线性规划的概念

3.6：线性规划

目录：

（1）线性规划的基本概念

（2）线性规划在实际问题中的应用

【知识点1：线性规划的基本概念】

(1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__

例题：若变量x 、y 满足约束条件2

10x y x y +≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

，则z x y =+的最大值和最小值分别为

( B )

A. 4和3

B. 4和2

C. 3和2

D. 2和0

分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法.

解：画出可行域如图

作020l x y +=：

所以当直线2z x y =+过()20A ，

时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z ==

变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x

x y y ≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩

，则z 的最大值是__3___

解：不等式组表示的平面区域如图所示.

作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过

平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213⨯-=.

变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43

35251x y x y x -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，求z 的最大值和最小值

分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性

规划问题，使用图解法求解

解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．

把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．

由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．

解方程组430

35250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得A 点坐标为()5,2，

解方程组1

430x x y =⎧⎨-+=⎩

，得B 点坐标为()1,1

所以max min 25212,211 3.z z =⨯+==⨯+=

变式3：若变量x 、y 满足约束条件6

321x y x y x +≤⎧⎪

-≤-⎨⎪≥⎩

，则23z x y =+的最小值为( C )

A. 17

B. 14

C. 5

D. 3

解:作出可行域(如图阴影部分所示)．

作出直线:230l x y +=.

平移直线l 到l ′的位置，使直线l 通过可行域中的A 点(如图) 这时直线在y 轴上的截距最小，z 取得最小值． 解方程组132x x y =⎧⎨-=-⎩，得最优解1

1x y =⎧⎨=⎩，

min 21315z ∴=⨯+⨯=

【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】

例题：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？

解：设A 、B 两种金属板分别取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为 3645

565500

x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪

⎨

≥⎪⎪≥⎩ 目标函数为23z x y =+.

作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示：

23z x y =+变为233z y x =-+，得斜率为23-，在y 轴上截距为3

z

且随z 变化的一组平行

直线．

当直线23z x y =+过可行域上点M 时，截距最小，z 最小． 解方程组 ，得M 点的坐标为(5,5)．

此时()

2min 253525z m =⨯+⨯=．

答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省．

变式1：4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( A ) A ．2个茶杯贵 B ．3包茶叶贵 C ．相同 D ．无法确定 解：设茶杯每个x 元，茶叶每包y 元，则

45226324,x y x y x y N +<⎧⎪

+>⎨⎪∈⎩

2U x y =-取值的符号判断如下

由2.033U y x U =

-=当时，过点()32A ，

，往下平移．经过可行域内的点03

U

-< ∴0U >，即23x y >.往上平移不经过可行域内的点． ∴选A.

变式2 已知x 、y 满足20

40250x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪--≤⎩

，求：

(1)221025z x y y =+-+的最小值； (2)1

1

y z x +=

+的取值范围. 分析：(1)将z 化为()2

25z x y =+-，问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题； (2)将式子化为(1)

(1)

y z x --=--或1(1)y z x +=+，问题转化为求可行域中的点与定点的连线的

斜率的最值问题