高中数学-不等式的基本性质(一)练习
高一 不等式知识点+例题+练习 含答案
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc 注意c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx.因此⑤不恒成立． 由不等式的性质可推出②④恒成立．2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________． ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.答案 ①③3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是____________． ①a －b >0 ②a 3＋b 3>0 ③a 2－b 2<0 ④a ＋b <0 答案 ④解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为____________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为__________．答案 (1)c ≥b >a (2)c <b <a解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为________________________________________________________________________． (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________________________________________________________________________． 答案 (1)m >n (2)a <b 解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立． (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b .题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列关系式中一定成立的是________． ①ab >ac ②c (b －a )<0 ③cb 2<ab 2 ④ac (a －c )>0 答案 ①解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________． 答案 3解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确． 方法二 取特殊值．题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为__________． 答案 ①②③解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立．思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．①1a －b >1b②a 2<ab ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1④a n >b n (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是________． 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立． (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，知①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分， 当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立． 5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．若x >y >z >1，则xyz ，xy ，yz ，zx 从大到小依次排列为______________． 答案 xyz >xy >zx >yz解析 取特殊值法，由x >y >z >1，可取x ＝4，y ＝3，z ＝2，分别代入得xyz ＝26，xy ＝23，yz ＝6，zx ＝2 2. 故xyz >xy >zx >yz .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是________________________________________________________________________． 答案 A >B解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，即A >B .3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是________．①1a －b >1a②1a >1b ③|a |>|b | ④a 2>b 2答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，故①不成立，②③④都成立． 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的____________条件．答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是____________．答案 (－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是__________． 答案 M >N解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c，则a >b ； ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析 当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确．12．若存在实数x ＝x 0，使得不等式ax >a －1不成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的x ，有ax >a －1恒成立，则a (x －1)>－1.当x >1时有a >－1x －1，则a ≥0；当x <1时有a <－1x －1，则a ≤0；当x ＝1时，则a ∈R .因此对任意的x ，a ＝0，再对a 的取值进行否定，可得实数a 的取值范围为a ≠0.13．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是__________．答案 (93,94)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21.∴93<x ＋y <94.14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D解析 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a－(1＋a 2) ＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a. ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a＝a [(a －12)2－54]1－a .∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
人教A版数学选修4第一讲一不等式1
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课时提升卷(一)不等式的基本性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是( )A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.ad >b c2.下列不等式成立的是( )A.log32<log25<log23B.log32<log23<log25C.log23<log32<log25D.log23<log25<log323.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是( )A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<0D.b+a>04.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0D.-1<α-β<15.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.1a <1bB.1a >1bC.a>b 2D.a 2>2b6.若b<0<a,d<c<0,则下列不等式中必成立的是( ) A.ac>bd B.a c >bdC.a+c>b+dD.a-c>b-d 二、填空题(每小题8分,共24分)7.已知60<x<84,28<y<33,则x-y 的取值范围是 .8.已知a,b,c 为三角形的三边长,则a 2与ab+ac 的大小关系是 . 9.若a,b,c ∈R,a>b,则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①1a <1b ;②a 2>b 2;③a c 2+1>bc 2+1;④a|c|>b|c|.三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.已知a,b ∈{正实数}且a ≠b,比较a 2b+b 2a 与a+b 的大小.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b 的取值范围.12.(能力挑战题)实数x,y,z 满足x 2-2x+y=z-1且x+y 2+1=0,试比较x,y,z 的大小.答案解析1.【解析】选A.因为a>b,c>d,所以a+c>b+d.2.【解析】选 B.因为log 32<log 33=1,log 23>log 22=1,所以log 32<log 23,又因为log 23<log 25,所以log 32<log 23<log 25.