→⎧++==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨++=-⎪⎪=⎩⎩2.下列函数中，在0=x 处不可导的是A.()sin f x x x = B.()sin f x x =C.()cos f x x = D.()f x =【答案】D 【解析】A 可导：()()()()-000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-0000sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22000011cos 1cos 1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x x x--++-+→→→→----''=====D 不可导：——印校园考研一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.()()()()()00011-11220lim lim ,0lim lim 2200x x x x x x f f x x f f --++-+→→→→+---''====-''≠3.设函数()()2,11,,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩-若()()f x g x +在R 上连续，则A.3,1==a bB.3,2==a bC.3,1=-=a bD.3,2=-=a b 【答案】D 【解析】()()()()()()()()()()()()()()()()0000111111lim lim lim 101lim lim lim 1112lim lim lim 121lim lim lim 11221x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x b b b f x g x f x g x a a f x g x f x g x a ---+++---+++→→→→→→→-→-→-→-→-→-+=+=-+=-⎡⎤⎣⎦+=+=-⇒-=-⇒=⎡⎤⎣⎦+=+=-++=+⎡⎤⎣⎦+=+=--=-⇒-=+⇒⎡⎤⎣⎦3a =-4..设函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()100,f x dx =⎰则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f 【答案】D 【解析】A 错误：()()()11000,10111,2,022f x f x dx dx f x x f x ⎛⎫'===-< ⎪⎛⎫=-+-+= ⎝⎝⎭⎪⎭⎰⎰B 错误：()()()100212111111,033243120,20,f x dx dx f x x ff x x ⎛⎫''==⎛⎫=-+-+=-+=-< ⎪⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎰⎰C 错误：()()()1100111,0220,10,2f x d f x x x f x dx f x ⎛⎫=-⎛⎫'-===> ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确：方法1：由()0f x ''>可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f ξξξξ'''=+-+-'''''=+-+-=+-=''><⎰⎰⎰介于和之间,又故5.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则A.>>M N KB.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M【答案】C【解析】222222(1)11,11,22()1,(0)0,()10,()0;()0221,()01N<M,C22x xx x M dx dx x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈-+≥>⎢⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选6.()()222121011x x xx dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰A.53 B.56C.73D.76【答案】C 【解析】如图,22212107(1)(1)(1)3x x D xxDDdxxy dy dxxy dy xy dxdy dxdy S -----+-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.7.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似的为A.111011001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭B.101011001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征值为1,1,1，()2r E Q-=选项A：令111011001A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A的特征值为1,1,1，()0110012000r E A r-⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B：令101011001B-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B的特征值为1,1,1，()0010011000r E B r⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项C：令111010001C-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C的特征值为1,1,1，()0110001000r E C r-⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B：令101010001D-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，D的特征值为1,1,1，()0010001000r E D r⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若矩阵Q 与J 相似，则矩阵E Q -与E J -相似，从而()()r E Q r E J -=-，故选（A ）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似故选（A ）8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().TTr A B r A B =【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒==故选（A ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=____________.【答案】1【解析】原式221lim 1,(,1)1x xx x εε→+∞=∈++拉格朗日中值定理.10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43y x =-【解析】22ln y x x =+，定义域为{0}x x >，2'2y x x =+，22''2y x=-，令''0y =，则01x =±，由于0x >，故01x =，故拐点为(1,1)，0'()4y x =，则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)y x -=-即43y x =-.11.25143dx x x +∞=-+⎰________________________.【答案】1ln 22【解析】25143dx x x +∞=-+⎰51(3)(1)dx x x +∞--⎰5111()231dx x x +∞=---⎰513ln21x x +∞-=-1353lim ln ln 2151x x x →+∞--=---1ln 22=12.曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，在4t π=对应点处的曲率为______________.【答案】23【解析】22sin cos 'tan 3cos (sin )t ty t t t -==--，4'1t y π==-，2244sec 1''3cos sin 3cos sin t t y t t t t π=-==-，4''323()2t y π===，3322242''233(1')(11)y k y ===++.13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z exy -+=确定，则1(2,)2zx ∂=∂____________.【答案】14【解析】根据题意，得1z(2,)12=，对方程两边同时对x 偏导数并讲点代入，得1(2,)2zx ∂=∂14.14.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.【答案】2【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121A A A A ααααααααα⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦123,,ααα 线性无关，()123,,P ααα∴=可逆，1200111121P AP B-⎡⎤⎢⎥∴=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B ∴与相似，特征值相等()()22230E B λλλλ-=--+=⇒实特征值2λ=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2arctan ⎰xe.【答案】32211(tan (1)23x x e arc e C--+【解析】()2222223221arctan 211(arctan )2111(arctan )21=(arctan )211=(arctan 123x x x xx x x x x x x x e e e e e e e C ==⋅+-=----+⎰⎰原式x x ,22,1,ln(1)x t e t x t ==+=+3222322(1)211(1)1)2133xxx t t dt t dt t t C e C t t +=⋅=+=++=-++⎰⎰故原式32211((1)23x x e arc e C=--+16.（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足20()()xxf t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰.（I ）求()f x ；（II ）若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值。
2018考研数学二真题及答案解析-文都版
世纪文都教育科技集团股份有限公司
应选(D). 方法二： 因为 f ( x) cos
x , f (0) 1 cos x x 1 1 x 2 不存在 x
lim
x 0
f ( x) f (0) lim x 0 x
lim
x 0
f ( x) 在 x 0 处不可导，选（D）
N 2
1 x x 1 dx ，因为 e x x 1 ，所以 x 1 x e 2 e
3
世纪文都教育科技集团股份有限公司
K 2 1 cos x dx ， 1 cos x 1
2
即
所以由定积分的比较性质 K M N ，应选（C）. 6.
