二元一次方程组的整数解问题、无解问题(学生版)
初一 二元一次方程组及其解法(学生版)
3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．题型1：二元一次方程【例1-1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)．举一反三：下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．=y+5x B ．3x+2y=2x+2y C ．x=y 2+1 D ．题型2：二元一次方程的解【例2-1】下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例2-2】已知二元一次方程． ⎩⎨⎧=-=+52013y x x x ay b =⎧⎨=⎩2526x y x y +=⎧⎨+=⎩1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩102x +=251x y+=132x y +=280x y -=462x y +=3142x y +=(1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ； (3)用适当的数填空，使是方程的解．举一反三：1、若方程的一个解是，则a= .2、已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．题型3：二元一次方程组及方程组的解【例3-1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例3-2】判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1） （2）举一反三：2_______x y =-⎧⎨=⎩24ax y -=21x y =⎧⎨=⎩4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②35x y =⎧⎨=-⎩21x y =-⎧⎨=⎩1、写出解为的二元一次方程组．知识点二：代入消元法1、消元法消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.消元的基本思路：未知数由多变少.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 2、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．题型1：用代入法解二元一次方程组 【例1-1】用代入法解方程组：的解为 ．12x y =⎧⎨=-⎩【例1-2】用代入法解二元一次方程组：举一反三：1、若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.2、与方程组有完全相同的解的是（ ）A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．3、若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .题型2：由解确定方程组中的相关量 【例2-1】已知关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，求k 的值．【例2-1】若方程组的解为，试求的值.举一反三：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩22(2)0x y x y +-++=ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩14x y =⎧⎨=⎩a b 、1、已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是．知识点三：加减消元法1、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．2、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．题型1：加减法解二元一次方程组【例1-1】直接加减：已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则3m n+的值为．【例1-2】先变系数后加减：2521 4323x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②【例1-3】建立新方程组后巧加减：解方程组2511 524x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②【例1-4】先化简再加减：解方程组0.10.3 1.3123x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②举一反三：1、已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．题型2：用适当方法解二元一次方程组【例2-1】（1）323112x yx y-=⎧⎨=-⎩（2）5(1)2(3)2(1)3(3)m nm n-=+⎧⎨+=-⎩举一反三：1、用两种方法解方程组29(1) 321(2) x yx y+=⎧⎨-=-⎩三、课堂练习一、选择题1．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．53x yz x+=⎧⎨+=⎩B．1113xxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C．434x y xyx y-+=⎧⎨-=⎩D．12132112(2)32x yx y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩2. 是方程ax﹣y=3的解，则a的取值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．13. 方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩ B ．21x y =⎧⎨=⎩ C ．11x y =⎧⎨=⎩ D ．23x y =⎧⎨=⎩4.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩， ①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解5．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ） A ．4和6 B ．6和4C ．2和8D ．8和﹣26．对于方程3x-2y-1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）. A ．1(31)2y x =- B ．312x y += C ．1(21)3x y =- D ．213y x += 7．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解．则a-b 的值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．38．已知2|21|(27)0x y x y --++-=，则3x y -的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣6 D ．8 9．用加减消元法解二元一次方程组231543x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，下列步骤可以消去未知数x 的是（ ）A ．①×4+②×3B ．①×2-②×5C ．①×5+②×2D ．①×5-②×2 10．解方程组①3759y x x y =-⎧⎨+=-⎩，②3512,215 6.x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是（ ）A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法 二、填空题11．已知方程2x+y ﹣5=0用含y 的代数式表示x 为：x= ．12.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==13.若（a ﹣3）x+y |a|﹣2=1是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值是 ．14．解方程组523,61,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．15.若方程3x-13y ＝12的解也是x-3y ＝2的解，则x ＝________，y ＝_______． 16.方程组的解是 ．17．用加减法解方程组3634x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②时，①+②得________，即________；②－①得________，即________，所以原方程组的解为________． 18．若522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，则m ＝_______，n ＝_______． 19．已知关于x ，y 的方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩满足3x y +=，则k = ．三、解答题20.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组． （1）甲数的13比乙数的2倍少7；（2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．21．用代入法解下列方程组：一、选择题1．下列各方程中，是二元一次方程的是（）A．=y+5x B．3x+1=2xy C．x=y2+1 D．x+y=12. 关于,m n的两个方程23321m n m n-=+=与的公共解是（）A.3mn=⎧⎨=-⎩B.11mn=⎧⎨=-⎩C.12mn=⎧⎪⎨=⎪⎩D.122mn⎧=⎪⎨⎪=-⎩3．利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．由①得x= B．由①得y=C．由②得y= D．由②得y=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（）.A．13B．13- C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（）A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等7．方程组231498x yx y+=-⎧⎨-=⎩的解是（）A．13xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．1223xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1223xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（）A．﹣B．C．D．﹣二、填空题9.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.10.已知，且，则___________.11.若方程ax-2y＝4的一个解是21xy=⎧⎨=⎩，则a的值是 .12．二元一次方程组的解是．13．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．14.已知二元一次方程组2728x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x-y＝________，x+y＝________．三、解答题15．若方程组是二元一次方程组，求a的值．16．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．。
(完整版)二元一次方程组的同解错解参数等问题(最新整理)
请解答:已知关于
x、y
的方程组
y y
kx b
3k 1
x
2
分别求出 k,b 为何值时, 方程组的解为:
⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?
5x y 7 ① 例 2. 选择一组 a,c 值使方程组 ax 2 y c
1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解
与
x 2y 5 5x by 1
（3） （4）
。
有相同的解，
2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。
ax by 2
x 3
x 2
例：解方程组 cx 7 y 8
时，本应解出
y
2
由于看错了系数
c,从而得到解
y
2
试求 a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的 值。
4. 已知方程组
4
x
by
2
① ②
x 3
由于甲看错了方程①中的
a
得到方程组的解为
y
1
;
x 5
乙看错了方程②中的
b
得到方程组的解为
y
4
,若按正确的
a、b
计算,求原方程组的解.
