换底公式

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换底公式

（ 1 ）： log2 1 0 ？（2）： log2 2 1 ?
对数基本性质：
loga 1 0 loga a 1
b
对数基本性质：
2 2 （3）： log2 4 log ? 2 2log2 2 2
对数恒等式：
b loga a
log2 5 Байду номын сангаас？能否用确切的实数表示出来
能否用确切的实数表示出来 log2 5 ？
4：化简求值：（ log2 3 log4 9 log8 27 ...... log2n 3n ) log9 n 32
2
7 log 48 49 log18 5 9 log 49 7 18 9 log18 5 log log18 9 74 log18log 9 log log 3 16 18 4 3 log
7
7
18 2 log18 2 2(log18 ) 9 2(log18 18 log18 9) 16 2(1 a )
设
x log 25 思路：对数运算：对于底数是 10的常用对数和底数是e的对数式与指数式的互化： loga N b ab N 2 x 自然对数，我们可以利用计算器去求得其确切值，所以对 5
于2为底的对数我们是否可以转化为10或e为底的对数？左右两边取10为底的对数，值不变 lg 2 x lg 5
x lg 2 lg 5
loga 对数运算性质：
M n n loga M
lg 5 0.69897 x lg 2 0.30103
3.32
lg 5 log2 5 lg 2
logb N ？能否换成a 底数的对数？
logb N ？能否换成a 底数的对数？

§4.2 换底公式

§4.2 换底公式【学习目标】 1、掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。

2、培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力。

【学习重点】：对数运算的性质与换底公式的应用【学习难点】：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值预习案Ⅰ、相关知识用常用对数表示：2log 152lg15:log 15,15lg 2lg15lg 2t t t t ==∴=∴=分析设则2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想㏒b N=bN a a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0). ⒈ 换底公式：aN N m m a log log log = ( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aN N m m a log log log = 两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a2︒ b mn b a n a m log log =（ a , b > 0且均不为1） ()n n a a :logb =log b 特例请用换底公式证明上面两个推论：Ⅱ、预习自测⑴ 9log 27 ⑵ 827log 9.log 322．计算25100lg 20log +的结果是（）A ．5B ．10C ．2D ．43．若3log log 5b aa ⋅=，则b 等于（）A ．3aB ．5aC ．53D ．35探究案Ⅰ、知识探究1．设a 、b 、c 都是正数，且346a b c ==，那么（）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+ D ．212c a b =+2．计算：（1）2549235log log g lo ⋅⋅=（2）1164g 2791log ()4lo +=3．已知35log ,54b a ==，求1225log 的值. 1．计算训练案1. ⑴ 21log log 9log 7log 414923=⋅⋅x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 52. 已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）3. 已知3632==n m ，则=+n m 114. 求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅。

换底公式

(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;

换底公式练习

专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝【典例应用】【例1】计算：log1627log8132.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245..【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( )2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( )A.b a B ．ab C ．a b D ．b a 3．式子log 916·log 881的值为( )A ．18B ．118 C.83D ．384．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A ．a －bB ．ab C ．ab D ．a ＋b5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92 6．log 332·log 227＝________. 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519.专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝【典例应用】【例1】计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】已知log 189＝a,18b ＝36[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ，又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a .法二：∵18b ＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a . 所以1＋log 27＝1a . 所以log 27＝1a －1. 由对数换底公式，得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝2(1－a )a . 法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)，即log27＝2(1－a )a .(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b . 【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．ab C ．a b D ．b a B [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118 C.83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.]4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a b C ．abD ．a ＋bB [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝ab .]5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]6．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.] 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.1 [因为2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1.]8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519. [解] (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9 ＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2 ＝2lg 5lg 2·(－4)lg 2lg 3·(－2)lg 3lg 5＝16.。

log之间的转换公式

log之间的转换公式
log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)。

这个公式被称为对数的换底公式。

它允许我们将一个对数表达
式转换为另一个底数的对数表达式。

这个公式的推导涉及到对数的
性质和换底公式的证明，但在使用时我们只需要记住这个公式即可。

举个例子来说明，假设我们有log_2(8)，我们想将其转换为以
底数为10的对数形式。

根据换底公式，我们可以使用以下步骤进行
转换：
log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)。

