高考数学一轮复习第十章统计、概率第1讲随机抽样练习理
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题
X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检 验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率 问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬 奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自 亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是 否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计 的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年 重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识 竞赛，现从中随机抽取了100名学生的 成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]， 统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，
高考数学一轮复习第十章统计与统计案例第一节随机抽样课件理【新】
答案：068
4．某工厂平均每天生产某种机器零件大约 10 000 件，要 求产品检验员每天抽取 50 件零件，检查其质量状况，采用系 统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为 0010，则第三 组抽取的号码为________．
答案：0410
5．某校高中生有 900 名，其中高一有 400 名，高二有 300 名，高三有 200 名，打算抽取容量为 45 的一个样本， 则高三学生应抽取________人．
(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高 三共抽取 60 名代表，则可用分层抽样方法抽取．(
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
)
2．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不 放回抽样， 在分层抽样、 系统抽样、 简单随机抽样三种抽样中， 不放回抽样的有( A．0 个 ) C．2 个 D． 3 个
解析：在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.
答案：144
[探究 2]
本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽
取 8 人，则样本容量为________．
解析：因为在编号[481,720]中共有 720－480＝240 人，又 在[481,720]中抽取 8 人，所以抽样比应为 240∶8＝30∶1，又 因为单位职工共有 840 人，所以应抽取的样本容量为 840 ＝28. 30
1 000 [听前试做] (1)由 ＝25，可得分段间隔为 25. 40 (2)由系统抽样定义可知， 所分组距为 840 ＝20， 每组抽取一个， 42
因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－ 480)÷ 20＝12.
答案：(1)C (2)B
第10章 第1节 随机抽样-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
[巩固演练] 1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( B ) A．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质 量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件 进行质量检验 D．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
解析 (2)该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 则样本容量为 10 000×2%＝200， 其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.抽样方法 有哪几种？
1.两种抽样方法的共同点都是等概 率抽样，体现了这两种抽样方法的
►规律方法 应用简单随机抽样应注意以下两点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽 签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和 样本容量都较小时可用抽签法．
(2)应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的 哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是 读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则 两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02， 03，…，32，33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所 示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行 第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选 中的红色球号码为( C )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75
[自主解答] 因为高一年级抽取学生的比例为 1224000＝15，所以k＋5k＋3＝15，解得 k＝2， 故高三年级抽取的人数为 1 200×2＋35＋3＝360.
高考数学一轮复习第十章概率、随机变量及其分布课时规范练51随机抽样、用样本估计总体
