磁感应强度的计算

dl
dl//
d
r
dl
3. 围绕 I 的回路L不在与电流垂直
平面内。
I
线元同样可分解
为dl//和dl⊥两个分量， L
有同样的结果：


dl
Bdl
L
0I
B
4. I 在回路 L 外

L B dl
0 0I rd
0 2 r
0
B
I φ
A
L
5.
有多根载流导线存在
反，则

L
B dl Bdl
L
L
B
Ir
0I
2. 在与导线垂直的平面内，取围 绕 I 的任意闭合回路为积分路径 L。

L
Bd
l


L B(dl// dl)
LI
B
L Bdl//
2 0I rd
0 2 r
L
0I
B

各个电流元在P点产
l

r
a

1
2
P
生的磁场方向相同
B LdB

L
0 4
Idl sin
r2

0I 4
dl sin
L r2
B 0I
4
dl sin
L r2
化为同一变量 β 积分： l
l a tg
则 dl a sec2 d

r
a
x
a
它在P 激发的磁感应强度
a
dB 0 dI 0I dx 2 x 2a x
方向垂直于纸面向外。
所有的电流线元在P点的 dB同向，
B dB 0I ra dx
2a r x
I
dI
0I ln r a 2a r
P r dx
Ox
x
方向垂直于纸面向外。
a
例：一均匀带电圆环，带有正电

高斯（Gs）
B
1T 104 Gs
v q
三、磁场的高斯定理
1.磁感应线 (磁力线)
B的方向：曲线上
Ba
任一点的切线方向。 a
b
Bb
点与BB的垂大直小的：单通位过面某积
B
的磁力线数(数密度)。
与电力线的区别：磁力线是一系列 围绕电流、首尾相接的闭合曲线。
2. 磁通量：通过磁场中某一曲面的
B
圆柱轴线为中心的同 r
心圆。
I
R
ab

B

dBa
r
L
dB
dBb
取以轴线为中心、半径为 r 的圆为
积分回路 L ，回路方向与 B 相同，

B dl
Bdl B Ldr B 2 r
L
L
r > R 时： B 2 r 0I
B 0 I 2 r
生的磁感应强度
B
0

qv r
4 r3
静止电荷只激发 静电场，不激发磁
r
B
场。运动的电荷不 +q 但激发电场，而且
v
激发磁场。
§11-4 安培环路定律

LB dl ?

Bdl L
0 Ii
L内
I1
I2
----安培环路定律 L
在磁场中，磁感应强度沿任一闭
形成电流强度

R
dI dq n
Or
再求
rdr
dB和B。
q
二、运动电荷产生 的磁场
取电流元 Idl
dB
0 4

Idl
r
r3
I
S

n

v
dl
I 为单位时间内通过截面S 的电量，
I qnsv
dB
0 4
(qnSv
)dl


B L

dl


L
(B1


B2



Bn )

dl
L B1 dl L Bn dl
0 Ii L内
其中Ii 在L外时，

L Bi dl 0
I1
I2
I3
L
对任意几何形状
I1
I2
的通电导线，上面结 I3
论都适用。

L
Bdl L
r
r3
Idl方向d与B电 荷40速(度qnSvvr方)3d向l相r同，上
式写为
dB
0 4
(qnSdl ) v r r3
电流元内粒子数 dN nSdl
平均每个粒子激发的磁感应强度
B
dB dN

0 4

qv r r3
即一个速度为 v、电量为q 的电荷产
荷q，半径为R 。它在圆平面内以角 速度ω绕圆心转动，求圆心处的磁感 应强度。
解：圆环转动时形成
圆电流，它的电流强度
I qn q
2

