玻尔兹曼方程-金属的电导过程
金属的电导和热导
R是金属的电阻，根据测量的数据U，I，l和 A计算电导率。R是金属的电阻，根据测量 的数据U，I，l和A计算电导率。
l I A U
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实验内容
根据实验原理给出的计算公式，再根据 实验仪器连接的实验电路图，分别测量 铜棒和铝棒的电导率。
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实验仪器
实验仪器及电路图 的连接如图所示
金属的电导热导
1金属的热导 2金属的电导
金属的热导
• 实验原理 • 实验内容 • 实验仪器 • 数据处理 • 注意事项
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实验原理
如果物体两部分之间存在温差，热量 就会自动从高温部位串乡低温部位， 就称为热传导现象。如图1所示，在这 个实验中沿金属棒存在温度梯度，在 dt时间内传递的热量dQ是金属棒界面A 和温度梯度 的函数，并且垂直表面。
T1
dQ
T2 X
图1 热传导示意图 T1> T2
dQ T λA dt x
其中λ是物质的热导率。
（1）
物体温度的分布一般是位置和时间的函数并且遵循玻尔兹曼传递 方程（Boltzmann transport equation）
T 2T 2 t c x
式中ρ是物质的密度，c是物质的热容。
将式（4）代入（1）可得
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实验内容
先在室温下称量量热筒的质量，测量并记录室温θR和提供 的热水的温度θw，量筒添满热水，等达到平衡，测量混合 温度θM，测量水的质量mw，跟据测量数据计算量热筒的 热容C
C cw mw
cw 水的热容 测得的参考之约为78J/K±25%，由于实验方式不同具有很 大的变化范围 。 从周围环境中传入的热量部分可通过升温大小来计算出。 返回
固体物理第五章5.2 金属的电导率
由于声子的能量和费米面上的电子的能量相比很小, 所以,上述散射过程可以看成是弹性散射.
声子能量在D 300 K时， 1/ 40eV
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
这样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。
e2 J 3 4π
dS F SF v (E v ) k
1 e2 J 3 4π
又：k vk
vk vk vk dS F E
SF
vk vk 1 e2 所以电导率为： 3 dS F s 4π F vk
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
( k k )和 ( k k )是能量守恒所要求的。
2 纯金属的电阻率
1).实验规律： 实验发现，纯净金属的电阻率满足如下经验公式：
AT 5 (T ) M 6 D
D / T
0
x5dx (e x 1)(1 e x )
其中，A为金属的特性常数，M为金属原子的质量， ΘD是金属的德拜温度。此经验公式称为布洛赫—格律 乃森定律(Bloch- Grü neisen T5 law)。 显然，由布洛赫—格律乃森定律，高温下T > 0.5 ΘD 时，上式可化为: AT (T ) 4M 2 D 即高温下T > 0.5 ΘD时，满足ρ T
所以： s k k
1 i ( k k q ) Rn A e k e VL (r ) k 2 Rn
关于金属电子论与电导率概要
本科毕业论文题目：关于金属电子论与电导率目录引言 (1)1 . 金属电子轮 (1)2 . Drude的自由电子模型 (1)3．欧姆（Ohm）定律 (2)4．电导率与温度的关系 (4)5. 金属电导率与频率的依赖关系 (7)6.金属的热容量，Dulong-Petit定律 (8)结论 : (10)参考文献： (11)致谢.................................................. 错误！未定义书签。
金属电子论与电导率摘要：本论文是基础理论论述类的研究题目.首先讨论的是关于金属电子论的简短的历史回顾且自由电子模型.其次简单的经典电子论来说明金属导电的原因，推导电流密度公式.再次用经典电子论的基础上解释金属的电导率与温度的关系.最后用金属经典理论来解释焦耳热产生的原因. 也通过费米分布来解决了经典电子论遇到的困难.关键词：金属电子;电导率 ;温度; 频率.引言金属电子论通过考察金属内电子的运动状态及其输运过程，运用统计方法来解释金属的导电性，导热性，热容量，以及磁学性质，力学性质和光学性质等.在金属的经典电子论范围内，实质性的进展应归功于P.K.L.Drude.Drude在1900年提出了虽然简单但却很有效的自由电子模型，利用分子运动论的成果比较好地从理论上解释了Ohm定律，Joule_Lenz定律以及反映导电性和导热性关系的Wiedeman_Franz定律.但是，Drude的理论与实验结果比较时，在定量方面仍然存在不可忽视的差异.1904年，洛伦兹指出，德鲁德自由电子模型中采用的金属内自由电子都以平均速率运动的假设过于简单了.洛伦兹认为自由电子的运动应该像气体分子那样遵循麦克斯韦-波尔兹曼分布律.1905年，洛伦兹根据气体分子运动论，运用经典统计方法对自由电子在金属中的运输过程作了严密的理论分析，导出了电导率σ和热导率κ的公式.1905年，Lrentz以Drude的自由电子假设为基础改进了Drude的模型，用经典统计方法建立了关于金属导电性和导热性的更为严密的理论.但是经典理论的先天性根本缺陷，使得Lorentz的理论仍然遇到了难以解决的困难.经典电子论假设金属中存在着自由电子，它们和理想气体分子一样，服从经典的玻耳兹曼统计，因此，金属中的自由电子对热容量有贡献.但是实验上并不能察觉金属有这样一部分额外的热容量.