课时规范练51随机抽样、用样本估计总体基础巩固组1.(2020天津耀华中学高一期末)已知一组数据为4,5,6,7,8,8,40%分位数是()A.8B.7C.6D.52.(多选)(2020江苏泗洪质检)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有()A.应该采用分层随机抽样法B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力3.(多选)(2020江苏启东高一期末)某人射箭9次,射中的环数依次为7,8,9,7,6,9,8,10,8,关于这组数据,下列说法正确的是()A.这组数据的众数是8B.这组数据的平均数是8C.这组数据的中位数是6D.这组数据的方差是434.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知()A.甲队得分的众数是3B.甲、乙两队得分在[30,39)内的频率相等C.甲、乙两队得分的极差相等D.乙队得分的中位数是38.55.(2020陕西榆林高三四模)港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内,是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短.为了解实际通行所需时间,随机抽取了n台车辆进行统计,结果显示这些车辆的通行时间(单位:分钟)都在[35,50]内,按通行时间分为[35,38),[38,41),[41,44),[44,47),[47,50]五组,其中通行时间在[38,47)内的车辆有182台,频率分布直方图如图所示,则n=()A.280B.260C.250D.2006.(2020天津一中高三月考)某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层随机抽样的方法,从第2,3,4组中抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为()A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,67.(2020山东泰安高一期末)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本,数据从小到大排序如下(单位:cm):152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x ,174,175,若样本数据的90%分位数是173,则x 的值为.8.(2020北京密云高三质检)某校高一年级三个班共有学生120名,这三个班的男生、女生人数如下表所示,已知在全年级中随机抽取1名学生,抽到二班女生的概率是0.2,则x=.现用分层随机抽样的方法在全年级抽取30名学生,则应在三班抽取的学生人数为.班级一班二班三班女生人数20x y 男生人数2020z 综合提升组9.(多选)(2020山东淄博高三质检)某学校为了调查学生一周内在生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是()A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生,则定有600人支出在[50,60)内10.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少11.(多选)(2020山东嘉祥一中高三月考)在某次高中学科知识竞赛中,对4000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点值作代表,则下列说法中正确的是()A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分12.(2020江西九江高三模拟)一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去50,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.6,方差是3.6,则原来数据的平均数和方差分别是()A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.413.(2020福建福州高二期中)为让学生适应新高考的赋分模式,某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分,具体方案如下:A等级,排名等级占比7%,分数区间是83—100;B等级,排名等级占比33%,分数区间是71—82;C等级,排名等级占比40%,分数区间是59—70;D等级,排名等级占比15%,分数区间是41—58;E等级,排名等级占比5%,分数区间是30—40.现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析,其频率分布直方图如图所示:(1)求图中a的值;(2)以样本估计总体的办法,估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级);(3)若采用分层抽样的方法,从原始成绩在[40,50)和[50,60)内的学生中共抽取5人,查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏,再从中选取2人进行调查分析,求这2人中至少一人原始成绩在[40,50)内的概率.创新应用组14.(多选)(2020重庆巴蜀中学高三月考)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天每天日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件:甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;丙地:5个数据有1个是32,平均数是26,方差是10.2,则下列说法正确的是()A.进入夏季的地区至少有2个B.丙地区肯定进入了夏季C.不能肯定乙地区进入夏季D.不能肯定甲地区进入夏季15.如图是某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)的频率分布直方图.(1)求频率分布求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?参考答案课时规范练51随机抽样、用样本估计总体1.C因为有6位数,所以6×40%=2.4,所以40%分位数是第三个数6.2.ABD由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层随机抽样法.由于比例为23520×50+30×45=110,因此高一年级1000人中应抽取100人,高二年级1350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是110,因此只有C不正确,故选ABD.3.ABD数据从小到大排列为6,7,7,8,8,8,9,9,10,所以众数为8,故A正确;中位数为8,故C错误;平均数为6+7+7+8+8+8+9+9+109=8,故B正确;方差为19×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=43,故D正确.4.D甲队得分的众数是33和35,故A错误;甲、乙两队得分在[30,39)内的频率分别为25和310,所以甲、乙两队得分在[30,39)内的频率不相等,故B错误;甲队得分的极差为51-24=27,乙队得分的极差为52-22=30,所以甲、乙两队得分的极差不相等,故C错误;乙队得分的中位数是34+432=38.5,故D正确.