空间两点之间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
思考2:在空间直角坐标系中， 思考 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 在空间直角坐标系中 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么 的距离分别是什么？ 与坐标原点 的距离分别是什么？
| OA |=
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
z P1 O y x M N P2
A
| P1P2 |=
(x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) + (z1 - z2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
2 2
| OP |=
x +y +z
• 思考 在空间直角坐标系中，方程 思考5:在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 为常数） 为常数 什么图形是什么？ 什么图形是什么？
z
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式 探究（ 空间两点间的距离公式
在空间中,设点 在空间中 设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 设点 ， 在 平面上的 射影分别为M、 射影分别为 、N. 思考1:点M、N之间的距离如何？ 思考1:点 之间的距离如何？ 1:
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
2.空间两点间的距离公式
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
如何计算空间两点之间的距离?
4.3.2 空间两点间的 距离公式
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 ( x1,y1,z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| P1P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z1 z 2 )2
空间内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：
| AB | (10 4) 2 ( 1 1) 2 (6 9) 2 7 | BC | (4 2) 2 (1 4) 2 (9 3) 2 7 | AC | (10 2) 2 ( 1 4) 2 (6 3) 2 98
因为 7 7 98,
所以
| OP |
x2 y2 z 2
思考
如果|OP|是定长r，那么 x2 y 2 z 2 r2 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2
P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
| P1 P2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
空间两点间距离公式含详解
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
二、填空题 4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点 A的坐标是____________． [答案] (0,0,0)或(2,0,0) [解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐 标满足的条件．
[解析] 设 P(x，y，z)， 则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2， PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. ∵PA＝PB， ∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 6x－4y－13＝0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标 系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、 B、C三点在同一条直线上．
[解析] d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21， d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21， d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21， ∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
两点间距离公式用法
两点间距离公式用法
两点间距离公式用法：
两点间距离公式是用来计算平面上或空间中两个点之间距离的公式。
在平面上，我们可以使用勾股定理来计算两点间的距离，而在三维空间中，我们需要使用三维勾股定理来计算。
在平面上，如果给定两个点的坐标为 (x1, y1)和 (x2, y2)，那么可以使用勾股定
理来计算它们之间的距离。
勾股定理的公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)，其中
d 表示两点之间的距离。
在三维空间中，如果给定两个点的坐标为 (x1, y1, z1)和 (x2, y2, z2)，我们可以
使用三维勾股定理来计算它们之间的距离。
三维勾股定理的公式为：d = √((x2 -
x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)，其中 d 表示两点之间的距离。
使用这些公式时，我们需要将两个点的坐标代入相应的公式中，然后进行计算。
最终得到的结果就是两点之间的距离。
需要注意的是，这些公式只适用于平面上或空间中的直线距离计算。
如果需要
计算两点之间的其他类型的距离，如曲线或曲面上的距离，可能需要使用其他公式或方法进行计算。
总而言之，两点间距离公式是用来计算平面上或空间中两个点之间距离的数学
工具。
通过代入坐标并使用相应的公式，我们可以准确计算出这两点之间的距离。
2.4.2空间两点间的距离公式
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点 ． △ 中 ° 的坐标为A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x， ， ， ， ， ， ， 的坐标为 ， 0，1)，则x= ， ， 2 .
3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1， 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1， 0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关 两点的距离相等， 、 、 满足的关 两点的距离相等 系式是 2x+2y－2z－3=0 － － .
