2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

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高一数学竞赛试题含答案

高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。

2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。

3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。

4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。

5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为。

6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。

7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是。

8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为。

9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。

1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。

2017年温州市摇篮杯数学竞赛高一数学试卷

浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2017.4本试题卷分填空题和解答题两部分。

全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟第1卷填空题（共80分）一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）1.设集合，满足，则实数的取值范围是___________.2.设点是的外心，则为______________。

3.函数的值域为_________________。

4.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值是________5.已知函数满足,且方程有5个不同的实根,则______________。

6.已知当时，函数取最大值，则函数图像的对称轴为_____________。

7. 的值等于___________。

8.设表示不超过的最大整数，为实数，且.则_______。

9.已知平面向量，满足，且，则的最小值为_____________。

10.设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个整数，则实数的取值范围_____。

第2卷（解答题，共120分）二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分）11.已知实数满足关系式（1）令，求得表达式；（2）在（1）的条件下，若时，，求和的值。

12.已知，函数的最大值是。

（1）求得值及函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。

13.定义在实数集上的函数满足：，且。

（1）求；（2）若方程在区间上有个根，求得最小值。

14.已知非零向量，。

（1）若，且为单位向量，求的最大值；（2）若对任意单位向量，均有，求的取值范围。

15.已知函数，记。

（1）求的最小值，并求实数的值；（2）在（1）的条件下，请问函数在上是否都有定义，并求出它在有定义部分的值域。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

