指数函数的概念

（3）函数的定义域为R。 （3）y = 2x / 1+2x； 因为y = 2x / 1 + 2x = 1 + 2x-1/ 1+2x =1-1/1+2x， 又 2x > 0， 1+2x>1， 所以0< 1/ 1+2x <1，所以0<1- 1 /1+2x <1，所以 y= 2x/1+2x的值域为（0，1）。
(a>1/2且a≠1)
指数函数的解析式y= a x 中，a x 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
y a x k (a>0且a 1，kZ)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
y ax (a 0,且a 1)
因为它可以化为
y 1 x a
( 1 0,且 1 1)
2
4
y a x (a 0且a 1) 的图象和性质：
a百度文库1
0<a<1
图
6
5
象 4
3 2
11
-4
-2
0
-1
性 1.定义域：
质 2.值域：
2
4
6
(,) (0,)
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
1 3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y=
4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数
讲解范例：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年 剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留 量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年， 剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。 分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的 函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。
a ①若a=0，则当x>0时， x =0；
当x 0时， a x 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使 a x 无意义.
如
(2) x ，这时对于x=
1 4 ，x=
1 2
……等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x R，
a x=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。
a
2
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
y 1 x 2
y 3x
y 1 x 3
列表如下：
x
2x
1 x 2
… -3 -2 -1 … 0.13 0.25 0.5
…8 4 2
x … -2.5 -2 -1
3x … 0.06 0.1 0.3
1 x … 15.6 9
15.6
9
3
3
-0.5 0
16
0.6 1
114 .7 1
12
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
10
1x gx = 3 8
6
fx = 3x
4
2
-10
-5
5
10
1x qx = 3 6 hx = 3x
5
4
1x
3
gx = 2
2
fx = 2x
1
-4
-2
（4）函数的定义域为R。 （4）y = （ 3 / 2 ）-| x| 因为 |x| ≥0，所以y = (3/2) - |x |=（2/3）|x| ≤ （2/3）0 = 1，所以函数的值域为{y | 0<y≤1}。
小结：1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质：
分析：结合指数函数的定义域和值域考虑。
解（1）由x – 4 ≠ 0 得 x ≠ 4 。故函数的定义域 为 {x|x∈R且x≠4} 又因为1 / x-4 ≠ 0，所以y ≠ 1故函数的值 域为{y| y > 0且y ≠ 1}
（2）定义域为R。 因为 y = 4x + 2x+1 + 1 = 22x + 2×2x + 1= (2x+1)2 而2x > 0 , 所以 2x + 1>1,于是y>1。故函数的值 域为{y| y > 1 }。
3.5
从图上看出y=0.5 只需x≈4.
13
2.5
答：约经过4年，
2
剩留量是原来的 一半。
0.51.5
1
0.5
0 11
22
33
44
55
-0.5
例2：求下列函数的定义域、值域。
（1）y = 2 1/x-4 ； （2）y = 4 x + 2 x+1 + 1 ；
（3）y = 2x / 1+2x；（4）y = （ 3 / 2 ）-| x|
3
3
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0
0.71 1
8
1.4 1
7
6
5
4
gx = 0.5x 3
2
1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
fx = 2x
-6
-4
-2
2
4
6
x … -2.5 -2 -1
y 3x … 0.06 0.1 0.3
y
1 x
…
a>1
0<a<1
图
6
5
象
4 3
2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
性 1.定义域：R
质 2.值域：（0，+∞）
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
3.过点（0，1），即x=0时，y=1
4.在 R上是增函数
在R上是减函数
课后作业：
在 y 2x, y 0.85 x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义：
函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842; ……
一般地，经过x年，剩留量 y 0.84 x
根据这个函数 y 0.84 x 可以列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数 y 0.84 x 的图象:
指数函数
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系. 可知，函数关系是
y 2x
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%， 设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的 函数关系式为 y 0.85 x
在规定以后，对于任何x R，a x 都有意义，且
a x >0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：下列函数中，那些是指数函数？ (1) (5) (8)
(1) y=4x
(2) y=x4
(3) y= - 4x
(4) y=( - 4 ) x
(5) y=πx (7) y = x x
(6) y=4 2x (8) y = ( 2a – 1 ) x