2
M 3 M 1 = (4 − 5) + ( 3 − 2) + (1 − 3) = 6,
2
2 2 2
∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,
原结论成立. 原结论成立
轴上， 例 2 设 P在 x轴上，它到 P (0, 2,3)的距离 1 的距离的两倍， 的坐标. 为到点 P (0,1,−1)的距离的两倍， 求点 P的坐标 2
解:
轴上， 点坐标为 因为 P 在 x 轴上， P点坐标为 ( x ,0,0), 设
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (− 1) + 12 = x 2 + 2 ,
2 2
Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
C1 A1 B1
C A B
（1）建立适当的坐标系，并写出 、B1、 ）建立适当的坐标系，并写出B、 C、C1的坐标； 、 的坐标； 解：（1）如图建立空间直角坐标系， ：（ ）如图建立空间直角坐标系， 则B(0，a，0)，B1(0，a，2 a)， ， ， ， ， ， ，
空间直角坐标系点面距离公式(一)
空间直角坐标系点面距离公式(一)空间直角坐标系点面距离公式一、点到点的距离公式两点之间的距离可以用勾股定理来计算，即两点间直线的欧氏距离公式。
公式如下：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]其中，(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2) 分别为两个点的坐标。
示例：假设有两个点 A(1, 2, 3) 和 B(4, 5, 6)，要计算它们之间的距离。
根据公式计算可得：d = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²]= √[3² + 3² + 3²]= √[9 + 9 + 9]= √27≈所以点 A 到点 B 的距离约为。
二、点到直线的距离公式点到直线的距离可以利用点到点的距离公式来计算。
设点 P(x, y, z) 到直线 L 的距离为 d，直线 L 上一点为 A(x1, y1, z1)，则有：d = |(Ax - Px) * i + (Ay - Py) * j + (Az - Pz) * k|/ √(i² + j² + k²)其中，(x, y, z) 为点 P 的坐标，(x1, y1, z1) 为直线上一点的坐标，(i, j, k) 为直线的方向向量。
示例：考虑一条直线 L 过点 A(1, 2, 3)，且方向向量为 (2, 2, 1)。
现有一点 P(-1, 0, 1)，要计算 P 到直线 L 的距离。
根据公式计算可得：d = |(2(-1 - 1) + 2(0 - 2) + 1(1 - 3))| / √(2² + 2²+ 1²)= |-4 - 8 - 2| / √(4 + 4 + 1)= |-14| / √9= 14 / 3≈所以点 P 到直线 L 的距离约为。
三、点到平面的距离公式点到平面的距离可以类比点到直线的距离公式，利用点到点的距离公式来计算。
两点之间的距离计算公式
两点之间的距离计算公式在数学中，两点之间的距离可以通过使用坐标系的方法来计算。
坐标系是一个图形化的方法，用于定位和测量点之间的距离。
假设我们有两个点A和B，它们分别具有(x1,y1)和(x2,y2)的坐标。
我们可以使用直角三角形的定理来计算两个点之间的距离。
直角三角形的定理是基于勾股定理。
根据这个定理，两个直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。
在我们的例子中，斜边就是点A到点B的距离，而直角边就是每个点的x坐标和y坐标之间的差值。
因此，两点之间的距离d可以用以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式适用于任何两个二维坐标系中的点。
让我们通过一个简单的例子来解释：假设我们有两个点A(2,3)和B(5,7)。
我们可以使用上述公式计算它们之间的距离。
首先，我们计算x坐标之间的差值：5-2=3然后，我们计算y坐标之间的差值：7-3=4接下来，我们将这些差值的平方相加：3²+4²=9+16=25最后，我们将这个和开根号所以，点A和点B之间的距离为5个单位。
这个公式也可以扩展到三维坐标系中。
在三维中，我们有三个坐标轴（x，y，z），因此两个点之间的距离公式变为：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]这个公式适用于在空间中计算两个点之间的距离。
总结：两点之间的距离可以通过使用直角三角形的定理来计算，在二维坐标系中使用d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]的公式，在三维坐标系中使用d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]的公式。
这些公式是计算两点之间的距离的基础。
通过了解这些公式，我们可以在数学和物理中应用它们，计算点之间的距离。
两点之间的距离计算
两点之间的距离计算在几何学中，计算两点之间的距离是一项基本任务。
无论是在数学领域还是在实际应用中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
本文将介绍几种常见的方法和公式，帮助读者准确计算两点之间的距离。
方法一：直线距离公式最常用的计算两点之间距离的方法是直线距离公式，也被称为欧几里得距离公式。