【变式备选】若{a n }是各项为正的等比数列,且公比q ≠1,则a 1+a 4与a 2+a 3的大小关系是 ( )A.a 1+a 4>a 2+a 3B.a 1+a 4<a 2+a 3C.a 1+a 4=a 2+a 3D.不确定 【解析】选A.(a 1+a 4)-(a 2+a 3) =a 1+a 1q 3-a 1q-a 1q 2=a 1(1+q)(1-q)2, 因为a n >0,所以q>0,又q ≠1, 所以a 1(1+q)(1-q)2>0,即a 1+a 4>a 2+a 3.3.【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0. 所以不论b 正或b 负均有a+b>0.4.【解析】选A.因为-1<β<1,所以-1<-β<1,又-1<α<1,所以-2<α-β<2,而α<β,所以α-β<0,所以-2<α-β<0.5.【解析】选C.令a=2,b=-12,验证可得选项A 不正确,令a=2,b=12,则B 不正确,若a=1.1,b=0.9,则D 不正确,对选项C,由-1<b<1得:0≤b 2<1,又a>1,故b 2<a,故C 项正确.6.【解析】选C.因为b<0<a,d<c<0,所以ac<0,bd>0,则ac>bd 恒不成立,故A 不满足要求;同理ac<0,bd>0,则a c >bd恒不成立,故B 不满足要求;由不等式的同向可加性可得a+c>b+d 一定成立,故C 满足要求; a-c>b-d 不一定成立,故D 不满足要求.7.【解题指南】解答本题不能直接用x 的范围去减y 的范围,需先求出-y 的范围,严格利用不等式的基本性质去求得范围. 【解析】因为28<y<33,所以-33<-y<-28. 又因为60<x<84,所以27<x-y<56. 答案:(27,56)【举一反三】若本题中所求的是xy ,结论如何?【解析】因为28<y<33,所以133<1y <128,又因为60<x<84,所以6033<x y <8428,即2011<xy<3.8.【解析】因为a,b,c 为三角形的三边长, 所以a<b+c,又因为a>0,所以a 2<a(b+c),即a 2<ab+ac. 答案:a 2<ab+ac9.【解析】①,当a 是正数,b 是负数时,不等式1a <1b 不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a 2>b 2不成立;当a=1,b=-2时,a>b 成立,a 2>b 2也不成立,当a,b 是负数时,不等式a 2>b 2不成立.③在a>b 两边同时除以c 2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确. 答案:③10.【解析】因为(a 2b +b 2a)-(a+b)=a 2b-b+b 2a-a=a 2−b 2b +b 2−a 2a=(a 2-b 2)·(1b −1a )=(a 2−b 2)(a−b)ab=(a−b)2(a+b)ab,因为a>0,b>0且a ≠b,所以(a−b)2(a+b)ab>0,故a 2b+b 2a>a+b.11.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则{x +y =2,x −y =3,解得{x =52,y =−12.所以2a+3b=52(a+b)-12(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-52<52(a+b)<152,-2<-12(a-b)<-1.所以-52-2<2a+3b<152-1,即-92<2a+3b<132.【拓展提升】不等式性质的应用待定系数法是高中数学中常用的方法,应用十分广泛,其基本步骤为:12.【解析】x 2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z ≥y; x+y 2+1=0⇒y-x=y 2+y+1=(y +12)2+34>0⇒y>x,故z ≥y>x.关闭Word 文档返回原板块。
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
不等式的基本性质--习题精选(一)
不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ．不等式的基本性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac_____bc ．不等式的基本性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ．2．设a<b ，用“<”或“>”填空．（1）a －1____b －1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ； 5）－a 2_____－b 2；（6）a 2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ；（2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ；（4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a>b ，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m ；（2）a+n___b+n ；（3）m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ；（6）a n _____bn ；5．下列说法不正确的是（ ）A ．若a>b ，则ac 2>bc 2（c 0）B ．若a>b ，则b<aC ．若a>b ，则－a>－bD ．若a>b ，b>c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式：（1）x －3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x ；（4）2x>4． ［学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3a B．a+2b<p<2a+b C．2b<p<2（a+b）D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1 B．由5x>3，得x>35C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>b B．ab>0 C．ab>0 D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1 B．a<－1 C．－1<a<0 D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负9．D 10．B 11．B 12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x －10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．22．C 23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。
高中数学不等式典型例题解析
1不等式基本性质和不等式的解法一．不等式的性质：1．实数比较大小的方法：作差比较的步骤：2. 不等式的基本性质：（1） （5）（2） （6）（3） （7）（4） （8）例题1已知d c b a <>,，求证：d b c a ->-．例题2 已知a>b>0，c>d>0，求证：c bd a >。
二．简单的一元高次不等式的解法：标根法：例题3解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
例题4不等式(0x -≥的解集是____三．分式不等式的解法：例题5解不等式25123xx x -<---练习：解不等式（1）0)3)(2()1(2<---x x x（2）0)3()2()1(32≥---x x x（3）)10(33212322≠>>+-+-a a a a x x x x 且（4） 13242>-+x x x小结：（1）（2）（3）2绝对值不等式的解法 一、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法。
⇔≤+c b ax⇔≥+c b ax例题1解不等式132)1(≤-x （2）512>+-x例题2（1）解不等式213+<-x x 。
（2）解不等式x x ->-213。
二、c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法。
解这累含绝对值不等式的一般步骤是：（1）（2）（3）（4）例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
练习：1解不等式|21|2|432|+-≥-x x2解不等式|||1|3x x +->3若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
小结：（1） （2）作业：已知函数52)(---=x x x f（1）证明：3)(3≤≤-x f ；（2）求不等式158)(2+-≥x x x f 3基本不等式回顾：定理1定理2（基本不等式）说明：例题1：.,,222ac bc ab c b a c b a ++>++求证：为两两不相等的实数例题2：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd定理3：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
不等式的基本性质1
学习目标：
1.结合等式的性质类比学习不等式的 性质。 2.会运用不等式的性质解不等式。
生活与数学 情景一
2008年北京奥运会金牌榜 中国 美国 英国 51 36 19
英国金牌数比美国少,
美国金牌数比中国少, 英国金牌数比中国少.
19 < 36
36 < 51
19 < 51
情景初探 情景二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c; <
(3)若a<b,b<2a-1,则a
2a-1.
情景再探
合作互学
假设数学,语文两位老师 的年龄分别为a,b
数学老师比 语文老师年龄小.
①10年后谁的年龄大?
②20年之后呢? ③5年之前呢?
a < b
则a+10 < b+10
a+20 < b+20 a-5 < b-5
不等式的性质1:
不等式两边都加(或减去) 同一个数,不等式 .