5..关于
x、y
的二元一次方程组
x x
y y
5k 9k
的解也是二元一次方程
2x
3y
6
的解,则
k
的值？
6.
若
4x
3y
6z
0,
x
2y
7z0 xyz来自0,求代数式5x2 2y2 z2 2x2 3y2 10z2
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组(学生)
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组。
本讲课程目标知识与技能熟练掌握方程的解法，提高分析问题的能力及解题能力，着重训练实际问题的审题、找相等关系并正确地列出方程的能力。
过程与方法 系统复习初一下册、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组等三章内容，讲练结合。
情感态度价值观本讲课程的重点1．一元一次方程的解法。
2．二元一次方程组的解法。
3．一元一次不等式及不等式组的解法本讲课程的难点1．应用一元一次方程解决实际问题。
2．二元一次方程组的消元技巧。
3．不等式的性质3的符号变换，不等式组的解集的分类。
教学方法建议精讲多练，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（ ）道（ ）道（ ）道B 类 （ ）道 （ ）道 （ ）道C 类（ ）道（ ）道（ ）道—、回顾上一讲知识一：有理数知识的复习★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理1．正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值及倒数的概念。
2．有理数的加减法、乘除法、以及乘方的运算法则及运算律（交换律、结合律、分配律）。
3．科学记数法及近似数，以及有理数混合运算的运算顺序。
★第二步：要点一经典例题讲解1．(－61＋43－125)⨯)12(-； （ 用分配律）2．B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷--⨯---3210)2(322)32(31(答案：0 )★第三步：要点一课堂巩固练习1．B.（－1）2009－（43－61－83）×24－（－2）2×3 （答案：-18 ） 2．B.20103)1(|52|)3(2)2(---+-⨯--。
（答案：0 ）二、整式的加减★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理1．单项式、多项式的概念。
2．整式加减的去括号的方法。
3．合并同类项的方法。
★第二步：要点二经典例题讲解1．B.已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则此多项式是 （ B ）A ．1562---x xB ．15--xC ．1562++-x x D ．15+-x2. C. 已知5,4=-=+c b b a ，则代数式222222a b c ab bc +++-= 41 。
二元一次方程组无解,唯一解,无数解
二元一次方程组无解,唯一解,无数解二元一次方程组在初中数学中是一个非常重要的概念，也是基础中的基础，因为它不仅能够提高我们的思维能力，还能在今后的学习和工作中为我们节省很多的时间和精力。
在这篇文章中，我将讨论二元一次方程组的三种解：无解、唯一解和无数解。
一、无解当二元一次方程组无解时，我们的线性方程组就成为了一对矛盾方程。
因为根据数学的基本原理，一条直线和一条曲线只有两个交点，而一对矛盾方程所代表的两条直线却没有交点，因此方程组无解。
比如以下的方程组：2x + y = 32x + y = 4我们会发现，这两个方程的系数都是一样的，它们所代表的直线是平行的，因此不可能有交点，这就导致它们所组成的方程组无解。
二、唯一解当二元一次方程组有唯一解时，我们的线性方程组就成为了一对一的方程。
这种情况下，方程组中的两个未知数可以被唯一地确定。
比如以下的方程组：2x + y = 3x + 3y = 10我们可以通过代入法或消元法，求得x = 1，y = 2，这就是这个方程组的唯一解。
三、无数解当二元一次方程组有无数解时，我们的线性方程组就成为了一对多的方程。
这种情况下，方程组中的两个未知数不能被唯一地确定，而是有多种可能的解法。
比如以下的方程组：2x + y = 34x + 2y = 6我们注意到这个方程组中的两个方程是有关系的，因为他们是等比例的。
将第二个方程式化简后得到：2x + y = 3如果我们将第一个方程乘以2，则有：4x + 2y = 6将这两个式子放在一起：2x + y = 34x + 2y = 6我们可以发现，这个方程组中的第二个式子是第一个式子的两倍，这就意味着这个方程组有无数个解。
因为我们可以随便选择一个x的值，然后就可以通过第一个式子求出相应的y值。
比如当x = 1时，y = 1，这就是这个方程组的一组解。
当x = 2时，y = -1，这就是另一组解。
总结在这篇文章中，我们讨论了二元一次方程组的三种解：无解、唯一解和无数解。
北师大版八年级上册第5章二元一次方程组复习教案
3.培养学生的数学建模素养，让学生在实际情境中发现数学关系，构建方程模型，体验数学与现实生活的紧密联系。
4.提高学生的团队合作意识，通过小组讨论、合作解决方程组问题，培养学生协作交流、共同探讨的团队精神。
五、教学反思
在这节复习二元一次方程组的课程中，我注意到学生们在理解方程组的定义和求解方法上普遍存在一些困难。首先，对于方程组的抽象概念，学生们往往难以从实际问题中提取关键信息，构建出相应的数学模型。在今后的教学中，我需要更多地将实际案例融入课堂，让学生通过具体情境来感受和理解方程组的实际意义。
另外，代入法和加减法是求解方程组的核心方法，但部分学生在运算过程中仍显得不够熟练。我意识到，在讲解完方法后，应该增加一些针对性的练习，让学生在课堂上就能及时巩固所学知识。同时，对于运算过程中的常见错误，我需要总结并加以强调，帮助学生避免这些错误。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调代入法和加减法这两个重点求解方法。对于如何判断解的情况这一难点，我会通过具体例题和对比分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何构建方程组并求解。
-对求解过程中涉及的代数运算的熟练掌握，包括分数、整数的四则运算，以及解方程时可能出现的复杂情况。
举例解释：
（1）判断解的情况：讲解如何通过计算行列式或观察方程系数来判断解的情况，如方程组：
x - y = 2
2x - 2y = 4
这个方程组实际上是同一个方程的倍数，因此有无数解。
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法 一、学法指引：本专题主要学习二元一次方程（组）的定义及其解法，理解二元一次方程的解的意义，二元一次方程组的解的意义，以及二元一次方程组的解的三种情况，形如，ax+by=c 的方程叫二元一次方程，它有无数个解，由几个二元一次方程够成，叫二元一次方程组，解有三种情况：1）唯一解，2）无数解，3)无解。
解方程组的思想是消元，但在解方程组时，要根据方程组的数据特点来确定解法 二、探究与思考1）探究二元一次方程的有关概念形如ax+by=c (a b ≠0)方程叫二元一次方程，满足方程的解有无数个。
