HPM视角下中学核心概念的教学
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究1. 引言1.1 HPM视角下高中数学教学的研究教育是社会发展的基石，高中数学教学作为其中重要的一环，一直备受关注。
近年来，基于历史、哲学和数学三个方面的综合性教学模式——历史-哲学-数学（HPM）模型逐渐引起人们的广泛关注和讨论。
HPM视角下的高中数学教学研究，旨在通过视野的拓展，挖掘数学知识背后的历史沿革以及哲学思考，促进学生对数学的全面理解和深入思考。
本研究将从HPM模型的基本原理、在高中数学教学中的应用、数学教学策略、案例分析和评价等五个方面展开探讨。
通过对HPM视角下高中数学教学的研究和实践，我们将探讨如何有效地融合历史、哲学和数学知识，激发学生的学习兴趣和思维能力，提高他们的数学学习效果和综合素质。
通过本研究，我们希望能揭示HPM视角下高中数学教学的意义，探讨未来研究方向，并对该模型的应用做出总结与展望，为提升高中数学教学质量和效果提供新的思路和方法。
2. 正文2.1 HPM模型的基本原理HPM模型的基本原理是指以历史、哲学和数学为基础，探讨数学知识的发展历程、数学概念的形成和数学思想的演变的研究方法。
HPM模型通过对数学知识的历史回顾和哲学分析，揭示数学概念背后的本质规律和数学思想的逻辑脉络，以此来启发学生对数学学习的深刻理解和认识。
HPM模型的基本原理主要包括以下几个方面：首先是历史维度，通过研究数学知识的历史发展，了解数学概念的起源、演变和应用，从而体现数学知识的内在逻辑和发展规律；其次是哲学维度，通过哲学思辨和逻辑推理，深入探讨数学概念的本质和含义，揭示数学思想的普遍性和时代性；最后是数学维度，通过具体数学问题的解析和展示，引导学生积极思考和独立解决问题的能力，提升数学思维和创新意识。
HPM模型的基本原理旨在引导学生从多维度、多角度去理解和探索数学知识，促进学生对数学学习的主动参与和深入思考，激发学生对数学的兴趣和热爱，从而提高学生数学学习的效果和质量。
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究1. 引言1.1 研究背景随着教育改革的深入和发展，越来越多的教育学者开始关注到数学学习的心理过程，提出了基于认知心理学的HPM（History, Philosophy and Methodology of Mathematics）视角。
HPM视角强调数学知识的历史、哲学和方法学背景，主张通过引导学生探索数学知识的起源、发展和应用，培养学生对数学的深刻理解和创新思维。
这种新颖的教学理念为高中数学教学带来了新的启示和挑战，也为提升数学教学质量提供了新的思路。
探索HPM视角下高中数学教学的研究具有重要的理论和实践意义。
1.2 研究目的研究目的是通过深入探究HPM视角下高中数学教学的相关理论基础、启示和实践策略，分析高中数学教学中存在的问题，并提出解决问题的建议，以期能够提升高中数学教学的质量和效果，为教师在实际教学中提供参考和指导。
通过对HPM视角下高中数学教学的研究，可以更好地理解数学学习的本质和规律，促进学生对数学知识的理解和应用能力的提升，培养学生的数学思维和解决问题的能力，从而达到促进学生全面发展的教育目标。
通过研究HPM视角下高中数学教学的实践策略，可以为教师提供更加有效的教学方法和策略，帮助他们更好地引导学生学习数学，激发他们对数学的兴趣和热情，提高学生的学习积极性和学习成绩。
通过本研究的开展，可以为高中数学教学的改进和发展提供有益的借鉴和指导。
1.3 研究意义高中数学作为学生学习的重要科目之一，在学生的整个学习过程中扮演着至关重要的角色。
而采用HPM视角对高中数学教学展开研究，具有重要的理论和实践意义。
通过探讨HPM视角下高中数学教学的理论基础，可以拓展我们对数学教学的认识和理解，有助于教师更好地把握数学教学的核心要点。
HPM视角对高中数学教学的启示能够为教师提供有效的教学策略和方法，帮助他们更好地引导学生，提高学生的学习兴趣和学习成绩。
分析高中数学教学中存在的问题，并提出相应的解决方案，有助于提升高中数学教学的质量和效果，推动教育教学的持续发展。
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究随着数学教学的发展和创新，高中数学教学也逐步进入了一个新的阶段。
在新的教学模式和理念的指导下，高中数学教学需要从传统的知识传授转化为一种知识处理的过程。
在这个过程中，HPM视角的应用被越来越多地应用到高中数学教学中，成为一种重要的研究方向。
本文旨在探讨HPM视角在高中数学教学中的应用和研究。
一、HPM视角的概念和特点HPM(historical, philosophical, and mathematical) 视角是近年来发展起来的一种研究方法，是一种将历史、哲学和数学这三个领域进行综合考察的方法。
HPM视角的研究对象是数学教育，它要求从历史、哲学和数学的角度去研究数学教育，并将这三个领域融合出新的教育理论和实践。
HPM视角的特点是将三个领域的知识相互融合，并进行深度思考和辩证分析。
HPM视角在高中数学教学中的应用是比较广泛的。
在课程设置上，可以通过历史来介绍数学的发展历程，通过哲学来探讨数学的本质和思想，通过数学来发掘数学的内在联系和价值。
在课堂教学中，可以通过引用数学史实、分析数学思想和特点、以及探究数学定理的深层含义，来提高学生对数学的认识和理解。
1.数学历史对数学教育的影响数学历史是数学教育的重要组成部分，可以通过历史的角度来分析数学定理的发展历程、数学思想的演变过程以及数学教育的变革。
研究表明，数学历史的教学可以提高学生对数学的兴趣和理解，提升学生的数学素养。
2.哲学观念在数学教育中的应用哲学思想是数学教育的基础，可以通过哲学角度来深刻理解数学思想和方法的内涵和外延，探讨学习数学的方法和思维方式。
研究表明，哲学思想的应用可以提高学生的思辨和创造能力，增强他们对数学的理解和认识。
3.数学思想在数学教育中的发掘四、结论HPM视角是一种综合性的研究方法，可以将历史、哲学和数学这三个领域进行综合分析，对数学教育进行深入研究。
在高中数学教学中，HPM视角的应用可以提高学生对数学的理解和认识，同时也能增强学生的思辨和创造能力。
HPM视角下数学核心素养的教学研究——以“数系的扩充”教学为例
了本学科的核心素养，明确了学生学习该学科课程后 应达成的 正 确 价 值 观 念、必 备 品 格 和 关 键 能 力．数 学 学科核心素 养 包 括：数 学 抽 象、逻 辑 推 理、数 学 建 模、 直观想象、数 学 运 算 和 数 据 分 析．这 些 数 学 学 科 核 心 素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体．
基金项目：本文是江苏省中小学教学研究室第十二期教研立项课题“ＨＰＭ 视角下高中数学教学设计的实 践研究”（２０１７ＪＫ１２－Ｌ２１０）的阶段性成果之一．
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教材 教法 教学导航 ２０２０年４月
问题２：为什么Δ ＜０，方程无解？ 生：因为负数不可以开平方． 问题３：为什么负数不能开平方？ 在什么范围内 不能开平方？ 生：在实数范围内，负数不能开平方． 设计意图：利 用 历 史 上 的 卡 尔 丹 问 题 设 疑 引 入， 激发学生的好奇心． ２．数系扩充史介绍 问题４：在之前的学习过程中，我们有没有遇到过 类似的“数不够用”的问题？请回顾数的学习过程． 学生分组讨论，教师点拨．总结出： （１）在实际生活中，因为计数的需要，产生了自然 数，为 了 表 示 具 有 相 反 意 义 的 量 引 入 了 负 数，为 了 测 量与分配的需要引入了分数，第一次数学危机人们发 现了无理数． （２）在数学发展内部，因为方程狓＋４＝０在自然 数中无解从 而引进一 个 新 的 符 号 “负 号”，产 生 了 负 数；因为方程３狓＋２＝０在整数范围内无解，从而引进 了一个新的符号“分号”，产生了分数；因为方程狓２－２ ＝０在有理数范 围 内 无 解，从 而 引 进 了 一 个 新 的 符 号 “根号”，产生了无理数． 设计意图：（１）复 数 是 中 学 课 程 里 数 的 概 念 的 最 后一次扩 充，是 深 化 数 系 理 论 的 很 好 的 素 材，虽 然 它 不是重点内容，其定义的理解和复数的应用也是相对 简单的，但我们对复数定义的理解常常并不是十分准 确，对虚数的产生甚至有同学认为是数学家大脑臆想 的产物，也有很多同学甚至老师对虚数的产生仅仅局 限于课本上或某些数学书籍中介绍的以下两种说法． 其一，虚数系从解方程狓２ ＋１＝０而来，在实数集范围 内方程无解，而一旦引入由ｉ２ ＝－１所定义的虚数，此 方程就有解了．其二，逆运算常产生新数，减法产生负 数，除法产生分数，开方产生无理数和虚数．２００３年江 苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书 ·数学》选修２－２中用的就是第一种说法．而实际上 虚数的产生是数学发展史上一个重大的事故，上述两 种说法只是为虚数的产生提供了可能性，并不是真实 的情况，这样就使未接触数学史的人们认为虚数就是 这么来的，会引起误解和错解．苏格拉底说：“对真理的 追求是永无止境的，我们可能会为自己的梦想放弃一 切．”努力培养学生追求真理的坚定信念和无畏精神． （２）培养学生逻 辑 推 理 的 核 心 素 养，能 够 在 具 体 情境 中 把 握 事 物 之 间 的 关 联，把 握 事 物 发 展 的 脉 络， 形成重论 据、有 条 理、合 乎 逻 辑 的 思 维 品 质 和 理 性 精 神，增强交流能力．并从中了解我国在数学上的成就， 激发学生的民族自豪感．