A. M N K . C. K M N . 答案：（C） 解析： M
B. M K N . D. K N M .
2 2
1 x
1 x2
2
dx =
2 2
2x 1 2 1 x
2 dx 1dx ， 2
4.设函数 f ( x ) 在 0,1 上二阶可导，且
1
0
f ( x)dx 0, 则
2
世纪文都教育科技集团股份有限公司
1 2 1 C.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
A.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 答案：（D）
1 2 1 D.当 f "( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
（B） lim
x 0
1 2 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （C） lim = lim = lim 2 = 0 ，可导 x 0 x 0 x 0 x x x 1 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （D） lim = lim = lim 2 不存在，不可导 x 0 x 0 x 0 x x x
2018年全国2卷数学试卷及参考答案(可编辑修改word版)
2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1 + 2i=（）1 - 2iA．-4-3i5 5B．-4+3i5 5C．-3-4i5 5D．-3+4i5 52.已知集合A ={(x，y )x2+y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z}，则A 中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．43.函数f (x)= e x -e-xx2的图象大致是（）4．已知向量a ，b 满足，a =1 ，a ⋅b =-1 ，则a ⋅(2a -b)=（）A．4 B．3 C．2 D．0．双曲线x222= 1(a＞0 ，b＞0)的离心力为，则其渐近线方程为（）a b- y25323029 A. y = ± 2x B. y = ± 3x C. y = ± 2x2D. y = ± 3x26. 在△ABC 中， cosC = 5 ， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB =（）25A ． 4B ．C ．D ． 27．为计算 S = 1 - 1 + 1 - 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 - 1，设计了右侧的程序框2 3 4 99 100 图，则在空白框中应填入（ ）A. i = i + 1B. i = i + 2C. i = i + 3D. i = i + 48. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数， 其和等于 30 的概率是（ ）A.112B.114C.1 15D.1189. 在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = BC = 1 ， AA 1 =，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为53+ ⎨ ⎩（ ）A.1 5B.6C.5D.210. 若f ( x ) = cos x - sin x 在[- a ，a ] 是减函数，则 a 的最大值是（ ）3 A.B ．C ．D ．42411．已知 f ( x ) 是定义域为(-∞ ，+ ∞) 的奇函数，满足 f (1 - x ) = f (1 + x ) ．若 f (1) = 2 ，则f (1) + f (2) + f (3) + ⋅ ⋅ ⋅ + f (50) = （ ）A ． -50B. 0C. 2D. 50x 212. 已知 F 1 ， F 2 是椭圆C : 2 2 2 = 1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点交点， A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为a b3 的直线上， △PF F 为等腰三角形， ∠F F P = 120︒ ，则C 的离心率为（）61 21 2A.23B.12C.13D.14二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 曲线y = 2 l n ( x + 1) 在点(0 ，0) 处的切线方程为 ．⎧x + 2 y - 5≥0 14. 若 x ，y 满足约束条件⎪x - 2 y + 3≥0 ，则z = x + y 的最大值为 ．⎪x - 5≤015．已知sin + cos = 1 ， cos + sin = 0 ，则sin (+ ) =．y1516．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 所成角的余弦值为 7， SA 与圆锥底面所成角为 45︒ ．若△SAB8的面积为5 ，则该圆锥的侧面积为．三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数⎩⎨⎧≥-=010,1)(x x x f ，＜，⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且⎰=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx e xN x ⎰-+=221ππ，dx x K ⎰-+=22)cos 1(ππ，则 （A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-⎰⎰⎰⎰----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-11（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题（4分×8） 1. 若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则 （ ）A 、 1,12a b ==- B 、1,12a b =-=- C 、1,12a b == D 、1,12a b =-= 解 选B 。
因()2122201lim 1lim 0x x xx x e ax bx e ax bxx →→++-++=⇔=；由此可知02lim 012x x e ax b b x →++=⇒=-，及021lim 022x x e a a →+=⇒=-。
2.下列函数在x = 0处不可导的是 （ ） A 、()sin f x x x = B、()f x x = C 、()cos f x x = D、()f x =解 选D 。
详见数学一的第1题。
3.设函数2,11,0(),(),101,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩，若()()f x g x R +在上连续，则（ ） A 、 3,1a b == B 、3,2a b == C 、3,1a b =-= D 、3,2a b =-= 解 选D 。
计算得21,1()()1,101,0ax x f x g x x x x b x --≤-⎧⎪+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩，因()()f x g x R +在上连续，故21210b+1a +-=--+=-及，解得3,2a b =-=。
4. 设函数()f x 在上[0,1]二阶可导，且1()0f x dx =⎰，则 （ ）A 、当()0f x '< 时，1()02f <B 、当()0f x ''< 时，1()02f <C 、当()0f x '> 时，1()02f <D 、当()0f x ''> 时，1()02f <解 选D 。
2018年考研数学二试题与答案解析(完整版)