然后我们可以利用常用对数的值（如log_10(2)和log_10(8)）
来计算得到最终结果。

需要注意的是，换底公式适用于任意正数a、b和c，只要这些
对数是有意义的。

另外，当我们在实际计算中使用换底公式时，要
注意对计算精度和结果的有效性进行检验，以避免错误的结果。

换底公式及其应用

换底公式及其应用
引入
已知lg 2 0.3010,lg 3 0.4771,求log23的值.
解：设log23 x, 则2x 3.
两边取以10为底的对数, 得
lg 2x lg 3,
即 x lg 2 lg 3, 得 x lg 3 ,
lg 2
把一个对数写成了与此对数的底数不同的两个底数相同的对数商。
即
log2
3

lg 3 lg 2

0.4771 0.3010
1.5851.
理论
换底公式：
换底公式把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商。
loga
b

logc logc
b a
(a

0, 且a
1, c

0, 且c

1; b

0)
换底公式的意义就在于把对数的度数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造
条件，更方便化简求值。
例题
例1.求 log8 9glog27 32的值.
解：
log8 9glog27 32
lg9 lg32 lg32 lg25 = lg8glg27 lg23 glg33
2lg3 5lg2 3lg2g3lg3
10 . 9
例题
例2计算下列各式的值：
(1)log5 2glog49 81;
log25
1 3
gl2)log4 3glog9 2 log1 4 32;
2
lg 2 lg81
解：（1）原式=
lg5 lg 1
3 lg25
• lg49 lg 3 4 • lg7

1 lg2 2 lg5

换底公式的证明及其应用

换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。

§4 4.2 换底公式

思考1:假设思考1:假设 1: 从而有 3 x
=5
log 2 5 = x ,则 log 2 3
log 2 5 = x log 2 3 = log 2 3x
.进一步可得到什么结论？进一步可得到什么结论？
log2 5 x = log3 5,即 = log3 5 log2 3
思考2:你能用lg2和lg3表示log 思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？ 2:你能用lg2 表示
(1) log a b ⋅ log b a = 1
(2) log a m n b = log a b m
n
知识应用
例1.计算： 1.计算：计算
(1) log 9 27
(2)log8 9 ⋅ log27 32
解:
log 3 27 3 (1) log 9 27 = = ; log 3 9 2
(2) log 8 9 ?log 27 32
互为倒数思考2: 思考2: 有什么关系？ log a n N 与 log a N 有什么关系？
1 log a n N = log a N n 思考3: 可变形为什么？思考3: (log a M) ÷ (log a N) 可变形为什么？
log N M
知识深化
两个推论: 两个推论:
a,b>0且均不为1,则且均不为1, 设 a,b>0且均不为1,则
lg 8 lg 27 3lg 2 3lg 3 = ? 2 lg 3 5 lg 2 lg 9 lg 32
9 10
1 1 1 (2)log2 ⋅ log3 ⋅ log5 = −3log2 5 ⋅ (−5log3 2) ⋅ (− log5 3) 125 32 3
lg5 lg 2 lg3 = −3 ⋅ (−5) ⋅ (−1) = −15 lg 2 lg3 lg5

换底公式

log x z log x y log y z log x y log x z log x y
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用：利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；

换底公式

授课人：韩云
1.对数书写不规范，底数、真数分不清。 2.易将底数忽略不写。错将 lg a 写成 log a 。你有吗 3.利用换底公式时，不知选谁为底。？？？不会利用换底公式的逆运算。 4.不能熟练运用对数运算性质。
• 1.对数的定义：一般地，如果a(a 0且a 1)的b次 b 幂等于N，即 a N ,那么数b叫作以a 为底N 的对数，记作 b log N ，其中 a 叫作对数 a 的底数，N叫作真数。 • 2.对数的运算性质：如果 a 0, a 1, M 0, N 0, 则
谢 ห้องสมุดไป่ตู้！
(1) log a (MN ) loga M loga N ; (2) log a M n n loga M ( N R ); M (3) log a loga M loga N N
※换底公式：
log a N logb N (a, b 0, a, b 1, N 0) log a b
• ⑴
1 logb a (a, b 0, a, b 1) log a b
n log am b log a b(a, b 0, a, b 1, m 0) m
n
• ⑵
你会证明吗
• 1.对数的换底公式及推论。
• 2.公式的实际应用。
教材86页练习第2题，习题3-4 B组第4题

换底公式的推导过程

换底公式的推导过程
（最新版）
目录
1.换底公式的定义
2.换底公式的推导过程
3.换底公式的应用
正文
换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将一个数的底数（即指数）从一个数改为另一个数。