不等式两边都加(或减去)同一个数,不等号的方向不变。
+4
(3)若a-4>0, > 则a
+4
> 4;
(4)∵0<1, ∴a
<
先 前 后 比 较 0.
再 定 不 等 号
a+1;
>
(5)若a＞-b,则a+b
大胆猜想
不等式的性质1：
不等式两边都加(或减去)同一个数（或式子）, 不等号的方向不变。
不等式两边都乘(或除以)同一个数(不为零), 不等号方向呢？
精讲导学
探索与发现 已知4<6,则
Ⅰ组:
不等式的基本性质-习题精选(一)
不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ．不等式的基本性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac_____bc ．不等式的基本性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ．2．设a<b ，用“<”或“>”填空．（1）a －1____b －1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ；5）－a 2_____－b 2；（6）a 2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ；（2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ；（4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a>b ，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m ；（2）a+n___b+n ；（3）m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ；（6）a n _____bn ；5．下列说法不正确的是（ ）A ．若a>b ，则ac 2>bc 2（c 0）B ．若a>b ，则b<aC ．若a>b ，则－a>－bD ．若a>b ，b>c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式：（1）x －3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x ；（4）2x>4． ［学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3a B．a+2b<p<2a+b C．2b<p<2（a+b） D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1 B．由5x>3，得x>35 C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>b B．ab>0 C．ab>0 D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1 B．a<－1 C．－1<a<0 D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负 9．D 10．B 11．B 12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x－10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a －b．22．C 23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
(完整版)《不等式的基本性质》练习题
2．2 《不等式的基本性质》练习题一、选择题（每题4分，共32分）1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ）A 、m －9＜n －9B 、－m ＞－nC 、11n m > D 、1mn >2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、0ab < D 、－a ＞－b3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba ，那么a 的取值范围是（ ）A 、a≤0B 、a ＜0C 、a≥0D 、a ＞04、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ）A 、a ＋t ＞aB 、a ＋t ＜aC 、a ＋t≥aD 、不能确定5、如果34a a<--，则a 必须满足（ ）A 、a≠0B 、a ＜0C 、a ＞0D 、a 为任意数6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） a 0b cA 、cb ＞abB 、ac ＞abC 、cb ＜abD 、c ＋b ＞a ＋b7、有下列说法：（1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0；（3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ；（5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y--<， 则x ＞y 。
其中正确的说法有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、2a 与3a 的大小关系（ ）A 、2a ＜3aB 、2a ＞3aC 、2a ＝3aD 、不能确定二、填空题（每题4分，共32分）9、若m ＜n ，比较下列各式的大小：（1）m －3______n －3（2）－5m______－5n（3）3m -______3n - （4）3－m______2－n(5)0_____m －n（6）324m --_____324n -- 10、用“＞”或“＜”填空：（1）如果x －2＜3，那么x______5； （2）如果23-x ＜－1，那么x______32； （3）如果15x ＞－2，那么x______－10；（4）如果－x ＞1，那么x______－1； （5）若ax b >，20ac <，则x______b a. 11、x ＜y 得到ax ＞ay 的条件应是____________。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A版选修4-5-新人
2016-2017学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a ＜b ＜0，则( ) A.1a ＜1b B ．0＜a b＜1C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b解析： 因为a ＜b <0，所以1a ＞1b ，故A 错．因为a ＜b ＜0，所以|a |＞|b |，所以ab＞1，故B 错．因为a ＜b ＜0，所以ab ＞b ·b ，即ab ＞b 2，故C 对．因为a ，b 同号，|a |＞|b |，所以ab ＞1,0＜b a＜1，故D 错．答案： C2．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 由ab ＞0，bc －ad ＞0可得bc ＞ad 两边同除以ab 得 c a ＞d b ，即c a －db＞0. 由c a －d b ＞0得c a ＞d b，再由ab ＞0， 两边同乘以ab 得bc ＞ad ，即bc －ad ＞0.由bc －ad ＞0，c a －d b >0可得bc ＞ad ，c a ＞d b，所以可得ab ＞0. 答案： D3．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |>|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案： B4．已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有( ) A ．log a (xy )＜0 B ．0＜log a (xy )＜1 C ．1＜log a (xy )＜2D ．log a (xy )＞2解析：∵0＜x ＜y ＜a ＜1，∴0＜xy ＜a 2＜1，由对数函数的单调性和对数的定义得，log a (xy )＞log a a 2＝2.答案： D 二、填空题5．若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：∵x >0， ∴x ＋4x≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以x ＋4x的最小值为4.答案： D6．若0＜2α－β＜π，－π2＜α－2β＜π，则α＋β的取值X 围是________． 解析： 由－π2＜α－2β＜π得－π＜2β－α＜π2，再与0＜2α－β＜π相加得－π＜α＋β＜3π2答案： －π＜α＋β＜3π2三、解答题7．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．解析：a a b b a b b a ＝a a －b ÷b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b.当a ＞b ＞0时，ab＞1，a －b ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a ，b ，都有a a b b＞a b b a.8．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值X 围． 解析：∵－6＜a ＜8，∴－12＜2a ＜16. 又2＜b ＜3，∴－10＜2a ＋b ＜19， ∵2＜b ＜3，∴－3＜－b ＜－2.又－6＜a ＜8，∴－9＜a －b ＜6. ∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12.①当0≤a ＜8时，0≤a b ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3＜a b＜4.9．设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围． 解析： 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b .于是，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. ∴5≤f (－2)≤10.。
【人教版】高中数学选修4-5第1讲不等式和绝对值不等式课堂练习
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞)
D．3lg 2，＋∞)
解析：因为 lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而 xyz≤x＋3y＋z3＝23， 所以 lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x＝y＝z＝2 时，取等号． 答案：B 4．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
(3)当 a＝1，b＝－2，k＝2 时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取 a＝2，b＝0，c＝－3 满足 a＞b，b＞c 的条件，但是 a－b＝2＜b－c
＝3.所以是假命题．
10．已知 a＞b＞0，比较ba与ba＋＋11的大小．
解：ab－ab＋＋11＝a（b＋b1（）b－＋b1（）a＋1）＝b（ab－＋b1）.