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究
高中数学教学是培养学生数学能力的重要环节。
充分发挥高级数学教师的主要作用，
提出高中数学教学的突出问题，并针对问题进行改进。
HPM视角下的高中数学教学研究对
于提升学生数学能力具有重要意义。
HPM视角，即历史，哲学和数学的相互关系的研究，是一种综合性的教学研究方法。
在HPM视角下，高中数学教学的目标是培养学生对数学历史和哲学的理解，以及培养学生
的数学思维和创造力。
高中数学教学应该关注数学的历史。
通过学习数学的历史，学生可以了解数学的发展
历程和数学家们的思维方式。
这有助于学生更好地理解数学的概念和方法，并培养他们对
数学的兴趣和热爱。
在讲解二次方程时，教师可以引导学生了解二次方程的起源和发展，
以及数学家们是如何解决二次方程问题的。
这样，学生不仅可以理解二次方程的概念和求
解方法，还可以了解到数学在实际问题中的应用。
高中数学教学应该注重培养学生的数学思维和创造力。
数学思维是指学生通过分析问题，提出解决问题的方法，并进行推理和证明的思维过程。
通过培养学生的数学思维，可
以提高他们解决问题的能力和创新能力。
在解决几何问题时，教师可以让学生先分析问题，然后提出解决问题的方法，并进行推理和证明。
这样，学生不仅可以解决问题，还可以培
养数学思维和创造力。
基于HPM视角培养核心素养——“数系的扩充”的教学设计与评析
基于 ＨＰＭ 视角培养核心素养
———“数系的扩充”的教学设计与评析
杨 勇 （江 苏 省 镇 江 市 实 验 高 级 中 学 ２１２００３）
１ 关于 ＨＰＭ 与核心素养
ＨＰＭ 是 Ｈｉｓｔｏｒｙ ＆ Ｐｅｄａｇｏｇｙｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ 的简称，即数学史与数学教育．数学史融入数学教学 的实践是 ＨＰＭ 研究领域里一项十分重要的工作， 其 方 式 主 要 有 三 种 ：提 供 直 接 的 历 史 信 息 ；借 鉴 历 史进行教学；开发 对 数 学 及 其 生 活 文 化 背 景 的 深 刻 觉 悟 ．其 中 第 二 种 方 式 就 是 发 生 教 学 法 ，即 通 常 所说的 ＨＰＭ 视角下数学教学的主要内容．
·活动体验 活动１ 数系的扩充是 生 产 实 践 与 社 会 发 展 的需要． （１）计 数 的 需 要 产 生 了 自 然 数 ． （２）为 了 表 示 具 有 相 反 意 义 的 量 引 入 了 负 数 ， 数集由自然数集扩充为整数集． （３）为 了 测 量 与 分 配 的 需 要，引 入 了 分 数，数 集由整数集扩充为有理数集． （４）第 一 次 数 学 危 机 使 人 们 发 现 了 无 理 数 ，数 集由有理数集扩充为实数集． 设计意图 让学生对数集的扩充过程进行整 体认 识，渗 透 数 学 文 化，培 养 理 性 精 神，提 升 数 学 抽象素养． 活动２ 数系的扩充是数学内部发展的需求． 从数 学 内 部 来 看，数 集 是 在 按 某 种“规 则”不 断 扩 充 的 ，不 妨 以 解 方 程 为 例 ： 问题１ 在自然数集中方程狓＋４＝０有解吗？ 问 题 ２ 在 整 数 集 中 方 程 ３狓－２＝０ 有 解 吗 ？ 问题３ 在 有 理 数 集 中 方 程 狓２ －２狓－１＝０ 有解吗？ 设 计 意 图 从 自 然 数 集 、整 数 集 、有 理 数 集 的 扩充过程 让 学 生 体 会：（１）每 一 次 数 的 概 念 的 发 展，新的数集都是在 原 数 集 的 基 础 上 “添 加”了 一 种新的数得来的；（２）在 新 的 数 集 中，原 有 的 运 算 及其性质仍然适 用，同 时 解 决 了 某 些 运 算 在 原 来 数集中不是总可以实施的矛盾． ２．３ 知 识 构 建 ·数集进一步扩充的必要性 问 题 ４ 方 程 狓２＋１＝０ 有 实 数 解 吗 ？ 设计意图 面 临 方 程 狓２ ＋１＝０ 无 解、负 数
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究高中数学教学一直是教育界关注的热点之一，如何提高教学效果、激发学生学习兴趣、培养学生的数学思维能力一直是教师们不断探索的课题。
在这样的背景下，HPM（历史、哲学和数学）视角被引入数学教学中，以期能够更好地促进学生对数学的理解和学习。
本文将从HPM视角下高中数学教学的理论基础、教学方法及实践效果等方面进行研究，以期为提升高中数学教学质量提供一定的参考和借鉴。
一、HPM视角在高中数学教学中的理论基础HPM，即历史（History）、哲学（Philosophy）和数学（Mathematics）的缩写，是指从历史和哲学的视角来理解数学的一个研究方向。
HPM视角强调将数学从传统的公式与算法的学习转变为更深层次的思维方式和数学思想的理解，通过历史和哲学的角度引导学生对数学的学习和思考。
在高中数学教学中，HPM视角旨在培养学生的数学思维、启发学生对数学问题的探索和思考，激发学生对数学的兴趣和理解。
1. 基于历史的数学教学：通过对数学发展的历史沿革和数学思想的演变进行研究和讨论，让学生了解数学的起源、发展和演变，帮助学生理解数学知识的本质和意义。
2. 基于哲学的数学教学：通过引导学生对数学问题进行深入的思考和分析，培养学生的批判性思维和逻辑思维能力，使学生形成对数学问题的哲学性的认识和理解。
3. 强调数学的概念和思想：HPM视角将数学教学从传统的公式和算法的学习转变为对数学概念和思想的理解和探讨，注重培养学生的数学思维和创造性思维。
HPM视角下的高中数学教学方法主要包括以下几点：1. 引导式教学：采用引导式教学方法引导学生主动参与到数学问题的探索和思考中，通过引导学生提出问题、分析问题、解决问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
2. 教学设计的启发性：以问题为导向，设计富有启发性的教学活动，引导学生主动参与到数学问题的探索和发现中，激发学生的学习兴趣和求知欲。
3. 多元化的教学手段：采用多种教学手段和教学资源，如数学史故事、哲学思考、数学实验等，丰富教学内容和形式，促进学生对数学的全面理解和认识。
HPM视角下的高中数学问题教学策略
ＨＰＭ视角下的高中数学问题教学策略孟春云(江苏省扬州市广陵区红桥高级中学㊀２２５１０８)摘㊀要:数学史与数学教育之间存在密切的关系ꎬ将ＨＰＭ理念引入到高中数学课堂教学中ꎬ对于促进学生基础知识㊁基本数学技ꎬ以及学生的数学理解能力㊁创新能力等具有十分重要的价值.新课程理念下ꎬ数学史中蕴含的方法㊁思想以及数学家的精神ꎬ对于学生的情感㊁态度都有良好的启示作用.因此ꎬ在ＨＰＭ视角下的高中数学应立足教学现状ꎬ因地制宜地构建问题ꎬ引导学生思考和参与ꎬ增强教学的实效性.关键词:高中数学ꎻＨＰＭꎻ问题教学ꎻ策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－００１０－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:孟春云(１９７９.３－)ꎬ女ꎬ江苏省扬州人ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀ＨＰＭ主要是指数学史与数学教育之间的关系ꎬ是新课程标准下高中数学教育研究的新方向.通过ＨＰＭ理念在高中数学课堂教学中的应用ꎬ不仅激发了学生的学习兴趣ꎬ也促使学生在学习中ꎬ实现了接受能力㊁学习能力的培养.通过ＨＰＭ理念与问题教学的结合ꎬ为学生自主构建知识搭建 阶梯 ꎬ让学生沿着数学家的脚步深入到知识的内容ꎬ理解数学知识的同时ꎬ能够对知识的价值和应用有独特的感悟ꎬ这样才能够使得学生的学习更加灵活ꎬ学生的思维得以发展.㊀㊀一㊁ＨＰＭ教学理念与问题式教学１.ＨＰＭ教学ＨＰＭ主要是指数学史与数学教育之间的关系.自从１９７２年第一个ＨＰＭ国际研究小组成立以来ꎬ将ＨＰＭ引入到数学课堂教学中ꎬ已经引起了教育各界人士的关注.具体来说ꎬＨＰＭ主要是在高中数学课堂教学中ꎬ紧紧围绕 提升课堂教学效果 这一核心目标ꎬ并结合学生的认知规律ꎬ并在具体的课堂教学中ꎬ借助助整体的㊁辩证的和联系的观念ꎬ整合数学史ꎬ让学生能够通过问题感受数学知识的发现和发展过程ꎬ增强学生的情感体验ꎬ提升教学效率.ＨＰＭ教学理念下的高中数学问题教学对于促进学生的自主发展具有显著的价值:(１)有助于形成数学思维.ＨＰＭ教学理念ꎬ数学史中浓厚的数学思想绽放整个课堂ꎬ熏陶学生的情感ꎬ帮助学生形成数学思维ꎬ以数学思想探究知识ꎬ解决问题ꎬ以提升学生的数学综合能力.