浙江省温州市部分学校2017-2018学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析

浙江省温州市部分学校2017-2018学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知角α的终边上一点的坐标为则角α的正弦值为（）A．B．C．D．2．下列四个结论中，正确的是（）A．a＞b，c＜d⇒a+c＞b+d B．a＞b，c＞d⇒ac＞bdC．D．3．已知向量，，如果∥，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．4．等差数列﹣3，﹣1，…，2k﹣1的项数是（）A．k+3 B．k+2 C．k+1 D．k5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a=1，c=4，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．26．已知x，y满足不等式组，则，则x+2y的最大值是（）A．3 B．7 C．8 D．107．在等比数列{a n}中，a n＞0，a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．818．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C．D．9．在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣110．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，则关于△ABC的两个判断“①一定锐角三角形②一定是等腰三角形”中（）A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题纸上11．计算：（cos15°+sin15°）（cos15°﹣sin15°）=．12．数列{a n}满足a1=1，a n+1=﹣1，则a4=．13．已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是．14．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的．（填：外心、内心、重心、垂心）15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（6）=．16．已知函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），则的最小值是．17．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11，其中正确的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，若向量与的夹角为60°，求cos（α﹣β）的值．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．（Ⅰ）求A，w及φ的值；（Ⅱ）若tana=2，求的值．20．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求f（x）=sin2θsinx+cos2θcosx （x∈R）的值域．21．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于﹣3，求a的取值范围．22．已知数列{a n}的前n项和是S n，a1=3，且a n+1=2S n+3，数列{b n}为等差数列，且公差d ＞0，b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求数列的前n项和T n．浙江省温州市部分学校2014-2015学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知角α的终边上一点的坐标为则角α的正弦值为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：常规题型．分析：由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．解答：解：角α的终边上一点的坐标为，它到原点的距离为1，由任意角的三角函数定义知：sinα=，故选A．点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，送分题．2．下列四个结论中，正确的是（）A．a＞b，c＜d⇒a+c＞b+d B．a＞b，c＞d⇒ac＞bdC．D．考点：不等式的基本性质．分析：根据不等式的基本性质，对答案中的四个推理，进行逐一的判断论证，分别判断其真假，即可得到答案．解答：解：当a=d=2，b=c=1时，＞b，c＜d成立，但a+c=b+d，故A错误；当0＞a＞b，0＞c＞d时，ac＜bd，故B错误；当，故C正确；当a＞b＞0时，，故D错误；故选C点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，其中在判断一个推理不成立时，我们仅需要举出一个反例即可．3．已知向量，，如果∥，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：本题是一个向量共线问题，两个向量使用坐标来表示的，根据向量平行的充要条件的坐标形式，写出成立的条件，得到关于k的方程，解方程即可得到结果．解答：解：因为∥，所以6=﹣6k，解得k=﹣1，故选A．点评：本题是一个向量位置关系的题目，是一个基础题，向量用坐标形式来表示，使得问题变得更加简单，比用有向线段来表示要好理解．4．等差数列﹣3，﹣1，…，2k﹣1的项数是（）A．k+3 B．k+2 C．k+1 D．k考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得：等差数列的通项公式为a n=2n﹣5，令2n﹣5=2k﹣1即可得到答案．解答：解：由题意可得：等差数列的首项为﹣3，公差2，所以等差数列的通项公式为a n=2n﹣5，令2n﹣5=2k﹣1可得n=k+2．故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a=1，c=4，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．2考点：正弦定理；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由A，B及C成等差数列，根据等差数列的性质得到B的度数，进而求出sinB的值，再由a及c的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴3B=π，即B=，又a=1，c=4，则△ABC的面积S=acsinB=×1×4×=．故选C点评：此题考查了三角形的面积公式，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，根据等差数列的性质，由题意求出B的度数是本题的突破点，熟练掌握三角形的面积公式是解本题的关键．6．已知x，y满足不等式组，则，则x+2y的最大值是（）A．3 B．7 C．8 D．10考点：简单线性规划．专题：数形结合法．分析：根据不等式组中的不等式画出可行域，如图所示，然后设z=x+2y，将最大值转化为y轴上的截距，求出即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图所示，设z=x+2y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+2y经过点B（0，5）时，z最大，最大值为10．故选：D．点评：此题考查了简单线性规划，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键．7．在等比数列{a n}中，a n＞0，a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据已知条件求出公比，再对a4+a5整理，利用整体代换思想即可求解．解答：解：设等比数列的公比为q．则由已知得：a1（1+q）=1，①a1q2（1+q）═9 ②⇒q2=9．又∵a n＞0，∴q=3．所以：a4+a5=a1•q3（1+q）=1×33=27．故选：B．点评：本题主要考查等比数列基本性质的应用．在解决这一类型题目时，一般常用方法是列出关于首项和公比的等式，求出首项和公比，也可以不求首项，直接利用整体代换思想来求解．8．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．解答：解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C点评：本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．9．在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．解答：解：因数列{a n}为等比，则a n=2q n﹣1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2=2a n+1∴a n（1+q2﹣2q）=0∴q=1即a n=2，所以s n=2n，故选C．点评：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，则关于△ABC的两个判断“①一定锐角三角形②一定是等腰三角形”中（）A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：根据正弦定理=化简已知的等式，由sinA不为0，得到sinB=sin2C，根据角C的范围及三角形的内角和定理得出A=C，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形，由A和C都为等腰三角形的底角，根据三角形的内角和定理得出顶角B也为锐角，从而得出三角形ABC为锐角三角形，得到关于三角形ABC两个判断都是正确的．解答：解：，∵sinA≠0，∴sinB=sin2C，因为，所以B=π﹣2C⇒B+C=π﹣C⇒π﹣A=π﹣C⇒A=C，∴△ABC一定为等腰三角形，选项②正确；且，，∴0＜B＜，即△ABC一定为锐角三角形，选项①正确．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，正弦函数的图象与性质，等腰三角形的判定，学生做题时注意运用C的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题纸上11．计算：（cos15°+sin15°）（cos15°﹣sin15°）=．考点：二倍角的余弦．专题：计算题．分析：先利用平方差公式化简后，根据三角函数的二倍角公式求得答案．解答：解：（cos15°+sin15°）（cos15°﹣sin15°）=cos215°﹣sin215°=cos30°=故答案为：点评：本题主要考查了二倍角公式的化简求值．三角函数中的基础公式特别多，在平时的训练中应多记忆．12．数列{a n}满足a1=1，a n+1=﹣1，则a4=﹣．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据题中已知条件分别将n=2，n=3和n=4代入公式中即可求得a4的值．解答：解：由题意知a1=1，；当n=2时，a2=﹣1=﹣1=﹣；当n=3时，a3=﹣1=2﹣1=1；当n=4时，a4=﹣1=﹣1=﹣；故答案为﹣．点评：本题主要考查了数列的递推公式，考查了学生的运算能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，同学们在平常要多加练习，属于中档题．13．已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（0，4]．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题．分析：一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，y=2kx2+kx+的图象在x轴上方，，由此能够求出k的取值范围．解答：解：∵一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，由题意知k≠0，根据y=2kx2+kx+的图象∴，∴，解为（0，4]．∴k的取值范围是（0，4]．故答案为：（0，4]．点评：本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．14．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的垂心．（填：外心、内心、重心、垂心）考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：证明题．分析：由已知中在△ABC中，若，我们易根据=0，得到OB⊥AC，同理可证：OA⊥BC，OC⊥AB，进而根据三角形五心的定义，得到答案．解答：解：若即==0即OB⊥AC同理可证：OA⊥BC，OC⊥AB故点O是△ABC的三条高的交点，故点O是△ABC的垂心故答案为：垂心点评：本题考查的知识点是三角形五心，向量在几何中的应用，其中根据=0，得到OB⊥AC，将向量数量积转化为线线垂直是解答本题的关键．15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（6）=61．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．解答：解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…，f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=6时，f（6）=61．故答案为：61．点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．16．已知函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），则的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），可得出a+b=2，此处出现了和为定值，故的最值可以归结到基本不等式求最值问题中1的运用，由基本不等式求出最值即可解答：解：∵函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），∴a+b=2∴=（a+b）×（）=2+≥2+2=4，等号当且仅当，即a=b=1时成立所以的最小值是4故答案是4点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是在解题的过程中，由题设条件得出a+b=2后能观察出来的最小值求法可用基本不等式，解题过程中能根据求解的情况判断出问题解决转化的方向是一个非常好的学习品质17．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11，其中正确的序号是①②．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定．解答：解：由题可知等差数列为a n=a1+（n﹣1）ds6＞s7有s6﹣s7＞0即a7＜0s6＞s5同理可知a6＞0a1+6d＜0，a1+5d＞0由此可知d＜0 且﹣5d＜a1＜﹣6d∵s11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0s12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7）＞0，s13=13a1+78d=13（a1+6d）＜0即①②是正确的，③是错误的故答案是①②点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，若向量与的夹角为60°，求cos（α﹣β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出||，||，•，代入=6cos（α﹣β），即可求出结果．解答：解：（3分）∵=3（6分）∴6cos（α﹣β）=3，cos（α﹣β）=（9分）点评：本题考查了两角和与差的余弦公式以及向量模与数量积运算公式，属于基础题．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．（Ⅰ）求A，w及φ的值；（Ⅱ）若tana=2，求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．分析：（1）根据函数图象的最大值和最小值确定A的值，由周期可知ω的值，最后再代入特殊值可确定φ的值．（2）先表示出f（α+）的表达式，根据tana=2求出cos2a的值代入即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）由图知A=2，T=2（）=p，∴w=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）又∵=2sin（+φ）=2，∴sin（+φ）=1，∴+j=，φ=+2kπ，∵，∴φ=（2）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin（2x+），∴=2sin（2a+）=2cos2a=4cos2a﹣2∵tana=2，∴sina=2cosa，又∵sin2a+cos2a=1，∴cos2a=，∴=点评：本题主要考查根据图象求三角函数解析式．一般的，根据函数图象的最大值和最小值确定A的值，由周期可知ω的值，最后再代入特殊值可确定φ的值．20．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求f（x）=sin2θsinx+cos2θcosx （x∈R）的值域．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接BC，依题意可知AC，AB的值和∠CAB，进而由余弦定理求得BC．（Ⅱ）先根据正弦定理求得sinθ，进而根据同角三角函数基本关系求得cosθ，进而利用两角和公式化简函数的解析式，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．解答：解：（Ⅰ）连接BC，由余弦定理得BC2=202+102﹣2×20×10COS120°=700．∴BC=10．（Ⅱ）∵，∴sinθ=∵θ是锐角，∴，f（x）=sin2θsinx+cos2θcosx=∴f（x）的值域为．点评：本题主要考查了解三角形中的实际运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于﹣3，求a的取值范围．考点：一元二次不等式与二次函数．专题：计算题．分析：不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值大于﹣3，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．解答：解：设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3，即ax2+（b+4）x+c=0两个根是1，3．∴∴b=﹣4a﹣4，c=3a又f（x）的最大值大于﹣3，即消去b，c得到关于a不等式，a2+5a+4＞0解得a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＜﹣4．点评：本题考查不等式与方程之间的内在联系，体现了函数与方程的数学思想，解题的过程中，要有主元素的思想，即要把条件转化成关于a的不等关系．22．已知数列{a n}的前n项和是S n，a1=3，且a n+1=2S n+3，数列{b n}为等差数列，且公差d ＞0，b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求数列的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由a n+1=2S n+3，a n=2S n﹣1+3（n≥2）两式作差即可求得a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a n=3n，成等比数列可求得b n，用裂项法可求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+3，a n=2S n﹣1+3（n≥2）得：a n+1﹣a n=2a n∴a n+1=3a n（n≥2）∴（2分），（3分）∴∴a n=3n（4分）（Ⅱ）由b1+b2+b3=15，得b2=5（5分）则b1=5﹣d，b3=5+d，则有：64=（6﹣d）（14+d）即：d2+8d﹣20=0（6分）d=2或d=﹣10∵d＞0∴d=2（7分）∴b n=b1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1（8分）∴=（10分）点评：本题考差数列求和，重点考查学生的转化思想，方程思想及裂项法求和，难点在于裂项法求和的理解与应用，属于中档题．。