A．a－b＞0
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
解析：当 b≥0 时，a＋b＜0，当 b＜0 时，a－b＜0，所以 a＋b＜0，
故选 D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设 a，b 是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝3－3x＋1x≤3－2 3，
当且仅当 3x＝1x，即 x＝ 33时，等号成立．
所以 ymax＝3－2 3. 答案：3－2 3 7．已知函数 f(x)＝2x，点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，那么 f(a)·f(b) 的最小值是________． 解析：点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，所以有 ab＝1. 因为 a＞0，b＞0，所以 f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22 ab＝4， 当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立． 答案：4 8．当 x＞0 时，f(x)＝x22＋x 1的值域是________． 解析：因为 x＞0，所以 x＋1x≥2，所以 0＜x＋1 1x≤12. 所以 0＜x＋2 1x≤1. 又因为 f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x， 所以 0＜f(x)≤1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的值域是(0，1]． 答案：(0，1] 三、解答题 9．已知 x＜0，求 2x＋1x的最大值． 解：由 x＜0，得－x＞0， 得－2x＋－1x≥2 （－2x）－1x＝2 2， 所以 2x＋1x≤－2 2，
(完整word版)不等式的基本性质__习题精选(一)
不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1:如果a 〉b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ． 不等式的基本性质2：如果a 〉b,并且c 〉0，那么ac_____bc ． 不等式的基本性质3:如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ． 2．设a 〈b ，用“〈"或“>”填空．（1）a －1____b －1;(2）a+1_____b+1；(3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ；5）－a 2_____－b 2；（6)a 2____b 2．3．根据不等式的基本性质，用“<"或“〉"填空．（1）若a －1〉b －1，则a____b ；（2）若a+3〉b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ； （4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a 〉b ，m<0,n>0,用“〉”或“〈"填空．（1）a+m____b+m;（2）a+n___b+n ；（3)m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ;（6）a n _____bn ； 5．下列说法不正确的是( ）A ．若a 〉b,则ac 2>bc 2（c 0)B ．若a 〉b ，则b 〈aC ．若a>b ，则－a 〉－b D ．若a>b ，b 〉c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x 〉a 或x>a 的形式： （1）x －3>1；（2)－32x>－1;（3）3x<1+2x ；（4）2x 〉4． [学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．bc 〉abB ．ac>abC ．bc 〈abD ．c+b 〉a+b8．已知关于x的不等式(1－a）x〉2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（ ) A．3b〈p<3a B．a+2b〈p<2a+b C．2b<p<2（a+b） D．2a<p<2（a+b）[创新思维]（一）新型题10．若m〉n,且am<an,则a的取值应满足条件（ )A．a〉0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是( )A．由4x－1〉2，得4x>1 B．由5x〉3，得x〉35 C．由x2>0，得x〉2D．由－2x<4，得x<－2（三)易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a〉6a进行争论，甲说：“7a>6a正确"，乙说：“这不可能正确”,你认为谁的观点对?为什么?(四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x,y，且3〈k<6,则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质,把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示,一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗?[数学在生产、经济、科技中的应用]17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是:购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是:从第1本开始就按标价的85%卖．(1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y(元）与购买本数x（本)（x〉10）之间的关系式．（3)小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题:a,b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；(2)若条件保持不变，那么怎样改变结论,命题才能正确？[潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x〉4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x〉4x不是一回事吗?当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质,把下列不等变为x〉a或x<a的形式：(1)1x2〉－3；（2）－2x〈6．解:（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变,所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的? [开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接]22．（2004·山东淄博）如果m〈n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9〈n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a〉b B．ab>0 C．ab〉0 D．－a〉－b［奥赛赏析］24．要使不等式…〈753246a<a<a<a<a<a<a〈…成立，有理数a的取值范围是（）A．0〈a〈1 B．a〈－1 C．－1<a<0 D．a〉1［趣味数学]25．（1)A、B、C三人去公园玩跷跷板,如图13－2－3①中,试判断这三人的轻重．（2)P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②,试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1)<(2）<（3）<（4)>(5）>(6)〈3．(1）>（2）>(3）〉（4）<4．(1）>(2)〉（3)<（4）〉(5）〈(6)>5．C 点拨:a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3〉1+3，(根据不等式的基本性质1)x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32)<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x〈32；（3）3x<1+2x,3x－2x〈1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1)x<1；(4）2x〉4,2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负 9．