故选D.5.D由题意可知,通行时间在[38,47)内的频率为1-(0.01+0.02)×3=0.91,所以182=0.91,所以n=200.6.C由图可知第2,3,4组的频率之比为0.15∶0.15∶0.3,所以频数之比为1∶1∶2,现采用分层随机抽样的方法,从第2,3,4组中抽取8人,所以第2,3,4组抽取的人数依次为2,2,4.7.17290%分位数是173,所以r1742=173,x=172.8.249由题意可得120=0.2,解得x=24.三班总人数为120-20-20-24-20=36,用分层随机抽样的方法在全年级抽取30名学生,每个学生被抽到的概率为30120=14,故应从三班抽取的人数为36×14=9.9.BC样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出不少于40元的人数为0.0360.03×60+60=132,故B正确;n=600.3=200,故n的值为200,故C正确;若该校有2000名学生,则可能有0.3×2000=600(人)支出在[50,60)内,故D错误.10.B依题意由分层随机抽样可知,100÷(560+350+180)=10109,则甲应付10109×560=5141109(钱);乙应付10109×350=3212109(钱);丙应付10109×180=1656109(钱).11.ABC由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;成绩在[40,60)内的频率为0.01×10+0.015×10=0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B 正确;考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以考生竞赛成绩的中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D错误.12.C设一组数据为x i(i=1,2,3,…,n),平均数为,方差为12,所得一组新数据为y i(i=1,2,3,…,n),平均数为,方差为22,则y i=3x i-50(i=1,2,3,…,n),=1+2+…+=1.6,即31-50+32-50+…+3-50=1.6,所以3-50=1.6,所以=51.63=17.2.22=1[(y1-)2+(y2-)2+…+(y n-)2]=1[(3x1-50-1.6)2+(3x2-50-1.6)2+…+(3x n-50-1.6)2]=1×9[(x1-17.2)2+(x2-17.2)2+…+(x n-17.2)2]=1×9[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2]=3.6,所以912=3.6,所以12=0.4.故选C.13.解(1)由题意(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,所以a=0.030.(2)由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%=80%,假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上,则有(0.005+0.025+0.030+0.015)×10+(60-x)×0.015=0.8,所以x≈57.估计原始分不少于57分才能达到赋分后的C等级及以上.(3)由题知评分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15,则抽取的5人中,评分在[40,50)内的有2人,评分在[50,60)内的有3人,记评分在[50,60)内的3位学生为a,b,c,评分在[40,50)内的2位学生为D,E,则从5人中任选2人的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共10种,其中,这2人中至少一人评分在[40,50)内的可能结果为(a,D),(a,E),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共7种.所以这2人中至少一人评分在[40,50)内的概率为710.14.ABC甲地:5个数据由小到大排,则22,22,24,a,b,其中24<a<b,满足进入夏季的标志;乙地:将5个数据由小到大排,则a,b,27,c,d,其中a≤b≤27≤c≤d,则27+c+d≥81,而a+b+27+c+d=120,故a+b≤39,其中必有一个小于22,故不满足进入夏季的标志;丙地:设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈N*,由方差公式可知:(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51,则(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=15=9+4+1+1,不妨设|a-26|=3,|b-26|=2,|c-26|=|d-26|=1,则a,b,c,d均大于22,满足进入夏季标准.综上,ABC正确.15.解(1)由频率分布直方图得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075.(2)由频率分布直方图知众数为230,用电量在[160,220)的频率是20×(0.002+0.0095+0.011)=0.45,用电量在[220,240)的频率为0.0125×20=0.25,设中位数为m,则-22020=0.5-0.450.25,解得m=224,即中位数是224.(3)由频率分布直方图知月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户的频率依次为0.25,0.15,0.1,0.05,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取户数为0.250.25+0.15+0.1+0.05×11=5,应抽取5户.。
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新课改地区高考数学一轮复习第十章统计与统计案例101
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A.12
B.32
C.06
D.16
【解析】选B.第15列和第16列的数字为90，从左到右依次选取两个数字，依次为
12，33，06，32，则第四个被选中的红色球号码为32.
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第十章 统计与统计案例 第一节 随 机 抽 样
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4.(必修3P53练习A组T2改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，
产量分别为200，400，300，100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从
以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_________
件. 【解析】所求件数为60× 答案：18
N
(2)×.因为按各个部分在总体中所占的比实施抽样，所以每个个体被抽到的概 率相等.
