3.4 功互等定律

弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为：=+(1)
可能功原理：
广义静力可能的状态：假设弹性体存在这样一组可能的力学量（应力，体力，面力），在域内满足：
∇∙+=0
∙=（在上）
注意：静力可能应力不一定是真实的应力，因为真实应力要满足应力表达的应变协调方程，而真实应力一定是可能应力。

广义变形可能的状态：假设弹性体存在这样一组可能的几何量（应变，位移），在域内满足：
=12(∇+∇ )
=（在上）
注意：几何可能位移未必是真实的位移，因为真实位移要满足位移表达的平衡微分方程，且在面力已知边界满足面力边界，而真实位移一定是可能位移。

用上述可能力学量和可能几何量，可得到可能外力在可能位移上所做的功等于可能应力在可能应变产生的应变能，即功能关系：
∫∙+∫∙=∫∶(1)
证明如下：
根据可能几何量满足几何方程，及可能应力为对称的，则有，
∶=12,+,=12,+,=,=,−,边：∫=∫,−,=∫−∫,
左边：∫∙+∫∙=∫∙+∫∙
只要平衡微分方程和面力边界条件，左右两边会相等，即证。

注意：
（一）上述证明过程没有用到任何材料的性质（参数），该关系适用于任何材料。

由于涉及几何方程，必须满足小变形条件。

（二）静力可能应力和几何可能位移是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，彼此独立而且无任何关系。

（三）对于真实应力，则：∫∙+∫∙=∫∶（其应变能表式中没有1/2，是由于假设应力不是从零缓慢增加）
功的互等定理：
功的互等定理可以描述为：作用在弹性体上的第一种状态的外力（包括体力和面力）在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。

假设一个体物中的两种状态：
第一种状态第二种状态
力学量（面力、体力和应力）：，，，，
几何量（位移、应变）：，，
将第一种状态的力学量作为静力可能的力学量，并将将第一种状态的几何量作为静力可能的几何量，代入功能关系：
∫+∫=∫(2)’
反之，有：
∫+∫=∫(2)’’
由小变形线弹性的弹性张量C的对称性：
====
因此，(2)’和(2)’’的左边相等，又称内功互等定理。

右边自然也相等，又称外功互等定理。

*功的互等定理是一个十分重要的力学概念。

它的应用可以帮助我们推导和理解有关的力学公式和概念，同时也可以直接用于求解某些弹性力学问题。