指数函数的概念
指数函数及其性质
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
指数函数的概念
⑵ y 3 解：（2） 由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
指数函数
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数的三个特征
指数函数的三个特征指数函数是高中数学中的重要概念，它具有以下三个特征：增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴。
在本文中，我们将深入探讨这三个特征，并分别进行详细解释。
指数函数的增长速度非常快。
指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
当底数a大于1时，指数函数呈现出递增趋势，随着x的增大，函数值以指数级别增长。
例如，当a=2时，f(x) = 2^x的函数值随着x的增大呈现出指数增长的趋势，增长速度迅猛。
这种增长速度快的特点使得指数函数在描述许多现实世界中的增长和衰减过程时非常有用。
指数函数的函数值始终大于零。
由于底数a的任何正数次幂都大于0，所以指数函数的函数值始终大于零，即f(x)>0。
这使得指数函数在描述比例关系时非常有用。
例如，当a=0.5时，f(x) = 0.5^x 的函数值随着x的增大逐渐接近于0，但始终大于0。
这种特性使得指数函数在概率、百分比、利润等方面的计算中得到广泛应用。
指数函数具有对称轴。
指数函数的对称轴是y轴，即当x取任意值时，f(x) = a^x的函数值与f(-x)的函数值相等。
这是因为指数函数的定义中指数x可以是任意实数，正数和负数的函数值是相等的。
例如，当a=3时，f(x) = 3^x的函数值与f(-x)的函数值相等，这意味着函数图像关于y轴对称。
这种对称性使得指数函数在研究对称性质时非常方便。
指数函数具有增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴等三个特征。
这些特征使得指数函数在数学、科学和工程等领域中得到广泛应用。
我们在实际问题中，可以利用指数函数的快速增长特性来描述人口增长、物质衰变等现象；可以利用函数值始终大于零的特性来计算概率、百分比、利润等；可以利用对称轴的特性来研究对称性质。
因此，深入理解和掌握指数函数的三个特征对于数学学习和实际应用具有重要意义。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数与对数函数的基本概念
指数函数与对数函数的基本概念数学中，指数函数与对数函数是两种重要的函数类型，广泛应用于各个领域，包括科学、工程、经济和金融等。
本文将介绍指数函数和对数函数的基本概念，包括定义、性质和应用等方面的内容。
一、指数函数的基本概念指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a为底数，x为幂指数。
指数函数中，底数为正数且不等于1，幂指数可以是任意实数。
这样的函数在数学上被称为指数函数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0,+∞)。
当底数a 大于1时，指数函数的图像在坐标系中呈现上升趋势；而当0<a<1时，图像则呈现下降趋势。
指数函数具有如下性质：1. 正指数：当a>1时，指数函数的值随着幂指数的增大而增大。
2. 负指数：当0<a<1时，指数函数的值随着幂指数的增大而减小。
3. 幂指数为0：指数函数中，当幂指数为0时，函数的值恒为1。
4. 幂指数为1：指数函数中，当幂指数为1时，函数的值恒为底数的值。
5. 幂指数为负无穷大：指数函数在幂指数为负无穷大时，函数的值趋近于0。
6. 幂指数为正无穷大：指数函数在幂指数为正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大。
指数函数在实际应用中有许多重要的用途，如在经济学和金融学中，指数函数常用来描述复利增长和指数增长；在自然科学中，指数函数用来描述气体的压强和物质的放射性衰变等。
二、对数函数的基本概念对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算中的幂指数。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为底数，x为真数。
对数函数中，底数a为正实数且不等于1，真数x为正实数。
对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集R。
对数函数具有如下性质：1. 若a^c = b，则logₐb = c。
即，对数函数描述了指数运算中，幂指数和幂结果之间的关系。
2. 底数为正实数且不等于1时，对数函数的值随着真数的增大而增大。
3. 对数函数中，当真数为1时，函数的值恒为0。
指数函数概念
指数函数概念指数函数是一种重要的数学函数，可以用来描述某种特定情况下量级增长的情况。
它由变量x和常数a共同决定，表达式可以写作f(x)=a^x 。
指数函数中a叫做指数，x叫做底数，当x为负值时，指数函数会产生一定的不同，变成f(x)=a^(-x) 。
指数函数的含义是指底数x的次方乘以指数a，因此指数函数又可以描述为：f(n)=a^n 。
在这里，n为正整数，表示底数的次方，a 为正实数，表示指数。
当n=0时，f(n)=a^0 一定是1，这是因为任何次方除0以外的任何正整数都可以写成乘方来求出，所以当n为0时，应该乘以1来结果f(n)为1。
从另一个角度来看，指数函数体现了一种指数与实际情况相关的增长速度，也就是如果每次乘以同一个值，则产生的增长速度越来越快。
另一方面，指数函数也可以用来表示某物的指数衰减，比如衰减的音量可以用f(x)=a^(-x)表示，其中a表示初始音量，而x为衰减次数，当x越大，衰减量就越大。
指数函数的应用广泛，它可以广泛应用于经济学，物理学，生物学等领域，可以更好地描述某一种以指数形式增长或者衰减的规律，比如对物体衰减的热量，物质散失指数衰减等情况。
指数函数也可以用来表示在某一种增长速率下，物质量的变化情况，以及在科学研究中与指数概念相关的情况，例如詹姆斯-库克公式也是通过指数函数表达的。
求解指数函数也是一个非常重要的数学技能。
首先，当指数和底数都是实数时，可以用求导的方法来求解，即求f(x)=ln(a)*a^x 。
同时，还可以采用求和的方法来解决求解指数函数，即用π函数求和的方式来求解。
总之，指数函数是一种重要的数学函数，可以用来描述特定情况下量级增长或衰减的情况，它有着广泛的应用，而且能够更好地描述某一种以指数形式增长或者衰减的规律，作为一门必修课程，认真学习指数函数的基础知识，并如实理解和掌握指数函数概念是非常有必要的。
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二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
4.2.1 指数函数的概念
有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义，且ax＞0.