浙江省高中数学竞赛试卷PDF版

| an |≤ 2, n = 1, 2,3, ，可得 {an} 从第 k 项开始是一个周期数列，周期为
l−k.
……………………………………………………15 分
(5) 由(3)可知对于任意的 n， bn 的值只有 4 p +1 （有限个）, 故总能找到 k < l , 使得 bk = bl ，从而有 ak = al .
立空间直角坐标系，则 A(0, 3 , 0) ， B(− 1 , 0, 0 )， C(1 , 0, 0 )， P(0, 3 , 6 ) .
2
2
2
63
所以 D(1 , 3 , 6 ) 。从而可设 E(1 t, 3 − 5 3 t, 6 t) （ 0 ≤ t ≤ 1 ），
4 12 6
4 2 12 6
于是 BE =(1 t + 1 , 3 − 5 3 t, 6 t) 。设所求角为 θ ，则 4 2 2 12 6
值范围为_____________.
解答：命题 p 成立当且仅当 a > 1；命题 q 成立当且仅当 −2 < a < 2 。若 p ∨ q
为真命题， p ∧ q 为假命题，则 a ∈ (−2,1] ∪[2, +∞) .
6. 设 S 是 (0, 5) 中所有有理数的集合，对简分数 q ∈ S, ( p, q) = 1 ，定义函数
方程可变形为
max( f (x), g(x)=) ax + 2 .
由 −2x ≥ 2 1− x2 得 x ≤ −
2 ，从而有
2
max(
f
( x),
g ( x))
=
−2x,
2 1− x2

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分（2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）．设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。

2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题与答案

第7题图第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有12022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题个正确答案．） 1．设集合N ==+∈A x x n n 21,}{，N ==+∈B x x n n 41,}{，则=B A（ ▲ ）A ．N =+∈x x n n 41,}{B ．N =+∈x x n n 42,}{C ．N =+∈x x n n 43,}{D ．∅2．已知复数=-+z 22i 13（其中i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则下列说法错误．．的是（ ▲ ） A ．=z z 2B ．=z z ()2C ．=z 13D ．=-z ()133．C 地发生地震时，相距d km 的A B ,两地都能感受到，已知C 地位于A 地的正东方向上，C 地位于B 地的东偏南30方向上，且C 地距离A B ,两地分别为100km 和200km ，则d 的值是（ ▲ ） A ．-100523B ．1003C ．1007D ．+1005234．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为=x i i (1,2,3)，则++x x x 123为奇数的概率是（ ▲ ）A ．10529B ．10553C ．10557D ．215．设=⨯a 2021202020222，=⨯b 2022202120232，=⨯c 2023202220242，则（ ▲ ） A ．<<a b c B ．<<a c b C ．<<c a b D ．<<c b a6．已知p x y +>:0，q x x y y +++++>:lg(1)lg(1)022，则p 是q 的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知矩形ABCD 中，AB =2,AD =4．E ,F 分别在边AD ,BC 上,且AE =1,BF =3．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成EFB A 11，在翻折过程中，二面角--CD E B 1的大小为θ，则θtan 的最大值是（ ▲ ）A ．532B ．533C ．432D ．4338．已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点，则PA PB PC PD PE ++++的最大值是（ ▲ ） A ．2cos 361B ．2sin 361C ．2cos 365D ．2sin 365二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷无答案

2021年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷一.填空题：本大题共10小题，每题8分，共80分.1.集合{}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，假设}{B b A a b a C ∈∈+=,，那么集合C 的所有元素之和为________.2.在ABC ∆中，2,31sin ==AB A ,那么CB CA ⋅的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-⋅+x f x f ，又当50<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，那么)2018(f 的值为________.4.假设13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，那么=x ________.5.函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，假设x x f -)(2018没有零点，那么a 的取值范围是________.6.假设对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，那么当c 获得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________.7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________.8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________.9.平面向量2==，且2=⋅OB OA ，假设[]1,0∈t ，那么t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，假设)(x f 在)1,0(上有两个不相等的零点，那么b 的最大值为________.二.解答题：本大题共5小题，共120分.11.函数bxx x f a --=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a 〔1〕求b 的值及函数)(x f 的定义域；〔2〕是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？假设存在，求出实数a 的取值范围；假设不存在，说明理由.12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的间隔为4π. 〔1〕求ω的值及函数)(x f 的单调增区间；〔2〕假设65)(=αf ，求)467sin(απ-的值. 13.定义在R 上的函数)(x f y =满足：对任意的R y x ∈,，均有x y f y x f y x f cos )(2)()(+-=+，且当)⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，0)(>x f 〔1〕求)0(f 的值；〔2〕解方程)2()3(x f x f =14.向量b a ,满足32,21≤≤≤≤〔1++的取值范围；〔2〕假设43≤≤，求b a ⋅的最大值15.函数b a x x f +-=)(，R b a ∈,〔1〕当a b 2=时，假设)(x f 在区间[]2,1上的最大值为2，务实数a 的取值范围；〔2〕当1-=b 时，假设存在实数m ，使得关于x 的方程41)(=-m x xf 在[]2,2-上有6个互不一样的解，务实数a 的取值范围.。