通过ＨＰＭ理念的融入ꎬ可充分借助数学史中所涉及到的数学思想ꎬ锻炼学生的思维.(２)有助于激发兴趣.数学严谨㊁抽象ꎬ学生学习兴趣低下ꎬ通过ＨＰＭ理念的融入ꎬ可结合数学知识点的起源㊁历史发展ꎬ以及数学故事等ꎬ使得数学课堂灵动起来ꎬ学生能够感受具体现象到数学规律的探索和演变过程ꎬ学习兴趣大增.(３)有助于培养学生的数学文化修养.数学是人类文化中最为重要的组成部分ꎬ数学史则是文化的一种载体.在具体的高中数学课堂教学中ꎬ可通过ＨＰＭ将数学产生的过程进行还原ꎬ让学生感受独特而又富有魅力的数学文化ꎬ帮助学生形成正确的数学价值观.２.问题式教学问题式教学模式是一种全新的课堂教学模式ꎬ问题式教学模式的应用ꎬ彻底突破了传统课堂教学模式的限制.学生围绕问题展开各项属性活动ꎬ尝试不同的数学方法ꎬ辨别㊁比较问题解决方法和优劣质ꎬ不断优化学生的学习方法ꎬ深化学生的探究能力ꎬ让学生成为数学知识的发现者和数学问题的解决者ꎬ学生的主体性有效突显.在问题式教学模式下ꎬ学生真正成为课堂的主体ꎬ并在学习的过程中ꎬ消除了对教师的依赖ꎬ能够围绕问题实现真正独立学习ꎬ将培养学生能力与素养的理念落实ꎬ实现了新课程标准下的要求要求.ＨＰＭ教学与问题的有效结合ꎬ会使原本平淡的数学焕发出生命的活力ꎬ让学生乐于参与课堂活动ꎬ积极探索知识ꎬ实现学生的主动性激发和教学质量提高的目标.问题能够让学生聚焦目标ꎬ数学史能够帮助学生体验数学学习的过程ꎬ二者０１的有效契合可以提升学生的数学探究能力ꎬ真正实现学生的主动性学习.㊀㊀二㊁ＨＰＭ视角下的高中数学问题教学策略分析㊀㊀在高中数学课堂教学中ꎬ问题能够激发学生原始的探究动力ꎬ是学生的保持主动学习热情的源泉ꎬ数学史中的许多问题ꎬ常常与学生的实际生活㊁认知特点相适应.鉴于此ꎬ教师必须要借助数学史中的问题ꎬ全面加强高中数学课堂教学质量.１.构建迁移性问题所谓的迁移性ꎬ其实就是举一反三ꎬ学生能够通过学习对知识㊁方法㊁思想等进行迁移ꎬ用于知识的探究和问题的解决.高中数学教师将数学概念㊁定理㊁公式的提出背景㊁提出过程㊁提出原理和方法等作为切入点ꎬ并结合当前所创设的问题情境ꎬ引导学生在问题探究中ꎬ不断提升学生的数学知识迁移能力.例如ꎬ在无限比较理论㊁七桥问题建模方法的教学中ꎬ就促使学生在对数学发展史问题的研究中ꎬ将问题解决中存在的新问题提出来ꎬ并将数学思想进行迁移ꎬ使其运用到数学学习中ꎬ进而实现学生迁移能力的培养.２.构建连续性问题教师在高中数学课堂教学中ꎬ就可以充分借助ＨＰＭ的理念ꎬ借助数学史提出一定的数学问题ꎬ以丰富数学课堂教学内容ꎬ并引导学生在数学问题的解决中ꎬ将知识串联ꎬ以数学家的角色不断探究更加深入的问题ꎬ进而实现了数知识的连续性.例如ꎬ在函数教学中ꎬ教师就可结合ＨＰＭ模式ꎬ引导学生从函数的萌芽㊁发展等内容ꎬ提出问题 函数思想的最初起源是什么?函数的表现形式是怎样发展的?函数各种表现形式的优缺点?这些函数思想是如何应用到函数中的? 在一系列数学问题的引导下ꎬ对函数发展和变迁史进行详细的了解ꎬ能够对函数的内涵与外延有深入的掌握ꎬ这样才能够实现函数知识㊁函数思想的灵活应用ꎬ以实现数学的连续性教学.３.构建建模问题在新课程标准下ꎬ要求教师在高中数学课堂教学中ꎬ必须要加强学生建模能力的培养ꎬ并引导学生在数学学习中ꎬ借助一定的建模形式ꎬ对数学进行有效的学习.在数学学习中ꎬ数学模型的建立ꎬ实际上就是在提出数学问题ꎬ并引导学生对数学问题进行分析ꎬ明确问题背后的关键点ꎬ进而将数学问题中的条件㊁要解决的问题进行明确ꎬ并将其转化成数学语言ꎬ建立一个相应的数学模型ꎬ以帮助学生充分借助数学模型解决数学问题.例如ꎬ在 七桥问题 的问题导向式教学中ꎬ就是就充分利用了图论解决七桥问题的方式ꎬ引导学生在这一故事情境中ꎬ并结合 在七桥问题解答中ꎬ欧拉所构建的数学模型有什么作用? 这一数学问题ꎬ引导学生对其进行讨论和分析ꎬ并建立数学模型ꎬ引导学生借助这一数学模型ꎬ对类似的数学问题进行解决.４.构建开放性问题鉴于传统高中数学课堂教学中ꎬ教师常常将数学教学紧固在课堂中ꎬ束缚了学生的发展ꎬ长期的灌输还让学生不愿意进行思考ꎬ僵化了思维.在新课标的要求下ꎬ教师必须要改变这一陈旧的课堂教学模式ꎬ结合ＨＰＭ的理念ꎬ依据教学内容㊁学生认知规律等ꎬ给学生设置一些开放性的数学问题ꎬ激发学生的思维活力ꎬ让学生的个性有实际的空间ꎬ这样才能够促进学生的数学思维发展ꎬ培养学生的创造性能力.例如ꎬ在 函数 教学中ꎬ设ｘ为有理数ꎬｆ(ｘ)被定义为１ꎻｘ为无理数ꎬ则ｆ(ｘ)被定义为０.现在ꎬ尝试指导学生将函数的图象正确画出来?很多学生可能对问题束手无策ꎬ这时ꎬ教师引入ＨＰＭ的理念ꎬ让学生从数学史的角度对无理数㊁有理数㊁函数进行分析ꎬ学生不但受益匪浅ꎬ而且还能够从中获得很多有益的方法和思想ꎬ从多角度对问题进行探究ꎬ这样才能够锻炼学生的思维ꎬ拓展学生的能力ꎬ提升学生的数学素养.综上所述ꎬ将ＨＰＭ融入到高中数学课堂教学中ꎬ是对传统数学课堂教学模式的创新ꎬ能够对学生进行数学文化和价值的渗透ꎬ从本质上激发学生兴趣ꎬ让学生掌握数学的研究方法ꎬ模拟数学知识的发展过程ꎬ这样更有利于学生自主学习能力的培养.在ＨＰＭ视角下ꎬ高中数学教师要注重数学知识探究的过程ꎬ融入数学史ꎬ并在ＨＰＭ中提出迁移性㊁开放性㊁连续性㊁建模等问题ꎬ引导学生在数学问题的分析和解决中ꎬ以实现学生数学综合素养的培养.㊀㊀参考文献:[１]陈文佳.基于ＨＰＭ的高中数学问题式教学策略设计探究[Ｊ].读与写(教育教学刊)ꎬ２０１９ꎬ１６(０７):９４.[２]赵艳艳.基于ＨＰＭ视角的二项式定理教学案例介绍与分析[Ｊ].西藏教育ꎬ２０１９(０６):３５－３７.[３]吴首飞.ＨＰＭ视角下椭圆的教学设计研究[Ｄ].赣州:赣南师范大学ꎬ２０１８.[４]王玲玲.ＨＰＭ视角下高中函数教学研究[Ｄ].南宁:广西民族大学ꎬ２０１８.[责任编辑:李㊀璟]１１。
HPM视角下高中数学若干“核心概念”的回归
查方式具 有很 大 的任意性 和随机性 ， 不 同的出题教师 对 教材重点 的理解不 同 ，出的题 目具有很大 的人 为差异 ， 往往 出现这个教 师 的学生适合做他 出的卷子 ， 而别 的教 师 的学 生却不适 合那张卷 子而成绩较低． 学生 数学知识 的迁 移 ， 核 心是学 生在学 习过程 中对知识 的运用 ， 重点
是对 学生 学 习过程 的把握． 因此 ， 这种忽 视学 习过程 的 评价方式并 不能适 应对知识迁移 的评价． 对学 生学习过
付 款购买 ， 要求 该 同学必须 自己做 家务或 卖报 纸 、 废 品 等方式 赚钱按 月分期付 款给运 营商．已知一 台ｉ Ｐ ｈ ｏ ｎ ｅ ５ ｓ 土豪金手 机标准价格 为４ ９ ８ ８ 元 人 民币 ； 分期付款方式 为
学 生 的学 习效果 如何必须通过科 学 的评价来认 定 ， 这也是 教师进行下一 步教学 的依据 ， 对学生 的学 习具有 导 向作 用． 对 学生 学 习的评 价 ， 要 从结 果化 评价 向过 程 化评 价转变． 传 统教育模 式 中一纸试 卷就是 学生学 习优 劣 的评 价方式 ， 学 生的考试成绩—— 分数就是学生 的学
２ ０ １ ４年 ３月
…
横
Ｈ Ｐ Ｍ 视角下高中数学若干“ 核心概念” 的回归
⑧浙 江 省 湖 州 中 学 冯 耀 斌
ＨＰ Ｍ是 Ｈｉ ｓ ｔ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ Ｐ ｅ ｄ ａ ｇ ｏ ｇ ｙ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ” 的缺失． 本文通过若 干实例 ， 阐述在
５ ． 正确 适 宜 的 评 价 方 式
程 的评 价 的主要方 式有 ： 实 践操作 、 知识竞 赛等多 种途 径， 可 以学生 自评 互评 、 教 师评 价 、 家长 评 价等 多种 方 式， 也 可以不用传统 的以分数 为标志 的定量评 价而采用 定 性评 价． 对学 生 的评价 也可 以综合 运用 多方式 ， 力 求 评价客 观准确全面 ， 能够让学知道 自己的长处和不足． 总之 ， 高中数学教学培养学 生知识的迁移能力是 素 质教 育 的要求 ， 也 是人 才培养 的大势 所趋． 数学教 师 在 教学 中应从学 生的具体情况 出发 ， 灵 活采用多种教学 方 式激 发学 生的学 习兴趣 ， 启发学 生积极思 考 ， 灵 活运 用 所学 的知识 ， 这不 仅需要 教师付 出大量努 力 ， 同时也要
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究
高中数学教学是培养学生数学思维能力和解决实际问题的重要环节。
本文从教学设计、教师角色以及学生学习方式等HPM视角方面对高中数学教学进行研究，旨在提高教学效
果。
教学设计是高中数学教学中的关键环节。
在HPM视角下，教学设计需要有明确的学习
目标和任务，能够引导学生从数学结构和概念中发现问题、制定策略、解决问题，培养学
生的数学思维能力。
教学设计应根据学生的认知水平和兴趣爱好，合理设置课堂活动、教
学资源和评价方式，激发学生的学习积极性和主动性。
教师角色对于高中数学教学至关重要。
教师不仅要具备扎实的数学知识和教学技能，
还要成为学生学习的引导者、激励者和评价者。
教师应通过引导式教学、讨论式教学等方法，激发学生的思考和探究欲望，帮助学生构建数学思维模式，提高解决问题的能力。
教