从经典理论看，这种情况只能表明电子并没有热运动，从而直接动摇了经典电子论的基础.这个矛盾直到量子力学和费米统计规律确立以后才得到解决.1 . 金属电子轮金属电子论自由电子模型不考虑电子与电子，电子与离子之间的相互作用，波尔兹曼统计分布规律，电子气体服从麦克斯韦-波尔兹曼统计分布规律，对电子进行统计计算，得到金属的直流电导平均自由程和热熔.金属电子论的发展可以分为两个阶段.最初阶段是运用经典理论结合经典统计方法（即经典电子论）进行理论分析，在解释金属的导电性和热学性质方面取得了阶段性的成果.然而，这种经典理论在许多方面存在着与实验不符的困难，这些困难在经典理论的框架内是无法解决的.自从量子力学诞生后，金属电子论进入了新的发展阶段，在运用量子力学原理和量子统计方法后才最终比较圆满地解释了金属的各种性质.2 . Drude的自由电子模型为了解释金属良好的导电和导热性能，德国科学家Drude1900提出了一个简单的自由电子模型，建立了金属经典电子论，成功地解释了金属的导电性和热学性质.Drude结合气体动理论的成果，提出了自由电子模型，他认为，金属内的电子可以分成两部分，一部分被原子所束缚，只能在原子内部运动并与原子核构成金属内的正离子；另一部分电子受到的束缚比较弱，它们已不属于特定的原子，而是在整块金属中自有运动，成为自由电子，金属良好的导电性和导热性就是由这些自由电子的运动所决定的.自由电子不断地与金属内的正离子相撞，相互交换能量，在一定温度下达到热平衡.处在热平衡状态的自由电子就像气体分子那样做无规则的热运动，因而可以采用气体分子运动论来处理金属内自由电子的运动.以Drude的自由电子模型为基础，可以从理论上解释Ohm定律，Joule-Lenz定律以及Wiedemann-Franz定律. 3．欧姆（Ohm）定律金属导电的宏观规律是由它的微观导电机制所决定的.金属导体具有晶体结构，原子实以一定方式排列成整齐的空间点阵，自由电子在点阵间不停地作热运动.带正电的原子实虽然被固定在格点上，但可以在各自的平衡位置附近作微小的振动；自由电子在晶格间作激烈的不规则热运动.按经典物理的观点，自由电子的热运动与气体分子的热运动很相似.下面我们根据简单的经典理论说明为什么金属导电遵从欧姆定律，并把电导率和微观量的平均值联系起来.首先定性的描述一下金属导电的微观图像.2-1电子的热运动不形成宏观电流当导体内没有电场时，以微观角度上看，导体内的自由电荷并不是静止不动的.以金属为例，金属的自由电子好像气体中的分子一样，总是在不停地作无规则的热运动.电子的热运动是杂乱无章的，在没有外电场或其它原因（如电子数密度或温度的梯度）的情况下，它们朝任何方向运动的概率都一样.如图2-1所示，设想在金属内部任意作一横截面，则在任意一段时间内平均说来，由两边穿过截面的电子数相等.因此，从宏观角度上看，自由电子的无规则的热运动没有集体定向的效果，因此并不形成电流.2-2电子在电场作用下的漂移运动自由电子在作热运动的同时，还不时地与晶体点阵上的原子实碰撞，所以每个自由电子的轨迹如图2-2中的黑线所示，是一条迂回曲折的折线.当金属中存在电场时，每个自由电子都受到电场的作用力，因而每个自由电子都在原有热运动的基础上附加一个逆着电场方向的定向运动（叫做漂移运动），由于漂移运动，每个自由电子的轨迹将如图2-2中虚线所示.这时自由电子的速度是其热运动速度和定向运动速度的叠加.因为热运动的速度平均值仍然等于零，所以自由电子的平均速度等于定向运动速度的平均值.定向运动速度的平均值u 叫做漂移速度.它的方向与金属中的电场方向相反.大量自由电子的漂移运动形成金属导体中的电流.下面根据上述观点找出金属导体中电流密度和自由电子漂移速度的关系.设通电导体中某点附近自由电子的数密度为n ，自由电子的漂移速度为u ，经过时间t ∆，该点附近的自由电子都移过距离u t ∆.在该点附近取一小圆柱体，截面和漂移速度方向垂直截面积为S ∆，长为u t ∆.显然，位于这小圆柱体内的自由电子，经过时间t ∆后都将穿过小圆柱体的左端面.在t ∆时间内穿过小圆柱体左端面的自由电子也都在这个小圆柱体中.位于小圆柱体内的自由电子数为n u t ∆S ∆，所以在时间t ∆内穿过左端面的电量q ∆为q ∆=nu t Se ∆∆ （1）式中e 是电子电量的绝对值.由此可得左端面上的电流I ∆为q I neu S t∆∆==∆∆ ( 2 ) 左端面处的电流密度的大小为 I j neu S ∆==∆ (3) 因为电子带负点，所以电流密度的方向与电子漂移速度的方向相反.故上式可写成矢量形式ne ju =- (4) 式（4）给出电流密度与漂移速度的关系.利用此式可计算金属中自由电子的漂移速度.根据经典电子论，可以从微观上导出欧姆定律的微分形式.4．电导率与温度的关系电子与正离子连续两次碰撞所经历的时间称为自由时间.由于电子的运动是无规则的，故任意一个电子的某一个自由时间是完全随机的.在一定温度下，大量电子的平均自由时间τ是一定的.在电场作用下，电子的速度为无规则运动的速度和定向运动速度的叠加，后者与场强有关.由于金属中自由电子定向运动的速率比无规则运动的速率小得多，平均自由时间τ实际上与外电场无关.由于电子与晶格上原子实的碰撞，电子的最大定向速度是在一个自由时间内被电场加速所得到的速度，故在一定的电场作用下，定向速度不可能无限增大.考察某一个电子，其电量为e ，质量为m ，若作用于电子的电场为E ，则由牛顿运动定律得em a E =- (5)(5)式中的a 表示电子定向漂移运动的加速度.由于电子热运动的速率远大于定向漂移运动的速率，所以电子与原子实碰撞时受到的冲力远大于电场力.因而在碰撞过程中可以忽略电场力.因此电子与原子实碰撞后向各方向运动的概率相等.所以，可以假设碰撞后的瞬间，电子的平均定向漂移速度为零.设自由电子与正离子晶格相邻两次碰撞前后的平均定向速度从00u =增为1u ，自由电子的平均定向速度为: ()0111112222e mE u u u u a ττ=+===- （6） 即平均定向速度与电场强度E 和平均自由时间成正比.