第五章 风险与收益入门及历史回顾 113页PPT文档

E(r) = (.1)(-.05) + (.2)(.05)… + (.1)(.35) E(r) = .15
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收益的方差
Var =[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2…+ .1(.35-.15)2] Var= .01199 S.D.= [ .01199] 1/2 = .1095
即1： EARercc rccln1(EA)R
r c （ c实 际 ） r c （ c名 义 ） ic （ c通 胀 ） 29
5.3 短期国库券与通货膨胀(19262019)
实际收益率不断提高 标准差相对稳定 短期利率受到通胀率的影响日趋明显
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Table 5.2 History of T-bill Rates, Inflation and Real Rates for Generations, 1926-2019


（2）预期回报（Expected return）。由于未 来证券价格和股息收入的不确定性，很难 确定最终总持有期收益率，故将试图量化 证券所有的可能情况，从而得到其概率分 布，并求得其期望回报。
（3）证券的风险（Risk） 金融学上的风险表示收益的不确定性。（注 意：风险与损失的意义不同）。由统计学上 知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值） 的程度，那么，方差（标准差）是最好的工 具。
2 n n (rt E(r))2
n1t1
n
例子
You invest $27,000 in a corporate bond selling for $900 per $1,000 par value. Over the coming year, the bond will pay interest of $75 per $1,000 of par value. The price of the bond at year's end will depend on the level of interest rates that will prevail at that time. You construct the following scenario analysis:
由此可以看到，近似公式得出的实际利率高 估了 14个基点（ 0.14%），通胀率较小或计算 连续复利情形时，近似公式较为准确。
课堂练习题
1.如果一年期储蓄的名义利率是10%，预 期通胀率是5%，请精确估计预期的一年期 实际利率。另外，实际利率的近似估计值 是多少？
2.在高通胀期间，某债券名义持有期收益 率（HPR）为每年80%，通胀率为年70% 。试问该债券实际持有期精确收益率多少 ？该准确值和近似值比较，能得出什么结 论？
解：税后实际收益率=r（1-t）-it =（12%-8%）（1-30%）-8%×30%=0.4%
5.2 持有期收益率
考虑一个投资者追求安全的投资，例如美 国国债。假定无息国库券有很多不同的期 限，第14章将进一步讨论的无息债券是在 购买时折价购入，获得的收益为实际到期 支付的票面价值与折扣价格之间的差额。 给定价格P(T)，国债票面价值100美元，期 限为T年，在债券期限内计算全部的无风险 收益增加百分比：
消费者物价指数（CPI）是用来测度城镇家庭购 买一篮子商品与服务的平均价格指标 ；
有必要区别名义利率—货币增长率和实际利率— 购买力增长率
5.1.1 实际利率(real interest rate)与名义
利率(nominal interest rate)
设名义利率为R，实际利率为r，通胀率为i，则有下式近 似成立：
s
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资产组合中的数学（规则1）
规则1 ：在任何情况下，资产的平均或预期收益（率）就 是其收益（率）的概率加权平均值。Pr(s)表示s情况下 的概率， r(s)为该情形下的收益（率），那么预期收益 （率）E(r)为：
E(r)Prs)r((s)
s
p(s) = 状态S的概率 r(s) =状态S的持有期收益率HPR 状态: 从1到S
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若T为持有期，P(T )为买入价格， 则贴现债券的持有期收益率为：
rf
(T
)

100 P(T )
1
称为有效年利率(EAR,effective annual rate)，则为：
1 EAR 1 rf (T) 1/T
例 5.2 年化收益率
定义平均年投资收益的实际年利率（EAR）为：一年投资 资金增长的百分比
持有期收益率(holding-period return)
HPR 股票期 期 -期 末 初 初 价 价 价 格 现 格 格 金红
由于一年之后股票价格的不确定性， 你很难确定你的最终总持有期收益率 ，我们将试图量化整个国家的经济状 况和股票市场状况，如下表所示，我 们将可能性分为三种情况。
利率水平的决定因素： 资金供给(存款人特别是居民) 资金需求(企业购置厂房设备及存货) 资金供求的外生影响(政府)
10
假定一年前你在银行存了1000美元，期限一年， 利率10%，那么现在你将得到1100美元现金。这 100美元收益是你的真实收益吗？
这取决于现在的1100美元可以买多少东西以及一 年前的1000美元可以买多少东西；
27
表 5.1 有效年利率与年化百分比利率
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5.2.2 连续复利收益率
从表5-1和式5-8可以发现APR和EAR在不同复利 计算期增长状况的差别。
当T趋于无限小时，可得连续复利(continuous compounding)概念
1EARlim1TAPR 1/T ercc T0
一年为n