高一数学心算速算竞赛决赛试题

高一数学心算速算竞赛决赛试题考试时间：50分钟满分：100分 2017.12.13选择题:每小题2分，共100分,把答案填在答题卷上．1.集合{x ∈R |02=-x x }的子集个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、下列各个对应中,构成映射的是 ( )A B A B A B A B（A ）（B ）（C ） (D) 3. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A. 棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对4．函数y ＝1＋1x 的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．05．已知集合}1{=A ，}1|{==mx x B ，且A B ⊆，则m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或1-D ．1或06．已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则=)(B A C U （）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}侧视图俯视图7. 不等式2log (1)0x -<的解集为( )A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(1，2)D ．[)2,+∞8．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x -}，B ＝{(x ，y )| 2x y =}，则满足A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在 (－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．无法判断 D ．等于零 10．若集合}3|),{(}04202|),{(b x y y x y x y x y x +=⊆⎩⎨⎧=+-=-+，则b=( )．A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数f (x )的定义域是（1，10），则函数)(lg x f 的定义域是（ C ）A ．)10,1(B ．)1,0(C ．)100,10(D ．),(+∞-∞12．函数)22(log )(2+=x x f 的值域为（）A ．()1,0B ．),1(+∞C ． ),2[+∞D ．()+∞,213．若)()(log 2R x x x f ∈=,则函数)(1)()(x f x f x g -=是（） A ．不是奇函数也不是偶函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．奇函数14．已知函数f (x )＝x 2－mx ＋n 的零点为1，2，则m ＝（）. A ．0 B ．1 C ．2 D ． 315．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直,下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为2 的全等的等腰直角三角形．则四棱锥的俯视图的面积为（） A ．1 B ．4C ．6D ． 816.函数x y 2=x 2log +在]1,0(上的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．317．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞ 上单调递增的是（）A ．34x y = B ．23x y = C ．2-=x yD ．41-=xy18 .如图所示的直观图(AB 与y 轴平行)的平面图形 ABCD 是（） A. 任意梯形 B. 直角梯形 C. 任意四边形 D. 平行四边形19．方程式 lg 0x x -=的实数解个数为（）A ．0B ．1C ．2D ． 320．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0()0(log )(32x x x x x f ，那么)]41([f f =（）A ．8-B ．4C ．6D ． 821．不等式136≥-x 的解集为（）A ．),6(+∞B ．),6[+∞C ．]5,(-∞D ． ),5[+∞22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,2)(21x x x x f x ，则=-)]2([f f （）A ．2±B ．21C ．2D ． 223．已知函数f (x )的定义域是（0，4），则函数)(2x f 的定义域是（）A ．)2,0(B ．)4,0(C ．),0[+∞D ．)2,2(-24. 下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y ＝f(x)－1没有零点的是( )25．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围为（） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->bD ． 2-<b26．二次函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．427．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是3，则它的另一个零点是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．－5 28．函数f (x )＝e x －1x 的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1) C ．(1，32) D ．(32，2)29．若函数f(x)＝x 2－x ＋a 有小于1和一个大于1的零点，则a 的取值为( )A ．a>0B ．a<0C ．－1<a ≤0D ．0≤a ≤130、如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是( )A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①②③④31．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(1,5)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是( )A ．(1，3)B ．(3，5)C ．(3，4)D ．无法确定32、函数2(1)([2,2))y x x =+∈-的值域是（） A ．[0,)+∞ B ． [0, 9) C ．,][0 9 D ．[1,) 933．已知A=}3{x y x -=, B=2{x y y =}，则A ∩ B =（）A ．]3,(-∞B ．),0[+∞C ．RD ． ]3,0[34、若集合{|04}A x x =≤≤，{|02}B y y =≤≤，下列从A 到B 的对应f 不是映射的是（） A ．1:2f x y x →=B ．1:3f x y x →= C ．2:3f x y x →= D ．21:8f x y x →=35.设集合A ={y |y=x +1}，集合B ={x |x ≤1}，则A ∩ B =（） A ．{1} B ．∅ C ．{x |0≤x ≤1} D ．不能确定36、如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=AA 1=2，则几何体的侧视图的面积为( ) A ．2 B ．3 C. 2 3 D. 437．函数2(1)(03)y x x =-≤≤的值域为( ) (A) (0,)+∞ （B ）[1,4] （C ）[0,4] （D ）[0,1]38．已知集合},2{},1{2-==+==x y x N x y y M 则=N M （） (A) (0,)+∞ （B ）[1,2] （C ）[1,)+∞ （D ）[2,)+∞39．定义在R 上的偶函数)(x f ，且在区间]0,[-∞上为递增，则（） A ．)3()1()2(-<<f f f B ．)1()3()2(f f f <-< C ．)1()2()3(f f f <<-D ．)3()2()1(-<<f f f40、如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C 对面的字母分别为（） (A) D ,E ,F (B) F ,D ,E (C) E, F ,D (D) E, D, FABABC C正视图侧视图俯视图CB AAD CEB C41. 已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为( )（A ）12 （B ）15 （C ）15- （D ）12-42. 函数定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x ＋100)＝f (x )，则f (2000)=( )A ．0B ．2C ．－2D ．±243．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A -BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.22B.12 C.24 D.1444．已知函数y ＝f(x)是R 上的偶函数，其零点为x 1，x 2，…，x 2018，则x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝( )A ．0B ． 1C ．2018D ． 1009x45．如下图是一个几何体的三视图，若它的正视图的面积是3，则侧视图的面积为( ) A ．2 B ． a C. 1 D.23 46．函数f(x)＝|x|k -有两个零点，则( )A ．k<0B ． k>0C ．0≤k<1D ．k ＝047．如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6,2O A O C ''''==,则原图形OABC 的面积为( )A ．12 2B ．242 C. 324 D. 2448．直观图（如右图）中，四边形D C B A ''''为菱形且边长为2，则在xoy 坐标中四边形ABCD 的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ． 649．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其俯视图如图所示，那么此三棱柱侧(左)视图的面积为( ) A ．2 2 B ．42 C. 4 3 D. 2 350．函数f (x )＝|x 2－1|－k 有四个零点，则( )A ．0<k <1B ．k >1C ．0≤k <1D ．k >1或k ＝0D'C'B'A'O'Y'X'高一数学心算速算竞赛决赛答题卷考试时间：50分钟满分：100分2017.12.13班别姓名座号评分一、选择题:每小题2分，共100分．高一数学心算速算竞赛决赛答题卷考试时间：50分满分：100分2017.12.11班别姓名评分一、选择题:每小题2分，共100分．。

