第5章频域分析法习题解答
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第5章习题解答
第5章频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。
频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。
频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。
2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。
频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。
各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。
开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。
3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。
开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。
对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。
4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。
利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。
稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。
第5章-线性系统的频域分析法
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec
自动控制原理：第5章 频域分析法 (2)
自动控制原理
12
1. 典型环节频率特性的极坐标图
（1）比例环节。比例环节的幅频特性和相频特性都是常量， 分别等于K及0°，不随频率w 而变化。
（1）比例环节 比例环节的频率特性函数为
G (jw) =K∠0° （K >0） 由于幅值和相角都不随频率w变化，所以，对数幅频特性 是一条平行于横轴且纵坐标值为20lg|G(jw)|=20lgK(dB)的直线。 对数相频特性恒为0°。
自动控制原理
21
（2）积分环节和微分环节
1）积分环节 积分环节的传递函数为
配方后可得
(U K ) 2 V 2 ( K ) 2
2
2
所以，在复平面上G(jw)为一圆心在(K/2，0)点， 半径为K/2的半圆，如图下半部分所示。当-∞w 0时，因为G(-jw)与G(jw)互为共轭关系，关于实 轴对称，即如上半圆所示。
自动控制原理
14
（4）一阶微分环节 （5）振荡环节
（6）延滞环节
自动控制原理
16
3.系统开环频率特性的极坐标图
系统的开环传递函数是由一系列典型环节组成的，因此， 系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积，即
k
G( j) G1( j)G2 ( j)Gk ( j) Gi ( j)
i1
若写成极坐标形式，为
k
k
ji
G( j) Gi ( j) e i1
(4) 绘制对数幅频特性的其它渐近线； (5) 给出不同w值，计算对应的φi ，再进行代数相加， 画出系统的开环相频特性曲线。
第五章 线性系统的频域分析法习题
501第五章 线性系统的频域分析法5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为)](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
5-2 若系统的单位阶跃响应t t e e t c 948.08.11)(--+-=，试确定系统的频率特性。
解：s s s s C 1361336)(2++=，361336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=；2/122/12)81()16(36|)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。
或：)(2.7)()(94t t e e t ct g ---== ；361336)]([)(2++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号)452cos()30sin()(--+=t t t r作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。
解：21)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()(+-+=t t t r6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ；7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。
5-4 典型二阶系统的开环传递函数)2()(2n ns s s G ωζω+=， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为)45sin(2)( -=t t c ss ，试确定系统参数n ω和ζ。
线性系统的频域分析法试题答案
线性系统的频域分析法【课后自测】5-1 频率特性有哪几种分类方法？解：幅频特性，相频特性，实频特性和虚频特性。
5-2 采用半对数坐标纸有哪些优点？解：可以简化频率特性的绘制过程，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并可以用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。
5-3 从伯德图上看，一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是否有可能相抵消。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个怎样的环节（串联）可以完全消除这种影响，它的条件是什么？解：一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是有可能相抵消；。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个一阶微分环节（串联）可以完全消除这种影响，两个环节的时间常数相同即可。
5-5 为什么要求在ωc 附近L (ω)的斜率为-20dB/dec ？解：目的是保证系统稳定性，若为-40 dB/dec ，则所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性将难以满足；若该频率更负，闭环系统将难以稳定，因而通常取-20dB/dec 。
5-6 已知放大器的传递函数为()1K G s Ts =+ 并测得ω=1 rad/s、幅频A =φ=-π/4。
试问放大系数K 及时间常数T 各为多少？解：频率特性为：G (jω)=KjωT +1幅频和相频分别为：{|G （j1）|=√1+T2=12√2⁄φ(1)=−arctanT =−π4⁄ 得到：K =12，T =15-7 当频率ω1=2 rad/s 、ω2=20 rad/s 时， 试确定下列传递函数的幅值和相角： 1210(1)1(2)(0.11)G s G s s ==+解：（1）G 1(jω)=10jω=-j 10ω|G 1(jω)|=10ωφ1(ω)=−90°ω1=2 rad/s 时，|G 1(jω)|=102=5 ，φ1(ω)=−90° ω1=20 rad/s 时，|G 1(jω)|=1020=0.5 ，φ1(ω)=−90° （2）G 2(jω)=1jω(0.1jω+1)=1jω-0.1ω2|G 2(jω)|=ω√1+0.01ω2φ2(ω)=arctan 10ωω1=2 rad/s 时，|G 2(jω)|=12√1+0.01×22=0.49φ2(ω)=arctan 102=78.7°ω1=20 rad/s 时，|G 2(jω)|=120√1+0.01×202=0.02φ2(ω)=arctan 1020=26.6°5-8 设单位反馈系统的传递函数为10()1G s s =+ 当把下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。
自动控制原理第五章频域分析法
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
频域分析法.