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【易错点索引】
序号 1 2
易错警示
随机数表的取数规则 及抽样的等可能性
分层抽样的数量计算
典题索引 考点一、T2，3 考点二、角度1，2
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第1讲(含答案解析)
[学生用书P273(单独成册)]一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B ．因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B ．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0．95B ．0．97C ．0．92D ．0．08解析：选C ．记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0．92．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：选C ．“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．12B ．25C ．34D ．56解析：选B ．设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10种情况．其中事件A 的结果一共有4种情况，根据古典概型概率计算公式，得P (A )＝410＝25，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B ．5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B ．如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25．6．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14．二、填空题7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35．答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15．答案：159．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，A 2A 1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2这4种情况，则其发生的概率为412＝13．答案：1310．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56．答案：56三、解答题11．如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44． (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A 1，A 2121，B 2L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P (A 2)＝0．1＋0．4＝0．5，因为P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1 ． 同理，P (B 1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8， P (B 2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9， 因为P (B 1)＜P (B 2)，所以乙应选择L 2．12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况：(1)(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率． 解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n ＝10． 设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m ＝4．所以P (A )＝410＝25， 即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25．(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m ＝4， 所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49．1．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0．2．(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0．3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0．2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0．6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0．1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地，得到如下结果：(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个，求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．解：(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标1446245353由上表可知，长势等级为三级的种植地只有A1一个，其频率为110，用样本的频率估计总体的频率，可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×110＝18．(2)由(1)可知，长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，从中随机抽取2个，所有的可能结果为(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A3，A4)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A3，A9)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A6，A7)，(A6，A9)，(A7，A9)，共计15个，综合指标ω＝4的有A2，A3，A6，共3个，则符合题意的可能结果为(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A6)，共3个，故所求概率P＝315＝1 5．。
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理
【变式训练 2】 某中学为丰富教职工生活，国庆节举 办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每 人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相 互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域 随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正 方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间 的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次 获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一 知识梳理·自主学习
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布高考大题规范解答__概率统计pptx课件
1.(2023·江西上饶、景德镇等地名校联考)(12分)2022年12月份以 来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复 苏，记发放的消费券额度为x(百万元)，带动的消费为y(百万元)．某省随 机抽查的一些城市的数据如下表所示.
x3
3
4
5
5
6
6
8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
P(ξ＝10)＝C13CC1137C13＝395， P(ξ＝11)＝CC23C37 11＝335，(10 分) ∴ξ 的分布列为：
P 6 7 8 9 10 11
ξ
1 35
9 35
9 35
4 35
9 35
3 35
∴ξ 的数学期望 E(ξ)＝6×315＋7×395＋8×395＋9×345＋10×395＋
答对的概率为23，乙能答对的概率为35；第二关的 6 道题目中甲能答对 4 题，乙能答对 3 题．
(1)求甲获胜的概率； (2)设 X 表示甲获得的优惠券总金额，求 X 的分布列和期望．
[解析] (1)令事件 A 为“甲第一关胜出进入第二关”，事件 B 为“乙 第一关胜出进入第二关”，
则 P(A)＝12×23＋12×1－35＝13＋15＝185，(2 分) P(B)＝12×1－23＋12×35＝12×13＋130＝3104＝175 或PB＝1－PA＝175，(3 分) 令：C1：第二关甲两题都答对
8
(xi－－x )(yi－－y )＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，(2 分)
i＝1
8
(xi－－x )2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，
i＝1
8Hale Waihona Puke (yi－－y )2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3 分)
概率与统计的综合问题(高三一轮复习)
i＝1
∴a^＝ y －b^ x ＝0.3－0.14×4.5＝－0.33，故y关于x的经验回归方程为^y＝0.14x－
0.33.
数学 N
— 18 —
(2)①当x＝7时，^y＝0.14×7－0.33＝0.65，
∴估计该市政府需要给E大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为
0.65×1 00021年的毕业生人数及自主创业人数(单位：千人)，得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
当年毕业人数
x(千人)
3
4
5
6
自主创业人数
y(千人)
0.1 0.2 0.4 0.5
数学 N
— 15 —
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程^y＝a^＋b^x；
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴． ①若该市E大学2021年毕业生人数为7千人，根据(1)的结论估计该市政府要给E 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
①若n＝5，写出X5的分布列和数学期望； ②请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的 实际意义．
数学 N
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.