师还应及时给予学生鼓励、肯定和指导，营造积极的学习氛围。
学生学习方式也需要在HPM视角下进行研究。
学生在高中数学教学中应充分发挥主体
性和自主性，在教师的指导下积极参与探究、实践和合作学习。
学生应学会合理利用信息
技术和数学工具，发展数学模型的建立和应用能力，培养解决实际问题的能力。
学生还应
注重数学知识的系统归纳和总结，提高学习的深度和广度。
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角下高中数学教学的研究
HPM视角是"历史、哲学、数学"的缩写，是一种教学理念，指的是将历史和哲学的视角融入到数学教学中，帮助学生更深入地理解数学概念和知识，同时也能增强学生的思辨能力和学习兴趣。
在高中数学教学中，应用HPM视角的教学模式可以激发学生的学习兴趣和求知欲，提高数学学习效果。
1.历史视角
数学是一门具有悠久历史的学科，早在古代的希腊、中国和印度等文明古国，就有着丰富的数学研究成果。
在高中数学教学中，可以通过对数学历史的讲解，使学生了解到数学在人类文明中的地位和作用，从而引发他们的学习兴趣。
同时，历史视角还能帮助学生更好地理解数学概念和原理，如欧几里得算法、勾股定理等著名数学定理，通过展示它们产生的历史背景和实际应用，使学生更加深入地理解和掌握这些定理。
2.哲学视角
数学是一门高度抽象、逻辑严谨的学科，需要学生具备一定的哲学素养才能更好地理解和掌握。
在高中数学教学中，应用哲学视角的教学模式，可以帮助学生认识到数学的本质和特点，了解到数学方法和思想对现代科学和技术的重要性。
同时，哲学视角也能帮助学生认识到数学方法在其他学科中的应用，如物理学、化学、经济学等，从而使学生更好地理解和掌握数学知识。
HPM视角下的概念教学——以正态分布的教学为例
二、HPM 的概述
HPM 是数学史与数学教育的关系国际小组的一个简称. 自从 1972 年 HPM 成立以来, 数学史与数学教学关系越来越 受到数学教育研究者的关注, 特别是 2005 年我国在西北大 学第一届全国数学史与数学教育会议的成功召开以来, 数学 史融入数学教学得到了越来越多专家的认可, 尤其是在概念 教学中融入数学史. 著名的数学家陈省身说过:“了解历史的 变化是了解这门科学的一个步骤”, 做为数学的学习同样如 此. 随着 HPM 研究的深入, 相关的文献己经逐渐从开始时对 数学史融入数学教学必要性和可行性的探讨转向实践研究, 越来越多的研究开始关注数学史与数学教育整合的研究方 案, 并开发出一些基于数学史的数学教学案例. 但研究者多 数是高校的教师或研究生, 一线高中数学教师开发 HPM 案 例还是不多见, 基本上呈现“高评价, 低应用”的现状. [1]
2. 拟合函数
(1) 教师引导学生观察正态分布密度曲线这一条光滑的 钟型曲线, 引导学生利用已经学习的初等函数来拟合函数. 初步确定该曲线对应的函数应该是一个由指数函数及二次 函数复合而成的函数, 且其对称轴为 x = µ, 其开口大小与 σ 的值有关系;
(2) 为什么要使用 e 作为底数呢? 教师着重强调 e 为底 的指数式在积分或导数的运算中的便捷性.
关键词 HPM; 正态分布; 概念教学; 教学案例
一、正态分布的传统教学及其重要性
基于hpm视角培养核心素养——“从自然数到有理数”的教学设计与评析
主体的理念．
知识运用 请 学 生 们 列 举 出 正、负 数、自 然 数 和 分
数：
－ 1、－ 2、－ 3、－ 4 …称为负整数；
－
1 、－ 2
1 、－ 1 3
2、 3
－ 4． 5…称为负分数； 相应的 1、2、3、4 …称为正整数，12 、
1 3
、1
2 3
、4． 5…称为正分数．
然后引导学生做一做书本 1．
大数学教育工作者的重视． 文章就以浙教版初中数学七年级上册第一章“从自然数到有理数”的教学为例，阐
述教学设计与评析，探讨基于 HPM 视角培养学生数学核心素养的策略，以飨读者．
关键词： 教学设计； 评析； HPM 视角； 核心素养； 培养策略
中图分类号： G632
文献标识码： A
文章编号： 1008 － 0333（ 2020） 05 － 0027 － 02
HPM 是一种将数学史融入课堂教学的实践方式． 在 初中数学教学中，基于 HPM 视角，借鉴数学历史开展教 学活动，能有效培养并提高学生的数学思维和数学意识， 从而提高他 们 的 数 学 核 心 素 养，为 他 们 未 来 的 发 展 奠 定 坚实的基础．
一、基于 HPM 视角的“从自然数到有理数” 的教学设计
数、负分数统称为分数； 整数和分数统称为有理数．
巩固作业 1． 搜集与本课有关的数学史知识，并感 受知识的发生和发展． 2． 完成课后习题的 1 到 5 题．
二、基于 HPM 视角的“从自然数到有理数” 的教学评析
在教学 中 利 用 数 学 史 知 识 创 设 情 境 ，帮 助 学 生 了 解 “正数”、“负数”的概念，然后以学生学习为主，让学生体 会到“数学源于生活，又应用于生活”． 这样一来，不仅渗 透了数学史的知识，丰富了学生的数学史料知识，还能增 强他们对于 数 学 的 好 奇 心 和 求 知 欲，从 而 激 发 他 们 学 习 的兴趣和欲望，此外，这样还能还有效培养学生的数学核 心素养，为他们未来的发展奠定了坚实的基础．
hpm视角下的课堂教学实践与反思
希望大家下次遇到以上形式的方程时候能够快速准 确求解．但是遗憾的是，我们所遇到的问题中，有 很多一元二次方程并非具备上述形式，那该怎么办 呢？比如：你能解方程 x2 + 6x + 9 =25 吗？
学生 6：我发现 x2 + 6x + 9 为一个完全平方式， 因此方程可化为 (x + 3)2 = 25 ，再用直接开平方法就 可以求解了．
结合上述理论，笔者在 2018 年武汉市初中数学 优质课比赛中，设计了一节基于 HPM 视角的优质课， 教学内容为人教版第 21 章第 2 节《配方法》的第一 课时，探究如何让数学史如何融入数学教学，并进 行了课后反思．
1 教学目标 ①会用直接开方法解形如 x2 = p ，(x + n)2 = p( p ≥ 0) 的方程，理解配方法，会用配方法解形如形如 x2 + bx + c =0 的方程； ②通过探索配方法的过程，让学生体会转化的 数学思想方法； ③学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜 悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣； 2 教学片段及分析
一门学科的历史是这门学科的教学指南，因为 学生的理解具有历史相似性，正如 HPM（History and Pedagogy of Mathematics）先驱者史密斯所说：“困扰 世界的东西也会困扰儿童，世界克服其困难的方式 提示我们，儿童在其发展过程中会以类似的方式来 克服类似的困难”．换而言之，学生所遭遇的困难往 往是相关学科的创建者经过长期思索和探究后所克 服的实际困难，个体知识的发生遵循人类知识的发 生过程，因此，数学史是有效的教学工具．
2020 年第 2 期
HPM视角下高中数学概念课教学设计研究
HPM视角下高中数学概念课教学设计研究HPM视角下高中数学概念课教学设计研究摘要：本研究旨在以欧美数学教育研究者提出的历史意义、哲学意义和数学意义（HPM）视角为基础，探索高中数学概念课教学的设计与研究。
通过引入历史、哲学和数学的交叉视角，教师可以帮助学生更好地理解数学的概念，培养学生的数学思维和学习兴趣。
引言：高中数学概念课是数学教学的基础，是培养学生数学思维和数学能力的重要环节。
然而，传统的概念课教学存在的问题是教师过于强调机械的计算过程，忽视了数学概念的历史渊源和哲学背景。
为了提高高中数学概念课教学的效果，本研究以HPM视角为基础，从课程设计、教学方法和评价方式等方面展开研究和探索。
一、HPM视角下高中数学概念课的课程设计HPM视角认为数学的学习不仅是掌握公式和记忆方法，更要了解数学的历史背景和哲学意义。
在高中数学概念课教学设计中，可以引入历史发展的案例，让学生了解数学概念的起源和变化过程。
例如，在教授平方根概念时，可以介绍古希腊数学家毕达哥拉斯的发现以及开平方根的发展历程。
通过这样的引入，让学生了解数学概念的产生背景，激发学生的兴趣和学习动力。
二、HPM视角下高中数学概念课的教学方法传统的教学方法以教师为中心，主要以直接讲授和习题训练为主。
而在HPM视角下，教师应该更加注重学生的参与和互动，培养学生的独立思考和解决问题的能力。
教师可以采用探究式教学的方法，引导学生通过探索、实验和讨论来理解数学概念。
例如，在教授三角函数的概念时，可以通过实物、图像和动画等多种形式展示，让学生自己观察、发现和总结三角函数的性质和规律。
通过这样的教学方法，学生可以更加深入地理解数学概念的内涵和应用。
三、HPM视角下高中数学概念课的评价方式评价方式对于激励学生的兴趣和提高他们的学习效果非常重要。
传统的评价方式主要以考试和作业为主，缺乏对学生深入思考和探究的评价。
在HPM视角下，教师可以采取多样化的评价方式，如小组合作探究评价、课堂演讲评价和课外拓展项目评价等。
HPM视角下高中数学概念教学设计
在高中数学概念中，导数概念是一个非常重要的概念，它为函数性质的研究提供了一个比较普遍的方法，从而减轻了学生学习传统高中数学中复杂的函数技巧的压力，使得函数的研究轻松许多。