这个公式基于平面上的直角三角形的勾股定理，可以应用于二维和三维空间。
对于平面上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），直线距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，d表示两点之间的距离。
例如，假设点A坐标为（2，3），点B坐标为（5，7），我们可以使用直线距离公式计算两点之间的距离：d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
方法二：曼哈顿距离公式曼哈顿距离是另一种常见的计算两点之间距离的方法。
该方法基于在平面上的直角路径，而不是直线路径。
曼哈顿距离常用于城市规划和计算机图形学等领域。
对于平面上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），曼哈顿距离公式可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|例如，假设点A坐标为（2，3），点B坐标为（5，7），我们可以使用曼哈顿距离公式计算两点之间的距离：d = |5 - 2| + |7 - 3|= 3 + 4= 7因此，点A和点B之间的曼哈顿距离为7个单位。
方法三：球面距离公式当我们需要在三维空间或地理球面上计算两点之间的距离时，直线距离公式和曼哈顿距离公式都不再适用。
此时，我们可以使用球面距离公式来计算。
球面距离公式基于球面三角形的余弦定理，可以应用于球体上的两点。
对于球面上的两点A（lat1，lon1）和B（lat2，lon2），球面距离公式可以表示为：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 -lon1))其中，d表示两点之间的距离，R表示球体的半径。
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式在数学中，两点之间的距离是指在数学空间中测量两个点之间的长度。
这个概念在几何学、代数学和物理学等多个领域中都有广泛的应用。
在平面几何中，两个点之间的距离可以使用勾股定理来计算。
勾股定理指的是一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用来计算两点之间的距离，其中斜边即为两点之间的距离。
假设有两个点A（x1,y1）和B（x2,y2），我们可以通过勾股定理来计算它们之间的距离。
根据定理，我们可以将两点之间的距离表示为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，d表示点A和点B之间的距离。
这个公式的推导过程是通过勾股定理来进行的。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方之和。
在这个情况下，直角边对应（x2-x1）和（y2-y1），斜边对应d。
将这些值代入勾股定理的公式中，我们可以得到两点之间的距离公式。
这个距离公式可以扩展到三维空间，其中点A（x1,y1,z1）和点B（x2,y2,z2）之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)这个公式的推导过程与二维情况类似，只是在三维空间中需要考虑三个坐标轴。
除了直角坐标系外，两点之间的距离公式还可以根据其他坐标系进行推导。
例如，在极坐标系中，可以使用极坐标变换公式将两点的极坐标表示转换为直角坐标表示，然后使用上述的距离公式进行计算。
另外，两点之间的距离公式还可以应用于更高维度的空间。
例如，在四维空间中，两点A（x1,y1,z1,w1）和B（x2,y2,z2,w2）之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2+(w2-w1)^2)这个公式的推导过程与二维和三维情况相似，只是需要考虑四个坐标轴。
综上所述，两点之间的距离公式可以通过勾股定理推导得出，并可以适用于平面几何和空间几何中的不同坐标系。
这个公式在数学和物理学中有广泛的应用，例如在测量、导航和机器学习等领域中。
高中数学两点间距离公式
高中数学两点间距离公式高中数学中，两点间距离公式是我们学习的重要内容之一。
在解决空间中两点之间的距离问题时，我们可以利用这个公式来求解，从而得到准确的答案。
下面，我们将详细讨论这个公式及其应用。
我们来看一下两点间距离公式的表达形式。
假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式实际上就是利用勾股定理来计算两点距离的。
我们可以将这个公式应用于各种各样的问题中，比如求两个城市之间的直线距离、求两个坐标点之间的距离等等。
接下来，我们来看一些具体的例题，以帮助我们更好地理解和运用两点间距离公式。
例题1：已知平面上有两个点A(3, 4)和B(7, 8)，求它们之间的距离。
解：根据两点间距离公式，我们有：d = √((7 - 3)² + (8 - 4)²)= √(4² + 4²)= √(16 + 16)= √32≈ 5.66所以，点A和点B之间的距离约为5.66。
例题2：已知三维空间中有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，求它们之间的距离。
解：同样地，根据两点间距离公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.2所以，点A和点B之间的距离约为5.2。
通过以上两个例题，我们可以看出，无论是在平面上还是在空间中，两点间距离公式都可以很方便地帮助我们求解距离问题。