，a^＝ y －b^x.
n
x2i －n x 2
i＝1
数学 N
— 17 —
解
(1)由题意得
x
＝
3＋4＋5＋6 4
＝4.5，
y
＝
0.1＋0.2＋0.4＋0.5 4
新课标高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布3离散型随机变量及其分布课时作业理
课时作业73 离散型随机变量及其分布一、选择题1．随机变量ξ分布列为：那么ξA．0.7 B．－1C．0 D．1解析：因为P(ξ，P(ξ，P(ξ，所以ξB.答案：B2．某射手射击所得环数X分布列为解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C3．随机变量X概率分布列如下表：A.239B.2310C.139 D.1310 解析：由题意知：P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝10)＝1⇒23＋232＋…＋239＋m ＝1⇒m ＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫23＋232＋…＋239 ＝1－2×13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1391－13＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－139＝139.答案：C4．带活动门小盒子里有采自同一巢20只工蜂与10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出蜂中工蜂只数，那么X ＝2时概率是( )A.C 120C 410C 530B.C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D.C 420C 110C 530解析：X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.答案：B5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新，3个旧，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，那么P (X ＝4)值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意取出3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C6．离散型随机变量X 可能取值为1，2，3，4，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1，2，3，4)，又E (X )＝3，那么3a ＋b ＝( )A ．10B.310 C ．5D.15解析：依题意知：E (X )＝1×(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝a ＋b ＋4a ＋2b ＋9a ＋3b ＋16a ＋4b＝30a ＋10b ＝3， 所以3a ＋b ＝310.答案：B 二、填空题7．甲、乙两队在一次对抗赛某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题队伍得0分，抢到题并答复正确得1分，抢到题但答复错误扣1分(即得－1分)．假设X 是甲队在该轮比赛获胜时得分(分数高者胜)，那么X 所有可能取值是________．解析：X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，答复时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．答案：－1，0，1，2，38．从4名男生与2名女生中选3人参加演讲比赛，那么所选3人中女生人数不超过1人概率是________．解析：设所选女生人数为X ，那么X 服从超几何分布，其中N＝6，M ＝2，n ＝3，那么P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45. 答案：459．随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，那么公差d 取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，那么(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13，13 三、解答题10．将编号为1，2，3，4四个材质与大小都一样球，随机放入编号为1，2，3，4四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球编号与所放入盒子编号正好一样个数．(1)求1号球恰好落入1号盒子概率． (2)求ξ分布列．解：(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子〞，P (A )＝A 33A 44＝14， 所以1号球恰好落入1号盒子概率为14.(2)ξ所有可能取值为0，1，2，4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38；P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13；P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14；P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ分布列为：11.A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队概率；(2)某场比赛前，从代表队6名队员中随机抽取4人参赛．设X 表示参赛男生人数，求X 分布列与数学期望．解：(1)由题意，参加集训男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 分布列为因此，XE (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.1．(2021 ·福建卷)某银行规定，一张银行卡假设在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡密码，但可以确认该银行卡正确密码是他常用6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进展尝试，假设密码正确，那么完毕尝试；否那么继续尝试．直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王该银行卡被锁定概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 分布列与数学期望．解：(1)设“当天小王该银行卡被锁定〞事件为A ，那么P (A )＝56×45×34＝12. (2)依题意得，X 所有可能取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2．为了了解高一学生体能情况，某校随机抽取局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如下图，次数在[100，110)间频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，那么抽中不达标学生、达标学生、优秀学生概率分别是多少？(3)将抽样样本频率视为总体概率，假设优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值与记为X ，求X 分布列与期望．解：(1)设样本总数为n ，由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间频率为 0．014×10， ∴7n，解得n ＝50. (2)记抽中不达标学生事件为C ，抽中达标学生事件为B ，抽中优秀学生事件为A .P (C )＝0.006×10＋0.014×10＝0.20； P (B )＝0.028×10＋0.022×10＝0.50； P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.30.(3)在高一学生中随机抽取2名学生成绩与X＝10，15，20，25，30.P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X2＋2×0.2×0.3＝0.37；P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X2＝0.09.X分布列为E(X)＝＋0.3×25＋0.09×30＝21.。
高考数学一轮复习第十章算法初步统计统计案例专题提能概率统计中的数学建模与数据分析课件
(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列 与数学期望； (2)(ⅰ)若从游客中随机抽取m(m∈N＋)人，记这m人的总分恰为m分的概 率为Am，求数列{Am}的前10项和； (ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计 得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn} 的通项公式.