它的定义为：若 a 的 b 次方等于 c，
即 a^b=c，那么 a 的 c 次方等于 b，即 a^c=b。

其推导过程相对简单。

假设我们有一个数 a，它的 b 次方等于 c，即 a^b=c。

现在，我们希望将这个数的底数改为 c，即求 a 的 c 次方。

根据指数运算法则，a 的 c 次方可以表示为 a^(b*c)，因为 b*c 等于 c，所以 a 的 c 次方等于 a^c。

因此，我们成功地将 a 的底数从 b 改为
了 c。

换底公式在实际应用中非常广泛。

例如，在计算对数时，我们常常会使用换底公式将底数改为我们熟悉的数，以便于计算。

又如，在概率论中，
换底公式可以帮助我们将一个事件的概率从一个概率密度函数转换为另
一个概率密度函数。

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高中数学同步学案换底公式

2．2.2 换底公式换底公式1．换底公式log a N ＝log c Nlog c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)2．几个常见结论： (1)log a b·log b a ＝1； (2)log a n b n＝log a b ； (3)log a m b n＝n mlog a b ；(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．换底公式如何证明？ [提示] 设x ＝log a b,则a x＝b, 两边取以c 为底的对数得 log c a x＝log c b 即xlog c a ＝log c b, 所以x ＝log c b log c a ,即log a b ＝log c blog c a .2．写出下面几个式子的值．(1)log 28；(2)log 416；(3)log 24；(4)log 322；(5)log 6416. [提示] (1)3 (2)2 (3)4 (4)110 (5)23对数式的求值[例1] 求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．[思路点拨] 先利用换底公式化同底,再运用运算性质． [解] (1)因为log 23＝lg3lg2,log 35＝lg5lg3,log 516＝lg16lg5.所以log 23·log 35·log 516＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.借题发挥换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而化简、计算与证明,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简和求值.1．计算： (1)log 927； (2)log 89·log 2732； (3)log 21125·log 3132·log 513.解：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. (2)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.条件等式的求值与证明[例2] 设a,b,c 都是正数,且3a ＝4b ＝6c,证明：a ＋b ＝c.[思路点拨] 解答本题可以先令3a ＝4b ＝6c＝k,两边取对数后,表示出a,b,c,再用换底公式代入证明．证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a,b,c 均为正数,k>0), 则a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k. ∴1a ＝log k 3,1b ＝log k 4,1c ＝log k 6, ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6, 即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a＝4b＝6c 同时取以10为底的对数, 得lg3a＝lg4b＝lg6c, ∴alg3＝blg4＝clg6,∴c a ＝lg3lg6＝log 63,c b ＝lg4lg6＝log 64, ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2, 即2c a ＋c b ＝2,∴2a ＋1b ＝2c. 借题发挥换底公式的主要作用就是化不同底为同底,只有化同底后方可使用对数的运算性质,在条件求值中,常常是把所求靠拢已知,根据已知的条件,逐步消除已知与未知之间的差异,使问题顺利解决.2．已知2x＝3,log 483＝y,求x ＋2y 的值．解：因为2x＝3,所以x ＝log 23.所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝log 223＝3.1.log 89log 23的值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D.23答案：D2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋bbC.a a ＋b D.b a ＋b解析：选B log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416,则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B 由题知lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lg16lg4,∴lgm lg3＝lg16lg4＝2,∴lgm ＝lg32＝lg9,m ＝9. 4．若log a b·log 3a ＝4,则b 的值为________．解析：log a b·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4,所以lg b ＝4lg 3＝lg 34,所以b ＝34＝81. 答案：815．已知log a x ＝1,log b x ＝2,log c x ＝4,则log abc x ＝________. 解析：由已知得log x a ＝1,log x b ＝12,log x c ＝14.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝11＋12＋14＝47. 答案：476．求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值．解：原式＝(log 23＋log 2332)(log 322＋log 3223＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫92log 32＝152.已知log 189＝a,18b＝5,求log 3645,你能用不同的方法解决这个问题吗？让我来试试吧！ ∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.看我的！∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189 ＝a ＋b2－a.我也能解． ∵log 189＝a,18b＝5, ∴lg9＝alg18,lg5＝blg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg9×5lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.一、选择题1．下列各式中正确的是( ) A ．log 23·log 8116＝1 B.log 24log 28＝－1 C ．lg4·lg9＝lg36D ．(log 515)3＝－3解析：选A log 23·log 8116＝lg3lg2·lg16lg81＝lg3lg2·4lg24lg3＝1.2．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412,则a 的值等于( )A.14B.22C. 2D ．4解析：选B 原方程可化为log 37·2log 23·12log 7a ＝－12,即log 2a ＝－12,∴a ＝212-＝22.3．设lg2＝a,lg3＝b,那么lg 1.8等于( ) A.12(a ＋2b －1) B ．a ＋b －1 C.12(2a ＋b －1) D ．a ＋b解析：选A lg 1.8＝12lg(0.1×9×2)＝12(lg2＋lg9＋lg0.1)＝12(a ＋2b －1)． 4．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根,则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×12＝2.二、填空题5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3x，x≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2,f(－2)＝3－2＝19.答案：196．已知2x ＝72y＝A,且1x ＋1y ＝1,则A 得值是________．解析：∵2x＝72y＝A,∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 答案：98 三、解答题7．(1)计算log 53·log 27125； (2)计算log 2125·log 318·log 519.解：(1)log 53·log 27125＝lg3lg5·lg125lg27＝lg3lg5·3lg53lg3＝1.(2)log 2125·log 318· log 519＝－log 225·log 38·log 59＝－2lg5lg2·3lg2lg3·2lg3lg5＝－12.8．若a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x,则方程化为2t 2－4t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝2,t 1·t 2＝12.又∵a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根, ∴t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝2,lg a·lg b＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b)·lg b 2＋lg a2lg a·lg b＝(lg a ＋lg b)·lg a ＋lg b 2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12,即lg(ab)·(log a b ＋log b a )＝12.。