只需要将两个点的坐标代入公式中，按照一定的计算步骤，我们就能得到最终的结果。
在实际应用中，两点间距离公式也有一些特殊的情况需要注意。
例如，如果两个点的坐标相同，那么它们之间的距离就是0。
3.3空间两点间的距离公式
复习引入：
1.数轴上两点间的距离公式
A(x1)
B(x2)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，如果 A(x1)，B(x2)，
则这两点的距离公式为
|AB|＝|x2－x1|
21:57
2.平面直角坐标系两点间的距离公式
y
P1
x1，y1
P2 x2，y2
o
例1：给定空间直角坐标系，在x轴上找一点
P，使它与点P0(4,1,2) 距离为 30
分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1
所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)
21:57
例2：在 xoy平面内的直线x+y=1上确定
一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小
解：设M(x,1-x,0),利用距离 x1，y1 P2 x2，y2 间的距离
P1P2 = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2
那么，空间中任意两点间的距离如何求呢？
21:57
实例分析
建筑用砖通常是长方体，我们可以尺子测量出一块砖的 长、宽、高，那么怎么能够测量出它的对角线AC′的长度呢？
21:57
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
作业
习题2-3 A组 4, 5, 6
21:57
21:57
C
o
|CP|= y1 y2
|BP|= z1 z2
x
21:57
B
P y
再利用公式 ① 就有
| AB | | AC |2 | CP |2 | PB |2
即
| AB | (x x )2 ( y y )2 (z z )2
空间两点的距离公式
张喜林制 2.4.2 空间两点的距离公式教材知识检索考点知识清单空间两点的距离公式空间两点),,(),,(222111z y x B z y x A h 的距离公式=||AB ；特别地，点A （x ，y ，z ）到原点的距离公式为要点核心解读(1)设空间两点),,,(),,(222111z y x B z y x A 、则空间两点间的距离公式为221221221)()()(||z z y y x x AB -+-+-⋅=推导空间两点距离公式的思路是过两点分别作三个坐标平面的平行平面(如图2 -4 -2 -1)，则这六个平面围成一个长方体．我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交于一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．(2)学习求空间两点间的距离要注意的方法：①求空间两点间的距离，要学会利用长方体模型，构造三角形，运用勾股定理，比较平面与空间的两点间距离公式的异同．②不仅要学会运用空间两点的距离公式求给出的点的距离，更要学会在简单的几何体中求两点间的距离，也要学会求解实际问题中的空间两点间的距离，③在解题中，注意灵活运用空间两点的距离公式，敏感图形的特殊性，点的位置的特殊性，典例分类剖析考点1 求空间两点间的距离命题规律给定几何体，求空间两点间的距离．[例1] 如图2-4-2-2所示，在长方体-OABC 1111C B A O 中，E AA AB OA ,2||,3||,2||1===是BC 的中点，作OD ⊥AC 于D ，求点1O 到点D 的距离．[答案] 由题意得点⋅)0,3,0()2,0,0()0,0,2(1C O A 、、设点D （x ，y ，O ），在Rt △AOC 中，,3||,2||==OC OA ⋅==∴=13136136||,13||OD AC 在Rt△ODA 中，⋅=⋅⋅==∴⋅=131821336|||,|||||2x x OA x OD 在Rt△ODC 中，|,|.|2C O y OD ⋅=∴===∴131231336||y y 点⋅)0,1312,1318(D ⋅==++=∴1328621311444)1312()1318(||2221D O [点拨] 此题也可以在D O Rt 01∆中求解，即=21||D O ,138841336||||212=+=+OO OD ⋅==∴1328621388||1D O 母题迁移 1．如图2 -4 -2 -3所示，建立空间直角坐标系Dxyz.已知正方体l D C B A ABCD 111-的棱长为1，点P 是正方体体对角线B D 1的中点，点Q 在棱1CC 上．(1)当||||21QC Q C =时，求∣PQ ∣；(2)当点Q 在棱1CC 上移动时，求∣PQ ∣的最小值．考点2 两点问距离公式的应用命题规律利用两点间距离公式求点的坐标或动点的轨迹．[例2] 正方形ABCD 、ABEF 的边长都是l ，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若⋅<<==)20(a a BN CM(1)求MN 的长；(2)求a 为何值时，MN 的长最小．[答案] ,ABEF ABCD 面面⊥ ,AB ABEF ABCD =与平面面⊥⊥AB BE AB ,,CBBE BC AB ABC BE 、、面,⊥∴两两互相垂直.∴ 以B 为原点，以B 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和x 轴，建立如图2 -4-2-4所示的空间直角坐标系.