例1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）（A ）1=xy （B ）21=+yx （C ）13-=x y （D ）032=--x x 例2、已知关于x,y 的方程（a －2）x |a －1|+(b+3)y|b+4|=6是二元一次方程，求a ，b讲中练下列各组数中①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==12y x ③⎩⎨⎧-==22y x ④⎩⎨⎧==61y x 是方程104=+y x 的解的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2)探究二元一次方程组的定义及其解法 形如 a 1x+b 1y=c 1的方程组叫二元一次方程组 a 2x+b 2y=c 2①代入消元法例3、用代入法解下列方程组(1)⎩⎨⎧=+-=18050y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+173x y y x (3)233511x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用代入消元法解方程组时，首先将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后代入另一个方程。
讲中练用代入法解下列(1)⎩⎨⎧=+=+7222y x y x (2) (3)②加减消元法例4、用加减法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+534734y x y x （2）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ （3）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用加减法解方程组时，首先将方程组中的某个未知数的系数化相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减。
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
专题7 二元一次方程组及其解法-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题2.1 二元一次方程组及其解法-重难点题型【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2021春•常德期末）若方程（n ﹣1）x |n |﹣3y m ﹣2025＝5是关于x ，y 的二元一次方程，则n m ＝ ．【变式1-1】（2021春•平凉期末）方程组{y −(a −1)x =5y |a|+(b −5)xy =3是关于x ，y 的二元一次方程组，则a b 的值是 ． 【变式1-2】（2017春•长宁县月考）已知方程组{3x −(m −3)y |m−2|−2=1(m +1)x =−2是二元一次方程组，求m 的值．【变式1-3】（2021春•自贡期末）已知关于x 、y 的方程（k 2﹣4）x 2+（k +2）x +（k ﹣6）y ＝k +8， 试问：①当k 为何值时此方程为一元一次方程？②当k 为何值时此方程为二元一次方程？【知识点2 二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2 二元一次方程（组）的解】【例2】（2021春•开福区月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组{mx +2y =103x −2y =0的解中x ，y 均为整数，且m 为正整数，则m 2﹣1的值为（ ）A ．3或48B ．3C ．4或49D ．48【变式2-1】（2021春•嵊州市期末）关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =9k x −y =5k的解也是二元一次方程2x +y ＝16的解，则k 的值为 ．【变式2-2】（2021春•遂宁期末）关于x ，y 的二元一次方程2x +3y ＝12的非负整数解有 组．【变式2-3】（2020春•永定区期中）若{x =2y =1是二元一次方程ax ﹣by ＝5和ax +2by ＝8的公共解，求b ﹣2a 的值．【题型3 构建二元一次方程组】【例3】（2021春•江津区期末）如果|x ﹣y ﹣3|+（x +3y +1）2＝0，那么x ，y 的值为（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =2y =−1C ．{x =−1y =−2D ．{x =−2y =−1 【变式3-1】（2020•奉贤区三模）如果单项式x 4y m ﹣n 与2019x m +n y 2是同类项，那么m +n 的算术平方根是 ．【变式3-2】（2021春•海陵区期末）已知a 、b 都是有理数，观察表中的运算，则m ＝ ．a 、b 的运算a +b a ﹣b （a +2b ）3 运算的结果 5 9 m【变式3-3】（2021春•三门峡期末）对于有理数x ，y ，定义一种新运算：x ⊕y ＝ax +by ﹣5，其中a ，b 为常数．已知1⊕2＝9，（﹣3）⊕3＝﹣2，则2a ﹣b ＝ ．【题型4 整体换元求值】【例4】（2021春•绥棱县期末）已知x ，y 满足方程组{2x +5y =m −145x +2y =−m，则11x +11y 的值为（ ） A ．﹣22 B ．22 C ．11m D ．14【变式4-1】（2021•安徽二模）若x 2﹣y 2＝2021，且x ﹣y ＝1．则x ＝ ．【变式4-2】（2021春•自贡期末）阅读以下材料：解方程组{x −y −1=0①4(x −y)−y =5②． 解：由①得x ﹣y ＝1③，将③代入②得4×1﹣y ＝5，解得y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①解得{x =0y =−1，这种方法称为“整体代入法”． 请你用这种方法解方程组{2x −y −2=0①6x−3y+45+2y =12②．【变式4-3】（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5即2（2x +5y ）+y ＝5③，把方程①代入③得：2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①得x ＝4，∴方程组的解为{x =4y =−1． 请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5①9x −4y =19②； （2）已知x ，y 满足方程组{3x 2−2xy +12y 2=47①2x 2+xy +8y 2=36②，求x 2+4y 2与xy 的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】【例5】（2020春•定州市校级期末）解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，一学生把c 看错而得{x =−2y =2，正确的解是{x =3y =−2，那么a 、b 、c 的值是（ ）A ．不能确定B ．a ＝4，b ＝5，c ＝﹣2C ．a ，b 不能确定，c ＝﹣2D ．a ＝4，b ＝7，c ＝2【变式5-1】（2020春•牡丹江期中）甲乙两人解方程组{ax +5y =15，①4x −by =−2，②，由于甲看错了方程①中的a ，而得到方程组的解为{x =−3y =−1，乙看错了方程②中的b ，而得到的解为{x =5y =4，则a +b ＝ ． 【变式5-2】（2021春•青川县期末）解关于x ，y 的方程组{ax +by =93x −cy =−2时，甲正确地解出{x =2y =4，乙因为把c 抄错了，误解为{x =4y =−1，求a ，b ，c 的值．【变式5-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下{▲x +■y =2(1)▲x −7y =8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为{x =3y =−2”，而小红说：“我求出的解是{x =−2y =2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．【题型6 根据方程组解的个数求参数】【例6】（2021春•江夏区期末）如果关于x ，y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解是正数，那a 的取值范围是（ ） A ．