但当前的高中数学课堂中更着重导数实际应用的教学，忽视了导数概念本身的分析，从而导致学生对于导数概念的本质缺乏理解，妨碍了学生在解题中灵活和准确运用导数概念。
1HPM 教学法的意义在当下的数学运算中经常会用到HPM 的解题方法。
比较成熟的算法是对于非线性方程组的解法同时这种解法也是一种新的思考方式。
这种方法最早是由传统的摄动法和拓扑中的相互耦合得到的。
对于比较难解决的问题利用HPM 可以得到很好的数值结果。
所以对于HPM 的应用受到了很多数学家的关注，在这个过程中还在不断地推广和修正，并且也在各个领域有了更好的应用。
HPM 算法还可以用在不连续的非线性震荡当中，可以解决边值问题。
对于微积分的应用和可以进行耦合反应和进行扩散方程的运算。
对于非线性的方程采用HPM 实现了方程的迭代计算方法，进而改写一个耦合的非线性方程。
2导数概念应用的教学设计与反馈2.1导数概念应用中的“易拉罐最佳比例问题”首先需要创设情景：在我们的现实生活中易拉罐可以说是经常遇见，而这些易拉罐在对可乐或者是啤酒的实际容量是相同的，这样的设计尺寸基本上是一样的，这样的设计是巧合吗？探究原因：对于易拉罐的设计在最初一定要考虑的问题就是，怎样做才能保证材料做到最省，而在做易拉罐是材料又和易拉罐的表面积有很大的关系，因此可以提炼出一个问题：体积相同的圆柱体，它的高和半径取怎样的值时，才能使得其面积最小？很明显在用一般的书算法是很难算出的，所以要借助于导数的概念来解决问题。
解：V=πr 2hS=2πrh+2πr 2=2πr ·V πr 2+2πr 2=2V r+2πr 2S′=-2V r 2+4πr=0⇒V=2πr 3=πr 2h⇒h=2r经过测量发现：高度约为实际半径的4倍，实际上和计算出来的结果不相同，可是问题到底出现在哪里呢？易拉罐的厚度和它的侧面与底面厚度是完全不同的：经过测量发现易拉罐侧面的厚度是0.011cm ，其中顶部的厚度是0.028cm ，而底面的实际厚度是0.021cm ，为了计算的方便可以将侧面的厚度近似的计算为0.01cm ，其中底面的厚度计算为0.02cm ，再次让学生计算出易拉罐的高和半径的实际比值。
基于hpm视角看高中数学教材中的核心素养
笛卡尔简介 坐标法与机器证明
算法历史简介 $ algorithm"简介 海伦一秦九韶公式 辗转相除法、更相减损术 “九章算术”书影内容简介
秦九韶算法 割圆术
一个著名的原则 回归方法简介
雅各布、贝努利头像及生平简介 孟德尔试验及孟德尔简介 蒙特卡罗方法简介 概率与密码 弧度制发展史简介 三角学与天文学 向量及向量符号的由来 解三角形历史 海伦与秦九韶 毕达哥拉斯的相关研究 斐波那契数列 估计炉的值
发展的方向.在课
中 ，数学
学”到“数学学
”的培养，
教
着 和文化，
文的
部分，并且把注
学，架起HPM与数学学科核心素养之间的 .而数学史
学文化的渗透纳入课程基本理念中， 在新课标中
的搜
学 播的基础，
的 ，就会陷入
数学文化扮演着
的角色.数学文
文化的
“巧 为无米之炊”的境地，再谈学
学课程就
部分，数学史又 学文化的
发生原理，也是“历
分析[1] •
似 ”.
着新课改的 ，对“既
学理性又
文素
发生原理可以 学生的认知障碍，诊断产生障碍的
养，既
学方法又懂得人文价值”的 越来越大.至
根源，从而 对性的更改教学 ， 学生
关，
,2017年，新修订的普通高中数学课
（
新课
将数学
演化的
学严格的逻辑推理 融
）
大学学
，包括学 、逻辑推理、
养;HPM；高中数学教
!基金项目】“数学与 数学（师）”一本科专业
以此为切 进行初步分析和 . 一、 历史发生原理
设的探索与实践（FBJG20190017）,
HPM视角下中学核心概念的教学
HPM视角下的概念教学---------- 以“弧度制”为例法国哲学家孔德指出“个体教育必然在其次第连续的重大阶段，效仿群体的教育”英国教育家斯宾塞将其解释为“个体的知识发生必须遵循人类的知识发生过程”波利亚也以前说过：在教一门科学分支（理论、概念）时我们应该让儿童重演人类心理演进的重大步骤。
当然，我们不应该让她重复过去一千零一个错误，而仅仅重复重大步骤。
什么是重大步骤？这需要对历史做出诠释。
鉴于此，波利亚提出：只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好地判断。
法国数学家Poincare更明确的指出：数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序体现给学生，教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。
1、基于HPM视角的教学设计“人教A版”的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的•如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不但合情合理，甚至很有人情味•”教育取向的数学史研究就是为了让概念来的更自然一点，更有味一点，要让学生感受到每个概念的产生、形成的过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，弓I导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；弧度制概念就是这样，一个新概念的学习，首先要解决的问题是，为什么要学习这个概念，这个概念从哪来？要到哪去？下面我们就以HPM勺视角来看看弧度制概念的教学。
弧度制的演变经过了漫长的历史过程，我不能让学生重新经历这个过程，而是要对历史实行重构，这也是数学史融入数学教学的重要方面，即如何把学术形态的数学史料转化为教育形态的教学材料，需要对古代数学思想、方法做认真的思考和清理，实行加工和创造，深入挖掘材料背后隐含价值，使之适合学生的心理特点，并探索如何在课程和教学中将其具体展示。
例谈HPM视角下的初中数学教学设计
例谈HPM视角下的初中数学教学设计[摘要] HPM是基于历史相似性原理和建构主义理论对数学史进行研究，以期提升数学教学质量. 本文在研究相关理论的基础上，结合实例介绍了HPM视角下初中数学教学设计的具体操作.[关键词] HPM；数学史；理论基础；教学设计HPM是“History and Pedagogy of Mathematics”的简称，这是一个诞生于20世紀七十年代的学术领域，其研究目标是研究数学史，提升数学教育的质量. HPM所研究的问题包括：数学史的课程设立；数学史的内容关联；数学史与数学教学的关系；数学史对教师的影响；数学史在文化渗透中的作用和地位等. 由此可见，HPM的价值受到越来越多的关注，其在教学实践中的运用也日益受到重视.HPM的理论基础（一）历史相似性原理英国学者斯宾塞指出，个体知识的形成与人类知识的演变历程是统一的，历史上知识的创生过程就是今天教育的方向. 这一段论述就是讲个体的数学认识要遵循数学历史的发展过程，该观点获得克莱因、庞加莱、卡托斯等数学家的支持. 他们主张学生的认识过程与数学的发展历程有着严格的相似性，指出数学史能帮助学生解决数学学习的难题，这就是历史相似性原理.从初中数学教学的角度来讲，历史相似性原理给我们提出这样的指导：一方面，帮我们预测并解释学生可能出现的学习困难；另一方面是对教学设计给予建设性的意见. 当依据历史相似性来设计教学时，教师必须意识到学生当前的认知背景与以前的数学家大相径庭，因此我们不能全盘照搬数学史中的知识建构过程，而应该结合教学需要对历史资料进行重构.（二）建构主义理论建构主义认为，学生在数学、逻辑或物理等方面的认知过程都属于持续建构的产物，并且要在认知过程中经历同化和顺应等一系列作用，进而实现新的认知平衡. 所有的数学学习都可以结合结构的建构来实施，建构主义学习理论给传统的数学教学理念造成冲击，也为HPM理论在数学教学中的运用提供了支撑.建构主义理论指导的数学学习过程不应该是被动吸纳接受学习的过程，而应该是学生结合已有认知和经验的积累主动进行建构的过程. 西方研究者在对HPM研究时发现，该理论对数学教学有着重要的推动作用. J·M·Keiser就在教学实验中发现学生理解“角度”的概念和前人发明相关概念的过程是一致的，因此历史上前人探索“角度”概念的有关困难也将为现今的教材编写和教学设计提供指导. 学生数学的学习过程是一个持续建构的过程，数学史会将数学家探索数学规律、建立理论的过程呈现出来，因此，教师在教学中将相关史料渗透到数学教学中，能够帮助学生认清概念、定理、公式等知识的形成和演变过程，进而理解数学知识的来龙去脉，这有助于他们通过对比新、旧知识的联系来获取对新知识更加深刻的认识.HPM视角下的教学设计案例结合对HPM理论的研究，笔者对初中数学课堂积极展开实践，下面，笔者以“负数”的教学为例，谈谈自己的教学操作.（一）创设情境，引入新课教师引导学生回顾小学阶段已经接触过的数的类型：类似于0，1，2，3，，这些我们现在生活中常见的数字，都是随着人们认识的进步和需要才出现的. 在古代，人们依次经历实物计数、结绳计数、算筹计数等阶段，但是因为使用不便，于是发明1，2，3…这样的数字；为了表示“没有”或“空的”，就发明了“0”；因为计算和测量中出现的数字并非整数，因此发明了分数. 