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(2)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为什么是R?
指数的范围已经拓展到了实数，当a＞0，且a≠1，x是一个实数时，
ax表示一个确定的实数，即ax(a＞0，且a≠1)对任意实数x都有意义，
因此指数函数y＝ax的定义域是R.
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【即时练习】
1．下列各函数中，是指数函数的是(
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
)
C．y＝3x－1
1 x
D．y＝( )
3
答案：D
解析：由指数函数的定义可知选项D正确．故选D.
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1
2 ． 若 函 数 f(x) ＝ ( a － 3)·ax(a>0 ， 且 a≠1) 是 指 数 函 数 ， 则 a ＝
(2)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
答案：2
解析：因为函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，
a2 − 3 = 1，
所以ቊ
解得a＝2.
a > 0且a ≠ 1，
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学习目标二
例2
求指数函数的解析式或求值
1
x
设f(x)＝a (a＞0，且a≠1)，其图象经过点( ，
定义，故都是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：
指数式的系数为－1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数
为－4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是．综上，是指数函
数的只有③④.故选B.
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(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
指数函数的概念
指数函数的概念指数函数是一种常见的数学函数，以指数为自变量，以一个常数(基数)为底数的幂函数为定义。
该函数的特点是随着自变量指数的增长或减小，函数值呈现出快速增长或快速衰减的趋势。
指数函数的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正常数，且a≠1。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
在指数函数中，底数a决定了函数的增长速度。
当a>1时，随着指数的增大，函数值呈现出快速增长的趋势；当0<a<1时，随着指数的增大，函数值呈现出快速衰减的趋势。
当a=1时，函数的值始终为1，不随指数的变化而改变。
指数函数在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景。
1. 经济领域的复利计算指数函数在经济领域的复利计算中有着重要的应用。
当我们将一笔本金以一定的利率投资，利息会按照指数函数的增长趋势不断积累，使得投资额快速增加。
复利计算常被应用于银行、保险、投资等金融领域。
2. 自然界中的增长和衰减指数函数也被广泛地应用于自然界的增长和衰减现象的描述。
例如，生物种群的增长、放射性元素的衰变等都可以使用指数函数来描述和预测。
在这些情况下，指数函数提供了一个完整的模型，能够准确描述物种的繁衍和元素的衰变过程。
3. 物理学中的衰减和振荡在物理学中，指数函数也扮演着重要的角色。
比如在电路中，电容器或电感器的充放电过程中，电流的变化会随时间按指数函数的规律发生衰减或振荡。
指数函数的应用使得物理学家可以更好地研究和理解电路中的现象。
4. 统计学中的概率分布指数函数在统计学中也有重要的应用。
例如，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔，如两个红绿灯的间隔时间、地震发生的时间间隔等。
指数分布的概率密度函数形式为f(x) =λe^(-λx)，其中λ为正常数。
通过指数函数的应用，可以对这些事件发生的概率进行统计和预测。
总之，指数函数具有快速增长或衰减的特性，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
4.2.1指数函数的概念
(3)由 x-1≥0,得 x≥1,则函数 y=( ) (4)函数 y=x2-2x-3 的定义域为 R,
的定义域为[1,+∞).
从而函数 y=( )
的定义域为 R.