2017年温州市摇篮杯数学竞赛答案

2017年温州市摇篮杯数学竞赛答案2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题本试题卷分为填空题和解答题两部分，共2页，满分200分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷填空题（共80分）一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）1.设集合A={x|2≤x≤a+5}，B={x|1≤x≤8}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（-∞，1）。

解析：1.子集问题。

2.变式：设集合A={x|2-a≤x<a+5}，B={x|1<x≤8}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（-∞，1）。

2.设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，则BC×AO为2211/25.解析：1.向量替换。

2.向量投影。

解：BC×AO=AC-AB×AOAC×AO-AB×AO2211/253.函数f(x)=log1/(x^2-2x+3)的值域为(-∞,0]。

解析：1.复合函数。

2.换元法。

3.变式：函数f(x)=log1/(-x^2-2x+3)的单调增区间为[-1,1)。

4.已知函数f(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t-3<t+4，则t的值是-7<t<-1.解析：1.赋值法。

2.f(-π/2+π)=f(π/2)，3.t=-7<t<-1.5.已知函数f(x)满足f(1-x)=f(5+x)，且方程f(x)=0有5个不同的实根x1,x2,x3,x4,x5，则x1+x2+x3+x4+x5=6.解析：1.对称条件。

2.对称性。

6.已知当x=π/6时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinx-cosx图像的对称轴为x=kπ，k∈Z。

解析：y=1+a^2sin(x+φ)，其中tanφ=a，π/6+φ=π/2+kπ，φ=π/3+kπ，a=√3/2π，y=asinx-cosx=2sin(x-π/6)，对称轴x=kπ，k∈Z。