考虑到电子的电量为负值，平均定向速度的方向与场强的方向相反.式（6）代入式（4），导体中的电流密度为 22ne m ne u Ej τ=-= （7） 这就是欧姆定律的微分形式.由气体分子动理论知道，τ等于自由电子的热运动平均速率v 与平均自由程λ之比为v λτ=（8）由以上（8）式得22ne m v jE λ= （9） 因欧姆定律中 j E σ=，故电导率σ为22ne mvλσ= （10） 式（10）中的σ表示电导率，这样，我们就用经典的电子理论解释了欧姆定律，并导出了电导率σ与微观量平均值之间的关系，又由式（10）可以看出电导率与自由电子的热运动平均速率v 成反比，与平均自由程λ成正比.根据气体分子运动论，分子的平均热运动动能与绝对温度T 成正比，对于金属内自由电子的热运动亦应有同样结果，即应有()T =αν221m （11） 式中α是一个普适常量.从（11）式还可以看出σ与温度的关系，因为λ与温度无关，vT 是热力学温度），所以，从而电阻率ρ .不过应当指出，从经典电子论导出的结果只能定性的说明金属导电的规律，（10）式计算出的电导率的具体数值与实际相差甚远.此外σ或ρ与温度的关系也不对.实际上对于大多数金属来说，ρ近似地与T .下面我们在定性的解释一下电流的热效应.在金属导体里，自由电子在电场力的推动下做定向运动形成电流.在这个过程中，电场力对自由电子作功，使电子的定向运动动能增大.同时，自由电子又不断地和正离子碰撞，在碰撞时把定向运动能量传递给原子实，使它的热振动加剧，因而导体的温度就升高了.综上所述，从金属经典理论来看，“电阻”所反映的是自由电子与正离子碰撞造成对电子定向运动的破坏作用，这也是电阻元件中产生焦耳热的原因.下面再进一步推到α和σ的关系.金属是良好的导热材料，将一金属棒两端维持恒定的温度差，实验表明，单位时间内通过单位横载面的热量为dT dQ dx κ=- （12） 式中 dT dx 是沿金属棒的温度梯度，κ称为金属的热导率，用以描述金属的导热性能.金属的导热性与导电性一样，都起因于自由电子，故金属的电导率σ与热导率κ之间必定有所联系.早在1852年，维德曼–夫兰兹 （Wiedemann-Franz ）通过实验确立了κ与 σ 之间的下述关系LT κσ= （13）σ∝式（13）中T 为绝对温度，L 成为 维德曼–夫兰兹常量.利用德鲁德的自由电子模型可以从理论上导出上述的定律.金属内的自由电子可以看作一种气体，通常成为自由电子气.与气体中的热传导一样，金属内存在温度梯度时，自由电子的输运过程导致热量的传递.因而可以套用气体的热传导公式，即气体的热导率为v 13c κρνλ= （14） 式中ρ是气体密度，v c 为气体的定容比热。
金属电导及热容量
金属的电导及热容量夏建培（物理与电子科学学院物理08-01班）摘要：分别采用经典理论与量子理论描述金属晶体两个基本特征：金属的电导率与热容量。
经典理论部分通过对欧姆定律的证明，可得出一般金属的电导率，再运用经典的能量均分定理证明Dulong—Petit定律，但经典理论得出的结论有不足之处，将在量子部分可以解释，量子理论部分谈一下对能带理论的理解，运用该理论并结合费米统计理论描述金属中电子的分布及变化，推算出一般金属的电导率与电子气体的热容量。
关键词：漂移速度；麦克斯韦速率分布；费米能级；跃迁几率函数1 引言关于金属电导率及热容量的解释，需要考察金属内的电子运动状态及其输运过程。
历史上，人们对这方面的研究可以分为两个阶段，最初阶段是运用经典理论结合经典统计方法进行理论分析，其实质性的进展应归功与P. K. L. Drude。
他在1990年提出了虽然简单却很有效的自由电子模型，利用分子运动论的成果比较好的从理论上解释了金属导电服从欧姆定律等其他性质。
但是，Drude的理论与实验结果比较时在定量方面仍然存在不可忽视的差异，虽然后人又以Drude的自由电子假设为基础改进了Drude模型，并用经典统计方法建立了关于金属导电性与导热性的更严密的理论，但是经典理论的先天性根本缺陷，使得经典理论在许多方面存在着无法解决的困难，如常温下自由电子对金属晶体的热容无贡献。
直到量子力学诞生后，在运用量子力学原理及量子统计方方法才最终比较圆满地解释了金属在某些方面的基本特征。
经典理论理论在解释金属性质的局限性来源于电子的运动并不遵循宏观规律和经典统计(即麦克斯韦—玻尔兹曼分布)，金属中的自由电子是强烈简并的，不满足经典极限条件，故不遵从玻尔兹曼分布，而金属中所谓的自由电子其实并非真正的“自由"，而是受到金属内金属阳离子组成的晶格的周期性势场的作用，因而上述的自由电子理论不能解释金属的全部性质是很自然的。
由F. Bloch和L. N. Brillouin发展起来的单电子能带论，是解决金属性质问题的近似理论。
第5章金属电子理论
应用经典力学和电子气体服从经典麦克斯韦-玻尔兹曼统 计分布规律，对金属中的电子进行计算。得到了关于金属 的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属电 子的热容的结果 经典电子论的成就： 解释金属的特征：电导、热导、温差电、电流磁输运等。 经典电子论的困难：关于固体热容量，按照经典统计法的 能量均分定理，N个价电子组成的电子气体，有3N个自由 度，对热容量的贡献为： — 对大多数金属，实验上测得的热容量值只有理论值的1％
在半径为k的球体积内电子的状态数为：
2V c 4 × πk 3 Z = ( 2 π) 3 3
= V c ⎛ 2 mE ⎞ ⎜ ⎟ 3π2 ⎝ h 2 ⎠
3 2
3 2
自由电子气的能态密度：
dZ ⎛ 2m ⎞ N ( E) = = 4 π VC ⎜ 2 ⎟ dE ⎝ h ⎠
⎛ 2m ⎞ 其中 C = 4 π V c ⎜ 2 ⎟ ⎝ h ⎠
⎡ π2 ⎛ k T ⎞2 ⎤ 2 3 ⎜ B ⎟ ⎥ = CE F 2 ⎢1 + 3 8 ⎜ EF ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 2 0 N = C ( E F ) 3 2 ,因此有 由于系统的电子数 3