破解此题的关键：一是认真审题，判断随机变量的所有可能取值，并 注意相互独立事件的概率与互斥事件的概率的区别，求出随机变量取 各个值时的概率，从而列出随机变量的分布列；二是将概率的参数表 达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独 特.
(二)函数与期望相交汇应用 [例2] (2021·重庆一中模拟)某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋 糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的无偿捐献给饲 料加工厂.根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表.该蛋糕店一天 制作了这款蛋糕X(X∈N)个，以x(单位：个，100≤x≤150，x∈N)表示当 天的市场需求量，T(单位：元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
(一)概率与数列交汇问题 [例 1] (2021·湖北武汉质量监测)武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅 有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景 点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个.为合理配置旅游资源，现对已参观黄 鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 1 分，若继续游玩 东湖记 2 分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为12，游客之间选择意 愿相互独立.
[解析] (1)X 的所有可能取值为 3，4，5，6.
P(X＝3)＝123＝18，P(X＝4)＝C23123＝38，P(X＝5)＝C23123＝38，P(X＝6)＝ 123＝18. 所以 X 的分布列为
2015届高考数学一轮总复习 10-1随机抽样
2015届高考数学一轮总复习10-1随机抽样基础巩固强化一、选择题1．(文)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是()A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关[答案] C[解析]简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等．(理)(2013·潍坊模拟)为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是()A．1000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动是样本D．样本容量是100[答案] D[解析]本题主要考察对基本概念的理解，考察对象是运动员的年龄，故总体、个体、样本都应是运动员的年龄，因此A、B、C都不对，选D.2．为了了解参加一次知识竞赛的3204名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是()A．2B．3C．4D．5[答案] C[解析]因为3204＝80×40＋4，所以应随机剔除4个个体，故选C.3．(文)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为() A．50 B．60C．70 D．80[答案] C[解析]n×33＋4＋7＝15，解得n＝70.(理)一工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是()A ．12000B ．6000C ．4000D ．8000[答案] D[解析] 由分层抽样的性质知，这批产品中甲、乙、丙3条生产线生产的新产品数量也成等差数列，再由等差数列性质知，乙生产线生产的产品数量为240003＝8000.4．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1、a 3、a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14 [答案] B[解析] 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，∴d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为12(4＋22)×1010＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.5．(2013·安徽理，5)某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机咨询了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 [答案] C[解析] 五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)25＝8，五名女生成绩的方差为s 22＝2(88－91)2＋3(93－91)25＝6，所以s 21>s 22，故选C.6．(文)(1)某学校为了了解2013年高考数学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法． 问题与方法配对正确的是( ) A ．(1)Ⅲ，(2)ⅠB ．(1)Ⅰ，(2)ⅡC ．(1)Ⅱ，(2)ⅢD ．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ [答案] A[解析] (1)总体是有明显差异的三个构成部分，故应采用分层抽样法． (2)总体容量与样本容量都比较小，宜采用简单随机抽样法．(理)问题：①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法． 其中问题与方法能配对的是( ) A ．①Ⅰ，②Ⅱ B ．①Ⅲ，②Ⅰ C ．①Ⅱ，②Ⅰ D ．①Ⅲ，②Ⅱ [答案] C[解析] ①容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，②总体与样本都较少，可用随机抽样法．故选C.二、填空题7．(2013·武汉模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．[答案] 6[解析] 按系统抽样的定义，设第一组抽取号码为x ，则第16组抽取的号码为x ＋(16－1)×16020＝126，∴x ＝6.8．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________．[答案] 33[解析] 由于分层抽样各层抽样比相等． ∴n 600＋500＋550＝11550，∴n ＝33.9．(文)(2012·浙江文，11)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．[答案] 160[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为280560＋420＝27，所以样本中男生数应为560×27＝160.(理)(2013·福建漳州模拟)某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80～90分数段应抽取________人．[答案] 20[解析] 各分数段人数的比例为0.01:0.02:0.03:0.04＝1:2:3:4，故抽取50人，80～90分数段应抽取41＋2＋3＋4×50＝20(人)．三、解答题10．(文)有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A 、B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为5、8、9、9、9；B 班5名学生得分为6、7、8、9、10.(1)请你估计A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；(2)如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．[解析] (1)∵A 班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，方差s 21＝15[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4；B 班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，方差s 22＝15[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.