(5-1)
第5章 频域分析法
其中， 输出与输入的振幅比随ω的变化关系称为幅 频特性函数A(ω)， 是G(jω)的模,
A( ) A G( j )
(5-2)
第5章 频域分析法
5.2.3 微分环节
微分环节的传递函数为G(s)=s， 故其频率特性函 数为
G(jω)=jω=ωej90°
（5-1４）
1.极坐标频率特性（幅相频率特性）
A(ω)=ω, φ(ω)=90°
（5-15）
可见， 微分环节的幅频特性与频率ω相等, 相频特 性恒为90°
第5章 频域分析法
2. 对数坐标频率特性（Bode图）
如上所述， G(jω)可以改写为
(5-4)
G(jω)=|G(jω)|ejφ(ω)
(5-5)
第, G( j ) 1 , () arctan T 1 T 2 2
第5章 频域分析法
5.1.2 频率特性的图示方法 频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0
L(ω)=20 lgA(ω)=20 lgω=20μ,
φ(ω)=90°
（5-1６）
可见， 微分环节的对数幅频特性L(ω)是μ（即lgω） 的一次线性函数， 其直线斜率为20 dB/dec， 直线在 ω=1时与横轴相交, φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于 横轴的直线， 如图5-９(ｂ)所示。
第5章 频域分析法
第5章 频域分析法
频率特性函数可以表示成
G(jω)=R(ω)+jI(ω)
代数式
=|G(jω)|∠G(jω) 极坐标式
=A(jω)ejφ(ω)
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
自动控制理论第五章频率分析法1.详解
5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
第5章 习题解答
− e− j3ω )
(d) f4 (t) = − f1(t −1) − f1(t − 3) = − f2 (t)
所以
F4 ( jω)
=
−Sa 2 (ω )(e− jω 2
+ e − j3ω )
5-3 试写出下列信号的频谱函数, ω 0 为常数。 (1) f (t) = sin ω0t + cosω0 (t − t0 ) (2) f (t) = e−2t cosω0t ⋅ u(t)
∫0
(6) F{e−αtu(−t)} = e−αte− jωtdt = −
1
, α <0
−∞
α + jω
(7) f (−5t) ↔ 1 F (− j ω ) , f (5 − 5t) = f (−5(t −1)) ↔ 1 F (− j ω )e− jω
5
5
5
5
(8)
F{(t − 2) f (t)} =
(b) fb (t) = 2u(−t) + 2 p1 (t − 0.5) + p1 (t −1.5)
所以
Fb ( jω) = 2(πδ (ω) −
1 ) + 2Sa(ω / 2)e− j0.5ω + Sa(ω / 2)e− j1.5ω jω
(c) f (t) = 2 p1 (t − 0.5) + p1 (t −1.5) 所以 F ( jω) = 2Sa(ω / 2)e− j0.5ω + Sa(ω / 2)e− j1.5ω
所以
F3 (
jω)
=
F(
jω)e− jω
+
F1(
jω)e jω
=
F(
jω)e− jω
自动控制原理第5章
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 sin(t arctanT ) 1 2T 2
1
e jarctanT
j 1
e 1 jT
1 2T 2
jT
1
1 jT
RC网络的频率特性
只要把传递函数式中的s以j置换，就可以 得到频率特性，即
1
1
1 jT 1 Ts sj
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频特性：( ) arctan 特征点： 1 , L( ) 3dB, 45
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
一阶微分环节的伯德图 幅相曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
六、振荡环节
传递函数： 频率特性：
G(s)
2 n
s2 2n s n2
1
s
n
2
2 n
s1
G( j
M ( ) G(j )
G1(j ) G2 (j ) G3(j ) M1( ) M2 ( ) M3 ( )
( ) G(j ) G1(j ) G2(j ) G3(j ) 1( ) 2( ) 3( )
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1.开环幅相特性曲线的绘制
例 某0型单位负反馈控制系统，系统开环
频率特性： G(j) 2 j 2 2 j 1
对数幅频特性：
L() 20lg G j 20lg 1 22 2 2 2
对数相频特性：
arctan
1
2 2
2
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线: 0时，M 1, 0 ; 时，M =, =180
自动控制原理
第五章 频域分析
第五章 线性系统的频域分析法单元测试题（A ）一、填空题：1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是_ __。
2、控制系统中的频率特性反映了 信号作用下系统响应的性能。
3、已知传递函数ss G 10)(=，其对应的幅频特性A(ω)=_ _，相频特性φ(ω)=___ ___。
4、常用的频率特性图示方法有极坐标图示法和_ _图示法。
5、对数频率特性曲线由对数 曲线和对数 曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。
6、0型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