N =
∫
∞
0
∂f g (E )( − )d E ∂E
(−
∂f )函数的特点具有类似于δ函 ∂E
数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才 有显著的值，且是E－EF的偶函数。
∂f )d E 因此一方面， N = ∫ g ( E )( − −∞ ∂E
∞
另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：
1 2 g( E ) = g( EF ) + g′( EF（E − EF） g′′( EF（E − EF） + ⋅ ⋅ ⋅ ) + ) 2
4金属电导理论
因此稳态时，分布函数不显含时间，左边第一项为零：
f f f r k —— Boltzmann方程 r k t coll
其中碰撞项的表示比较复杂，根据量子力学可以写出：
f ( r, k , t ) k ', k f (k ') 1 f (k ) k , k ' f (k ) 1 f (k ') t coll k '
碰撞的作用与分布函数相联系，成为处理固体中输运现
象的出发点。
玻尔兹曼方程中的漂移项和碰撞项示意图：图中的点子代表 一种自旋的电子，显示了因为漂移和碰撞两种因素恰好平衡 的情形。
见方俊鑫 书p287
下面我们讨论一维定态的导电问题时（比如一根均匀 导线内的情形），分布函数和位置 r 无关，第一项为零， 又因为： dk e 是电场强度 dt 玻尔兹曼方程可以简化为：
对 t 积分得到的解是：
f t f f 0 t
t f t 0 exp
所以，弛豫时间 大致就是系统恢复平衡所用的时间。 于是，Boltzmann方程可简化为
e f f0 k f (k )
这个方程的解就是在电场
存在时定态的分布函数 f 。
可以认为非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离很小，
f f 0 f1
这里
f1 是一个小量，采用一级近似
上式简化为： e f ( k ) f1 k 0
在等温条件下，在均匀静电场中，上式可以写作：
f 0 f1 e v E
总之，我们要在能带论的基础上重新处理电导问题。 按照能带论，晶体中电子速度为： 1 n (k ) k En (k )
金属导电的经典电子理论
金属电子论
f1, f2, … 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, … 项, 0 级 项实际上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到
q
E
k
f0
q
E
k
f1
f1 f2
等式两边 E 的同次幂的项相等给出f1qEFra bibliotekkf0,
f2
q
E k
f1
从一次幂方程得
f1
q
E k
f0
由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成
§6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间
考虑一个可以具体导出弛豫时间的特例, 即完全各向 同性而且电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况
首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面
其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到相同能量的 k’ 态, 可 以表示如下：
2
m*
k12 k22 k32
(k) f0 d k /(2 )3
E
2q2
3
k m*
2
(k
)
f0 E
d
k
/(2
)3
8 q2
3
2k 2 m*2
(k
)
f0 E
dk
/(2 )3
q2
3 2m*
k
3
(k
)
f0 E
dE
q2 m*
k03
3 2
(k0 )
其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值
另外, 弹性波具有恒定的速度
cq
c 是常数, 对横波和纵波各有不同的值: c ct (横波) c cl (纵波)
由一个格波引起的整个晶格中的势场变化
玻尔兹曼方程
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移作用引起的分布 函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移项= 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移
f ∂ ɺ ɺ r r =− ∇ f −k k f ∇ t ∂漂
f − f0 ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a = −
τ
1 r = ∇ ℏ
⋅
k
E
∂e (ε + v × B ) k ℏ
玻尔兹曼方程为： 玻尔兹曼方程为：
f −f0 1 f ∂ e ε ( kE ∇ ) − ( +v× )⋅∇ f =− ∇ ⋅ T B k ℏ T ) ∂ ℏ τ(k
2 j = ∫ − ev ( k ) f ( k ) dk 3 ( 2π)
不同状态电子的分布函数不同， 不同状态电子的分布函数不同， f (k ) 是在外场下的非平衡 分布函数。 分布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂， 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
f ∂ t ∂ f ∂ 0 ＋ ＝ t 碰 ∂ 漂
f ∂ ɺ ɺ f −k f ∇ k t = r r ∂ 漂 −∇