2017年浙江省温州市高一下学期期末数学试卷与解析答案

2016-2017学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）sin480°=（）A．B．C．D．2．（3分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．13．（3分）已知sin（3π﹣α）=，则sinα=（）A．B．C．﹣D．4．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，则a+b的模等于（）A．1 B．2 C．D．5．（3分）下列函数中，最小正周期为的是（）A．y=|sinx| B．y=sinxcosx C．y=|tanx|D．y=cos4x6．（3分）数列{a n}满足a n+1=，a1=1，则=（）A．B．C．D．7．（3分）不等式＜﹣1的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＜0}8．（3分）已知cosθ=﹣（＜θ＜π），则cos（）=（）A．B．C．﹣D．9．（3分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．y＞0 B．xz＞yz C．xy＞yz D．xy＞xz10．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC，则角A的大小为（）A．B．C． D．11．（3分）函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin （2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．12．（3分）已知tanα=2，tan（α﹣β）=﹣3，则tanβ=（）A．﹣1 B．1 C．D．513．（3分）将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称14．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=45，则3a4+a8=（）A．10 B．20 C．35 D．4515．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1216．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m 的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜217．（3分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=，=，=，=（）A．B．C．D．18．（3分）若存在x∈R，使不等式|x﹣1|+|x﹣a|≤a2﹣a成立，则实数a的取值范围（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≤﹣1或a≥1 D．﹣1≤a≤1二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）19．（4分）设向量=（2，1），=（3，2），则||=．20．（4分）角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则cos2A值为．21．（4分）如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则=．22．（4分）已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=1，则ab的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（9分）设函数f（x）=﹣sinx cosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，且f（x）=，求cosx的值．24．（10分）在△ABC中，已知AB=2，cosB=（Ⅰ）若AC=2，求sinC的值；（Ⅱ）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=，求BC的长．25．（11分）已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）2016-2017学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）sin480°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin480°=sin120°=．故选：B．2．（3分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．3．（3分）已知sin（3π﹣α）=，则sinα=（）A．B．C．﹣D．【解答】解：sin（3π﹣α）=，可得sin（3π﹣α）=sin（π﹣α）=sinα=，故选：B．4．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，则a+b的模等于（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，=，=，∴=，∴||=||===．故选：C．5．（3分）下列函数中，最小正周期为的是（）A．y=|sinx| B．y=sinxcosx C．y=|tanx|D．y=cos4x【解答】解：由于y=|sinx|的最小正周期为π，故排除A；由于y=sinxcosx=sin2x的最小正周期为=π，故排除B；由于y=|tanx|的最小正周期为π，故排除C；由于y=cos4x的最小正周期为=，故D满足条件，故选：D．6．（3分）数列{a n}满足a n+1=，a1=1，则=（）A．B．C．D．=，a1=1，【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1∴，=，=，=，∴===．故选：B．7．（3分）不等式＜﹣1的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＜0}【解答】解：原不等式等价于＜0，即x（x+1）＜0，所以不等式的解集是（﹣1，0）；故选：A．8．（3分）已知cosθ=﹣（＜θ＜π），则cos（）=（）A．B．C．﹣D．【解答】解：∵cosθ=﹣（＜θ＜π），∴sinθ==，∴cos（）=cosθcos+sinθsin=（﹣）×=．故选：B．9．（3分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．y＞0 B．xz＞yz C．xy＞yz D．xy＞xz【解答】解x＞y＞z，且x+y+z=0，∴x＞0，z＜0，y∈R，故A错误∴xz＜yz，故B错误，当y≤0时，C不成立，∵x＞y＞z∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，∴x＞0，z＜0．由得：xy＞xz，故D正确故选：D．10．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC，则角A的大小为（）A．B．C． D．【解答】解：∵（2b﹣c）cosA=acosC，∴（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴2sinBcosA=（sinCcosA+sinAcosC）=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，A∈（0，π），∴A=．故选：B．11．（3分）函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin （2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，可得y=cos2（x﹣φ）=cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则﹣2φ+=2kπ﹣，k∈Z，求得φ=，故选：C．12．（3分）已知tanα=2，tan（α﹣β）=﹣3，则tanβ=（）A．﹣1 B．1 C．D．5【解答】解：∵ta nα=2，tan（α﹣β）===﹣3，∴tanβ=﹣1．故选：A．13．（3分）将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【解答】解：将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=g（x）=2cos（2x﹣）的图象，令x=﹣，可得g（x）=﹣，故函数y=g（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，也不关于于直线x=﹣对称，故排除A、C；令x=时，求得g（x）=0，可得函数y=g（x）的图象关于点（，0）对称，不关于直线x=对称，故B正确、D不正确，故选：B．14．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=45，则3a4+a8=（）A．10 B．20 C．35 D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=45，∴=45，解得a5=5，∴3a4+a8=3（a1+3d）+a1+7d=4（a1+4d）=4a5=20．故选：B．15．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：作出不等式组约束条件表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点C（0，2）时，z=4x+5y取得最小值10．故选：C．16．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m 的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y=1，∴=（x+2y）（）=++4=8．（当∵不等式＞m2+2m成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选：D．17．（3分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=，=，=，=（）A．B．C．D．【解答】解：=+=﹣=（﹣）﹣（+）=﹣+=+=﹣﹣=﹣（﹣）﹣（+）=﹣，∴=（﹣+）（﹣）=﹣﹣+=﹣（4+9）+×2×3×=﹣，故选：A．18．（3分）若存在x∈R，使不等式|x﹣1|+|x﹣a|≤a2﹣a成立，则实数a的取值范围（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≤﹣1或a≥1 D．﹣1≤a≤1【解答】解：|x﹣a|+|x﹣1|在数轴上表示到a和1的距离之和，显然最小距离和就是a到1的距离，∴|1﹣a|≤a2﹣a，①a≥1时，a﹣1≤a2﹣a，即a2﹣2a+1≥0，成立；②a＜1时，1﹣a≤a2﹣a，解得：a≥1（舍）或a≤﹣1，综上，a≤﹣1或a≥1，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）19．（4分）设向量=（2，1），=（3，2），则||=．【解答】解：∵向量=（2，1），=（3，2），∴=（5，3），∴||==．故答案为：．20．（4分）角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则cos2A值为﹣．【解答】解：角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=①，∴1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=﹣，∴A为钝角，∴sinA﹣cosA===②，由①②求得sinA=，cosA=，则cos2A=2cos2A﹣1=﹣，故答案为：．21．（4分）如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则= 4．【解答】解：||≥||=|﹣|，两边平方可得，﹣2t•+t2≥﹣2•+，设•=m，则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，又|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则判别式△=4m2+4×4（4﹣2m）≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，由于（m﹣4）2≥0，则m=4，即•=4．故答案为：4．22．（4分）已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=1，则ab的取值范围是[，1] ．【解答】解：当ab＞0时，∵a，b∈R，且a2+b2﹣ab=1，∴a2+b2=ab+1，又a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立；∴ab+1≥2ab，∴ab≤1，当且仅当a=b=±1时“=”成立；即0＜ab≤1；当ab=0时，不妨设a=0，则b=±1，满足题意；当ab＜0时，又∵a2+b2≥﹣2ab，∴ab+1≥﹣2ab，∴﹣3ab≤1，∴ab≥﹣，当且仅当a=，b=﹣，或a=﹣、b=时“=”成立；即0＞ab≥﹣；综上，ab的取值范围是[﹣，1]．故答案为[，1]．三、解答题（共3小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（9分）设函数f（x）=﹣sinx cosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，且f（x）=，求cosx的值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣sinx cosx+1=﹣sin（x+）+1，故该函数的最小正周期为2π，令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若x∈[0，]，则x+∈[，]，又f（x）=，即﹣sin（x+）+1=，即sin（x+）=，∴cos（x+）=±=±．若cos（x+）=﹣，则cosx=cos[（x+）﹣]=cos（x+）cos+sin（x+）sin=﹣•+=＜0，不合题意，舍去．若cos（x+）=，则cosx=cos[（x+）﹣]=cos（x+）cos+sin（x+）sin=•+=．综上可得，cosx=．24．（10分）在△ABC中，已知AB=2，cosB=（Ⅰ）若AC=2，求sinC的值；（Ⅱ）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=，求BC的长．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵cosB=，∴sinB==，…2分∵，且AC=2，AB=2，∴sinC==…4分（Ⅱ）在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=2，cosB=，∴由余弦定理可得：b2=a2+4﹣，①…6分在△ABD和△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ADB=，cos∠BDC=，…7分∵cos∠ADB=﹣cos∠BDC，∴=﹣，解得：﹣a2=﹣6，②…9分∴由①②可得：a=3，b=3，即BC的值为3…10分25．（11分）已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣n（n∈N+），=2a n﹣1﹣n+1=0（n≥2），∴S n﹣1两式相减得：a n=2a n﹣1+1，+1），变形可得：a n+1=2（a n﹣1又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，∴数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，a n=2n﹣1．（Ⅱ）由，（k=1，2，…n），∴=，由=﹣，（k=1，2，…n），得﹣=，综上，+…（n∈N*）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准D因此，点D 坐标为9(6)2--，。

10．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且在区间[]01，上单调递减。

若()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为。

【答案】 []282ππ--，【解答】∵ ()f x 是偶函数，且在区间[]01，上单调递减。

∴ ()f x 在区间[]10-，上为增函数。

又()f x 是以2为周期的周期函数， ∴ ()f x 在区间[]12，上为增函数。

又()1f π=，(2)2f π=，以及()f x 是以2为周期的偶函数。

∴ (2)()1f f ππ-==，(82)(28)(2)2f f f πππ-=-==。

又12822ππ<-<-<，∴ 不等式组的解集为[]282ππ--，。

11．已知()2xf x x =+，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n =，3，4，…，则2017(3)f = 。

【答案】2019323-【解答】依题意，有1333(3)523f ==-，2433(3)1323f ==-，3533(3)2923f ==-， …………… 一般地，有23(3)23n n f +=-。