由此可见，数字的产生和改进都是源于人们生活、生产中的需要. 今天，我们一起再来认识一下一种更加神奇的数字——负数.设计思路教师围绕学生已经学习过的数字，引导他们简单回顾数字的发展历程，有助于学生在旧知识的基础上建构新认识.（二）探索研究，形成概念1. 引出负数的产生缘由教师提供问题引导学生探究负数的产生：3个小孩要平均分配4个苹果，应该怎么分配？初中生完成上述问题没有丝毫难度，教师关键是引导学生循着以下思路进行思考：3个小孩平均分配4个苹果，能不能让每个人所得的苹果数是整数？请列方程求解.学生求解：设每个小孩可分得x个苹果，则根据题意有3x=4，解得x=.结合求解过程，学生发现每个小孩最终所得的苹果数目并非整数，因为从方程求解来看，它不存在整数解，因此为了让方程由无解变为有解，人们对数系进行了扩充，引入了分数的使用. 这样的做法使得任何两个非零整数的除法都存在解，除法运算也因此更加畅通.设计思路引导学生重新体验分数的产生缘由，以此为学生接受负数的概念奠定基础.教师安排学生继续处理下面两个问题：（1）张涛带来10元钱，准备去超市买一个足球，到那儿之后发现足球的标价是18元/个，请问张涛还剩多少钱？（2）小李今天挣了200元，各项支出一共230元，请问小李今天净收入多少钱？学生很快写出两个式子：（1）10-18；（2）200-230. 写完之后，他们都无法继续下去，教师便启发他们交流彼此的困难. 学生指出：被减数比减数还要小，数字不够减，如果还用小学的知识，这样的问题是无解的，是错误的. 教师这时便鼓励学生，人的视野不应该被陈旧的知识所束缚，可以仿照分数的出现，发明一种新的数字——负数，由此，学生便会认识到负数的意义：引入负数之后，任意大小的数字都能随意相减，数系再一次被扩充.设计意图结合具体的问题，创设情境让学生感受到囿于原有认知的困境，进而产生扩充数系的需要，负数的概念由此引入便水到渠成，学生的认知上没有任何违和感.2. 负数的表示教师提供问题，引导学生学习负数的表示方法.问题：今年初春，哈尔滨的平均气温为零下5℃，北京的平均气温是2℃，上海的平均气温为5℃. 请问上海的平均气温比北京的气温高多少？上海的气温比哈尔滨的气温高多少？学生用减法来处理上述问题：上海气温-北京气温=5-2=3（℃）；上海气温-哈尔滨气温=5-5=0（℃）. 问题来了，哈尔滨和上海的气温相差为0，莫非两地温度一样？这肯定是错误的，那问题出在哪里呢？教师让学生进行讨论，他们在讨论中很快发现问题的所在，两个5℃的含义不同，必须进行区分. 那怎么办呢？此时学生对负数的表示产生了心理需求.设计思路教师以问题为引导，在问题处理中酝酿冲突，由此激起学生对负数表示方法的学习需求，强化了他们的学习动机.为满足学生的需求，教师开始讲解：数学上一般将大于0的数字定义为正数，而将小于0（零以下）的数字定义为负数，在其前方添加一个负号“-”以示区别，例如正数“1”变成负数就是“-1”，当然有时候为了强调正数，也在正数前方加一个“+”号.设计思路教师对历史上负数的发现过程进行重构，以不露痕迹的方式融入教学，让学生在看似随意的过程中体验负数的建构.教师进一步补充：运用“+”“-”来区分正负数是属于近代数学的表示方法，据史料记载，早在1700多年前，我国魏晋时代的数学家刘徽就提出了正负数的表示方法：“今两算得失相反，要令正负以名之. ”这就是说，为了对计算出来相反意义的数字进行区分，可以用正数与负数的方式进行表述. 当时，他是以算筹的颜色表征正负的：“正算赤，负算黑”，即正数用红色算筹表征，负数则用黑色算筹进行表征.设计思路介绍中国古代负数的表示方式，让学生感受前人的智慧，由此激活学生的求知欲.（三）例题讲解，活化认知教师提供例题：某天的天气预报显示，与今天相比，上海明天的气温会增加2℃；北京明天的气温会下降1℃；天津今明两天的温度没有变化. 请写出上海、北京、天津三地明天的气温会上升多少.学生结合本课所学进行解答：上海、北京和天津三地气温分别上升2℃、-1℃、0℃.设计思路教师设计问题，引导学生运用所学解决问题，在知识迁移的过程中加深认识.（四）课堂小结，作业布置教师引导学生进行课堂小结，本课所学内容包括：（1）负数提出的缘由；（2）负数的概念及其表示，随后布置课后巩固练习.。
HPM 视角下的初中数学课堂教学实践
㊀㊀㊀１４３㊀㊀ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践Һ王冰玉㊀哈建民㊀张晓琴㊀（甘肃省嘉峪关市明珠学校，甘肃㊀嘉峪关㊀７３５１００）㊀㊀ʌ摘要ɔＨＰＭ是 Ｈｉｓｔｏｒｙａｎｄｐｅｄａｇｏｇｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ 的简称，即数学史研究．随着教学改革的不断推进，新课标对数学文化渗透提出了明确的要求，倡导通过数学文化的学习，加深学生对数学的认识了解，并有效培养学生的探究精神．因此ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践具有重要意义，本文之中笔者将对此做出相关研究探索．ʌ关键词ɔＨＰＭ视角；初中数学；课堂教学ʌ基金项目ɔ本文系甘肃省教育科学 十三五 规划２０２０年度一般课题‘将ＨＰＭ融入初中数学校本课程研究“ＧＳ［２０２０］ＧＨＢ１８０１研究成果一㊁前㊀言数学是研究数量关系与空间形式的科学，与人类社会进步息息相关．在漫长的人文历史演变过程中，数学史是十分靓丽的一抹色彩，展现出了人类智慧的光辉．在初中数学教学中，基于ＨＰＭ视角下的课堂教学实践，可以更好地帮助学生认识数学概念㊁定理的本质内涵，并使学生的数学人文素养得到培养和发展．为此教师有必要对ＨＰＭ进行更加深入的研究探讨．二㊁ＨＰＭ的含义及在中数学课堂教学实践意义ＨＰＭ为数学史研究，是一门探索数学发展规律的科学，而数学史不仅与数学有关，与教育㊁社会㊁人文都有一定的联系，因此数学史研究，不仅是在研究数学知识的发展历程，还是在研究各种与数学发展有关的联系因素．数学作为一种文化，是人类的一种活动，数学能在自然科学和人文社会科学之间搭起一座桥梁．关于 数学文化 ，至今还没有一个被大家公认的定义．其中一种定义是考虑了数学文化的整个形成过程，借用 群体 以及 意义网络 两个社会学基本概念，将数学文化定义为：数学文化是由数学家群体在认识数学世界和相互交往中自觉形成的一种相对独立㊁相对稳定的社会意义网络．这个社会意义网络中包含数学研究者㊁数学语言符号㊁数学的思想方法㊁研究成果㊁精神与价值观念及其共享群体．数学文化是对传统的数学教育的升华，它要求教师不再是简单地传授学生数学知识，更重要的是提高学生的数学文化素质．在初中数学教学中，基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践是具有重要意义的，主要体现在科学意义㊁文化意义㊁教育意义三个方面．首先，科学意义．数学史研究的是数学知识的发展过程，在初中数学教学中，基于ＨＰＭ的教学实践，可以为学生营造浓厚的科学探究氛围，这不仅有助于调动学生思考，还可以培养学生的数学探究乐趣，并使学生的科学精神和创新能力得到有效的培养．其次，文化意义．数学史是人类人文历史的重要组成部分，与人类社会发展息息相关．数学史丰富的知识内容体系中包含社会学㊁自然科学㊁哲学等，甚至对政治学㊁神学也产生一定的影响．教师在初中数学教学中引入ＨＰＭ，可以更好地帮助学生理解和认识数学文化㊁传播数学文化，促使学生的人文素养得到有效的培养［１］．最后，教育意义．数学史揭示的是数学历史的漫长发展过程，其中蕴含着历代伟大数学家的大胆猜想，这些猜想㊁理论的获得，往往经历无数的曲折，从中体现出了数学家高尚的人格品性和意志．教师在初中数学教学中引入ＨＰＭ，可促使学生向数学家看齐，促使学生实事求是的探索精神得到有效的培养，这就是ＨＰＭ实践的教育意义体现．三㊁ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践研究（一）介绍数学概念的发生㊁发展过程数学概念具有一定的抽象性和思维性，在初中数学教学过程中，教师若是直接向学生提出数学概念，学生往往犹如 丈二的和尚 ．而在基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践中，教师可将数学概念的产生过程阐释给学生，帮助学生了解认识这一数学概念的起源，这样的教学不仅让学生能 知其然 ，还能 知其所以然 ，可以更好地帮助学生理解认识数学概念的本质，感受数学发展的强大驱动力．数学文化属于一种重要的精神文明，凝聚着人们的智慧和辛劳，推动着人类的伟大文明进程．数学学习也是学生不断探索的过程，学生们通过学习数学探索历史，在一个个数学的发展故事中感悟数学概念形成的智慧．但是大多数学生在学习数学概念的时候，往往会感觉无趣，对学习没有很大的积极性，如果教师可以将一些有趣的数学历史故事引到数学课堂教学中，就能使学生了解无数数学家面临的各种数学难题，并通过自己的努力积极解决各类难题，从而获得令人仰慕的成就的重要历程．学生在了解了这样一段既艰辛又具有励志精神的历史后，会对数学概念有深入地解读，㊀㊀㊀㊀㊀１４４㊀明白了数学概念创造的过程，也会在潜移默化中了解数学发展的一些重要规律，产生学习数学的欲望．