﹣4＜a ＜5 B ．a ＞5 C ．a ＜﹣4 D ．无解【变式6-1】（2020秋•锦江区校级期中）若方程组{ax −y =14x +by =2有无数组解，则a +b ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．﹣1 D ．0【变式6-2】（2021春•仓山区期中）关于x ，y 的方程（m ﹣1）x +4y ＝2和3x +（n +3）y ＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）①当m ＝1，n ＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；②当m ＝1且n ≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；③当m ＝7，n ＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；④当m ＝7且n ≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．【变式6-3】（2021春•汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x +3y ＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x +3y ＝12，得：y =12−2x 3=4−23x （x 、y 为正整数）．要使y ＝4−23x 为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4−23x ＝2．所以2x +3y ＝12的正整数解为{x =3y =2． 问题：（1）请你直接写出方程3x +2y ＝8的正整数解 {x =2y =1． （2）若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x 的值有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（3）关于x ，y 的二元一次方程组{x +2y =92x +ky =10的解是正整数，求整数k 的值．。
第八章 二元一次方程组专题复习(学生版)
第八章 二元一次方程组专题复习（学生版）一．知识网络结构二．知识要点剖析知识点一:二元一次方程（组）有关概念1.（1）二元一次方程:含有_____未知数，且未知项的次数为___，这样的方程叫二元一次方程。
（2）二元一次方程的解：能使二元一次方程________的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用________的形式表示，任何一个二元一次方程都有________解。
2．（1）二元一次方程组：由_____或________且方程组中仅含有_______的未知数一次方程组成。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的_______，叫做二元一次方程组的解。
3．三元一次方程组：由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
知识点二.二元一次方程（组）的基本解法：（1）_______消元法 （2）_______消元法 1.解二元一次方程组的思路：二元一次方程组____________一元一次方程。
2.解二元一次方程组的一般步骤：当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用_______消元法；当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用______消元法较简单。
知识点三.列一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤：概括为“______________________________”五步.三.考点典型例析考点1.等式变形1.如果2x-7y=8，那么用含y 的代数式表示x 正确的是（ ） A.y=72-8x B.y=782+x C.x=278y + D.x=278y- 2.由方程组可得出x 与y 的关系是（ ）A.2x+y=4B.2x ﹣y=4C.2x+y=﹣4D.2x ﹣y=﹣4考点2.二元一次方程（组）的概念1．下列选项中，是二元一次方程的是( )A ．xy ＋4x ＝7B ．π＋x ＝6C ．x －y ＝1D ．7x ＋3＝5y ＋7z2．下列方程组：①⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋y ＝2；②⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＝1；③⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋3z ＝－2；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 其中是二元一次方程组的有____________．(填序号即可)3．若一个二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 （只要求写出一个）4.若x|2m －3|＋(m －2)y ＝6是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值是( ) A ．1B ．任何数C ．2D ．1或25.已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4ym ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为_______.6.下列说法正确的是（ ） A.是方程的一个解 B.是二元一次方程组C.方程可化为D.当a 、b 是已知数时，方程的解是考点3.二元一次方程(组)的解1.写出方程x ＋2y ＝5的正整数解___________．2.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝5，y －x ＝1有正整数解，则正整数a 为( )A ．1，2B ．2，5C ．1，5D ．1，2，53.如果⎩⎨⎧==13-y x 是方程ax+（a ﹣2）y=0的一组解，则a 的值（ ）A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2 4.不解方程组，观察下列方程组无解的一组是（ ）二元一次方程二元一次方程组的概念二元一次方程组的解法 二元一次方程组的应用三元一次方程组____消元法____消元法解一元一次方程组A.⎩⎨⎧-=+=+2212y x y x B.⎩⎨⎧-=+=-42412y x y x C.⎩⎨⎧=+=+224336y x y x D.⎩⎨⎧-=+-=-22412y x y x5.以方程组 的解为坐标的点（x ，y ）在第_____象限．6.已知是方程组的解，则间的关系是（ ）.A.B.C.D.7.小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●与★的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －ay ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ，y ＝1，则a b 的值为______． 9.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为( )A ．4B ．2C ．D ． ±210.若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ay x ay x 93的解是二元一次方程2x ﹣3y+12=0的一个解，则a 的值是（ ）A.43 B.