7、I 型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
8、Ⅱ型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
9、除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于 。
10、传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于 0dB 线对称，对数相频曲线关于 线对称。
11、惯性环节的对数幅频渐进特性曲线在交接频率处误差最大，约为 。
12、开环幅相曲线的起点，取决于 和系统积分或微分环节的个数。
13、开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中 和 的阶次和。
14、当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的 。
15、复变函数F(s)的零点为闭环传递函数的 ，F(s)的极点为开环传递函数的 。
16、系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为 。
17、系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为 。
18、延时环节的奈氏曲线为一个 。
19、ω从0变化到＋∞时，惯性环节的频率特性极坐标图在__ _象限，形状为___ ___。
20、比例环节的对数幅频特性L(ω)＝ dB二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。
）1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是( )。
A.脉冲函数B.斜坡函数C.阶跃函数D.正弦函数2、比例环节的频率特性相位移θ(ω)=( )。
《信号与系统》第五章知识要点+典型例题
是双边拉氏变换收敛域的一种特殊情况。 3、 常用函数单边拉氏变换对 表 5.1 列出了最常使用函数的单边拉氏变换对。 4、单边拉氏变换的主要性质 掌握拉氏变换的性质如图掌握傅里叶变换性质一样重要，应用性质并结合常用函数的 拉氏变换对就可以简便地求复杂信号的拉氏变换，或由复杂象函数求原函数。表 5.2 列出了 最常用的单边拉氏变换的性质。
n
（5.3）
式中， s = pi 为 F ( s ) 的第 i 个单阶实极点，系数 K i 由下式确定
K i = (s - pi ) F (s )
b.
s =p i
（5.4）
F ( s ) 有单阶共轭极点
设 s = -a ± jb 为 F ( s ) 的一对共轭极点。 求逆变换时把 F ( s ) 首先凑成类似余弦函数
2
掌握拉氏变换的重要性质，也应从性质的基本形式、应用该性质的基本思路及应用中 应注意的问题这样三个方面来掌握。许多性质的应用思路及注意的问题都类同傅里叶变换， 这里不再赘述。 表 5.1 编号 1 2 3 4 5 时域函数 f (t ) 常用信号的单边拉氏变换对 （t ³0 ） 象函数 F ( s ) 1
s
¥ s
f ( )d
F ( s ) 为真分式
f ( ) lim sF ( s ),
s0
s 0 在sF ( s )的收敛域内
5、常用的拉氏逆变换的求解方法 逆变换积分公式并不常用于求解拉氏逆变换，而经常使用的有以下几种。 （1） 查表法 若提供拉氏变换对表，可“对号入座” ，一一查找。但应试时，一不提供表， 二不准翻书查看。我们需要记住一些常用信号的拉氏变换对，结合拉氏变换的重要性质，加 以套用，求得拉氏逆变换。 （2） 部分分式展开法 该方法要求 F ( s ) 为有理真分式。若 F ( s ) 为假分式，应先利用多项式相除， 把 F ( s ) 表示成一个多项式加真分式的形式。对于多项式部分，对应的逆变换是非常容易求 得的，它们是冲激函数 (t ) 及其各阶导数项之和。例如
控制工程基础(第五章,频域分析法)
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
自动控制原理考试试题第五章习题及答案-2
第五章 线性系统的频域分析与校正练习题及答案—-25—12 已知)(1s G 、)(2s G 和)(3s G 均为最小相角传递函数,其近似对数幅频特性曲线如图5—79所示。
试概略绘制传递函数 G s G s G s G s G s 412231()()()()()=+的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线.解:（1) L K 11204511()lg .ω== ∴=K 1180则： G s K 11()=(2） G s K s s 22081()(.)=+20201022lg /lg K K ω== ， K 21= （3)L K K 333202001110()lg lg .ωω===s s K s G K 9)(,9111.01333====∴（4） G s G G G G 412231()=+ 将G G G 123,,代入得:G s s s 41801251()(.)=+对数频率特性曲线如图解5—12（a ）所示，幅相特性曲线如图解5—12（b)所示:图解5—12 (a） Bode图 (b） Nyquist图5-13试根据奈氏判据，判断题5—80图(1）～（10）所示曲线对应闭环系统的稳定性。
已知曲线（1）~(10）对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。