则点),221,0,22(a a M -点⋅)0,22,22(a a N 222)0221()220()2222(||--+-+-=∴a a a a MN ⋅+-=+-=21)22(1222a a a ∴ 当22=a 时，∣MN ∣最短为,22此时，M 、N 恰为 AC 、BF 的中点． [点拨] 该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解应该说是最简捷的方法．方法的对照比较，体现出了坐标法解题的优越性．母题迁移 2．在三棱柱///O B A ABO -中，,90 =∠AOB 侧棱⊥/OO 面.2OA ,/===OO OB OAB (1)若C 为线段A O /的中点，在线段/BB 上求一点E ，使∣EC ∣最小；(2)若E 为线段/BB 的中点，在A O /上找一点C ，使|EC|最小，优化分层测讯学业水平测试1．在长方体1111D C B A ABCD -中，若已知点,0,4()0,0,0(A D 、),3,0,4()0,2,4()01A B 、、则对角线1AC 的长为( )．9.A 29.B 5.C 62.D2．已知两点),1,3,1()2,0,1(-B A 、点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点的坐标为( )．)0,0,3.(-A )0,3,0.(-B )3,0,0.(-C )3,0,0.(D3．在空间直角坐标系中，已知正方体1111D C B A ABCD -的顶点A （3，-1，2），其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于4．写出与原点距离等于2的点的坐标所满足的条件5．设点.11||),,2,6()1,7,4(=-AB z B A 、求z ．6．在x 轴上求与点A （4，-1，7）和点B （-3，5，-2）等距离的点，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．点M(2，-3，5)到x 轴的距离(....).=d2225)3(2.+-+A 25)3(.+-B 22)3(2.-+C 2252.+D2．已知点),1,0,2()2,1,1()1,1,2(C B A 、、则下列说法正确的是( )．A.A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B.A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C.A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D.A 、B 、C 三点不能构成任何三角形3．若点P(x ，y ， z)满足,2)1()1()1(222=++-+-z y x 则点P 在( )．A ．以点（1，1，-1）为球心，半径为2的球上B ．以点（1，1，-1）为中心，棱长为2的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，半径为2的球上D ．无法确定4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A （-6，-6，-6）B(8，8，8)，且两点不在正方体的同一个面上，则正方体的对角线长为( )． 314.A 143.B 425.C 542.D5．若空间一点P 到xOy 平面、yoz 平面、xoz 平面的距离之比是3：4：5，则满足条件的点P 的个数为( )．A.l 个B.2个C.4个D.8个6．已知点),2,2,1().12,5,(x x B x x x A -+--当∣AB ∣取最小值时，x 的值为( )．19.A 78.-B 78.C 1419.D 7．已知点)1,2,(x P 到点)1,1,2()2,1,1(R Q 、的距离相等，则x 的值为( )．21.A 1.B 23.C 2.D 8．到点A （-1，-1，-1）、B(l ，1，1)的距离相等的点C （x ，y ，z ）的坐标满足( )． 1.-=++z y x A 0.=++z y x B 1.=++z y x C 4.=++z y x D二、填空题（5分x4 =20分）9．在三角形ABC 中，若三个顶点坐标分别为,2()3,2,1(B A 、-),3,25,21()3,2C 、-则AB 边上的中线CD 的长是10.已知空间两点),3,2,2()1,1,3(---B A 、在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 的距离相等，则C 点的坐标是11．已知□ABCD 的两个顶点)2,3,1()5,3,2(---B A 、及它的对角线的交点E(4，-1，7)，则顶点C 的坐标为 ，D 的坐标为 。
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式两点之间的距离公式是计算两个点之间的直线距离的数学公式。
这个公式可以用于在二维或三维空间中计算两个点之间的直线距离。
在平面上，我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
在三维空间中，我们可以使用三维勾股定理来计算。
下面我将详细介绍这两个公式。
平面上两点之间距离的计算公式是勾股定理。
假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过两个点的坐标来计算它们之间的距离。
首先，我们需要计算x轴上的差值和y轴上的差值，即(x2-x1)和(y2-y1)。
然后，我们将这两个差值的平方相加，即(x2-x1)²+(y2-y1)²。