-74 C.47 D.-34 11.若方程组与有相同的解，则a= ，b= .12.已知方程组的解满足x+y=2，则k 的算术平方根为（ ）A ．4B ．﹣2C ．﹣4D ．213.若方程组的解是则方程组的解为 .14.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，cx －7y ＝8时，一学生把c 看错而得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，而正确的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，那么a ，b ，c 的值是( )A ．不能确定B ．a ＝4，b ＝5，c ＝－2C ．a ，b 不能确定，c ＝－2D ．a ＝4，b ＝7，c ＝2 考点4.解二元一次方程组 1.解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1；② (2)⎩⎨⎧=+=+2.54.22.35.12y x y x(3)⎩⎨⎧3（x ＋y ）－4（x －y ）＝6，x ＋y 2－x －y 6＝1. (4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，3x －z ＝7，x －y ＋3z ＝02.用代入法解方程组有以下步骤：①：由（1），得y ＝（3）；②：由（3）代入（1），得7x ﹣2×＝3；③：整理得3＝3；④：∴x 可取一切有理数，原方程组有无数个解 以上解法，造成错误的一步是（ ）A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3.有加减法解方程3210415x y x y -=⎧⎨-=⎩①②时，最简捷的方法是（ ）A ．①×4﹣②×3，消去xB ．①×4+②×3，消去xC ．②×2+①，消去yD ．②×2﹣①，消去y 4.已知，则.5.若与的和是单项式，则( ).A. B.C. D.6.已知代数式x 2+bx+c ，当x=1时，它的值是2；当x=-1时，它的值是8；则b= ，c= 。
人教版七年级下册第八章含参二元一次方程组解法、同解、错解问题专题
含参二元一次方程组解法、同解、错解问题含参问题类型类型题1：含参问题构建二元一次方程组解方程例题1.若0)532(54=-++-+n m n m ，求()2n m -的值。
2.已知方程3)5()2()24(12=+----b a y b x a 是关于x、y的二元一次方程，求a与b的值。
3.已知与互为相反数，则=______，=________．4.已知2a y＋5b 3x 与b 2－4y a 2x 是同类项，那么x，y的值是()．学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容含参二元一次方程组解法、同解、错解问题教学目标1．掌握含参的二元一次方程组的同解、错解的解题方法2．掌握复杂的二元一次方程组的解法2．了解二元一次方程组的解有无数组解、唯一解与无解，会进行简单的求解二元一次方程组的灵活应用针对练习1.若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则的值是．2.若x a+1y-2b与-x2-b y2的和是单项式，则a、b的值分别的（）A.a=2，b=-1B.a=2，b=1C.a=-2，b=1D.a=-2，b=-13.若单项式与是同类项，则，的值分别是多少4..若｜x－y－1｜＋(2x－3y＋4)2＝0，则x＝，y＝．5.若是关于，的二元一次方程，则（）A．，B．，C．，D．，类型题2：恒成立问题构建二元一次方程组解方程例题1.在方程(x＋2y－8)＋m(4x＋3y－7)＝0中，找出一对x，y值，使得m无论取何值，方程恒成立．2.在方程(a+6)x-6+(2a-3)y=0中，找出一对x，y值，使得a无论取何值，方程恒成立.类型题3：（新题型）含有三个未知数的方程组求比例例题1.已知满足方程组，求【学有所获】1）口述：2个未知数需要几个方程，3个未知数需要几个方程，n个未知数需要几个方程2）整体思想一般运用在哪些方面，试着自己归类总结。
针对练习1.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,且xyz≠0.(1)请用含z的代数式表示x、y，并求出x:y:z的值(2)你能求出的值。
二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结
二元一次方程组 （拓展与提优）1、二元一次方程：含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，像这样の整式方程叫做二元一次方程， 它の一般形式是 ax by c（a 0,b 0）.例 1、若方程（ 2m-6）x|n|-1+（n+2）ym2-8=1是关于x 、yの二元一次方程，求 m 、n の值.2、二元一次方程の解： 一般地，能够使二元一次方程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做二元一次方程の解.【二元一次方程有 无数组 解】3、二元一次方程组： 含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，将这样の两个或几个一次方 程合起来组成の方程组叫做二元一次方程 组 .4、二元一次方程组の解： 二元一次方程组中の几个方程の公共解，叫做二元一次方程组の解 . 【二元一次方程组解x y 1 x y 1x y 1 x y 1の情况：①无解，例如： x y 6，2x 2y 6；②有且只有一组解， 例如： 2x y 2 ；③有无数组解，例如： 2x 2y 2】例 2、已知2x +（m -1）y ＝2nx+ y ＝1の解，试求 （m+n ） 2016の值例 3、 方程 x 3y 10 在正整数范围内有哪几组解？5、二元一次方程组の解法： 代入消元法和加减消元法。
例 4、 将方程 10 2（3 y ） 3（2 x ） 变形，用含有 x の代数式表示 y .例 5、用适当の方法解 二元一次方程组ax y 1例 6、若方程组有无数组解，则 a 、 b の值分别为（）6x by 2B. a 2,b 1C.a=3,b=-2D. a 2 b, 2x2x 2是关于 x 、 y の二元一次方程组A. a=6,b=-1例 7、已知关于 x, y の方程组 3x 5y m 2の解满足 x y 10,求式子 m 2 2m 1の值. 2x 3y m6、三元一次方程组及其解法： 方程组中一共含有三个未知数，含未知数の项の次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上の方程，这样の方程组叫做三元一次方程组。
二元一次方程组的整数解问题、无解问题(学生版)