题号开环传递函数P N NPZ2-=闭环稳定性备注1 G sKT s T s T s()()()()=+++1231110 -1 2 不稳定2 G sKs T s T s()()()=++12110 0 0 稳定3 G sKs Ts()()=+210 —1 2 不稳定4 G s K T s s T s T T ()()()()=++>12212110 0 0 稳定 5 G s K s ()=30 -1 2 不稳定 6 G s K T s T s s ()()()=++123110 0 0 稳定 7 G s K T s T s s T s T s T s T s ()()()()()()()=++++++5612341111110 0 0 稳定 8 G s KT s K ()()=->1111 1/2 0 稳定 9 G s KT s K ()()=-<1111 0 1 不稳定 10G s Ks Ts ()()=-11—1/22不稳定5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据,确定其闭环稳定的条件：)1)(1()(++=s Ts s Ks G ； )0,(>T K（1）2=T 时，K 值的范围； (2）10=K 时，T 值的范围； (3）T K ,值的范围.解 [])()()1)(1()1()1()1)(1()(2222ωωωωωωωωωωωY X T T j T K jT j j K j G +=++-++-=++=令 0)(=ωY ,解出T1=ω,代入)(ωX 表达式并令其绝对值小于111)1(<+=T KTT X得出： T T K +<<10 或 110-<<K T（1)2=T 时,230<<K ;（2）10=K 时，910<<T ；（3）T K ,值的范围如图解5—14中阴影部分所示。
第5章频域分析法习题解答
第5章频域分析法5.1 学习要点1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法；2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点；3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点；4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法；5 对数频率特性三频段与系统性能的关系；6 计算频域参数与性能指标；5.2 思考与习题祥解题5.1 判断下列概念的正确性ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同一(1) 将频率为频率的。
M仅与阻尼比ξ有关。
(2) 对于典型二阶系统，谐振峰值p(3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。
(4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。
(5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。
(6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。
(8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。
(10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。
(11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。
(12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。
(13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。
(14) 某系统稳定的开环放大系数25K<，这是一个条件稳定系统。
(15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。
(16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。
(17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。
(18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。
M和频带宽BW的(19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值p信息。
(20) Bode 图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。
自动控制原理第五章 线性系统的频域分析法-5-6
5.6 控制系统的频域校正方法
控
结合校正装置，简要介绍串联校正的设计方法。常
制 原
用校正装置分为无源和有源两大类。
理 1. 串联无源校正 包括无源超前、无源滞后和无源滞
后-超前校正三种。无源校正网络由电阻、电容构成。
⑴ 串联无源超前校正
超前校正网络实现形式
Gc
(s)
U U
c r
( (
s s
) )
a4
制 校验相角裕度
原 理
m
arctan
a 21 a=源自arctan3 4
=36.9
=180 +(c)+m 180 167.2 36.9 49.7
达到相角裕度的要求。由于选择超前校正，校正后开
环幅相曲线与负实轴仍无交点，故幅值裕度无穷大，
自然满足要求。
再由
m
T
1 a
=4.4
T 0.114 s
串联超前校正设计步骤
R(s)
K C(s)
例5.6-1 图示反馈系统
-
s(s 1)
要求系统在 r(t)=t 1(t) 时,
稳态误差 e ss 0 .1 ra d ,截止频率 c 4 .4 ra d / s 相角
裕度 4 5 幅值裕度 h d B 1 0 d B ,试设计串联无
源超前网络。
5
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自 解：① 设计开环增益，满足稳态要求
动
控 未校正系统为Ⅰ型系统。在单位斜坡输入下，由
