概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).

2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).

3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k

,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.

5、已知随机变量X ～N(μ,σ2

),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6

且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).

7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).

二、计算题（每题12分，共48分）

1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.

解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3

1

=⨯+⨯+⨯==

∑=i

i i

A B P A P B P

(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为

其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).

⎪⎩

⎪⎨

⎧<≥=-0

00)(2x x e A x f x λλ

解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102

==-===

∞

+--+∞

+∞

∞

-⎰⎰

A A e A dx e A dx x f x x 所以

（2）⎰

=-==<<--λ

λλλ/10

36.0/11}/11{e dx e X P x

（3）⎰---==

1

1)1(λλλe dx e

F x

3、设随机变量X 的分布律为

且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2

=⨯+⨯+⨯+⨯=X E

422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E

（3）

112)]([)()(22=-=-=X E X E X D

4、若X ～N(μ,σ2

),求μ, σ2

的矩估计.

解：（1）E(X)=μ 令μ=-

X 所以μ的矩估计为-

Λ

=X μ

（2）D(X)=E(X 2

)-[E(X)]2

又E(X 2

)=∑=n i i X n 1

2

1

D(X)= ∑=n i i X n 1

2

1--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n

所以σ2

的矩估计为∑=-Λ-=n

i i X X n 1

22

)(1σ

三、解答题（12分）

设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,

n

S X t /70-=

-

～t(n-1),其中n=36,-

x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)

03.24.136

/15|705.66|||<=-=

t

所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分

四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：

32,01,01

(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它

试求: )1( 常数C ；)2(

()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？

)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772

t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101

01010

2

323-=⋅⋅=⋅==

⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3

-1)

(2)0)(1319)(,1033231

03=-=-=≤≤⎰

x f x e e dy y e e x f x X x

x X 为其它情况时，当当

所以,

333,01

()10,x

X e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它

同理, 23,01

()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩

其它

(3)因为: 32

333,01,01

()()(,)1

0,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它

所以,X 与Y 相互独立. (4)

1

133330

13130303331111(|)1213(1)

x x

x x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅

=--=

⋅--+=

-⎰⎰⎰