1 T
期 ， 每 期 利 率 为 rf
(T )， 则 有 ：
APR n rf (T )或 rf (T ) T APR
更一般地，有：
1 EAR 1 rf (T ) n 1 rf (T ) 1/T 1 T APR 1/T
即 ： APR (1 EAR )T 1 T
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5.1.4 税收与实际利率
税赋是基于名义收入的支出，税率则由投资者的 税收累进等级决定。
记税率为t，名义利率为R， 则税后名义利率R为(1t) 税后真实利率为： R(1t) i (r i)(1t) i r(1t) it 可见：税后实际利率着随通胀率的上升而下降
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假设你的税率是30%，你投资的回报率为 12%，通胀率为8%，试求你税后的实际收 益率。
由r ≈ R-i，高估了（1+i）倍。
r=4%/(1+6%)=3.77%
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例题：如果一年期储蓄存单的利率为 8%， 预期下一年的通胀率为 5%，分别利用近 似公式和精确公式计算实际利率。
解：利用近似公式可以得到实际利率为 r≈8%-5%＝3% ， 利用精确公式可以计算出实际利率为 r=(0.08-0.05)/(1+0.05)=0.028 即2.86%。
r ≈R-i
(5-1)
或R ≈ r+i 即：
费雪效应(近似): 名义利率 ≈ 实际利率+通货膨胀率
例：上例中，假设i=CPI=6%,则
实际利率r ≈ R-i=10%-6%=4%
费雪效应( 严格):
1+r=(1+R)/(1+i)
(5-2) ,推导得：
r = (R - i) / (1 + i)
(5-3)
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图 5.3 1926~2019年利率和通货膨胀率
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Figure 5.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills,
1968-2009
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5.4 风险和风险溢价
5.4.1 持有期收益
例如，假定你有一笔钱用于投资，你把它们都投资于 股票指数基金。指数基金每股价格为100 美元，持有 期为一年，你对年现金红利的要求为4美元， 所以你 的期望红利收益率（每美元红利收入）为4%。
5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法
均值与方差(expected value and variance)
记不确定情形的集s，合p(s为)为各情形的概率，
r(s)为各情形H的PR，E(r)为期望收益为 ，标准差
则有： E(r) p(s)r(s)
s
2 p(s)[r(s)E(r)]2
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对例5.2中一年投资来说：
1+EAR=1+rf(1)=1+5.80%,EAR=5.80%;
对6个月的债券，可以将2.71%的半年期利率分 配到两个周期中，从而得到一年的价值：
1+EAR=(1.0271)2=1.0549,EAR=5.49%;
对超过一年的投资，如上例２５年期债券

很显然，在高通胀时期，实际利率的近似值
比精确值大许多，二者计算偏差较大。
5.1.2 实际利率均衡
四因素：供给、需求、政府行为和通胀率
利率
供给
均衡的 真实利率
E’ ● E ●
需求
均衡资金借出
资金
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利率Interest Rates
实际 利率 均衡
供给Supply
Demand 需求
基金借 贷均衡
Funds 资金

(1+EAR)25=4.2918
Fra Baidu bibliotek
1
1EA 4 R .2921 518 .0600
总之，可以将实际年利率与总体收益rf(T)、延续
的期限T用式（5-7）表示：

1EA 1 R rTT 1 f
(5-7)
例5.3 相对于总体的年平均收益：

对于例5-2中的6个月期债券，T=1/2,1/T=2
5.1.3 名义利率均衡
费雪方程(Fisher equation):欧文·费雪（Irving Fisher, 1930）认为名义利率应当伴随着预期 通胀率的增加而增加。如果我们假设目前的通 胀预期率将持续到下一时期，记为E(i)，那么 所谓的费雪等式如下：
RrE(i)
含义：名义利率应该随预期通胀率的增加而增加

1+EAR=(1.0271)2 =1.0549 ，EAR=5.49%

对于例5-2中的25年债券，T=25

1+EAR=(1+3.2918)1/25 =1.0600 ，
EAR=6.00%
5.2.1 年化百分比利率
短期投资利率常用年化百分比利率
(APR，annual percentage rate)来 表 示， 即若
1.解：1+r=（1+R）/（1+i）

r=[（1+10%）/（1+5%）]-1=4.76%

近似计算的实际利率r≈R-i=10%-5%=5%
2.解：r=[（1+R）/（1+i）]-1

=（R-i）/（1+i）=（0.8-0.7）/1.7=5.88%

近似值：r≈R-i=0.8-0.7=10%
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1926~2009年的短期国库券和通货膨胀率
温和的通货膨胀都会使这些低风险投资的实 际回报偏离其名义值。
从1926年至2009年，一美元投资于短期国库 券的增长到了名义值20.52美元，但是实际值 只有1.69美元。
实际利率和通货膨胀率的负相关性说明名义 利率伴随着预期通货膨胀率的一对一变化趋 势更加不显著。
你的总持有期收益率（ HPR）取决于你对从现在起一 年的基金价格的预期。
假定你预期每股价格为110美元，那么持有期收益为 14%，持有期收益（率）具体是指基金资本收益（率） 加上红利收益（率），时间基点为期初。
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股票收益包括两部分：红利收益(dividends)与 资本利得(capital gains)
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例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
r ( 1 ) ( 1 4 0 1 0 0 4 )/1 0 0 4 4 %
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表5-4 股票指数基金持有期收益率的情境分析
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注意：在统计学中，我们常用历史数据的方差作为 未来的方差的估计。对于t时刻到n时刻的样本， 样本数为n的方差为
资产组合中的数学（规则2）
规则2 资产收益的方差是预期收益的 偏差的平方的期望值。它可以表示为：
2Psr)(r[(s)E(r)]2 s
标准差 = [方差]1/2
各情形下的收益:例子
State 1 2 3 4 5
Prob. of State .1 .2 .4 .2 .1
r in State -.05 .05 .15 .25 .35
第5章
收益与风险
资产组合的一般步骤
1.通过马科维茨有效边界分析，从风险资 产中获得最优风险回报组合
2.考虑无风险资产对最优组合的影响 3.根据自身风险与偏好，选择由无风险资
产与最优风险资产构成的组合
本章主要内容
利率水平的确定 期望收益与波动性 风险价值
9
5.1 利率水平的确定