方法规律 形如 y=af(x)的函数定义域的求法
函数 y=af(x)的定义域就是函数 y=f(x)的定义域,因此只
需求 y=f(x)的定义域即可.
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
[学习目标] 通过具体实例,经历探索指数函数的过程, 了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.在由具体实 例抽象为具体函数以及由具体函数概括为指数函数的过程中, 提升数学抽象素养.
一、指数函数的概念 [知识梳理] 指数函数的概念 一般地,函数 y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,
4. 同类练某工厂一种产品的年销售量为 a,由于其他新 产品的出现,估计该产品的市场需求量每年下降 15%,则 x
年后年销售量 y 和 x 的函数解析式为 y=a·0.85x(x∈N*) .
解析: 1 年后销售量为 a-a·15%=a(1-15%); 2 年后销售量为 a(1-15%)-a(1-15%)·15%=a(1-15%)2; 3 年后销售量为 a(1-15%)2-a(1-15%)2·15%=a(1-15%)3; …… x 年后销售量为 y=a(1-15%)x=a·0.85x(x∈N*).
A.8
B.
C.4
D.2
解析:因为函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,
所以2a-3=1,解得a=2. 所以f(x)=2x,所以f(1)=2.故选D.
答案:D
2.若函数 f(x)=(2a-1)x 是指数函数,则实数 a 的取值 范围是 ( ,1)∪(1,+∞) .
指数函数,对数函数与幂函数
指数函数,对数函数与幂函数1.指数函数指数函数是数学中一个非常重要的概念，在许多自然科学和社会科学领域都有广泛的应用。
指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数和指数的变化会对函数图像产生显著的影响。
1.1底数变化对图像的影响当底数a>1时，指数函数的图像呈现出“增长”的趋势，具有上凸的形状；当0<a<1时，指数函数的图像则呈现出“衰减”的趋势，具有下凸的形状。
1.2指数变化对图像的影响当指数x增大时，可以看出指数函数的值迅速增加或减小，这就是指数函数的“指数增长”或“指数衰减”。
这种增长或衰减速度是非常快的，甚至可以说是“爆炸性的”。
1.3应用举例指数函数在自然科学中应用非常广泛，例如在化学反应中，我们可以利用指数函数来描述反应速率的变化；在生物学中，指数函数可用于描述生物种群的增长和衰减趋势；在工程学中，指数函数也可以用来表示物体的温度、光强度等特征随时间变化的规律。
2.对数函数对数函数是数学中另一个非常重要的概念。
对数函数的一般形式为y=loga x，其中a为底数，x为被求对数的数，而y则表示底数为a时，x的对数值。
对数函数与指数函数是非常相关的，因为两者是互相反转的运算。
2.1底数变化对图像的影响当底数a>1时，对数函数的图像增长非常缓慢，在x轴右侧有一个水平的渐近线；当0<a<1时，对数函数的图像下降非常缓慢，在x轴右侧也有一个水平的渐近线。
2.2负数和零的情况在对数函数中，负数和零都是没有意义的，因为无法把它们表示为任何正数的幂，也无法得到它们的对数值。
因此，在对数函数中只考虑正数。
2.3应用举例对数函数在实践中也有广泛的应用。
例如在物理学中，对数函数可用于描述声音的强度、光线的亮度、辐射的强度等特征的变化；在金融学中，对数函数可以用来计算资金的复利增长；在计算机科学中，对数函数的底数通常为2，被广泛用于算法的时间复杂度分析等方面。
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质 课件(20张)
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的概念. 2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质. 3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
指数函数 一般地,函数① y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义 域是② R .
解下列方程:
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
思路点拨
(1)两边化为同底数幂 利用指数相等求解.
(2)令2x=t(t>0),将原方程化为4t2+3t-1=0 求出t的值
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),
∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时 间里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一 种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个, …… 问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的关系式中x的范围是什么? 函数的值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
比较指数幂大小
1.01365 37.8, 0.99365 0.03,
1.02365 1 377.4, 0.98365 0.000 6.
问题 1.上面的式子告诉我们一个什么道理? 提示:积跬步以致千里,积怠惰以致深渊. 2.如果不计算出结果,如何比较上式中各指数幂的大小? 提示:利用函数单调性进行比较.