B0

0
2
I R

0q 4 R

R
O
q
方向垂直纸面向内。
引伸：若为均匀带电圆盘如何计算？
提示：把圆盘分成许多同心细圆环，
其带电量
dq 2 rdr
2
I R
B

0 IR 2
2(R2

x2
3
)2
也可用右手定则直接判断其方向。

IR B
0
x
3.载流直螺线管轴线上的磁场
设螺线管的半径为R，单位长度
上线绕 上有P点n的匝线B圈。，通有电流 I ，求轴
l dl
A1
1 2
A2
RP
距P点水平距离 l 处任取一小段dl，
dl上匝数 dN ndl
由对称性可知，磁场沿轴线方向。
dB
0 4
Idl r2
B L dB//
IR
0
r
dB
dB

x
x
dB//
P
LdBsin

0 IR 4r 3
dl

0IR 2
2r 3

0 IR 2
2(R2

x2
)
3 2
方向沿 x 轴正方向。
圆心处(x =0)
B0

0
0 Ii
L内
----安培环路定律
在磁场中， B沿任一闭合曲线的
环流等于穿过积分回路的所有电流的
代数和乘以真空磁导 μ0 。
安培环路定律中电流符号的确定：
积分路径绕行方向按右
手螺旋法则可确定一个方
向，电流方向与它相同时
电流为正，相反时电流为 I1
I2
负。

B dl 0 (I1 I2 )
r2
r 的方向
dB
P
r

Idl
I
对载流导线
B
dB
0
l 4
Idl
r
l r3
0 4 107T m A1 ----真空磁导率
单位(SI)：I为安倍(A)，B为特斯 拉(T)
毕-萨定律是实验定律，闭合回路 各电流元磁场叠加结果与实验相符， 间接证明了毕-萨定律的正确性。
二、毕奥-萨伐尔定律的应用
1. 载流长直导线的磁场
长为L的载流直导线，
通相距有为电流a 的为PI点，处求的与导B线。
任取一电流元，它在
Id l
l
I

r
a

1
2
P
P点激发的磁感应强度
dB
0 4
Idl
r
r3
dB
0 4
Idl
r
r3
方向垂直于纸面向内。
A
I
B oC
D
解：直线电流AB在O点激发的磁 感应强度为
A
I
B oC
D
B1

0I 4a
(sin
2
sin
1 )
0I [sin 0 sin（ ）] 0I
4a
2 4a
方向垂直纸面向外。
A
I
B oC
D
半圆弧电流在O点激发的磁感应强
度为
B2

1 2
0
2
I R

0I
4R
方向垂直纸面向内。
A
I
B oC
D
根据毕奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl r3
r
直线电流CD在O点激发的磁感应强度
为零。
O点的磁感应强度为

B B1 B2
A
设垂直纸面向 I
内方向为正，则
B oC
D
B 0I 0I 0I (1 1 ) 0
合曲线的环流等于穿过积分回路的所
有电流的代数和乘以真空磁导 μ0 。
证明：先以长直电流为例说明。
1. 取半径为 r 的闭合磁力线为积分
回路L，回路方向与磁场方向相同。

Bdl Bdl
L
L
B
BLdl
L Ir
0 2
I 2 r
r
0I
若取回路的方向与磁场方向相
磁力线数。

d B

B dS
BdS
cos
B S B dS
n B
单位：韦伯(Wb)
dS
S
3. 磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合的，无头无尾,
对磁场中任一闭合曲面S，穿入的磁
力线数（穿入面通量为负）等于穿出
磁力线数（穿出面通量
为正），磁通量为


B
SB dS 0
分子电流作定向排列，则宏观上就 会显现出磁性来。
SN
N
S
结论：磁现象的本源是电流，实质 上是运动的电荷。
二、磁感应强度 实验：试验点电荷q以速度
v沿不
向同总方(是1向)垂q射受直入到于磁的v场磁的中力方。F向实 的。验方规律q 如下：v
场中各点都有一特定方

向，电荷沿该方向(或其反
F
方向)运动时不受磁力的作
L
说明：
有贡1献. 回，路但外回面路的上电各流点对的BB的却环是流由没
回路内外所有电流决定的。
2.安培环路定律 反映了磁场是非保
I1 I3
I2
守场，与静电场本
质上不同。
L
§11-5 安培环路定律的应用
一、均匀载流的无限长圆柱形导
体内外的磁场
I
由于电流是均匀分
R
布在截面上的，根据