D 10．B 11．B 12．错解:am2〉bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2:乙对,因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数,有三种情况：a为负数,a 为正数，a为0,应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a〉6a，②当a〈0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1〈x+y〈2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k〈6，即3<3（x+y）<6，∴1〈x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5,2x〈4x－6,2x－4x<4x－6－4x，－2x〈－6，-2x-6>-2-2，x〉3．解法2:2x+5〈4x－1，2x+5－2x〈4x－1－2x，5+1〈2x－1+1，6<2x，62x<22，3〈x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式,两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c〉b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解:（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本,共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．(2）甲商店中，收款y(元)与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x－10)，即y=0．7x+3（其中x〉10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3,解得x=30(本)．若到乙商店购买，则可买24÷（1⨯0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．18．解:(1)a，b是有理数,若a〉b>0,则22a>b(2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确,5a不一定大于4a．当a〉0时，5a>4a〉0；当a=0时，5a=4a=0;当a<0时，5a〈4a〈0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1"相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b,当b>0时，a+b>a－b；当b=0时,a+b=a－b；当b〈0时，a+b<a－b．22．C 23．D24．B 点拨:a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246a<a<a<0…，则这个负数一定小于－1,故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．(2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。
不等式基本性质》练习题
不等式基本性质》练习题一、不等式的8条基本性质补充1.$ab>0$ 且 $a>b\iff \dfrac{a}{b}>1$2.$a>b>0\Rightarrow ax>bx\ (x\in \mathbb{R}^+)$3.$a>b>XXX<bx\ (x\in \mathbb{R}^-)$二、基本练1.设 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，且 $a>b,c>d$，则正确的结论是 $\mathrm{(C)}\ ac>bd$2.若 $a,b$ 为实数，则 $a>b>0$ 是 $a^2>b^2$ 的$\mathrm{(A)}$ 充分不必要条件3.若 $\dfrac{a}{b}<1$，则正确的结论是 $\mathrm{(C)}\ a^2<ab$4.“$a>b$” 是“$ac^2>bc^2$” 成立的 $\mathrm{(A)}$ 必要不充分条件5.若 $a,b$ 为任意实数且 $a>b$，则正确的结论是$\mathrm{(A)}\ a^2>b^2$6.“$a>1$” 是“$0<a<1$” 的 $\mathrm{(B)}$ 必要不充分条件7.设 $|b|<a<1$，则成立的不等式是 $\mathrm{(B)}\ \log_b 1<\log_a 1$8.若 $\dfrac{b}{a}>1$，则 $a(a-b)<0$ 成立的$\mathrm{(B)}$ 必要不充分条件9.若 $x+y>0,a0$，则 $x-y$ 的值 $\mathrm{(B)}$ 大于10.若 $a>b$，在“$\dfrac{a}{b}b^3$”，“$\log(a^2+1)>\log(b^2+1)$”，“$2a>2b$” 中，正确的有$\mathrm{(C)}$ 3 个11.已知 $a,b,c$ 满足 $c<b<a$，且 $ac<b^2$，则不一定成立的是 $\mathrm{(D)}\ ac(a-c)<b(a-c)$12.若 $\dfrac{a}{b}|b|$，$a<b$填空题：13.设 $a<-1,-1<b<0$，则 $a<ab<ab^2$14.设 $x\in \mathbb{R},x\neq 1$，则 $A>B$，其中$A=1+2x^4,B=2x^3+x^2$15.如果-1<a<b，则a^2<b^2.这是因为a和b都是正数，平方后大小关系不变。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 第一课时 不等式的基本性质练习 新人教A版选修4
第一课时 不等式的基本性质[基础达标]1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 A.a d ＞b c B.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 解法一 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d ＜bc，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 解法二 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc .故选B.答案B2.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A.ab >ac B.c (b －a )>0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0解析 由条件c <b <a ，ac <0，得a >0，c <0，但b 的正负情况不确定.解法一 取a ＝1，b ＝0，c ＝－1分别代入选项A ，B ，C ，D 中验证可知选项C 不成立. 解法二 由题意，知c <0，a >0，则选项A 一定正确；因为c <0，b －a <0，所以c (b －a )>0，所以选项B 一定正确；因为ac <0，a －c >0，所以ac (a －c )<0，所以选项D 一定正确，故选C(当b ＝0时，不成立).答案C3.已知a >b ，则下列不等式： ①a 2>b 2；②lg(a －b )>0；③1a －b >1a. 其中不一定成立的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，且a －b >0，但a ＋b 的正负无法确定；对于②，a －b >0，但a －b 与1的关系无法确定；对于③，1a －b －1a ＝b （a －b ）a ，且a －b >0，但ba 的正负无法确定，所以这三个不等式都无法确定是否成立.答案D4.当a ＞0时且a ≠1时，log a (1＋a )与log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 的大小关系为________.解析log a (1＋a )－log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a＝log a 1＋a1＋1a＝log a a ＝1，因此log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a .答案log a (1＋a )＞log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a5.