换底公式的四个推论

换底公式的四个推论
什么是换底公式？
换底公式是数学中一个重要的定理，也叫换底定理，也叫底数公式。

它宣称，任何一个幂指数函数，只要底数不同，它的值也必不同，并且采用函数的新底数计算出它的新值，这种计算过程就叫换底公式。

换底公式的数学表达形式是：如果a≠b，那么：
$$\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$
换底公式的四个推论：
1、换底公式宣称，给定任何一个幂指数函数，只要底数不同，它值就不同，这表明换底公式可以用来计算新函数值。

2、如果是负数幂函数，底数幂比例变化，则函数符号会发生变化，例如，原函数是正数，换底后则变为负数，反之亦然。

3、换底公式也提供了一种技巧：可以将幂指数函数中的底数替换为任意一个值，改变函数的形式，进而得出更新的函数值。

4、换底公式也可以让我们更灵活地掌握几何变换，帮助我们更快捷地分解复杂的函数式子。

换底公式原理

换底公式原理好的，以下是为您生成的关于“换底公式原理”的文章：咱先来说说这换底公式，它在数学里可有着不小的作用呢！打个比方哈，就像咱们出门旅游，有时候会换不同的交通工具，比如从坐火车换成坐飞机，目的都是为了更快更方便地到达目的地。

这换底公式就像是数学世界里的“交通工具换乘”。

那换底公式到底是啥呢？它就是：logₐb = logₓb / logₓa 。

这里的 a、b、x 都是正数，而且 a 不等于 1 ，x 也不等于 1 。

咱来仔细琢磨琢磨，为啥要有这么个公式呢？想象一下，你在计算数学题的时候，有时候给你的底数不太顺手，就好像你拿着一把不太称手的工具干活儿，那多费劲啊！这时候换底公式就派上用场啦，它能帮你把底数换成你觉得好处理的那个，让解题变得轻松一些。

比如说，有一道题让你算 log₂5 ，直接算可能有点头疼。

但要是用换底公式，把它换成以 10 为底，那就是 log₁₀5 / log₁₀2 。

这时候，你是不是觉得心里有底多了？因为以 10 为底的对数咱比较熟悉呀，查对数表或者用计算器都能很快得出结果。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这换底公式到底有啥用啊，感觉好麻烦！”我笑着跟他说：“别着急，咱们来做一道题你就明白啦。

”于是我出了一道题：已知 log₃8 = x ，求 log₆4 。

一开始这小家伙还一脸迷茫，后来我引导他用换底公式把 log₆4 换成以 3 为底的形式，他突然眼睛一亮，“哎呀，老师，我懂啦！”看着他那恍然大悟的表情，我心里别提多高兴了。

其实在生活中也有类似换底公式的道理。

就好比你做一件事情，用一种方法走不通，那就换一种方法试试，说不定就能柳暗花明又一村呢！再深入想想，这换底公式还能帮助我们比较不同底数的对数的大小。

比如说要比较 log₂3 和 log₃2 的大小，直接看很难判断，但用换底公式都换成以 10 为底，就能算出具体的值，然后轻松比较大小啦。

换底公式

换底公式

§4.2 换底公式

换底公式

换底公式练习

log之间的转换公式

换底公式及其应用

换底公式的证明及其应用

§4 4.2 换底公式

换底公式

换底公式

换底公式的推导过程

高中数学同步学案 换底公式

换底公式的四个推论

换底公式原理

高中数学同步学案换底公式