二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题1、若关于x，y的方程组26x ymx y-=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m为（）．A.0，1B.1，3，7C.0，1，3D.1，32、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2的值为（）．A.4B.4，49C.1，4，49D.无法确定3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组()112x a yx y⎧+-=⎨-+=⎩的解是整数．4、422ax yx y+=⎧⎨-=⎩（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．5、当整数m=______时，方程组21148x myx y+=⎧⎨+=⎩的解是正整数．6、正整数a取______时，方程组52x yax y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数．7、请回答下列问题：（1）当方程组2520x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a的值为______．（2）m为正整数，已知二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2=______．8、关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数，求非负整数a的值．9、当关于x、y的方程组21230x myx y+=⎧⎨-=⎩的解为正整数时，求整数m的值．10、已知方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩，当方程组的解是正整数时，求整数m的值，并求出方程的所有正整数解．11、若m为正整数，且已知关于x、y的二元一次方程组220520mx yx y+=⎧⎨-=⎩的解为一组整数，求m2的值．12、m取什么整数值时，方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数？并求它的所有正整数解．二、二元一次方程组的无解问题关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2均为实数，则解的情况有以下三种： ①当12a a ≠12b b 时，方程组有唯一的解； ②当12a a =12b b =12c c 时，方程组有无数多解； ③当12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解． 即：①当x 与y 的系数不成比例，常数取任意值时，有唯一解；②当、x 、y 与常数的系数都成比例时，有无数个解；③当x 与y 的系数成比例，常数不成比例时，无解．13、方程组423634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解的情况是（）． A .有唯一解 B .无解 C .有两解 D .有无数解14、与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（）．A .10x +2y =4B .4x -y =7C .20x -4y =3D .15x -3y =615、若方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无数解，则下列说法正确的是（）． A .m =6，n ≠10B .m ≠6，n ≠10C .m =6，n =10D .无法确定 16、若方程组()1332k x y kx y ⎧--=⎨-=⎩有无数个解，则k 的值为（）． A .1B .2C .3D .不存在这样的值 17、若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（）． A .-6 B .6 C .9 D .3018、方程组373921x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是______19、若二元一次方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无数组解，则m =______；n =______． 20、关于x ，y 的二元一次方程组232145ax y k x y +=-⎧⎨+=⎩有无数组解，求a +k =______． 21、关于x 、y 的方程组4410841x ky y x ++=⎧⎨-=⎩有无穷多组解，则k 的值为______．22、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()214mx y n m x y -=-⎧⎨--=-⎩． （1）无解．（2）唯一解．（3）有无数多解．23、关于x ,y 的二元一次方程组8328ax y k x y k +=-⎧⎨--=-⎩有无数组解，求参数a ,k 满足的条件；若方程组有唯一解，则参数a ,k 又需要满足什么条件？24、求k ，a 为何值时，关于x 、y 的方程组()4222kx y a k x y -=⎧⎨+-=-⎩的解满足： （1）有唯一一组解．（2）无解．（3）有无数组解．25、已知关于x ，y 的方程组1ax y a x y -=⎧⎨-=⎩．（1）当a ≠1时，解这个方程组．（2）若a =1，方程组的解的情况怎样？（3）若a =1，方程组2ax y a x y -=⎧⎨-=⎩的解的情况怎样？。
二元一次方程组唯一解 无解 无数解
二元一次方程组唯一解无解无数解《二元一次方程组的解：唯一、无解和无数解》我今天可太想跟你们聊聊数学里的二元一次方程组啦。
你们知道吗，这二元一次方程组就像一个神秘的宝藏世界，有着不同的情况，就像宝藏有的是独一无二的，有的根本不存在，还有的多到数不清呢。
咱们先来说说二元一次方程组有唯一解的情况吧。
我给你们举个例子，就像我和我的小伙伴去买文具。
我买了一支铅笔和一个本子，铅笔的价格是x元，本子的价格是y 元，我一共花了5元钱，那就是x + y = 5。
我的小伙伴呢，他买了两支铅笔和一个本子，一共花了7元钱，那就是2x + y = 7。
这就组成了一个二元一次方程组。
那怎么找到这个唯一的解呢？就像我们在找宝藏的钥匙一样。
我们可以用消元法，把第二个方程减去第一个方程，就得到了x = 2。
然后把x = 2代入第一个方程，就能算出y = 3啦。
这就像我们找到了那个唯一能打开宝藏箱子的钥匙，这个方程组的解就是x = 2，y = 3，是唯一的哦。
这时候的二元一次方程组就像是一个只有一把锁的宝箱，那把钥匙就是唯一的解。
你们想啊，如果我们去商店买东西，价格都是确定的，就像这个方程组的解是确定的一样，不会有第二种情况。
再说说二元一次方程组无解的情况。
我在想啊，就好像我做了一个梦，我在一个奇怪的市场里。
这里说买一个超级大的气球加上一个小风筝要10元钱，就是x + y = 10。
然后又说买一个超级大的气球加上一个小风筝要15元钱，这就是x + y = 15。
这怎么可能呢？一个东西加上另一个东西，不可能一会儿是10元，一会儿是15元啊。
这就像你要找一个根本不存在的宝藏，你按照地图找啊找，结果发现这个地图是骗人的，根本就没有这个宝藏。
在数学里，这两个方程代表的直线是平行的，就像两条永远不会相交的铁轨，没有交点就意味着没有解。
我当时在梦里就觉得好困惑啊，我就想这怎么回事呢？就像你满心期待地去找宝藏，结果发现是一场空，这种感觉可真不好。
二元一次方程组有唯一解,无解,无穷解的条件
二元一次方程组有唯一解,无解,无穷解的条件1. 当二元一次方程组中两个方程的斜率不同时，那肯定就有唯一解啦！就像两个人走不同的路，肯定只会在一个特定的点相遇呀，比如方程组 x + y = 5，2x - y = 1。
2. 要是二元一次方程组中两个方程实际上是同一个方程，那不就有无穷解了嘛！这就好像你在同一条路上一直走呀走，有无数个点都符合呀，像 x + y = 2，2x + 2y = 4 不就是这样嘛。
3. 嘿，当二元一次方程组中两个方程表示的直线是平行的，那可就无解啦！这就如同两条平行线，永远不会相交呀，例如 x + y = 3，x + y = 5。
4. 你想想看，如果两个方程能准确地指向一个唯一的解，那不是很神奇吗？就像在茫茫人海中一下子就找到了那个对的人，像 2x + 3y = 8，3x - y = 1 就是这样呀。
5. 要是方程组怎么都找不到一个确定的解，那就是无解呀，这多让人无奈呀！好比一直在黑暗中摸索却找不到出口，比如 x - y = 1，x - y = 2。
6. 哇塞，无穷解就像是拥有了无尽的可能，那感觉多棒呀！就像进入了一个充满宝藏的世界可以随便探索，像 2x + 4y = 6，x + 2y = 3 就是这种呢。
7. 你说，当看到一个方程组能明确地得出一个唯一解，是不是很有成就感呀？就像解开了一个超级难的谜题，像 3x + 2y = 7，x - y = 1 就是例子呀。