已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小.解析m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y＝x ＋y xy －4x ＋y ＝（x ＋y ）2－4xy xy （x ＋y ）＝（x －y ）2xy （x ＋y ）， ∵x ，y 均为正数，∴x ＞0，y ＞0，xy ＞0，x ＋y ＞0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0即m ≥n .[能力提升]1.若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则有a ＜1b ；若b ＜0，则a ＜0，从而有b ＞1a.“0＜ab＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分条件.反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a ＜1b 或b ＞1a，但ab ＜0.故选A.答案A2.已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能解析x 1＋x 2＜0⇒x 1＜－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)＜0. 同理：f (x 2)＋f (x 3)＜0，f (x 1)＋f (x 3)＜0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]＜0. 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0. 答案B3.若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有A.1个B.2个C.3个D.4个解析1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案B4.若0<x <y <1，则下列不等式正确的是 A.4y<4xB.x 3>y 3C.log 4x <log 4yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析由0<x <y <1，则4y>4x，x 3<y 3，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y.故选C. 答案C5.已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3答案D6.已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是 A.b a ＞c a B.b －ac＞0C.b 2c ＞a 2cD.a －cac＜0 解析 ∵c ＜b ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0，可得b a ＞ca，故A 恒成立.∵b ＜a ，∴b －a ＜0. 又c ＜0，∴b －ac＞0，故B 恒成立. ∵c ＜a ，∴a －c ＞0. 又ac ＜0，∴a －cac＜0，故D 恒成立. 当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立. 答案C7.以下四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中使1a <1b成立的充分条件是________.解析1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，依题设①②④能使b －a 与ab 异号.答案 ①②④8.设a ＞b ，(1)ac 2＞bc 2；(2)2a ＞2b ；(3)1a ＜1b；(4)a 3＞b 3；(5)a 2＞b 2中正确的结论有________.解析 若c ＝0，(1)错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，(3)(5)错. 答案 (2)(4)9.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________.解析 本题条件较多，若两两比较，需6次，很麻烦.但如果能找到一个合理的程序，则可以减少解题步骤.⎭⎪⎬⎪⎫③⇒d －b <c －a ②⇒c －a ＝b －d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b <b －d ，a －c <c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d <b ，a <c ，又由①，得a <c <d <b . 答案a <c <d <b10.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 11.已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值X 围. 解析 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 得－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5. 设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3.∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403. ∴－1≤－53u ＋83v ≤20.∴f (3)∈[－1，20]. 12.已知a ＞0，a ≠1. (1)比较下列各组大小①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ；③a 5＋1与a 3＋a 2. (2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明.解析 (1)①a 2＋1＞a ＋a ；②a 3＋1＞a 2＋a ；③a 5＋1＞a 3＋a 2. (2)根据(1)可探讨，得am ＋n＋1＞a m ＋a n.(证明如下)a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m－1)(a n－1). 当a ＞1时，a m＞1，a n＞1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；当0＜a＜1时，0＜a m＜1，0＜a n＜1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；总之(a m－1)(a n－1)＞0，即a m＋n＋1＞a m＋a n.。
高中数学同步练习 课时分层作业1 不等式的基本性质
课时分层作业(一) 不等式的基本性质(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a,b,c,d∈R ,且a>b,c>d,则下列结论正确的是( )A ．a ＋c>b ＋dB ．a －c>b －dC ．ac>bdD ．a d >b cA [∵a>b ,c>d,∴a＋c>b ＋d.]2．设a,b∈R ,若a －|b|>0,则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a 3＋b 3<0C ．b ＋a>0D ．a 2－b 2<0 C [a －|b|>0⇒|b|<a ⇒－a<b<a ⇒a ＋b>0.故选C.]3．若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a|>|b|>0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b B [考查不等式的基本性质及其应用．取a ＝－2,b ＝－1验证即可求解．]4．已知a ＜0,－1＜b ＜0,那么( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a D [ab 2－ab ＝ab(b －1),∵a＜0,－1＜b ＜0,∴b－1＜0,ab ＞0,∴ab 2－ab ＜0,即ab 2＜ab ；又ab 2－a ＝a(b 2－1),∵－1＜b ＜0,∴b 2＜1,即b 2－1＜0.又a ＜0,∴ab 2－a ＞0,即ab 2＞a.故ab ＞ab 2＞a.]5．设a,b 为实数,则“0＜ab ＜1”是“b＜1a”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [∵0＜ab ＜1,当a ＜0且b ＜0时可推得b ＞1a, 所以“0＜ab ＜1”不是“b＜1a”的充分条件, ① 反过来,若b ＜1a, 当b ＜0且a ＞0时,有ab ＜0,推不出“0＜ab ＜1”,所以“0＜ab ＜1”也不是“b＜1a”的必要条件, ②由①②知,应选D.]二、填空题6．