制
1
原 理
ess K 0.1
K 10
T 为a的减函数 m 为a的增函数
② 校验待校正系统频域指标 由 L(m) 为a的增函数
自控-第五章频域分析法习题课
1 已知最小相位系统的开环渐近对数幅频特性如图所示， （1） 试求该系统的开环传递函数；（2） 试绘制其相应的对数相频特性曲线；)L解：（1） 由于对数幅频特性的低频段传递函数为()vs Ks G =1，对数幅频特性为一直线，其斜率为－20v dB/dec ，可知该开环系统有一个微分环节，故低频段传递函数为()Ks s G =1，低频段曲线过点（0.01，－10），由对数幅值的定义有：()()()7.311000,1001.0lg 2001.0,lg 20lg 20111==-====K K j L j K j G L ωωω对数幅频特性有二个转折频率，斜率都变化了－20v dB/dec ，故开环系统还有二个惯性环节，即开环系统的传递函数为：()()()1121++=s T s T Kss G其中：101.011,110001.011,122221111========ωωωωT T T T所以开环系统的传递函数为：()()()11011007.31++=s s ss G（2）相应的对数相频特性曲线()∞→==→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=ωωωωωωπωϕ1.001.00903.393.399010arctan 100arctan 200其相应的对数相频特性曲线如下图所示：)2 设某最小相位系统的开环渐近对数幅频特性如图所示，试求系统的开环传递函数。
解：低频段曲线的斜率为-40dB/dec ，则开环系统应该有二个积分环节，所以低频段曲线的传递函数为：()21s ks G =，在频率ω=0.5处曲线发生了一次转折，斜率变化为+20dB/dec ，所以在该处引入了一一阶微分环节，在频率ω=2处曲线发生了一次转折，斜率变化为-20dB/dec ，所以在该处引入了一惯性环节，所以开环系统的传递函数的形式为：()()()11221++=s T s s T k s G ，其中501212211.,====ωT ωT 又()01='L ，在频率ω=1处惯性环节的对数幅值为零，所以此时对应的传递函数为：()()212s s k s G +='，()()()212ωj ωj k ωj G +='，()()()()5505201122012012===+==k k j j k j G L ,lg lglg '' 所以开环系统的传递函数为()()()15051252++=s s s s G .。
自控第5章题解
第五章 频域分析法5-1 设单位反馈控制系统开环传递函数14)(+=s s G ，当将)45cos(2)602sin()(︒--︒+=t t t r 作用于闭环系统时，求其稳态输出。
[解] 44)(+=s s G ∴ 12.08.054)(1)()(+=+=+=s S s G s G s φ 令 ωj s =则)()(12.08.0)(ωϕωωωφj e A j j =+=104.08.0)(2+=ωωA )2.0()(1ωωϕ--=tg当)()()45cos(2)602sin()(21t r t r t t t r +=︒--︒+=作用于系统时，由叠加原理可得系统的稳态输出21ss ss ss C C C +=。
当)602sin()(1︒+=t t r 时，1=Ar 2=ω ︒=60r ϕ 则 74.0077.18.0116.08.01)2.0(8.0)(222==+=+⨯===ωωωωA ︒-=-=⨯-=--=8.214.022.0112)(tg tg ωωϕ∴12sin()()sin(26021.8)0.743sin(238.2)ss c r C A t Ar A t t ωωϕϕω==++=⋅+-=+︒当 )45cos(2)(2︒-=t t r 时，2=r A 1=ω ︒-=45r ϕ 784.002.18.004.18.01)2.0(8.0)(121===+===ωωωωA ︒-=-=-=3.112.0)(11tg ωωϕ)]7.33sin(57.1[)3.56cos(57.1)3.1145cos(784.02))(45cos()()45cos(2112︒+=︒-=︒-︒-⨯+︒-⋅=+︒-===t C t t t A A t A C ss r c ss 或ωωωϕωϕ∴ )3.56cos(57.1)2.382sin(743.021︒--︒+=+=t t C C C ss ss ss5-2 试求(1) 410)(+=s s G (2) 4()(21)G s s s =+ (3) 1)1()(++=Ts s K s G τ(K >1, τ>T )的实频特性)(ωX 、虚频特性)(ωY 、幅频特性)(ωA 、相频特性)(ωϕ。
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第5章频域分析法学习要点1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法；2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点；3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点；4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法；5 对数频率特性三频段与系统性能的关系；6 计算频域参数与性能指标；思考与习题祥解题判断下列概念的正确性ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同(1) 将频率为一频率的。
M仅与阻尼比ξ有关。
(2) 对于典型二阶系统，谐振峰值p(3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。