∴s 21>s 22.∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．(2)从B 班5名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为2的样本共有不同抽法有10种，∵总体平均数为x －＝15×(6＋7＋8＋9＋10)＝8，∴其中样本6和7,6和8,8和10,9和10的平均数满足条件，故所求的概率为410＝25.(理)为预防禽流感病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ (3)已知y ≥465，z ≥30，求不能通过测试的概率．[解析] (1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽取B 组疫苗有效的概率约为其频率，即x2000＝0.33， ∴x ＝660.(2)C 组样本个数为y ＋z ＝2000－(673＋77＋660＋90)＝500，现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，则应在C 组抽取个数为3602000×500＝90.(3)设测试不能通过的事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N ，所有基本事件有：(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)，(469,31)，(470,30)共6个，若测试不能通过，则77＋90＋z >2000×(1－0.9)，即z >33，事件A 包含的基本事件有：(465,35)，(466,34)共2个，∴P (A )＝26＝13，故不能通过测试的概率为13. 能力拓展提升一、选择题11．(2012·大连部分中学联考)某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为( )A.14B.15C.120D.1100 [答案] C[解析] 由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员抽8人，高级管理人员中抽2人．由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为120，选C.12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n 个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为( )A ．10B ．15C ．25D ．30 [答案] B[解析] 根据频率分布直方图得总人数n ＝301－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为50×30100＝15.13．(2013·新课标Ⅰ理，3)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 [答案] C[解析] 因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 二、填空题14．(2013·皖南八校第二次联考)某班有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．[答案] 37[解析] 组距为5010＝5，第八组抽得号码为(8－3)×5＋12＝37.15．(2014·锦州期中)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n ＝________.[答案] 6[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体需剔除1人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.三、解答题16．(文)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升，决定组织部分学科教师参加市达标课活动，规定用分层抽样的方法，先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教师参加，各学科教师人数分布表如下：(1)求a 、(2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中，随机选取两名教师参加市教学技能竞赛，求抽取的两位教师全是历史教师的概率．[解析] (1)因为语文、英语、政治、历史、地理这5个学科的总人数之比为8:8:5:4:3，所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为8人、8人、5人、4人、3人．故a ＝5，b ＝4，c ＝3.(2)将历史教师分别记为x 1、x 2、x 3、x 4，地理教师分别记为y 1、y 2、y 3，则抽取两位教师可以是(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 1，y 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 2，y 3)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 1)，(x 4，y 2)，(x 4，y 3)，(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，x 4)，(x 2，x 3)，(x 2，x 4)，(x 3，x 4)，(y 1，y 2)，(y 1，y 3)，(y 2，y 3)，共21种情况；抽取的两位教师全是历史教师有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，x 4)，(x 2，x 3)，(x 2，x 4)，(x 3，x 4)，共6种情况．所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为621＝27.(理)(2013·长安一中模拟)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.(1)求出频率分布表中x 、y 的值，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率．[解析] (1)由题可知，第2组的频数x ＝0.35×100＝35人， 第3组的频率为y ＝30100＝0.300，频率分布直方图如下：(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．(3)设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种可能如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．第4组至少有一位同学入选的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(B 1，B 2)，(A 3，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，9种可能，所以其中第4组的2名同学中至少有一名学生被A 考官面试的概率为915＝35.考纲要求1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本． 3．了解分层抽样和系统抽样方法． 补充说明1．总体、个体、样本把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体．从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本．2．随机抽样抽样时保持每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样条件的抽样是随机抽样．3．简单随机抽样需满足：(1)抽取的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．4．随机数法 a ．随机数表．随机数表是由0,1,2，…，9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．b ．用随机数表抽样的步骤．第一步：将总体中的个体编号．为了保证抽取样本有很好的代表性，编号时位数要相同． 