若f(x)＝3x 2－x ＋1,g(x)＝2x 2＋x －1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．[解析] f(x)－g(x)＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1＞0,∴f(x)＞g(x)．[答案] ＞7．给出四个条件：①b>0>a ,②0>a>b ,③a>0>b ,④a>b>0.能得出1a <1b成立的有________．(填序号) [解析] 1a <1b ⇔1a －1b <0⇔b －a ab<0, ∴①②④可推出1a <1b成立． [答案] ①②④8．已知α,β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3,则α＋3β的取值范围是________．[解析] 设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β),可解得λ＝－1,μ＝2,∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3,∴1≤α＋3β≤7.[答案] [1,7]三、解答题9．(1)已知a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,求证：3a d ＜3b c；(2)若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,e ＜0,求证：e (a －c )2＞e (b －d )2. [证明] (1)∵c＜d ＜0,∴－c ＞－d ＞0.∴0＜－1c ＜－1d.又a ＞b ＞0, ∴－a d ＞－b c＞0, ∴ 3－a d ＞3－b c ,即－3a d ＞－3b c. 两边同乘以－1,得3a d ＜3b c. (2)∵c＜d ＜0,∴－c ＞－d ＞0.∵a＞b ＞0,∴a－c ＞b －d ＞0,∴(a－c)2＞(b －d)2＞0,∴1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e＜0,∴e (a －c )2＞e (b －d )2. 10．设x,y 为实数,且3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,求x 3y 4的取值范围． [解] 由4≤x 2y ≤9,得16≤x 4y2≤81.① 又3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤13.② 由①×②得18×16≤x 4y 2·1xy 2≤81×13, 即2≤x 3y 4≤27,因此x 3y4的取值范围是[2,27]． [能力提升练]1．若a,b 为实数,则“0＜ab ＜1”是“a＜1b 或b ＞1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [对于0＜ab ＜1,如果a ＞0,则b ＞0,a ＜1b 成立,如果a ＜0,则b ＜0,b ＞1a成立,因此“0＜ab ＜1”是“a＜1b 或b ＞1a ”的充分条件；反之,若a ＝－1,b ＝2,结论“a＜1b或 b ＞1a ”成立,但条件0＜ab ＜1不成立,因此“0＜ab ＜1”不是“a＜1b 或b ＞1a”的必要条件,即“0＜ab ＜1”是“a＜1b 或b ＞1a”的充分而不必要条件．] 2．设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c ；③log b (a －c)＞log a (b －c)． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③D [由a ＞b ＞1,c ＜0,得1a ＜1b ,c a ＞c b；幂函数y ＝x c (c ＜0)是减函数,所以a c ＜b c ；因为a －c ＞b －c,所以log b (a －c)＞log a (a －c)＞log a (b －c),①②③均正确．]3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b.其中能推出log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)[解析] ∵log b 1b＝－1, 若1＜a ＜b,则1b ＜1a＜1＜b, ∴log a 1b ＜log a 1a＝－1,故条件①不可以； 若0＜a ＜b ＜1,则b ＜1＜1b ＜1a, ∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b, 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b,则0＜1b＜1, ∴log a 1b＞0,log a b ＜0,条件③不可以．故应填②. [答案] ②4．已知f(x)＝ax 2＋c,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围．[解] 由－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,得⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5.设u ＝a ＋c,v ＝4a ＋c,则有a ＝v －u 3,c ＝4u －v 3, ∴f(3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v. 又⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤u≤－1，－1≤v≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403， ∴－1≤－53u ＋83v≤20,即－1≤f(3)≤20.∴f(3)的取值范围为[－1,20]．。
高一 数学 必修 不等式 第一讲 不等式与不等式的性质、基本不等式
知 识 概 述
（二）基本不等式 ①如果 a ， b R ，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a b时取“ ”号）；
典题剖析
题型一：不等式性质的基本应用
例 1．判断下列结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）：
（1）a＞b，c＝d⇒ac＞bd（
）；（2）ca2＞cb2⇒a＞b（
）；
【易错典例】
已知
x
0，
y
0 ， 2x
5y
20
，求
1 x
1 y
的最小值
不等式 不等式 的性质
基本不等式
（3）a＞b，ab＜0⇒1a＜1b（ ）；（4）a＜b＜0，c＜d＜0⇒ac＞bd（ ）
题型二：比较大小
例 2．如果 a＞0，且 a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么（ ）
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．M、N 的大小无法确定
题型三：基本不等式的应用
例 3．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝（ ）
⑤a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；⑥a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；⑦a>b>0⇒an>bn；⑧a>b>0⇒n
n a>
b
.
2．基本不等式
陷阱规避
陷阱一
•陷阱：和函数有关的不等式比较时分不清函数的单调性，譬如对数 函数和指数函数忽视底数大于1或小于1，误认为都是增函数 ． •克服方法：熟练掌握高中七大函数的基本图像．
A．1＋ 2 C．3
B．1＋ 3 D．4
思路点拨：用基本不等式 求最值关键是要学会简单 的配凑．配凑成能利用基 本不等式的形式．
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高中数学-不等式的基本性质（一）练习
课后导练
基础达标
1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )
A.-2<α-β<0
B.-2<α-β<-1
C.-1<α-β<0
D.-1<α-β<1
解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.
∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,
∴-2<α-β<0.
答案:A
2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( )
A.a>c,或b>c
B.a>c 且b<c
C.a>c 且b>c
D.a>c,或b<c
解析:∵a>c 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c.