8. 哎呀，要是遇到无解的方程组，真的会让人有点小失落呢！就像努力了半天却发现没有结果，像 2x + 2y = 5，x + y = 3 这样的。
9. 当发现方程组有无穷解的时候，是不是会觉得很惊喜呀！好像打开了一扇通往奇妙世界的大门，例如 2x + 2y = 4，x + y = 2 呀。
10. 所以说呀，了解二元一次方程组有唯一解、无解、无穷解的条件真的很重要呢！这能让我们更好地理解数学的奇妙呀！我的观点结论就是：掌握这些条件对于学好二元一次方程组至关重要，能让我们更深入地理解数学的奥秘和乐趣。
二元一次方程组无解问题
二元一次方程组无解通常发生在以下情况：
1.斜率相同但截距不同：当两个方程的斜率（即x的系数之比）相等，但常数项（即y的
系数）不相等时，方程组没有解。
这种情况在几何上表现为两条平行线，它们永远不会相交，因此没有共同的点（解）。
2.斜率不同但截距相同：当两个方程的斜率不同，但常数项相同时，方程组也没有解。
这
在几何上表现为两条直线重合，虽然它们相交于无数个点，但这些点不满足第二个方程的条件。
3.完全相同的方程：如果两个方程完全相同，则方程组也没有解。
这在几何上表现为两条
完全重合的直线，它们没有额外的交点。
要确定二元一次方程组是否有解，可以使用消元法或代入法来求解。
如果在求解过程中发现矛盾或无法找到满足所有方程的解，则方程组无解。
例如，考虑方程组：
2x + y = 4
4x + 2y = 7
通过消元法或代入法可以发现，这个方程组实际上没有解。
在几何上，这两条直线是平行的，因此没有交点。
请注意，以上解释是基于线性代数的观点。
在实际应用中，还需要考虑方程是否有意义（例如分母不能为零等）以及其他可能的约束条件。
二元一次方程组无解
二元一次方程组无解二元一次方程组无解一、前言二元一次方程组在初中阶段是必修内容之一，而二元一次方程组的解法又非常多，如图解法、代入法、消元法等。
但是本文不是在讲这些方程组的解法，而是要讲解无解的情况。
二、什么是无解？无解就是指二元一次方程组中的方程在某种情况下无法同时成立，这种情况被称为无解。
通常来说，无解的情况有两种：1.两个方程的解集为空集2.两个方程在图像上平行关于第二种情况，我们先来看下面的一组方程组：$$\begin{cases}2x+y=3\\2x+y=5\\\end{cases}尝试用消元法解之：$$\begin{aligned}&\begin{cases}2x+y=3\\2x+y=5\\\end{cases}\\&\rightarrow\begin{cases}2x+y=3\\0x+0y=2\\\end{cases}\\\end{aligned}$$这时候我们可以发现，第二个方程的解集为{}，因为0x+0y=2这个方程在实数域内无解。
此时，无解的情况就出现了。
三、图解法说明对于第二种情况，我们可以通过图解法很好地说明。
比如我们有以下两个方程：$$\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\\\end{cases}$$我们可以将两个方程的解集用直线表示。
首先将第一个方程表示为直线：y=-x+1然后将第二个方程表示为直线：y=-x+2我们发现，这两条直线是平行的，没有交点。
所以这个二元一次方程组的解集也为空集，即无解。
四、避免无解的情况综上所述，我们知道了没有重合点的两条直线是无解的情况，那么怎样避免这种情况的发生呢？其实很简单，只需要在列方程的时候的确保两个方程的解集有交点即可。
比如我们可以这样列方程：\begin{cases}x+y=1\\x-y=2\\\end{cases}$$我们将两个方程表示为直线：y=-x+1和y=x-2。
很明显，这两条直线有一个交点(-0.5,1.5)，因此这个方程组有解。
《二元一次方程组》培优学生版附答案
《二元一次方程组》提升练习（一）填空题（每空2分，共28分）：1．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．2．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______．3．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．4．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．5．已知是方程组的解，则m 2－n 2的值为_________．6．若满足方程组的x 、y 的值相等，则k ＝_______．7．已知＝＝，且a ＋b －c ＝，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______．8．解方程组，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．（二）选择题（每小题2分，共16分）：9．若方程组的解互为相反数，则k 的值为…………………（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）1110．若，都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为（ ） （A ）4 （B ）－10 （C ）4或－10 （D ）－4或1011．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是，，则这个二元一次方程是……………………（ ）（A ）y ＝2x ＋3 （B ）y ＝2x －3（C ）y ＝2x ＋1 （D ）y ＝－2x ＋112．由方程组可得，x ∶y ∶z 是………………………………（ ）（A ）1∶2∶1 （B ）1∶（－2）∶（－1）（C ）1∶（－2）∶1 （D ）1∶2∶（－1）13．如果是方程组的解，那么，下列各式中成立的是…（ ）（A ）a ＋4c ＝2 （B ）4a ＋c ＝2 （C ）a ＋4c ＋2＝0 （D ）4a ＋c ＋2＝014．关于x 、y 的二元一次方程组没有解时，m 的值是…………（ ）（A ）－6 （B ）－6 （C ）1 （D ）0⎩⎨⎧==12y x －⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx ⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 2a 3b 4c 121⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+634323x z z y y x ⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x ⎩⎨⎧-==20y x ⎪⎩⎪⎨⎧==311y x ⎩⎨⎧-==11y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x ⎩⎨⎧=-=21y x ⎩⎨⎧=-=+10cy bx by ax ⎩⎨⎧=+=-2312y mx y x15．若方程组与有相同的解，则a 、b 的值为（ ）（A ）2，3 （B ）3，2 （C ）2，－1 （D ）－1，216．若2a ＋5b ＋4z ＝0，3a ＋b －7z ＝0，则a ＋b －c 的值是……………………（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）－1（三）解方程组（每小题4分，共16分）：17．18．19．20．（四）解答题（每小题5分，共20分）:21．已知，xyz ≠0，求的值．22．甲、乙两人解方程组，甲因看错a ，解得，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得，求a 、b 的值．23．已知满足方程2 x －3 y ＝m －4与3 x ＋4 y ＝m ＋5的x ，y 也满足方程2x ＋3y ＝3m －8，求m 的值．24．