第二步：选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置．第三步：获取样本号码．随机确定一个读数方向，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等，重复的号码跳过．直到获取全部号码为止．5．分层抽样分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．备选习题1．(2013·贵州六校联考)为了参加2013贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：(1) (2)该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三(7)班和高三(17)班抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率．[解析] (1)由题知，应从高三(7)班中抽出12×1236＝4人，应从高三(17)班中抽出12×636＝2人， 应从高二(31)班中抽出12×936＝3人， 应从高二(32)班中抽出12×936＝3人． (2)记高三(7)班抽出的4人为A 1、A 2、A 3、A 4，高三(17)班抽出的两人为B 1、B 2，则从这6个人中抽出2人的基本事件有：(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，A 4)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 2，A 3)、(A 2，A 4)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 3，A 4)、(A 3，B 1)、(A 3，B 2)、(A 4，B 1)、(A 4，B 2)、(B 1，B 2)共15个．记“抽出的2人来自同一班”的事件C ，则事件C 含：(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，A 4)、(A 2，A 3)、(A 2，A 4)、(A 3，A 4)、(B 1，B 2)共7个，故P (C )＝715.。
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【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十章统
计、概率第1讲随机抽样练习理
1.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级 1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，给出以下命题：
①1 000名学生是总体；
②每个学生是个体；
③1 000名学生的成绩是一个个体；
④样本的容量是100.
以上命题错误的是________(填序号).
解析 1 000名学生的成绩是总体，其容量是1 000，100名学生的成绩组成样本，其容量是100.
答案①②③
2.(2016·柳州、北海、钦州三市联考)某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个，120个，190个，140个销售点.为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次为________.
解析①四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样；②丙城市特大销售点数量不多，使用简单随机抽样即可.
答案分层抽样、简单随机抽样
3.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________.
解析样本抽取比例为
70
3 500
＝
1
50
，该校总人数为 1 500＋3 500＝5 000，则
n
5 000
＝
1
50
，故n＝100.
答案100
4.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1，p2，p3的大小关系是________.
解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等.
答案p1＝p2＝p3
5.(2015·武昌调研)已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：
年级 人数 近视率 小学 3 500 10% 初中 4 500 30% 高中
2 000
50%
2%的学生进行调查，则：
(1)样本容量为________；
(2)抽取的高中生中，近视人数为________.
解析 (1)由题意知，样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2
100
＝200. (2)抽取的高中生中，近视人数为2 000×2100×50
100
＝20. 答案 (1)200 (2)20
6.(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.
解析 从35人中用系统抽样方法抽取7人，则可将这35人分成7组，每组5人，从每一组中抽取1人，而成绩在[139，151]上的有4组，所以抽取4人. 答案 4
7.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析 由题意知应抽取人数为300×4
4＋5＋5＋6
＝60.
答案 60
8.(2015·青岛模拟)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号
码为________的学生.
解析 因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号. 答案 37
9.已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则61组抽出的号码为________. 解析 每组袋数：d ＝
3 000
150
＝20，由题意知抽出的这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，a 61＝11＋60×20＝1 211. 答案 1 211
10.某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级 二年级
三年级
女生 373 x
y 男生
377
370
z
解析 2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28
＝16. 答案 16
11.(2015·南京模拟)从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________. 解析 由题意可知每一组有
80
5
＝16个产品，所以样本编号构成以16为公差的等差数列，所以最大的编号为28＋16×3＝76. 答案 76
12.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为______.若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人.
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为
200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x 人，则40200＝x
100
，解得x ＝20. 答案 37 20
13.将参加夏令营的600名学生编号为001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为________.
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *
)组抽中的号码是3＋12(k －1). 令3＋12(k －1)≤300得k ≤103
4
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495得
103
4
<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17. 答案 25，17，8
14.一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________.
解析 由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76. 答案 76。