f ∂ b a ＝− t ∂ 碰
ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a
它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解， 它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解，因 --积分方程 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。
25、玻尔兹曼方程-金属的电导过程
§6.3 玻尔兹曼方程
漂移 漂移项是外场作用力所引起的电子波矢的漂移以及速度导致位置漂
移的结果。 t时刻在（r,k）附近单位体积中的电子是 由t-dt时刻在
(r, k,t)
(r vdt, k kdt) 处单位体积中的电子漂移而来的，即
(r vdt, k kdt,t dt)
f (r, k, t) f (r vdt, k kdt, t dt) (9)
Jn Dn
Je E
这就是所谓的热导、扩散、和电导现象。
热流通量 粒子流通量 电流通量
K D 称为热导系数、扩散系数和电导系数。
输运理论的任务就是要从微观上提揭示这些唯象系数与内禀性质的关系。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第1页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 2
唯象方程的形式意味着输运过程是一个扩散过程。 金属的电导过程
第6页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 7
实际上，在外场作用下，电子在k空间将以恒定的速度
k
eE
F m dv dk e(E 1 v B)
dt dt
c
沿－E（电场）方向漂移。如图实线
所示。显然对于非平衡分布函数有
f (k,T ) f (k,T ) (5)
它不再是k的对称函数，假定外场并 不影响能带结构，仍有
dt dt dr 1
v dt k E(k)
与外场相关 决定于体系的能带结构
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第3页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 4
阻尼力的微观机制是金属中能使电子平面波遭受散射的各种因素，主 要是晶格振动和各种晶体缺陷、杂质。
不同状态的电子有不同的速度，它们对电导的贡献是不同的，所以必 须考虑电子的分布函数。
固体物理52金属中自由电子论
=
3π 2h3
2m2vF
⋅n
∴σ
=
2me2λF 3π 2h3
⋅ EF
≈
ne2λF
mvF
导电率
σ = ne2τ F
m
1
( )EF0
1 2
=
⎛ ⎜⎝
m ⎞2 2 ⎟⎠
vF
λF
vF
=τF
3. 求热导率K
∫ jθ
=
2
8π 3
vx ( E − EF ) fd 3k
∫ ≈
2m
3π 2h3
∞ 0
⎧ ⎨ ⎩
⎡⎢⎣eε
dT dx
+
e
∂f0 ∂E
vxε
≈
f − f0
τ (k)
∴f
≈
f0
+
∂f0 ∂E
vxτ (k) ⎧⎨eε
⎩
+
⎡ ⎢⎣
E T
+T
d dT
⎛ ⎜⎝
EF T
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
dT dx
⎫ ⎬ ⎭
2. 求电导σ
∫ j
=
−
2e
8π 3
vx fd 3k
∫ = − e
4π 3
∂f0 ∂E
vx2τ
(k) ⎧⎨eε
⎩
+
⎡E ⎢⎣ T
f (r,k,t −
t
t)
= lim f (r − r, k − k,t − t) − f (r, k,t − t)
t→0
t
漂移项
⎛ ∂f ⎜⎝ ∂t
⎞ ⎟⎠d
=
−r& ⋅ ∇r
f
− k& ⋅ ∇k
玻尔兹曼方程的应用
玻尔兹曼方程的豫驰时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似Leabharlann 玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
气体的黏滞现象
如图设气体以宏观速度v0 沿着y方向流动。考虑平 面x=x0,实验发现流速较 快的气体将带动流速较慢 的气体。使一方气体流速 变快一方气体流速变慢， 这种现象称为黏滞现象。 有牛顿的黏滞定律可得
y 负方 正方 v0(x)
x0
x
η为黏滞系数
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
Thank you
徐永峰玻尔兹曼方程的应用一玻尔兹曼方程的弛豫时间近似二气体的黏滞现象三金属的电导率玻尔兹曼方程的豫驰时间近似气体的黏滞现象如图设气体以宏观速度v实验发现流速较快的气体将带动流速较慢的气体
玻尔兹曼方程的简单应用
姓名：徐永峰
玻尔兹曼方程的应用
一、玻尔兹曼方程的弛豫时间近似 二、气体的黏滞现象 三、金属的电导率
6.6纯金属的电导率和热导率
由于高温区与低温区的电子携带的能量不相等，所以尽管 这时正向反向穿过单位面积的电子数目相等，但是热能流密度 qx不等于零。
2 qx ( 2π)3
1 2 2m v v x f (k )dk
1 1 2 2 EF E dT f 0 dEdS 3 m v v x e x T ( ) 4π 2 T dx E k E T T
ne F m
2
m 2 ne F
6.6.2 纯金属的热导率
2 q E v fdk 3 ( 2π)
dT q dx
高温 电子 ++ ++
低温 电子 温差电场
--
温差电场阻止电子由高温区向低温区扩散，最后电子达 到稳定分布。
1.分布函数
f f 1 f e 0 ( k E T ) ( v B ) k f T (k )
f 0 E f EF T ( ) 0 T T E T T
