高中数学-不等式的基本性质(一)练习

高中数学-不等式的基本性质（一）练习

课后导练

基础达标

1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )

A.-2<α-β<0

B.-2<α-β<-1

C.-1<α-β<0

D.-1<α-β<1

解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.

∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,

∴-2<α-β<0.

答案:A

2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( )

A.a>c,或b>c

B.a>c 且b

C.a>c 且b>c

D.a>c,或b

解析:∵a>c 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c.

答案:C

3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )

A.x-1>1-y

B.x-1>y-1

C.x-y>1-y

D.1-x>y-x

解析:∵x>1>y,

∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确;

x+(-y)>1+(-y),即C 正确;

1+(-x)>y+(-x),即D 正确.

故选A.

答案:A

4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )

A.-n

B.-n

C.m<-n

D.m<-n<-m

解析:∵n>0,m+n<0,

∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.

∴m<-n

答案:C

5若0

1log b,则( )

A.p

B.p

C.m

D.n

解析:m>0,m,n 互为倒数,易得m<1

答案:A

综合运用

6已知a

解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0.

答案:b 2-4ac>0

7下列命题中真命题的个数为( )

①若a>b,且a,b 同号,则

a 1<

b 1 ②若a 1>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥b

c ⇒c≥0 ④若a>b,n∈N *⇒a 2n+1>b 2n+1

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:①∵a,b 同号,∴

ab 1>0.由a>b,两边同乘ab 1得ab b ab a >,即b 1>a 1,亦即a 11可知a>0,给a

1>1两边同乘a 得1>a,综合得0

④由a>b 可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.

若a>b≥0,则由性质(5)知a 2n+1>b 2n+1;

若a≥0>b,则a 2n+1≥0>b 2n+1;

若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,

可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,

即-b 2n+1>-a 2n+1,

即是a 2n+1>b 2n+1,

因此④是真命题.

答案:B

8设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x∈R ,则A,B 的大小关系是____________.

解析:A-B=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.

答案:A≥B

9若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>b

y a x ,成立的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:(1)若⎩⎨⎧>--+>+,

0))((,b y a x b a y x ①②

由式②知(x-a)与(y-b)同号;

又由式①得(x-a)+(y-b)>0.

∴x -a>0,y-b>0,即x>a,y>b.

故充分性成立.

(2)若⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧>>.

0,0,,b y a x b y a x 则 ∴⎩

⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x .故必要性成立. 综合(1)(2)知,应选C.

答案:C

拓展探究

10某顾客第一次在商店买x 件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?

解析:依题意

⎪⎩

⎪⎨⎧=-+≥)2(,21208)(10()1(,1x y x y 由②得y=)

10(15)40()151102(++=-+x x x x x ≥1, ∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).

∴x 2+25x-150≥0.

∴(x+30)(x -5)≥0.

∵x+30>0,∴x -5≥0,即x≥5.

答:第一次至少买5件商品.

备选习题

11若x

解析:(用作差法比较)

(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)

=(x-y)［(x 2+y 2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).

∵x0,x -y<0.

∴-2xy(x-y)>0.

∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).

12令0

2

1 B.a C.2ab D.a 2+b

2 解析:由题意,0

)(2

b a +≤a 2+b 2, 得a<2ab<

21

13给出函数f(x)=x 2,对任意x 1,x 2∈R +,且x 1≠x 2,试比较

21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小关系.

解析:∵2

1［f(x 1)+f(x 2)］-f(221x x +) =

21 (x 12+x 22)-(221x x +)2