B. a 3, b 2 D. a 3, b 2
lim f x g x lim f x lim g x 1 0 1
x 0 x 0
lim f x g x lim f x lim g x 1 b 1 1 b b 2
6. A.
0
1
dx
2 x2
x
1 xy dy 0 dx x 1 xy dy
B.
1
2 x2
5 3 7 C. 3
【答案】C 【解析】 如图, dx
1
5 6 7 D. 6
1 2 x2
0
2 x2
x
(1 xy )dy dx
0
x
(1 xy )dy (1 xy )dxdy dxdy S D
2
e
x0 2 x
lim
e
e x 2 ax b
x
ax 2 bx
e
x0
lim
e x 2 ax b 2x
lim e x 2 ax b 0 b 1 e x 2 ax b x0 lim 0 1 e x 2 ax b x0 2x a lim 0 2 2x x0
x 0 x 0
x 1 x 1
lim f x lim g x 1 2 a 1 a f x g x xlim 1 x 1 lim f x lim g x 1 1 2 2 1 a a 3 f x g x xlim 1 x 1
2018年考研数学二真题及答案
lim ( f (x) g(x)) 1 a, lim ( f (x) g(x)) 2, a 3 ，
x 1 x0
x0
lim ( f (x) g(x)) 1, lim ( f (x) g(x)) 1 b,b 2 ，选 D. 1
(x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1，证明(x 1)(x ln x 2k ln x 1) 0
2
（19） 一根绳长 2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长
时所得的面积总和最小，并求该最小值。
（20） 已知曲线
L: y
4 9
【解答】对于选项 A:取 f ( x ) x 选 D.
1
海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）
海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）
(5) 【答案】选 C.
【解答】 M
.
（15） 三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）
海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）
求不定积分 e arctan
（23） 已知 a 是常数，且矩阵
（I） 求 a （II） 求满足
AP B 的可逆矩阵 P
3
海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）
海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）
2018 考研数学二答案解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．请将答案写在答 题 纸 指定位置上． ． ． ． （1）【答案】选 B. 【解答】lim(e ax2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）2
1
20lim()1,x x x e ax bx →++=若则（ ） (A)112a b ==-， (B)1,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12
a b =-= （2）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ）
(A)()sin f x x x = (B) (
)f x x =
(C) ()cos f x x = (D) (
)f x =（3）2,1
1,0(),(),10,()()1,0,0
ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<+⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩设函数若在上连续，则（
）
(A)3,1a b == (B) 3,2a b ==
(C) 3,1a b =-= (D) 3,2a b =-=
（4）1
0()[0,1]()0,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（ ）
(A)1()0,()02f x f '<<当时 (B) 1
()0,()02f x f ''<<当时
(C) 1
()0,()02f x f '><当时 (D) 1
()0,()02f x f ''><当时
（5）设(
)(22222222
1
1,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππ
ππππ---++===
++⎰⎰⎰则（ ）
(A)M N K >> (B)M K N >>
(C)K M N >> (D)K N M >>
（6）2
2
021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰（ ）
(A)53 (B) 5
6 (C) 7
3 (D) 7
6
（7）下列矩阵中与矩阵110
011001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为（ ）
(A) 111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(B) 101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(D) 101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，
则（ ） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =
(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =
(D) ()()
,T T r A B r A B =
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= （10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是
（11）25143
dx x x +∞
=-+⎰ （12）33cos 4sin x t t y t π⎧==⎨=⎩
曲线，在对应点处的曲率为 （13）()1,ln ,1(2,)2
z z z x y z e xy x -∂=+==∂设函数由方程确定则 （14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若 则A 的实特征值为 .
三、解答题：15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
2.x e ⎰求不定积分
（16）（本题满分10分）
200()()()x x
f x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足 （I ）()f x 求；
（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值
（17）（本题满分10分）
sin ,(02),(2).1cos D x t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分
（18）（本题满分10分）
已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2
(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥
（19）（本题满分10分） 2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值
（20）（本题满分11分） 已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9
L y x x O A P L S OA AP L =
≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线 ()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率
（21）（本题满分11分）
{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞
>=-=设数列满足：证明收敛，并求
（22）（本题满分11分）
2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数
(I) 123(,,)0f x x x =求的解；
(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.
（23）（本题满分11分）
1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵
(I) ;a 求
(II) .AP B P 求满足的可逆矩阵。