如在学习 正数与负数 这节课程时，学生需要掌握的重要知识概念就是 比０大的数是正数，比０小的数是负数，正数与负数表示意义相反的量，０既不是正数，也不是负数 ．但若是教师直接将这样的概念阐述给学生，学生往往很难理解，而在基于ＨＰＭ视角下的教学中，教师可以向学生介绍 数的发展历史 ，告知学生在远古时期并不存在 １，２，３ 这样的数字，古时候的人主要是使用木棍和绳结进行计数，但由于使用起来非常不方便，于是就产生了 １，２，３ 的阿拉伯数字［２］．其后为了表示 空的 和 没有 ，就创造了 ０ 这个数字．而随着社会的不断发展，为了更好地满足 分物 的生活需求，数学家还专门发明了 分数 ，同时为表述生活之中一些具有相反意义的量， 负数 就被创造发明了．教师介绍这样的一段数学历史，学生就会对 数 的发展历史有更加深刻的理解认识，而在这个过程中，学生自然而然就理解了 正数 负数 以及 ０ 的数学概念含义，从而更好地学习数学知识．（二）介绍定理的发展和证明过程数学定理的学习是初中数学教学的难点，学生在以往的教学中经常存在着 一学就会，一做就不会 的问题．而造成此种现象的重要原因就是学生不理解定理，也不理解定理应用的本质．因此在基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践中，教师可以将定理的发现和证明过程全面地展示给学生，让学生体会定理中蕴含的数学思想和方法，这可以更好地促进学生数学学习［３］．如在学习 勾股定理 这节课程时，勾股定理的公式是ａ２＋ｂ２＝ｃ２，而向学生讲解这一定理公式时，教师可以引入毕达哥拉斯从地板形状引发思考的故事，从而引导学生自主对定理进行推导论证，让学生了解这一定理的本质含义．同时，在教学过程中，教师可以将毕达哥拉斯看到的地板展示给学生，让学生依照这一思路进行推导．这样的教学可以更好地帮助学生感受数学概念的产生过程，促使学生更好地理解数学定理．而除毕达哥拉斯对勾股定理的证明外，迄今为止，全世界已经有四十多种证明勾股定理的方法．在教学过程中，教师为更好地培养学生举一反三的思维能力和多角度看待问题的能力，还可以引入我国数学家赵爽提出的 弦图 证明方法，让学生知道三国时期数学家赵爽在‘周髀注“中也曾有关于勾股定理的推导，然后教师可以让学生依照赵爽提出的 弦图 证明方法，从另一个角度进行定理公式的推导证明，从而帮助学生感受东西方数学家不同的思想和智慧．（三）介绍数学家的故事，培养探索精神在漫长的历史发展过程中，有无数的数学家毕生奉献，对数学理论进行研究推算，为人类社会发展做出了巨大的贡献．在基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践中，教师还可以向学生介绍数学家的故事，让学生了解数学家的创造与生平，这样的教学不仅为枯燥的数学课堂增添了趣味，还可以对学生产生一定的激励作用，促使学生像数学家一样，勇于探索，坚持不懈，从而实现对学生道德素质的有效教育．如在学习 平面直角坐标系 这节课程时，教师就可以在课程导入环节，向学生引入介绍法国数学家笛卡尔的故事．平面直角坐标系的创建者是笛卡尔，而这一伟大发现其实源于生活中的一次偶然，笛卡尔在德国南部诺伊堡的军营中苦苦思考，不知如何用代数中的数来描绘几何中的点，而在他百思不得其解时，被墙上的蜘蛛网所吸引，并发现蜘蛛网与他想要解决的问题异曲同工，于是笛卡尔想，是否能够将蜘蛛看成一个点，并将蜘蛛与两面墙的距离作为参考来确定蜘蛛的具体位置．在这样的启发下，笛卡尔建立了平面直角坐标系，因此人们也将平面直角坐标系称之为笛卡尔坐标系［４］．在平面直角坐标中，每一个点都有与之对应的坐标，同时，任何一个点都可以用（ｘ，ｙ）表示．类似于这样的数学故事还有很多，如我国数学家华罗庚的故事㊁古代数学家祖冲之的故事等，这些故事中的数学家都拥有着非凡的成就和传奇的经历．在基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践中，教师将数学家故事的引入，可以更好地激发调动学生的学习热情，并有效培养学生的数学探索精神．（四）引入数学历史名题，调动学生思维习题练习是初中数学教学中不可或缺的一个环节，通过习题练习学生可以更好地掌握知识要领，促使自身的数学实践能力得到提升．而在基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践中，教师可以运用数学历史名题对学生进行训练，这些数学问题不仅经典，且蕴含启发思维智慧的数学思想，学生对这些数学名题思考求解，可以更好地启发思维，推动学生数学学习的脚步．在数学学习过程中，善于提出问题对学生来讲非常重要，可以促进学生通过不断探究寻求，有效地解决问题的方法．所以，教师在实际教育教学中，要鼓励学生积极思考，发现问题所在，然后有意识地锻炼学生的质疑精神，培养学生的批判思维能力，从而为学生有效㊀㊀㊀１４５㊀㊀解决问题开辟的路径．在这里笔者举这样的两个例子：如 哥尼斯堡七桥问题 ，该问题被誉为１８世纪最典型的数学问题：哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如图所示，是否存在一种方案可以不重复地走过所有的桥然后回到起点？这样的问题非常带有挑战性，学生一定会积极踊跃地参与到解题过程．如 斐波那契兔子问题 ，也是数学史中非常具有代表性的一道数列难题．由意大利数学家斐波那契在其所著的‘算法之书“中提出：假设一对大兔子每月能生出一对小兔，一对小兔出生两个月后可以生小兔子，假设一年之内没有任何兔子发生死亡，那么这对大兔子一年能够繁殖多少对兔子？这是一个非常典型的线性数列问题，问题的解法就是 斐波那契数 ，在解这样的一个数学历史名题过程中，可丰富学生多种知识智慧［５］．而在我国也有很多这样的数学历史名题，如鸡兔同笼问题㊁鸠占鹊巢问题等，这些问题都展现出了我国数学家非凡的智慧．在基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践中，教师引入数学历史名题对学生进行训练，不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以培养学生的数学洞察力，获得意想不到的教学效果．（五）介入学生形成数学探索精神的思考很多学生对数学学习充满了兴趣，有的是对数学思维神奇能力的向往，有的是对数学家故事具有新奇的体验感．这一切，让他们逐步形成了对数学进行探索的动力，想要在长远而深入的学习中认识更多有关数学的理论和实践．而教师为了保障学生的学习质量，需要帮助他们形成科学的探索精神，指导他们对数学理论开展学习和探究．大多数学生都会把运用知识作为一项实践内容，而缺少对知识进行理论方向上的积极思考，认为这样的思考属于纸上谈兵，不能够给自己的学习效果带来多大的提升．因此，学生的思维中虽然存在探索精神，却也存在将知识应用于实践过程的局限性，不具备准确定位和发现新的学习知识的基本能力．教师可以换一种形式，让学生对物理或社会学方面的数学问题进行计算并讲解，让他们能够从得出最终结论，思考理论的形成过程，认识数学知识理论方面的实用价值，使学生对数学的思考具备科学性．例如，速度公式的计算过程，需要学生在了解时间和距离的情况下，完成对物体平均速度的讨论并得出最终结论．学生可以直接套用速度的计算公式，对速度与距离成正比关系的理论进行计算㊁思考和验证．教师将理论引入他们认识速度这个数学概念的思路中，让学生能用理论验证一部分事实．这样，学生就可以充分发挥探索精神并将此作为他们学习和进步的动力．（六）落实对数学思维教学内容的详解大家常用思维这个名词来代表自己在学习中不曾弄懂的客观事物．这让学生把锻炼自己的思维当成提升个人数学学习能力的重要途径，却不清楚思维是怎样改变个人学习理念的．首先教师要在教学中引入数学思维的内容，以此作为学生学习新知识的契机，让他们能够准确理解思维是一种特殊的数学解题方法，而不是学生经思考后得出的一种结论．其次教师要求每个学生都对数学思维进行合理的解释，了解他们是否把学习中使用的数学模型和道具当成思维．依据教学中要完成的教材教学内容，教师可对这些内容进行运用数学思维上的详解，落实开发学生思维能力和拓展他们思维的科学教学设计．例如，两个三角形存在关系的实践教学内容，需要通过分析已知条件和可推导出的未知条件，验证三角形是否存在边角关系上的相同或相似，从而证明它们的相似或全等关系．教师要详细讲解，分别验证两个三角形的边角关系，再用数学思维推导它们之间是否存在数字关系和边角的位置关系．最后，教师带领学生找到题目当中的数学思维，完成实践教学．四㊁总㊀结数学史是人类人文历史的重要组成部分，在教学数学课程时，教师将数学史引入教学之中，不仅可以帮助学生认识知识的来源本质，还使学生的人文素养㊁探索精神得到培养，而这也是新时期对数学人才培养的要求．因此基于ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学实践具有重要意义，在今后的教学中，教师有必要对ＨＰＭ做更加深入的探索研究，将其与初中教材内容有机结合．ʌ参考文献ɔ［１］师望舒．ＨＰＭ实践对初中数学教师专业发展影响的个案研究［Ｄ］．济南：济南大学，２０２０．［２］刘艳如．ＨＰＭ视角下初中数学教学设计研究［Ｄ］．南昌：江西师范大学，２０２０．［３］吕晓婷．ＨＰＭ视角下初中数学教学的研究［Ｄ］．福州：福建师范大学，２０１９．［４］陈海云．ＨＰＭ视角下中美高中数学教材的比较研究［Ｄ］．昆明：云南师范大学，２０１９．［５］王盼盼．ＨＰＭ视角下的初中数学课堂教学现状的调查研究［Ｄ］．南京：南京师范大学，２０１８．。
