高考物理 第4章 曲线运动 万有引力与航天 章末复习总结 新人教

• 春分时，太阳光直射地球赤道，如图2所 示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表 示观察者，O表示地心．由图可看出当卫 星S绕地心O转到图示位置以后(设地球自 转是沿图中逆时针方向)，其正下方的观 察者将看不见它，据此再考虑到对称性，
• 四、“天体相遇”模型
• 两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际 上是指两天体相距最近．若两环绕天体的 运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与 中心天体在同一直线上，且位于中心天体 的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天 体在同一直线上，且位于中心天体的异侧 时则相距最远．
径．一般情况下，它们二者是相等的，如
月球绕地球的运动，但在此双星问题中则 根本不同：万有引力定律中的r＝L，而向 心力公式中的r则分别为r1和r2，它们的关 系是r1＋r2＝L.
• 【例7】 在天文学上把两个相距较近， 由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的 恒星系统称为双星．已知两颗恒星质量分 别为m1、m2，两星之间的距离为L，两星 分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各 个恒星的运转半径和角速度．
• 章末复习总结
• 万有引力与航天问题中常用的模型有如下 几种：
• 一、“椭圆轨道”模型
• 指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或 行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上．
• 由于受数学知识的限制，此类模型适宜高 中生做的题目不多，所用知识为开普勒第 三定律及椭圆轨道的对称性．
• 【例1】 天文学家观察到哈雷彗星的周 期约是75年，离太阳最近的距离是 8.9×1010 m，但它离太阳的最远距离不 能测出．试根据开普勒定律计算这个最远 距离．已知太阳系的开普勒常量k＝ 3.354×1018 m3/s2.
• ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π.(n＝1,2,3，…)
• 【例4】 如图3所示，A是地球的同步卫 星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面 内，离地面高度为h.已知地球半径为R， 地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加 速度为g，O为地球中心．
• (1)求卫星B的运行周期；
• (2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同， 某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在 同一直线上)，则至少经过多长时间，他 们再一次相距最近？
M M＋ m
R，
B 正确；由Gmrm2 ′＝m′vr2得“嫦娥一号”绕月运动的线速
度为 Grm，C 正确；“嫦娥一号”绕月运动的周期为 T＝ 2π Grm3 ，D 错．
答案：BC
• 三、“同步卫星”模型
• 地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地 面静止不动的一种人造卫星，主要用于全 球通信和转播电视信号．
解析：设哈雷彗星离太阳的最近距离为 R1，最远距离为 R2，则椭圆轨道长半轴为 R＝R1＋2 R2.
根据开普勒第三定律RT23＝k，得
R2＝23 kT2－R1 ＝3 8×3.354×1018(75×365×24×3600)2 m－8.9×1010 m＝5.224×1012 m.
• 答案：5.224×1012 m
F 向＝0.1F 引＝0.1×GMRm2 . 而一昼夜的时间 T 就是该星球的自转周期．根据万有引 力定律和牛顿第二定律，有 0.1×GMRm2 ＝mR4Tπ22.
又 M＝ρ·43πR3，
所以，该星球平均密度的估算式为 ρ＝G30Tπ2.
• 七、“双星”模型
• 对于双星问题要注意：
• ①两星球所需的向心力由两星球间万有引 力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；
体——圆周轨道”模型．求第一宇宙速度有两种方法： 由 GMRm2 ＝mvR2，得 v＝ GRM； 或由 mg＝mvR2，得 v＝ gR. 其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球
的质量，R 为该星球的半径，g 为该星球表面的重力加速度， 依据已知条件，灵活选用计算公式．
• 【例2】 我国第一颗绕月探测卫星—— “嫦娥一号”于2007年10月24日成功发 射．如图1所示，“嫦娥一号”进入地月 转移轨道段后，关闭发动机，在万有引力 作用下，“嫦娥一号”通过P点时的运动 速度最小．“嫦娥一号”到达月球附近后 进入环月轨道段．若地球质量为M，月球 质量为m，地心与月心距离为R，卫星绕 月球运动的轨道半径为r，G为万有引力常 量，则下列说法正确的是G4MπT来自 2－R≈3.6×104 km；
④定运行速率：v＝ GrM≈3.0 km/s.