指数函数对数函数公式
指数函数对数函数公式
指数函数和对数函数是高中数学中比较重要的概念，它们有着紧密
的关系，下面我们将详细介绍它们的相关知识。
一、指数函数
指数函数是一种以确定底数为底的幂次函数，其定义域可以是实数集，也可以是复数集，其一般形式可以表示为：
y = a^x
其中，a为底数，x为幂次，y为函数值。
指数函数的图像一般呈现出指数增长的趋势，当底数a大于1时，函数值随着幂次x的增大而成指数增长，当底数a介于0和1之间时，函数值随着幂次x的增大而成指数衰减。
二、对数函数
对数函数是指数函数的反函数，其定义域为正实数集，其一般形式可
以表示为：
y = loga(x)
其中，a为底数，x为函数值，y为幂次。
对数函数的图像通常为单调递增的曲线，当底数a大于1时，函数值随着自变量x的增大而增大，当底数a介于0和1之间时，函数值随着自变量x的增大而减小。
三、指数函数与对数函数的关系
对数函数是指数函数的反函数，因此指数函数和对数函数是互逆的。
对于底数为a的指数函数和以a为底的对数函数，它们之间存在以下等式：
a^(loga(x)) = x
loga(a^x) = x
这些等式将指数函数和对数函数联系起来，可以更方便地进行计算。
总之，指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，其关系密切，相互补充。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解数学中的许多问题。
指数函数全方位解读
指数函数全方位解读欢迎同学们进入指数函数的学习！指数函数是大家在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上第一个系统研究的函数，也是高中阶段的主要研究内容之一。
本节课的内容十分重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
为了帮助大家学好本节内容，下面我对指数函数作一全面解读。
一、指数函数的定义解读对于指数函数的定义理解时应注意：（1）定义域：因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0>a 的前提下，x 可以是任意实数。
（2）规定底数a 大于零且不等于1的理由：如果0=a ，当0>x 时，x a 恒等于零；当0≤x 时，x a 无意义。
如果0<a ，比如x y )2(-=，这是对于21,41==x x ……，x )2(-都无意义。
如果1=a ，对于任何实数x ，11==x y 是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了。
（3）形式上的严格性：在指数函数的定义表达式x a y =中，xa 前的系数是1，自变量x 在指数的位置上，否则，不是指数函数。
例如x a y 2=，1+=x a y ，1+=x a y ，a x y =等都不是指数函数。
二、解读指数函数的图像指数函数的图像在x 轴上方，印证了指数函数的值域为（+∞,0）；图像恒过（0，1）,是因为0>a 时，10=a 。
对于指数函数在1>a 和10<<a 时的图像，同学们要熟记于心，并达到能灵活应用函数图像解题。
下面我就指数函数图像的解题妙用举例分析。
例1 比较a 7.0与a 8.0的大小分析：这两个幂值同指不同底，无法利用指数函数的单调性进行比较。
我们不妨构造函数x y 7.0=和x y 8.0=，a 7.0和a 8.0分别为两函数在a x =处的函数值解：构造函数x y 7.0= 和x y 8.0=，则两个函数的图像关系如图由图易知，当0<a 时，a 7.0>a 8.0，当0=a 时，a 7.0=a 8.0，当0>a 时，a 7.0<a 8.0 注：同一直角坐标系中，在y 轴右（左）侧，指数图像从上到下相应的底数有大（小）变小（大）。
指数函数
.
例 2：函数y = a + 1 a > 0, 且 a ≠ 1, b ∈ R 的图象恒过定点(1,2),求 b 的值。 8.指数函数的单调性 例：讨论函数y =
2 1 x −2x
3
的单调性。
习题 1、比较下列各组数的大小：
（1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若
，比较 ，比较 ，比较
x
当k=0或k 1时, 直线y=k与函数 y | 3 1 | 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
x
当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y | 3 1 | 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
函数性质 a 1 0 a 1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0 1 增函数 减函数
x 0, a x 1
x 0, a x 1
x 0, a x 1
x 0, a x 1
函数值开 函数值开 始增长较 始减小极 图象上升 图象上升 慢，到了 快，到了 趋势是越 趋势是越 某一值后 某一值后 来越陡 来越缓 增长速度 减小速度 极快； 较慢； 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上， f (x) a x (a 0且a 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ； （2）若 x 0 ，则 f (x) 1 ； f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x R ； （3）对于指数函数 f (x) a x (a 0且a 1) ，总有 f (1) a ；
∞) 上是增函数， ∴函数 y (a2 2a 5) x 在 (∞，
∴ 3 x 1 x ，解得 x
指数函数的概念
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
(2)自变量的大小比较.
(3)函数值的大小比较.
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(8Βιβλιοθήκη )3 7与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为 同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.
轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) a x (a 1)
性质
a (1) 无论 为何值,指数函数
f (x) a x 都有 定义域为 R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时,
f (x) a x 在定义域内为增函数；
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3) 3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 ) 2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
x y 4.截距:在
轴上没有,在
0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3) a 1 时,
x 0
y
1
0
a 1 时,
x 0
y
1
简单应用
利用指数函数单调性比大小.
例1.比较下列各组数的大小
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