(4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。
(5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。
(6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。
(8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。
(10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。
(11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。
(12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。
(13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。
(14) 某系统稳定的开环放大系数25K<，这是一个条件稳定系统。
(15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。
(16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。
(17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。
(18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。
M和频带宽BW(19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值p的信息。
(20) Bode 图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。
(T) (F)答：(1) 正确 (2) 正确 (3) 正确 (4) 正确 (5) 正确 (6) 正确 (7) 正确 (8) 错误 (9) 正确 (10) 错误 (11) 正确 (12) 正确 (13) 正确 (14) 错误 (15) 正确 (16) 正确 (17) 正确 (18) 正确 (19) 正确 (20) 正确题 已知单位负反馈系统的开环传递函数为110)(+=s s G ，求下列参考输入下系统的稳态误差。
(1) )30sin()(1 +=t t r (2) )452cos()(2 -=t t r(3) )452cos()30sin()(3 --+=t t t r 解：根据单位负反馈系统稳态误差的定义，稳态误差传递函数()1111()()1()1111111e E s s s G s s R s G s s ++====⋅+++ 系统稳态误差传递函数的频率特性为11()11111e j G j j ωωω+=⋅+ 稳态误差传递函数的幅频特性111|()|||1111111e j G j j ωωω+=⋅=+ 稳态误差传递函数的相频特性()arctan arctan()11e G j ωωω∠=-又根据频率特性的定义，系统的稳态误差频率特性ϕωωωωj e e j E j R j G j E |)(|)()()(==其中)()()(|)(||)(||)()(||)(|ωωωωωωωωj R j G j E j R j G j R j G j E e e e ∠+∠=∠==所以(1) 当 )30sin()(1 +=t t r 系统稳态误差传递函数的频率特性为1111()|111111e j G j j ωω=+=⋅+ 稳态误差传递函数的幅频特性6111)111(11111|111111111||)1(|2222=++⋅=++⋅=j j j G e 稳态误差传递函数的相频特性81.3919.545)111arctan(1arctan )1(=-=-=∠j G e所以1111|()|()||()|1()()()39.813069.81e e E j G j R j E j G j R j ωωωωωω===∠=∠+∠=+= 系统的稳态误差)81.69sin(611)(1 +=t t E(2) 当 )1352sin()]452(90sin[)452cos()(2 +-=--=-=t t t t r)452sin()]1352(180sin[)1352sin(+=--=--=t t t系统稳态误差传递函数的频率特性为2121()|211111e j G j j ωω=+=⋅+ 稳态误差传递函数的幅频特性1|(2)|11e G j ==稳态误差传递函数的相频特性2(2)arctan 2arctan()63.410.353.111e G j ∠=-=-=所以2222|()||()||()|1()()()53.14598.1e e E j G j R j E j G j R j ωωωωωω===∠=∠+∠=+= 系统的稳态误差2()98.1)E t t =+ (3) 当 )452cos()30sin()(3 --+=t t t r线性系统满足叠加原理，系统的稳态误差312()()()69.81)sin(98.1)25E t E t E t t t =-=+-+题 试绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。
（1）)2,1,10()(===-N K Ks s G N（2）11.010)(±=s s G（3）)2,1,10()(===N K Ks s G N（4）)11.0(10)(±=s s G（5）)4(6)(+=s s s G（6）)4)(1(6)(++=s s s G（7）)20()5()(++=s s s G（8）)01.0(1.0)(++=s s s s G（9）)707.0,4.0,10,1(121)(22==++=ξξT Ts s T s G （10）12)12.0(40)(2+++=s s s s G解：（1）)2,1,10()(===-N K Ks s G NdB K 2010lg 20lg 20==当1=N 时，s s G /10)(=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(a). 当2=N 时，2/10)(s s G =，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(b).(L ω(ϕω对数频率特性__幅相频率特性图(a). 一个积分环节(Lω(ϕω对数频率特性__幅相频率特性图(b) 两个积分环节（2）11.010)(±=ssG转折频率101.011==ω，dBK2010lg20lg20==。