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HPM 视角下的概念教学
--------------以“弧度制”为例
法国哲学家孔德指出“个体教育必然在其次第连续的重大阶段，效仿群体的教育”英国教育家斯宾塞将其解释为“个体的知识发生必须遵循人类的知识发生过程”波利亚也以前说过：在教一门科学分支（理论、概念）时我们应该让儿童重演人类心理演进的重大步骤。
当然，我们不应该让她重复过去一千零一个错误，而仅仅重复重大步骤。
什么是重大步骤？这需要对历史做出诠释。
鉴于此，波利亚提出：只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好地判断。
法国数学家Poincare 更明确的指出：数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序体现给学生，教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。
1、基于HPM 视角的教学设计
“人教A 版”的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的．如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不但合情合理，甚至很有人情味．”教育取向的数学史研究就是为了让概念来的更自然一点，更有味一点，要让学生感受到每个概念的产生、形成的过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；
弧度制概念就是这样，一个新概念的学习，首先要解决的问题是，为什么要学习这个概念，这个概念从哪来？要到哪去？下面我们就以HPM 的视角来看看弧度制概念的教学。
弧度制的演变经过了漫长的历史过程，我不能让学生重新经历这个过程，而是要对历史实行重构，这也是数学史融入数学教学的重要方面，即如何把学术形态的数学史料转化为教育形态的教学材料，需要对古代数学思想、方法做认真的思考和清理，实行加工和创造，深入挖掘材料背后隐含价值，使之适合学生的心理特点，并探索如何在课程和教学中将其具体展示。
（一） 概念引入：概念引入一般由问题入手，问题情境的设计要求能够引起学生地认知冲
突。
回忆初中1度角是如何定义的？
规定把圆周平均分成360份，每份所对的圆心角称为1度角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制
角度制是度量角的一种单位制。
单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制“米”“尺”“仗”，而且同样对于长度还有不同的度量方式，例如我国三国时期(公元三世纪初)王肃编的《孔子家语》一书中记载有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。
”那么对于角的度量除了角度制还有其它的度量方法吗？
问题1：一块矩形土地长是100米，宽是15仗，试计算土地面积。
问题2：在等式2130sin =
中，30和21的度量单位分别是什么？进制一样吗？ 问题3：计算''''''362734302435 -
设计意图：问题1中长和宽的单位不一样，不能直接计算，具体操作起来不太方便，
问题2中30的度量单位是“度”，60进制的，2
1的度量单位是长度单位，进制是十进制，在一个等式中有两个度量单位，而且进制还不相同，这也是很不方便的，问题3是为了让学生更直接的感受到角度制带来的不便，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，因为运算进制非十进制，总给我们带来很多困难，这更能引起认知冲突，激发学生思考，问题怎么解决呢？------关键在于度量单位统一、进制统一。
历史上正是因为角度制的种种不便，才促动了弧度制概念的产生，但统一弧长与半径的思想从萌芽到产生经历了千年之久，这样的设计是为了激发学生的思考，让学生经历概念产生的磨难和困惑
（二） 探索研究：如何统一度量单位，统一进制？
问题4：角度制中将圆周分成360等份，那可不能够分成其它等份呢？
设计意图：让学生感知360等份是有偶然性和主观性的，并不是唯一的分法，中国古代的《周髀算经》就把圆周分成4
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份实行弧长计算，也为接下来的π2等份圆周做铺垫。
问题5：我们在初中学过圆周长的计算公式r C π2=，变形能够得到π2=r C ，你知道式子所表示的意义吗？
设计意图：引导学生理解，将圆周π2等份，每份的长度是半径r ，换句话说，若以r 作为单位长度，就将圆周分成π2份，这实际上是欧拉的思想，1748年欧拉提出用半径为单位来度量弧长，整个圆周的长就是π2个半径，半圆周的长就是π个半径，所对的圆心角的正弦为0，记作0sin =π，41圆周长是2π个半径，所对圆心角的正弦为1，记作12
sin =π。
这就是现代的弧度制。
“弧度”(radian)是爱尔兰工程师Thomson 首先使用由radius(半径)与angle(角)，两词合成。
用半径度量弧长，就统一了半径和弧长的单位和进制。
这就是度量角的另外一种单位制——弧度制。
(三)、概念形成：
1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
它的单位符号是rad ，读作弧度。
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
问题：（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？零角呢？
（3）在弧度制下弧长的计算公式应该怎么写呢？扇形面积公式？
2.弧度制与角度制之间的互化
)(180(2360rad rad ππ== ）
30.57180)(1)
(01745.0)(1801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=≈=ππ
rad rad rad
3.例题讲解与知识的巩固
例11 把'3067 化成弧度
解： )5.67(3067'=
∴ )(83)5.67(1803067'rad rad ππ
=•= 例2 把)(53rad π化成度 解： 1081805
3)(53=⨯=
rad π 注：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”能够省略 如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦，但要注意省去单位后还是一个量。
2.无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一 一对应的关系 (四)、概念理解
角度制与弧度制的共同点都是要等分圆周，角度制把圆周分成360等份，每一份的弧称为1度的弧，每一度的弧所对的圆心角称为1度的角，进制为60进制，这种分法是历史形成的一种规定，为了统一半径和弧长的单位，用半径来度量弧长，有了另外一种分圆周的方法-----将圆周2π等份，每一份长度长等于半径，每一份所对圆心角称为1弧度角。
把圆周分成π2等份是一种客观规律，更科学，合理，角度制的基本特点是用特殊角来度量角，即用“自己”量“自己”，而弧度制是用长度来度量角，是借助其它量来度量的，是用“别人”来量“自己”。
角度制与弧度制比较
五、概念应用
1、用弧度制表示：
（1） 终边在x 轴上的角的集合
（2） 终边在y 轴上的角的集合
（3） 终边在坐标轴上的角的集合
2、将
1500-表示成απ+k 2),20(z k ∈<≤πα的形式，并指出是第几象限角。
3.若两个角的和是1弧度，此两角的差是1，试求这两个角。
六、课堂小结
（1）弧度制的定义。
（2）角度制与弧度制的互化。
（3）特殊角的弧度数。
结束语：
概念教学要返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目．要让学生参与概念本质特征的生成过程，培养学生持续回到概念去，养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯；增强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路这是概念教学中培养学生的创新精神和实践水平的必由之路．利用数学史实行概念教学，寻找数学史融入数学概念教学的最佳途径，是一条可行而且有效的途径，只有将学术形态的数学史转化成教育形态的数学史，才能让学生感受到“冰冷”的数学概念背后的“火热”的思考。
参考文献：
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