所以，201720193(3)23f =-。

12．已知0x >，0y >，0z >，且22251x y z ++=，则2xy yz +的最大值为。

【答案】12【解答】由222222215(4)()422(2)x y z x y y z xy yz xy yz =++=+++≥+=+，知122xy yz +≤，当且仅当2x y =，且y z =，即x =，y z ==时，等号成立。

所以，2xy yz +的最大值为12。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3f x ax a x c =+-+，且当11x -≤≤时，1()6f x ≤恒成立。

2017年浙江省高中数学竞赛试卷

2017年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式310(1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为． 2.已知3)a -=,则实数a = ．3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为．4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin()x x x y x yx y -+-=+,则x y -= ．5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数2()1g x x ax =++ （x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为．6.设S 是5(0,)8中所有有理数的集合，对简分数q S p ∈，(,)1p q =，定义函数1()q q f p p +=，则2()3f x =在S 中根的个数为． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为．8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为．9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，01λ<<，若0b c ⋅=r r，则|(1)|a b c λλ---r r r所有取不到的值的集合为．10. 已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩方程()|()240f x f x ax +---=有三个根123x x x <<．若32212()x x x x -=-，则实数a = ．二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）11. （本题满分20分）设1()f x =1()n f x +，1,2,n =L ．对每个n ，求()n f x 3x =的实数解．12. （本题满分20分）已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线(2)y k x =-交椭圆于P ，Q 两点(0)k ≠．若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线3x =于M ．（Ｉ）求MFQ ∠的大小；（Ⅱ）求PQMF的最大值．13. （本题满分20分）设数列{}n a 满足：1|2|2n n a a +-=，||2n a ≤，1,2,3,n =L ．证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列．14. （本题满分30分）设1a ，2a ，3a ；1b ，2b ，3b Z +∈，证明：存在不全为零的数1λ，2λ， {}30,1,2λ∈，使得112233a a a λλλ++和112233b b b λλλ++同时被3整除．15. （本题满分30分）设{}12,,n a a a σ=…,为{}1,2,,n …的一个排列，记11()ni i i F a a σ+==∑，11n a a +=，求min ()F σ．。

浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A

2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为1415，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【解析】2222141415n C n C +-=⇒=.2．将向量(3,4)a =r 按向量(1,2)b =r 平移得到向量c r ，则||c =r( ▲ )A．．．5 D．【答案】C【解析】由向量平移的不变性可知(3,4)c =r ，||5c ∴=r.3．对任意0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,下列不等式正确的是( ▲ )A ．()tan cos tan θθ>B ．()tan tan tan θθ>C ．()cos tan cos θθ<D ．()cos tan cos θθ> 【答案】C【解析】取=3πθ，由1cos323ππ=<知A 错误；取tan 2θ=，由tan 202<<知B 错误；取=4πθ，由tan144ππ=>知D 错误；由tan 02πθθθ⎛⎫><<⎪⎝⎭知C 正确. 4．在ABC ∆中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <C ．35k <<D ．335k k <<<或【答案】D【解析】B ∠Q 为锐角，0AB BC ∴⋅<u u u r u u u r且A 、B 、C 三点不共线，解得335k k <<<或.5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 【答案】C【解析】1()111()(2),(4)(),1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++-+==-∴+=+--Q ()f x ∴的周期4T = 由已知条件，可求得(2)3f =-，1(3)2f =-，1(4)3f =， (1)(2)(3)(4)1f f f f ∴⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．【另解】由1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，联想到两角和的正切公式，设(1)2tan f θ==，则有(2)tan 4f πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(3)tan 2f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 3(4)tan 4f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1(5)tan f a πθ=+=，…则(1)(2)(3)(4)1f f f f ⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．6．已知a R ∈，则函数1()421(0)xx f x a x +=+⋅+≥的最小值是 ( ▲ )A ．22a +B ．21a - C ．222(1)1(1)a a a a +≤-⎧⎨->-⎩ D ．21(1)22(1)a a a a ⎧-≤-⎨+>-⎩ 【答案】D【解析】122()421(2)1xx x f x a a a +=+⋅+=+-+，0x ≥Q ，21x ∴≥，∴当1a ≤-时，2min ()1f x a =-，当1a >-时，min ()22f x a =+.7．已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭r r ，则a b ⋅r r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．15,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】22sin()cos 1cos cos 16a b A A A A A π⋅=++=++r r1cos 23sin 21sin(2)2262A A A π+=++=++， 55(0,]2(,][2,]36662A A a b ππππ∈∴+∈∴⋅∈r r Q .8．已知函数3()f x x x =+，2()sin (2cos )g x x x =⋅-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个【答案】A【解析】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+ 22(sin )(sin sin 1)0x x x x x x ⇒-+++=223(sin )[(sin )1]0sin 24x x x x x x x ⇒-+++=⇒=0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.【另解】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+，构造函数3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调递增，从而sin x x =，0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.9．定义1231nkn k xx x x x ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏ ，则891891(1cos 2)sin 2k k k k ==-︒︒∏∏的值为 ( ▲ )A ．1-B ．1C ．89-D ．89【答案】B【解析】898989189111(1cos 2)1cos 2tan 1sin 2sin 2k k k k k k k k k ====-︒-︒==︒=︒︒∏∏∏∏.10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题：①函数()f x 可以为一次函数； ②函数()f x 的最小正周期一定为6；③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ωϕ∈、且0ω≠，则当且仅当2()3k k Z πωπ=+∈时，函数()cos()f x x ωϕ=+满足已知条件. 其中错误．．的是 ( ▲ ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)()f x f x f x f x +=+-+=-， (6)()f x f x ∴+=，()f x ∴的周期6T =.而一次函数没有周期，从而①错误；若()0f x ≡，则()f x 的周期为任意非零实数，从而②错误；对于③，(0)0,(1)0(2)0(3)0(4)0(5)0f f f f f f ==⇒=⇒=⇒=⇒=，又()f x 为奇函数，所以()f x 在区间[5,5]-上至少有11个解，从而③正确；对于④，当2()3k k Z πωπ=-∈时，函数也符合已知条件，从而④错误.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共11．如图执行右面的程序框图，那么输出的s 【答案】99100【解析】111112233499100s =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111199122399100100=-+-+⋅⋅⋅+-=12．函数()|sin |cos sin |cos |f x x x x x =⋅+⋅是 ▲ ．【答案】[1,1]-【解析】由函数()|sin |cos sin |cos f x x x x =⋅+⋅当x 的终边落在第一象限时,有f (x )=sin2x ∈(0,1]；当x 的终边落在第二象限时,有f (x )=0；当x 的终边落在第三象限时,有f (x )=-sin2x ∈[-1,0)；当x 的终边落在第四象限时,有f (x )=0；(11题图)3 2 18 8 3 0 7 6 8 0(13题图)当x 的终边落在两个坐标轴上时,有f (x )=0. 综上所述, f (x )的值域是[1,1]-.13．美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA 篮球明星，下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图，这些数据的平均值和方差分别为 ▲ ．【答案】25，2234【解析】平均值3828232027262810258x +++++++==，方差2222221(3825)(2825)(2325)(2025)(2725)8s ⎡=-+-+-+-+-⎣ 222223(2625)(2825)(1025)4⎤+-+-+-=⎦. 14．方程444sin 5sin x x+=的解集为 ▲ ．【答案】|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】令4sin [0,1]t x =∈，则2540(1)(4)0t t t t -+=⇒--=，1t ∴=，4sin 1x ∴=，()2x k k Z ππ∴=+∈，∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【另解】444sin 5sin x x +≥Q ，取等条件是2sin 1x =，()2x k k Z ππ∴=+∈， ∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.15．设集合[](){}22124log 24x A x B x x x ⎧⎫=<<=-=⎨⎬⎩⎭和，其中符号[]x 表示不大于x的最大整数，则A B =I ▲ ．【答案】{ 【解析】∵1244x <<，22x ∴-<<，[]x ∴的值可取2,1,0,1--. 当[x ]=2-，则22x =，∴x=；当[x ]=1-，则23x =，无解；当[x ]=0，则24x =，无解. 当[x ]=1，则25x =，无解；综上{A B =I .16．函数()f x =的最小值为 ▲ ．【答案】1【解析】先求定义域(,){0}-∞+∞U U ，易得()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，从而只需考虑()f x在){0}+∞U 上的最小值，注意到两个根号内的函数在)+∞上都递增，故()f x在)+∞上递增，故min min{(0),1y f f ==．当0x =时取到最小值．17．对于一切实数x ，不等式222cos 2cos 2xxx x θθ⋅-⋅≥-恒成立，则θ的取值范围是 ▲ ．【答案】2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈ 【解析】222cos 2cos 2x xx x θθ⋅-⋅≥-恒成立22(cos 1)(2cos 1)xx θθ⇔+≥+恒成立，当cos 1θ=-时，显然符合题意；当cos 1θ≠-时，若0x =，显然成立；当cos 1θ≠-时，若0x ≠，则原命题222cos 1cos 1x x θθ+⇔≥+恒成立，而220x x >，且当x →-∞时，220x x →，2cos 10cos 1θθ+∴≤+，11cos 2θ∴-<≤-，从而11cos 2θ-≤≤-，解得2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为θsin 和3cos ,(,)44ππθθ∈. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求sin 1cos 1cos sin θθθθ++-的值. 解：（Ⅰ）sin θQ ，θcos 为方程21204x bx -+=的两根，则有：220(1)sin cos (2)21sin cos (3)8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩L L L ， ---------------------4分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=---------------------8分（Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-Q ---------------------12分且sin cos )04πθθθ-=->， sin cos 2θθ∴-=，sin 1cos 1sin cos281cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅==+-+-.--------------------16分19．（本题满分17分）设实数19a >，函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）求实数a 的范围，使得对于区间55⎡-⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（Ⅰ）当1a =时，()f x =，令t ==，则关于x 的函数t 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，---------------------3分又定义域为(1,1)-，(0,1]t ∴∈，而1y t t=+在(0,1]上单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增；---------------------7分（Ⅱ）令t =1,[,1]3x t ⎡∈∴∈⎢⎣⎦Q ，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.----------10分（1）当1193a <≤时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 1max{3,1}13y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >得77a -<<+1193a <≤；.----------12分（2）当113a <<时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 11max{3,1}333y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >a <<，从而113a <<；.----------14分（3）当1a ≥时，a y t t =+在1[,1]3上单调递减， min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得53a <，从而513a ≤<；.----------16分综上，1593a <<..----------17分20．（本题满分18分）函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对于任意的,x y R ∈，(1)()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -+=+--； ②()f x 在区间[0,1]上单调递增. 求（Ⅰ）)0(f ；（Ⅱ）不等式2(1)10f x +-≥的解集.解：（Ⅰ）令0,1x y ==，则(0)2(0)(1)f f f =，所以(0)0f =或1(1)2f =，----------2分令0,0x y ==，则22(1)[(0)][(1)]f f f =+，令12x y ==，则21(1)2[()]2f f =，-------------------------------------------------------4分若1(1)2f =，则1(0)2f =±，11()22f =±，因为()f x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<，矛盾！因此(0)0f =，-----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）2(1)[(1)]f f =，(1)1f =.令0y =，则(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x +=+-=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称.---------------------------------------------8分再证()f x 的图像关于原点对称.令12x =，32y =，所以1311(0)()()()()2222f f f f f =+-，因为1()(0)02f f >=，所以131()()()222f f f -=-=-，令2y =，有(1)()(2)(1)(1)f x f x f f x f -=+--，对上式令12x =，则11()()(1)22f f f -=-，所以(1)1f -=-.----------------------10分又因为(2)(0)0f f ==，所以对任意的x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=--，所以()f x 的图像关于原点对称. ----------------------12分所以对于任意x R ∈，()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-，从而()f x 的最小正周期为4.----------------------14分这样可以大致描述()f x 的图像（如右）令12,33x y ==，212()2()()333f f f =，因为2()(0)03f f >=，所以11()32f =，所以51()32f =.----------------------16分由2(1)10f x +-≥，可得1(1)2f x +≥. 根据图像，可知1541433k x k +≤+≤+，k Z ∈，所以不等式的解集是22{|44,}33x k x k k Z -≤≤+∈.----------------------18分。