必修五正弦定理和余弦定理

必修五第一讲 正弦定理

知识梳理

1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

.

2．解三角形：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

题型分析

[例1] 在△ABC 中，已知a [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由b sin B ＝a sin A 得，b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C

得，

c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°

＝

8×

2＋6

4

22

＝4(3＋1)．∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)． [变式训练]在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由

a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°

sin 30°

＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°

sin 30°＝20sin 75°，∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝

2＋64，∴b ＝20×2＋6

4

＝52＋5 6.

[例2] 在△ABC [解] ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A

a ＝6×sin 45°2＝32

，∴C ＝60°或C ＝120°.

当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝

c sin B sin C ＝6sin 75°

sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝

c sin B sin C ＝6sin 15°

sin 120°

＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. [变式训练]在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π

3，a ＝2，求A ，B ，b .

解：由

a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4

， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B

sin C

＝

6·sin 5π12

sin

π

3

＝3＋1.

[例3] 在△ABC 中，sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．

[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

.∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B .∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝

2

2

.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)．∴△ABC 是等腰直角三角形． [变式训练]在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．

解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝b

sin B

＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径)∴sin B ＝sin A ·cos C .

∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π

2

，∴△ABC 为直角三角形．

[随堂检测]

1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )

A ．43

B ．2 3 C. 3

D.

3

2

解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323

2×2

2＝23，故选B.

2．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( A )

A.5

3

B.35

C.37

D.57

3．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2 C ，则△ABC 是________三角形． 解析：由已知得sin 2 A －sin 2 B ＝sin 2 C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

，

所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2

.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角 4．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．

解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A

a ＝

3sin π

3

3

＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6

＝π2

. 5．不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°； (2)a ＝7，b ＝14，A ＝150°； (3)a ＝9，b ＝10，A ＝60°. 解：(1)sin B ＝b sin 120°a ＝45×32＜32

，所以△ABC 有一解．

(2)sin B ＝b sin 150°

a

＝1，所以△ABC 无解．

(3)sin B ＝b sin 60°a ＝109×32＝539，而32＜539＜1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝53

9

的B 的取值范围为