• 一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面 积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星， 即可实现全球通信(两极有部分盲区)．为
了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对 地心的张角不能小于3°，这样地球的同 步轨道上至多能有120颗通信卫星，可见， 空间位置也是一种资源．
• 【例3】 某颗地球同步卫星正下方的地 球表面上有一观察者，他用天文望远镜观 察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那 天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多 长时间该观察者看不见此卫星？已知地球 半径为R，地球表面处的重力加速度为g， 地球自转周期为T，不考虑大气对光的折 射．
• 解析：设所求的时间为t，用m、M分别表 示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心 的距离，有
• 解析：两恒星构成的系统能保持距离L不 变，则两恒星转动的角速度(周期)相同， 设它们的角速度为ω，半径分别为r1、r2， 则r1＋r2＝L.①
• 它们间的万有引力提供了它们做圆周运动
对恒星 m1：GmL1m2 2＝m1r1ω2，② 对恒星 m2：GmL1m2 2＝m2r2ω2.③ 联立①、②、③式解得 r1＝mm1＋2Lm2，r2＝mm1＋1Lm2. 将 r1＝mm1＋2Lm2代入②式得 ω＝ G(mL1＋3 m2). 讨论：(1)当 m1＝m2 时，r1＝r2＝L2，ω＝ 2GLm3 1； (2)当 m1≫m2 时，r1≈0，r2≈L，ω＝ GLm3 1，这正是 我们已熟知的人造地球卫星的运转模型．
()
A．P 点距离地心的距离为MM＋mR
B．P 点距离地心的距离为
M M＋ m
R
C．“嫦娥一号”绕月运动的线速度为
Gm r
D．“嫦娥一号”绕月运动的周期为 2πR
R Gm
解析：根据题设条件可判定 P 点处“嫦娥一号”受到地
球和月球的万有引力大小相等，令 P 点距离地心的距离为 x，
根据万有引力定律得GMxm2 ′＝G(Rm－mx′)2，得 x＝
解析：设此时火箭升空高度为 h，此处重力加速度为 g′，对火箭内测试仪平台上的小物体，应用牛顿第二定律， 有
F－mg′＝ma. 根据万有引力定律，有 g′＝GMr2∝r12，g′ g ＝(R＋R2h)2.
将 a＝g2，F＝1176mg 代入上式解得 h＝R3.
• 六、“星体自转不解体”模型
• 指星球表面上的物体随星球自转而绕自转 轴(某点)做匀速圆周运动，其特点为：
• 【例6】 如果一个星球上，宇航员为了 估测星球的平均密度，设计了一个简单的 实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间 T；然后，用弹簧秤测一个砝码的重力， 发现在赤道上的重力仅为两极的90%.试 写出星球平均密度的估算式．
• 解析：设星球的质量为M，半径为R，平 均密度为ρ，砝码的质量为m.砝码在赤道 上失重：1－90%＝10%，表明砝码在赤 道上随星球自转做圆周运动的向心力为
• 同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运 动也属于“中心天体——环绕天体”模 型．同步卫星具有四个一定：
• ①定轨道平面：轨道平面与赤道平面共面；
• ②定运行周期：与地球的自转周期相同， 即T＝24 h；
③定运行高度：由 G(RM＋mh)2＝m(R＋h)(2Tπ)2，得同步卫
3 星离地面的高度为：h＝
解析：(1)由万有引力定律和向心力公式得
G(RM＋mh)2＝m(R＋h)4TπB22，①
GMRm2 ＝mg.②
联立①、②两式得 TB＝2π (Rg＋Rh2 )3.③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π，④
由③式得 ωB＝ (Rg＋Rh2 )3.⑤
代入④式得 t＝
2π (Rg＋Rh2 )3－ω0.
• ②两星球绕两星球间连线上的某点(转动 中心)做圆周运动的角速度ω或周期T的大 小相等；
• ③两星球绕转的半径r1、r2的和等于两星 球间的距离L，即r1＋r2＝L.
• 说明 万有引力公式和向心力公式中都有 r这个物理量，但它们的含义不同：万有 引力定律中的r是指两物体间的距离，而 向心力公式中的r则指的是圆周运动的半
天体为近地卫星时(r＝R)，有 ρ＝G3Tπ2.
(2)对环绕天体而言，可求量有六个：
①线速度 v＝ GrM，②角速度 ω＝ GrM3 ，③周期 T ＝ 4GπM2r3，④向心加速度 an＝GrM2 ，⑤向心力 F＝GMr2m， ⑥轨道所在处的重力加速度 g′＝GrM2 .(各式推导略)
(3)可求第一宇宙速度 物体在地球表面附近环绕地球运转，其实就是“中心天
• 二、“中心天体——圆周轨道”模型
• 指一个天体(中心天体)位于中心位置不动 (自转除外)，另一个天体(环绕天体)以它 为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中 心解天答体思路对：它由万的有万引有力提引供力环作绕天用体．做圆周运动的向心
力，据牛顿第二定律，得 GMr2m＝man＝mvr2＝mω2r＝m(2Tπ)2r，
【例 5】 “神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试 仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为 m 的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度
时，加速度为 a＝g2，压力传感器此时显示出物体对平台的 压力为点火前压力的1176，已知地球的半径为 R，g 为地面附 近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度．
• ①具有与星球自转相同的角速度和周期；
• ②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所 需的向心力外，还要产生重力．
• 因此，它既不同于星球表面附近的卫星环 绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽 然相同，但周期不同)，也不同于同步卫 星的运转(二者周期虽相同，但轨道半径 不同)．这三种情况又极易混淆，同学们