可以证明
E F E dT f 0 ( ) 则 f f 0 v x e x T T dx E T T 2.金属的热导率
电流密度
2 jx ev fdk 3 ( 2π)
K1 1 2 f 0 dEdS v , x 3 E 4π E k
K2 1 dEdS 2 f 0 v E x E 4π 3 E k
第一项表示温度梯度引起的扩散电流，
第二项表示温差电场引起的漂移电流。
当达到稳定态时，单位时间内正向穿过单位面积的电子数
目等于反向穿过单位面积的电子数目，即电流密度jx=0（测量
比较可得到立方结构金属的电导率
金属的导电性和导热性关系
金属的导电性和导热性关系金属电导和导热系数（也叫热导）之间有数学关系，叫做魏德曼—弗兰兹定律（Wiedemann-Franz Law）：在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
用公式表示即为：，其中为导热系数，为电导率，为一个不依赖于具体金属而与温度有关的常数。
之后洛伦兹（Lorenz）将这个公式推广为：,为热力学温度，为洛伦兹常数。
.当然，这个规律只是在温度较高的情况下成立，在温度较低时，就不再是常数了。
通常的金属材料可以这样来看待，原子核和内壳层电子组成的原子实（也可以简称为原子）因为它们之间的相互吸引作用（离子晶体是库伦作用、原子晶体是化学键作用，分子晶体是范德瓦耳斯力或氢键作用）按照规则排布（不考虑缺陷），不能随便运动（不然的话材料就散开，不再是固体了），最外层电子受原子核的束缚作用较小，可以在整个金属中自由运动（量子力学能带理论的结果）。
在通常的金属材料中（不考虑重费米子金属、半金属等复杂情况），起导电作用的是自由电子，在电场的作用下，自由电子会沿着电场的反方向运动（其实是一个费米球漂移，用玻尔兹曼方程描述，这里可以简单地这么理解），自由电子越多，受到的散射（受到晶格缺陷等障碍阻止其沿着电场方向运动，这些散射也是电阻产生的根源）越少，导电性就越好。
而在通常金属中起导热作用的有两个部分。
其一也是自由电子，热电子会在温度场下扩散（也用玻尔兹曼方程描述，把电场变成温度梯度场即可）。
简单地说就是温度高的自由电子会运动加快，它们会迅速向四处扩散，和冷电子（温度低的电子）通过碰撞交换能量，把热量传导开来。
同导电性一样，自由电子越多，受到的散射越少，电子的导热性就越好。
其二是晶格振动，在金属（其他晶体材料也是一样）中，原子实虽然不能自由运动，但它们可以在格点（晶体结构给他们规定的准确位置）周围作微小的集体振动（原子之间是有相互作用的，就相当于手拉着手，一个原子振动也会带动其他原子振动），形成格波（类似于集体舞），可以把它们看成一种准粒子（其实并不存在，但和粒子的作用一样）——声子。
第五章 金属的电导理论1
b ( K *, K ) f ( K *, r )[1 f ( K , r )]
•
K*
1 (2 ) 3
K*
( K *, K ) f ( K *,r )[1 f ( K , r )]dK *
（5-11）
• 用同样的理解方法，可以知道，相空间中由于碰撞单 位时间离开 (r , K ) 处单位体积的电子数为：
• 其中：
代表外场引起的分布函数的变化；
•
化；
碰撞
代表电子因受散射引起的分布函数的变
•
f t
代表分布函数是时间显函数时的偏导数。
• 如果电子的分布不随时间变化而处于定态分布状态，则
•
df 0 dt
f 此时f不显含时间，故 也为零，因此有： t
•
f t
f t 漂移
0
碰撞
（5-8）
f f0 1 f e [ K ( K ) r T ] ( E v B) K f T (5-20）
Hale Waihona Puke f f0 e E K f
（5-21）
• 此式可以用于讨论金属的电导率的问题 。 • ★ 在讨论金属的热导率问题时（5-20）式等号左边的 第一项就很重要了。
• 首先讨论“漂移项”。
(r 刻在 v t )
• 在相空间中，t时刻位置为 (r ) 处的电子是由t-Δ t时
处的电子漂移来的；而波矢为 ) (K 子是由波矢为 Kt ) 的电子漂移来的。 (K
的电
•
时间
位置坐标 波矢坐标
(r v t )
(K Kt )
第七章 金属的电导理论
第七章 金属的电导理论 7.1 玻耳兹曼方程费米分布函数()f T 是系统处于统计平衡状态时，电子占据量子态的几率。
在恒定外场的作用下，电子达到一个新的定态统计分布。
这种定态统计分布也可以用一个与平衡时相似的分布函数()k f 来描述。
例如在恒定外电场中，单位体积在d k 中的电子数为：()38/2πk k d f (7.1.1) 它们的速度为()k υ，对电流密度的贡献为()()38/ 2πk k k d f q υ- (7.1.2) 积分后可得总的电流密度：()()⎰-=38/ 2πk k k j d f q υ (7.1.3) 由此，一旦确定了分布函数()k f ，就可以直接计算电流密度。
这种通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法，就是分布函数法。
在自由电子模型中，电子的输运过程与在外场力作用下产生的漂移和电子和声子的碰撞有关。
1 漂移项在存在恒定电场E 和磁场B 时，电子的状态改变为：()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇--=B k E k k E q q dt d 11 (7.1.4) 分布函数相应的变化，可以看成在k 空间流体密度()t f ,2k 和流速dt d /k 满足的连续性方程：()[]()()()⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇=∂ ∂∙∙∙dt d t f t f dt d dt d t f t f t k k k k k k k k k k ,2,2,2,2 (7.1.5) 代入运动方程可得上式右边第二项为零：()[]{}011=⨯∇∇-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇--∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙B k B k E k k k k E q E q q (7.1.6)因此，分布函数由电磁场引起的变化为：()()t f dtd t t f ,,k kk k ∇-=∂∂ ∙ (7.1.7) 这个结果可以从另一个角度考虑。
