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行列式的计算方法综述

目录

1.定义法（线性代数释疑解难参考）

2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）

3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）

4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）

5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）

6.递推法（线性代数释疑解难参考）

7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）

8.拆项法（课外辅导书上参考）

9.换元方法（课外辅导书上参考）

10.拆因法（课外辅导书上参考）

线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：

1.定义法

由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。

例1.算上三角行列式

解：展开式的一般项为

同样，可以计算下三角行列式的值。

2.化三角形法

画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上

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（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。

例2.计算

解：各行加到第一行中

把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有

3.逐行（列）相减法

有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。

例3.计算n 级行列式

解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有

上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上

4.升降法（加边法）

升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。

例4.计算n 级行列式

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解： 1212121

2

10

10

10

1n n n

n D αααααααααααα+=++L L L

M M

M

M L

121110010101

000

n

ααα-=--L

L L M M M M L

121

110100

100100001

n

i n

n i ααααα+=

=+∑∑L

L L M M M M L

5.利用范德蒙德行列式

例5. 计算n 级行列式

解：这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范德蒙行列式。

n D 的第n 行依次与1n -行，2n -行,K ,2行,1行对换，再将所得到的行

列式的第n 行，依次与1n -行，2n -行,L ,2行对换。如此继续下去，直到最后将第n 行与1n -行对换，这样经过()()()1

122112

n n n n -+-+++=-L L 次对换后，得到

这是一个范德蒙行列式。于是有

范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。

6.递推法

这种方法是计算n 阶行列式较有用的一种方法。首先利用行列式性质把给

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定的n 阶行列式n D 用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。然后从递推关系式出发求出n D 的一般表示式。

例6. 计算n 级行列式

解：本题第一列只有两个非零元素，且11a 的余子式恰为1n D -。因此我们有可能找出递推关系式。按第一列展开得

故

这就是本题行列式的一个递推关系式，往n 减少方向递推有 故有

7.数学归纳法

计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就用数学归纳法。数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证时用的方法。

例7．试证n 阶行列式 证明：用归纳法步骤 1.验证：当2n =时， 左()212122

11

x x a x a x a x a a a x

-=

=++=+++ 右212

x a x a =++∴左边=右边

注意：当本题行列式为2阶时，应取右下角的2阶与12,a a 有关的行列式，而不能取左上角的。

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2设当1n -阶时，结论成立。

则将n D 用第一列展开，有()

1

11000100100000

1

n n n n x D xD a x x +---=+--L L L M M M M L =右

8.拆项法

由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值。此法称为拆行（列）法。

例8. 0000000000n a a a a a a b

a a

b a a D b

b a b b a b b b

b b b

a a

--==--L L L L L L M M M M M M M M L L 对于上面的第一行列式，将第n 列乘()b -加到其余各列上，对第二个行列式按第n 列展开，最后可得：

这样我们得一个递推公式：()

1

1n n n D a b aD --=-+

如果将第一列对b 按类此方法拆项，又可得到另一递推公式：

()

1

1n n n D b a bD --=--

取立上述两递推公式()()1

11

1

n n

n n n n D a b aD D b a bD ----⎧=--⎪⎨=--⎪⎩