当11.010)(+=ssG时，)1.0arctan()(ωωϕ-=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(a).当11.010)(-=ssG时，)1.0arctan(180)(ωωϕ+-= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(b).对数频率特性幅相频率特性(Lω(ϕω__图(a) 惯性环节对数频率特性幅相频率特性(L ω(ϕω___图(b) 不稳定的惯性环节（3）)2,1,10()(===N K Ks s G NdB K 2010lg 20lg20==当1=N 时，s s G 10)(=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(a). 当2=N 时，210)(s s G =，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(b).(L ω –(ϕω对数频率特性幅相频率特性图(a). 一个微分环节(Lω–(ϕω对数频率特性–幅相频率特性图(b) 两个微分环节（4）)11.0(10)(±=ssG转折频率101.011==ω，dBK2010lg20lg20==。
当)11.0(10)(+=ssG时，)1.0arctan()(ωωϕ=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(a).当)11.0(10)(-=ssG时，)1.0arctan(180)(ωωϕ-=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(b).对数频率特性幅相频率特性(Lω(ϕω图(a) 一阶比例微分环节对数频率特性幅相频率特性(L ω(ϕω图(b) 不稳定的一阶比例微分环节（5）)14(5.1)4(6)(+=+=s s s s s G 转折频率41=ω，dB K 5.35.1lg 20lg 20==。
)4/arctan(90)(ωωϕ--= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图.(L ω(ϕω对数频率特性__幅相频率特性_图 Ⅰ型二阶系统（6）)14)(1(5.1)4)(1(6)(++=++=s s s s s G 转折频率11=ω，42=ω，dB K 5.35.1lg 20lg 20==。
)4/arctan(arctan )(ωωωϕ--=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图.(Lω(ϕω对数频率特性__幅相频率特性图二阶系统（7）)120()15(25.0)20()5()(++=++=sssssG转折频率51=ω，202=ω，dBK1225.0lg20lg20-==。
)20/arctan()5/arctan()(ωωωϕ-=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图.(Lω(ϕω对数频率特性幅相频率特性__图图具有零点的一阶系统（8）)101.0()11.0(10)01.0(1.0)(++=++=sssssssG转折频率01.01=ω，1.02=ω，dBK2010lg20lg20==。
)1.0/arctan()01.0/arctan(90)(ωωωϕ+--= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图.(Lω(ϕω对数频率特性幅相频率特性__图具有零点的二阶系统（9）)707.0,4.0,10,1(121)(22==++=ξξTTssTsG当1=T，4.0=ξ时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(a).当10=T，707.0=ξ时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图(b).幅相频率特性对数频率特性(Lω(ϕω_图(a) 二阶振荡环节(Lω(ϕω_幅相频率特性对数频率特性图(b) 二阶振荡环节（10）12)12.0(40)(2+++=ssssG转折频率11=ω，52=ω，dBK3240lg20lg20==。
)12arctan()2.0arctan()(2ωωωωϕ--=，7.78903.11)112arctan()2.0arctan()1(-=-=--=ϕ1.1121.14331)916arctan()6.0arctan()3(-=-=--=ϕ3.1123.15745)25110arctan()1arctan()5(-=-=--=ϕ2.1056.1684.63)100120arctan()2arctan()10(-=-=--=ϕ4.937.1773.84)25001100arctan()10arctan()50(-=-=--=ϕ当ω由∞→0，)(ωϕ变化趋势由90180900-→-→-→，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图.()Lω(ϕω幅相频率特性对数频率特性图具有零点的二阶系统题试绘出下列系统的开环传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。