最后，我们对这个和进行开方运算，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，得到两点之间的距离。
三维空间中两点之间的距离可以使用三维勾股定理来计算。
假设我们有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)这个公式与平面上的公式类似，但是在第三维上增加了一个项(z2-z1)²。
我们需要计算x轴、y轴和z轴上的差值的平方和，即(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²，然后对这个和进行开方运算，得到两点之间的距离。
这些距离公式对于各种应用非常有用。
比如，在地图应用程序中，可以使用这些公式计算两个地点之间的直线距离。
在计算机图形学中，可以使用这些公式计算两个物体之间的距离，以便进行碰撞检测或路径规划等操作。
总结起来，在平面上计算两点之间的距离可以使用勾股定理，而在三维空间中计算两点之间的距离可以使用三维勾股定理。
这些公式可以通过两个点的坐标来计算它们之间的直线距离，对于许多实际应用非常有用。
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式在几何学和数学中，计算两点之间的距离是一项常见的任务。
无论是在二维还是三维空间，我们都可以使用距离公式来计算两个点之间的直线距离。
本文将介绍在平面和空间中计算两点之间距离的常见公式。
平面上的两点距离公式在平面几何中，有两个常见的公式用于计算两个点之间的距离：欧几里得距离和曼哈顿距离。
1. 欧几里得距离欧几里得距离也称为直线距离或欧氏距离，是平面上两点之间的最短直线距离。
设平面上的两个点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），那么欧几里得距离公式为：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)2. 曼哈顿距离曼哈顿距离是平面上两点之间沿着正交轴线的距离之和。
它得名于纽约曼哈顿的街道网格系统。
设平面上的两个点为A（x1，y1）和B（x2，y2），那么曼哈顿距离公式为：距离 = |x2 - x1| + |y2 - y1|空间中的两点距离公式在三维空间中计算两个点之间的距离有两个常用的公式：欧几里得距离和曼哈顿距离。
1. 欧几里得距离欧几里得距离在三维空间中的计算与在平面上类似。
我们将两个点分别表示为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2）。
欧几里得距离公式为：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)2. 曼哈顿距离曼哈顿距离在三维空间中的计算方式与平面上的曼哈顿距离相似。
设两个点为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则曼哈顿距离公式为：距离 = |x2 - x1| + |y2 - y1| + |z2 - z1|总结在几何学和数学中，计算两点之间的距离是一项常见的任务。
在平面上，我们可以使用欧几里得距离和曼哈顿距离公式来计算两点之间的距离。
在三维空间中，我们同样可以使用这两个公式来计算两点之间的距离。
无论在平面还是空间中，这些公式都通过数学计算帮助我们快速获得两点之间的直线距离或沿轴线的距离之和。
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空间两点间的距离公式
教学目标：
1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点
两点间距离公式的应用
教学难点
利用公式解决空间几何问题
教学过程
一、复习
1、空间点的坐标的特点
2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)
________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________
二、新课
1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP|
|OP|=___________________________
2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2|
|P 1P 2|=___________________________
线段P 1P 2中点坐标公式_________________
例：()()间的距离求空间两点1,0,6523
21--，P ，，P
练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知∆
（1）求。
ABC 中最短边的边长
∆ （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。
练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________
2、求P ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛66,33,22到原点的距离。
3、()()。
a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210=
4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。
三、小结。