答案:C
3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )
A.x-1>1-y
B.x-1>y-1
C.x-y>1-y
D.1-x>y-x
解析:∵x>1>y,
∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确;
x+(-y)>1+(-y),即C 正确;
1+(-x)>y+(-x),即D 正确.
故选A.
答案:A
4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )
A.-n<m<n<-m
B.-n<m<-m<n
C.m<-n<n<-m
D.m<-n<-m<n
解析:∵n>0,m+n<0,
∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.
∴m<-n<n<-m.故选C.
答案:C
5若0<a<b<1,m=log a b,n=log b a,p=a
1log b,则( )
A.p<m<n
B.p<n<m
C.m<n<p
D.n<m<p
解析:m>0,m,n 互为倒数,易得m<1<n,而p=-m<0.
答案:A
综合运用
6已知a<b<c,且a+b+c=0,则b 2-4ac 与0的大小关系是__________.
解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0.
答案:b 2-4ac>0
7下列命题中真命题的个数为( )
①若a>b,且a,b 同号,则
a 1<
b 1 ②若a 1>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥b
c ⇒c≥0 ④若a>b,n∈N *⇒a 2n+1>b 2n+1
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①∵a,b 同号,∴
ab 1>0.由a>b,两边同乘ab 1得ab b ab a >,即b 1>a 1,亦即a 1<b 1,因此①是真命题. ②由a 1>1可知a>0,给a
1>1两边同乘a 得1>a,综合得0<a<1,故②是假命题. ③ac≥bc,即c·(a -b)≥0,当a-b=0时,c 可取任意实数,特别地,当a=b=0时,c 可取负数,因此③是假命题.
④由a>b 可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.
若a>b≥0,则由性质(5)知a 2n+1>b 2n+1;
若a≥0>b,则a 2n+1≥0>b 2n+1;
若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,
可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,
即-b 2n+1>-a 2n+1,
即是a 2n+1>b 2n+1,
因此④是真命题.
答案:B
8设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x∈R ,则A,B 的大小关系是____________.
解析:A-B=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.
答案:A≥B
9若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>b
y a x ,成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)若⎩⎨⎧>--+>+,
0))((,b y a x b a y x ①②
由式②知(x-a)与(y-b)同号;
又由式①得(x-a)+(y-b)>0.
∴x -a>0,y-b>0,即x>a,y>b.
故充分性成立.
(2)若⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧>>.
0,0,,b y a x b y a x 则 ∴⎩
⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x .故必要性成立. 综合(1)(2)知,应选C.
答案:C
拓展探究
10某顾客第一次在商店买x 件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?
解析:依题意
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+≥)2(,21208)(10()1(,1x y x y 由②得y=)
10(15)40()151102(++=-+x x x x x ≥1, ∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).
∴x 2+25x-150≥0.
∴(x+30)(x -5)≥0.
∵x+30>0,∴x -5≥0,即x≥5.
答:第一次至少买5件商品.
备选习题
11若x<y<0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小.
解析:(用作差法比较)
(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)
=(x-y)［(x 2+y 2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).
∵x<y<0,∴xy>0,x -y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).
12令0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) A.
2
1 B.a C.2ab D.a 2+b
2 解析:由题意,0<a<21<b<1,则a<2ab. 又由2ab≤2
)(2
b a +≤a 2+b 2, 得a<2ab<
21<a 2+b 2. 答案:D
13给出函数f(x)=x 2,对任意x 1,x 2∈R +,且x 1≠x 2,试比较
21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小关系.
解析:∵2
1［f(x 1)+f(x 2)］-f(221x x +) =
21 (x 12+x 22)-(221x x +)2
=21
x 12+21x 22-41x 12-41x 22-21
x 1x 2 =41
x 12+41x 22-21
x 1x 2 =41
(x 1-x 2)2
>0, ∴21［f(x 1)+f(x 2)］>f(22
1x
x +).
14若a<b<0,则下列不等式中,不能成立的是( ) A.a 1>b 1
B.|a|>|b|
C.a 2>b 2
D.b a -1>a 1
解析:∵b a -1-a 1=)()()
(b a a b
b a a b a a -=---<0,∴应选择D.
答案:D
15设a>0,且a≠1,试比较21log a t 与log a 21
+t 的大小.
解析: 21
log a t-log a 21
+t =log a t -log a 21+t =log a 12+t t
.
∵t+1-t 2=(t -1)2≥0, ∴t+1≥t 2.∴0<12+t t
≤1.
(1)当0<a<1时,log a 12+t t
≥0, ∴有21
log a t≥log a 21
+t (当且仅当t=1时取“=”).
(2)当a>1时,log a 12+t t
≤0, ∴有21
log a t≤log a 21
+t (当且仅当t=1时取“=”).
16若a,b,m,n 均为正数,且m+n=1,试比较nb ma +与b n a m +的大小. 解析:由已知nb ma +>0,b n a m +>0, (nb ma +)2-(b n a m +)2=ma+nb-m 2a-n 2b-ab mn 2
=m(1-m)a+n(1-n)b-ab mn 2=mna+mnb-ab mn 2 =mn(a+b-ab 2)=mn(b a -)2
. 因为m,n,a,b 均为正数，所以（nb ma +）2≥(b n a m +)2, 所以nb ma +≥b n a m +.。