在()t t δ+到达k 的电子，在t 时刻必然在t dt d δ⎪⎭⎫⎝⎛-k k 位置，对比同一时刻在k 和t dt d δ⎪⎭⎫⎝⎛-k k 的分布函数值可得()t f ,k δ：()()()t t f dt d t f t t dt d f t f ,,, ,δδδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙k k k k k k k (7.1.8)因此 ()()t f dt d t t f d,,k k k k ∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∙ (7.1.9) 由于分布函数()t f ,k 的变化完全是由k 空间一点“漂移”到另一点的结果，因此分布函数()t f ,k 的这种变化，通常称为漂移项。
第七章金属电导理论
第七章金属电导理论本章思路：金属载流子在外电场和温度梯度的驱动下会发生定向运动，但他们同时也受到杂质、缺陷和晶格振动的散射，两种因素相互竞争、最终达到平衡，从而形成稳态的输运现象。
我们采用半经典的Boltzmann 方程及其弛豫时间近似作为处理固体输运性质的基础。
采用半经典理论框架来处理本质上是量子力学多粒子系统的行为，显然是有局限性的，因而需要更彻底的量子多体理论来处理，但这类理论的具体计算比较复杂，要采用多体Green函数，且只有在少数典型情况下取得了实用的结果，这些结果大体验证了更加直观的上述半经典方法的可靠性，因而在多数场合，我们更乐意使用Boltzmann 方程来处理固体输运现象。
6.3 金属电阻率的微观机制：一.金属电阻率的实验观测二. 晶格散射和纯金属电导率温度关系三.剩余电阻率四.近藤效应（Kondo effect）见：黄昆书6.5，6.6节Kittel 6.5 节p106冯端书8.1节p227一. 金属电阻率的实验观测:金属高电导率的事实早已被发现和利用，它的电导率温度关系对材料的应有有着重大影响，所以进行了大量的实验研究，得到了不少规律性的结果，下页图是一个普遍的典型结果，纯金属的电阻率可以明显地分成两个独立部分之和：0()l T ρρρ=+与温度有关，称作本征电阻。
它随温度的降低而减小，T →0K 时，→0。
初步判断它应是因晶格振动引起的。
l ρl ρ与温度无关，称作剩余电阻。
与金属中的缺陷和杂质有关。
在缺陷浓度不算大时，不依赖于缺陷数目，而不依赖温度，这个经验性结论被称为Matthiessen 定则。
实验表明：大多数金属的电阻率在室温下主要由声子碰撞所支配，液氦温度（4K)下，由杂质和缺陷的散射为主。
0ρ0ρlρ典型金属Cu 的电导率温度关系取自Solid State Chemistry and Physics纯净Pt 电阻率随温度的变化240KD T作为对比，我们给出n 型半导体Si 的电导率温度关系，在同样温度区域明显看出其差别是很大的。
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确立了非平衡态分布函数f(k),就可以直接计算电流密度。 模型假设：
近平衡态假设：系统中每个宏观小、微观大的区域已达到平衡，但整 个系统仍处于非平衡态
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第 10 页
§6.3 玻尔兹曼方程
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考虑分布函数的变化 f (k, r, t)
在粒子数守恒条件下，分布函数的总变化率为
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§6.3 玻尔兹曼方程
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实际上，在外场作用下，电子在k空间将以恒定的速度
k
eE
F m dv dk e(E 1 v B)
dt dt
c
沿－E（电场）方向漂移。如图实线
所示。显然对于非平衡分布函数有
f (k,T ) f (k,T ) (5)
它不再是k的对称函数，假定外场并 不影响能带结构，仍有
v(k) v(k)
（a）分布函数在外场下的变化 （b）费米球在外场下的漂移
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第7页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 8
那么 2e
Je 2 3 v(k) f (k)dk 0 (6)
这时就有电流在晶体中流动。
除了点阵周期势对电子的散射外，下列因素是电阻产生的主要原因： 晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是温度的函数； 晶体中的缺陷和杂质对电子的无规律散射。
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得到
f0(k,T ) f0(k,T ) (3)
即分布函数对于k是对称的。如图虚线所示。
另外，由
v(k) v(k)
它对于k是反对称的，因此，由（2）式
Je
2e
2 3
v(k)
f
(k )dk
0
(4)
即平衡态下，电流为0。
（a）分布函数在外场下的变化 （b）费米球在外场下的漂移