对称性，磁力线是以
dl


Rd sin 2
A1
r 1
2
RP
A2
B dB 0 nI 2 sin d
L
2
1
B

0
2
nI
(cos
2

cos
1)
螺线管为无限长时， 1 2 0
BLeabharlann Baidu 0nI
----与P 的位置无关
l dl
A1
r 1
2
A2
RP
例：如图无限长通电导线，求圆 心O处的磁感应强度。设半圆弧的半 径为R 。
BaO等)的粉末混合高温烧结而成。
（2）电流（或运动电荷）周围存 在磁场
奥斯特实验：
N
I
S
小磁针发生转 A
动。
N
B
S
2. 磁场对电流（或运动电荷）产生 磁力作用
安倍实验：
揭示出磁铁会对 电流施加作用力。
N
F
I
S
I
N
S
安培实验：
相互吸引
相互排斥
3. 安培分子电流假说
安培分子电流观点：物质的每个分 子都存在着回路电流----分子电流

1
2
P
2
r a cos
B 0I
4
L
dl sin
r2

0I 4a
2 cos d
1
B

0I 4a
(sin
2

sin
1)
方向垂直于纸面向内。
角 从垂线向上转(沿I
流向)则取正值, 从垂线向
下转(沿I反向)则取负值。 对无限长载流直导线有
根据圆电流轴线各点磁感应强度结果，
得
dB

ndl 0IR2
2(R2 l 2 )3 2
方向沿轴线向右。
l dl
A1

R
A2
B

0 IR 2
2(R2

x2
)
3 2
换成变量 积分：

R2 l2
r2
R2
sin 2
dB

ndl 2(R2
0 IR 2
l2)32
l dl
l R ctg
磁场是无源场或涡旋场。

问题： E
E dS 能等于零吗？
S
磁单极子存在吗？
N
S
§11-2 11-3 毕奥-萨伐尔定律
一、毕奥-萨伐 尔定律（电流的磁场）
电流元 Id l 在P点激发的磁感应强度
dB
0 4
Idl
r
r3
大小：
dB
方向：d
0 4
l
Idl sin
l
o

r
a

1
2
P
2


2
1



2
则
B 0 I
2 a
B

0I 4a
(sin
2

sin
1)
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
，求半其径轴为线R上的P圆点形的载流B。导线通有电流I 取轴线为x 轴，任取一电流元 Idl ,
其方向I如RI图0dl，垂x直r纸面d向BP外dd。BB// x
用。
磁（感定2应）义强当该度V特B定的方B方向时向(或，。反q 受向力)为最该大点，的
且 Fmax B
Fm
Fmax q, v
B
定义磁感应强度大小
v
q
B Fmax
qv
B
的方向：

按q 为正电荷时，Fmax V 的方向
确定。

B 的单位：特斯拉 (T)，
Fm
r < R 时：穿过积分回路L的电流为
I

I
R 2
r 2
I
R

B 2r

0 I

0Ir 2
R2
r
B
L
B

0 Ir 2R 2
R
若把圆柱体改
为空心圆柱桶，内 外的磁场如何？
B
0R r
二、载流长直螺线管内的磁场 设螺线管单位长度上绕有n匝线
圈，通有电流 I 。
B
根据圆电流位置分布对称性，可知
4 R 4R 4R
磁感应强度方向垂直纸面向内。
例: [ 习题11-13(1) , P.268 ] 宽度为a
的无限长金属薄片，均匀通以电流 I
。试求薄片平面内距薄片左端为 r 处P
点的磁感应强度。
解：建立如图所示的坐
I
标系，取宽为dx距P为x的
dI
无限长的电流线元， P r dx
dI I dx O x
§11-1 磁感应强度 磁场的高斯定理
一、基本磁现象 1. 产生磁场的物质 磁性：可吸引铁、镍、钴等物质
的性质。这种作用是通过磁场进行的。 磁性材料和电流都能产生磁场。
（1）磁性材料 天然磁铁矿石：四氧化三铁(Fe3O4)
人工磁铁：氧化铁(Fe2O3)与一种 或多种二价金属氧化物(CuO，MnO,