第六章 自由电子论和电子的输运性质
经典的电子气电导理论描述：
金属中自由电子在外加电场作用下加速
电子受到来自同金属离子碰撞而表现为阻尼力，阻尼力的大小与速度 成正比。
达到电流稳定时，电场力和阻尼力相平衡，电子达到其在电场中获得 的稳定速度，即附加的漂移速度
漂移速度与电场成正比，从而解释欧姆定律。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
dt dt dr 1
v dt k E(k)
与外场相关 决定于体系的能带结构
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第3页
§6.3 玻尔兹曼方程
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阻尼力的微观机制是金属中能使电子平面波遭受散射的各种因素，主 要是晶格振动和各种晶体缺陷、杂质。
不同状态的电子有不同的速度，它们对电导的贡献是不同的，所以必 须考虑电子的分布函数。
f t 漂 f t 碰
f f f
(7)
t t 碰 t 漂
漂移项：温度梯度、密度梯度和外场引起的分布函数变化。
电子因受碰撞散射引起的分布函数变化－碰撞项
假设电子分布不随时间变化而处于稳定状态 f 0
t
f f 0 (8)
t 漂 t 碰
外场与散射的作用相互抵消。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第 11 页
在外场下，将是非平衡的分布函数 建立确定非平衡分布函数的方程－－玻尔兹曼方程，解决上述问题。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第4页
§6.3 玻尔兹曼方程
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一、非平衡分布函数
温度均匀，无外场条件下，电子气在热平衡时的分布函数－－费米分布
1
f0(Ek ) expE EF kBT 1 (1)
§6.3 玻尔兹曼方程
漂移 漂移项是外场作用力所引起的电子波矢的漂移以及速度导致位置漂
移的结果。 t时刻在（r,k）附近单位体积中的电子是 由t-dt时刻在
(r, k,t)
(r vdt, k kdt) 处单位体积中的电子漂移而来的，即
(r vdt, k kdt,t dt)
f (r, k, t) f (r vdt, k kdt, t dt) (9)
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第8页
§6.3 玻尔兹曼方程
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因此，在整个电导过程中
一方面，电子在外场中被加速，使系统偏离平衡态
另一方面，电子受到无规散射，使电子失去在外场中获得的定向运动， 这种不可逆的因素产生两种效应：能量耗散 使系统趋于平衡。
这样，在恒定电场下，漂移和碰撞的共同作用就可以使体系处于一种定
分布与电子位置r无关。
考虑晶体的能带结构以及电子按能量分布，电导公式为
2e
Je 2 3 v(k) f (k)dk (2)
f（k）是k波矢空间的分布函数。
如果分布函数f(k)不受电场E的影响，仍然维持平衡态下的分布函数，那
么，由
E(k) E(k)
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
Jn Dn
Je E
这就是所谓的热导、扩散、和电导现象。
热流通量 粒子流通量 电流通量
K D 称为热导系数、扩散系数和电导系数。
输运理论的任务就是要从微观上提揭示这些唯象系数与内禀性质的关系。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
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唯象方程的形式意味着输运过程是一个扩散过程。 金属的电导过程
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§6.3 玻尔兹曼方程
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索末菲的电子气量子理论
同样能给出欧姆定律，并能更深刻地描绘电导过程的物理图像。
在量子理论里电子的状态是以波矢k来表征的，在电场中电子态的改变 是以k的变化来描述的。电子的动量为
p k
电子的动量或波矢k在外场中的变化规律与经典物理一样
dp dk eE v B
态。
假定碰撞的平均驰豫时间为
恢复平衡所需时间----平均驰豫
时间的意义
那么分布函数大约偏离平衡态
eE
得到一个非平衡的定态分布函数。
第六章 自由电子论和电子的输运性质
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§6.3 玻尔兹曼方程
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二、玻尔兹曼方程
通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法通常称为分布函 数法。
在非平衡统计理论中，通过分布函数来研究输运过程的一个主要方法 就是列出粒子状态的分布函数的方程－－－玻尔兹曼方程，并由此求出分 布函数。
§6.3 玻尔兹曼方程
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输运现象
如果系统中存在像温度、浓度、电势等强度量的不均匀性，那么将导 致像能量、粒子数、电荷数等的流动，这就是输运现象。
假定沿晶体的某个方向存在温度梯度、浓度梯度、电势梯度，则输运
过程中的热流通量、粒子流通量、电流通量与相应的梯度通过如下唯象关
系相联系：
Ju KT