当x ＝1，3，－2时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值分别为2，0，20，求：（1）a 、b 、c 的值；（2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．（五）列方程组解应用题（第1题6分，其余各7分，共20分）:25．有一个三位整数，将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．26．某人买了4 000元融资券，一种是一年期，年利率为9%，另一种是两年期，年利率是12%，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少？27．汽车从A 地开往B 地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+．022325232y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++=-8001005.8%60%10)503(5)150(2y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--．6)(2)(3152y x y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x ⎩⎨⎧=+-=-+0254034z y x z y x 222223y x z xy x +++⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ⎩⎨⎧==32y x ⎩⎨⎧-=-=21y xAB 中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B 地．求AB 两地的距离及原计划行驶的时间．《二元一次方程组》提升练习（一）填空题（每空2分，共28分）：1．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．【提示】要满足“二元”“一次”两个条件，必须a －2≠0，且b ≠0，及| a |－1＝1．【答案】a ＝－2，b ≠0．2．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______．【提示】由“互为相反数”，得|2a ＋3 b －7|＋（2a ＋5b －1）2＝0，再解方程组【答案】a ＝8，b ＝－3．3．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．【提示】将方程化为y ＝，由y ＞0、x ＞0易知x 比0大但比5小，且x 、y 均为整数．【答案】，4．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．【提示】解方程组．【答案】5．已知是方程组的解，则m 2－n 2的值为_________．【提示】把代入方程组，求m ，n 的值．【答案】－．6．若满足方程组的x 、y 的值相等，则k ＝_______．【提示】作y ＝x 的代换，先求出x 、y 的值．【答案】k ＝．7．已知＝＝，且a ＋b －c ＝，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______．【提示】即作方程组，故可设a ＝2 k ，b ＝3 k ，c ＝ 4 k ，代入另一个方程求k 的值．【答案】a ＝，b ＝，c ＝．【点评】设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．⎩⎨⎧=-+=-+01520732b a b a 2315x-⎩⎨⎧==61y x ⎩⎨⎧==．33y x ⎩⎨⎧=-=-54532y x y x ⎩⎨⎧-==．11y x ⎩⎨⎧==12y x －⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx ⎩⎨⎧==12y x －438⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 652a 3b 4c 121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==121432c b a c b a 6141318．解方程组，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．【提示】根据方程组的特征，可将三个方程左、右两边分别相加，得2 x ＋3 y ＋z ＝6，再与3 y ＋z ＝4相减，可得x ．【答案】x ＝1，y ＝，z ＝3．（二）选择题（每小题2分，共16分）：9．若方程组的解互为相反数，则k 的值为…………………（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11【提示】将y ＝－x 代入方程 2 x －y ＝3，得x ＝1，y ＝－1，再代入含字母k 的方程求解．【答案】D ．10．若，都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为（ ） （A ）4 （B ）－10 （C ）4或－10 （D ）－4或10【提示】将x 、y 对应值代入，得关于| a |，b 的方程组【答案】C ． 【点评】解有关绝对值的方程，要分类讨论．11．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是，，则这个二元一次方程是……………………（ ）（A ）y ＝2x ＋3 （B ）y ＝2x －3（C ）y ＝2x ＋1 （D ）y ＝－2x ＋1【提示】将x 、y 的两对数值代入ax ＋b ＝y ，求得关于a 、b 的方程组，求得a 、b 再代入已知方程．【答案】B ．【点评】通过列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．12．由方程组可得，x ∶y ∶z 是………………………………（ ）（A ）1∶2∶1 （B ）1∶（－2）∶（－1）（C ）1∶（－2）∶1 （D ）1∶2∶（－1）【提示】解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．【答案】A ．【点评】当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组，是可行的方法．13．如果是方程组的解，那么，下列各式中成立的是…（ ）（A ）a ＋4c ＝2 （B ）4a ＋c ＝2 （C ）a ＋4c ＋2＝0 （D ）4a ＋c ＋2＝0⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+634323x z z y y x 31⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x ⎩⎨⎧-==20y x ⎪⎩⎪⎨⎧==311y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-．631||62b a b ⎩⎨⎧-==11y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x ⎩⎨⎧=-=21y x ⎩⎨⎧=-=+10cy bx by ax【提示】将代入方程组，消去b ，可得关于a 、c 的等式．【答案】C ．14．关于x 、y 的二元一次方程组没有解时，m 的值是…………（ ）（A ）－6 （B ）－6 （C ）1 （D ）0【提示】只要满足m ∶2＝3∶（－1）的条件，求m 的值．【答案】B ．【点评】对于方程组，仅当＝≠时方程组无解．15．若方程组与有相同的解，则a 、b 的值为（ ）（A ）2，3 （B ）3，2 （C ）2，－1 （D ）－1，2【提示】由题意，有“相同的解”，可得方程组，解之并代入方程组，求a 、b ．【答案】B ．【点评】对方程组“解”的含义的正确理解是建立可解方程组的关键．16．若2a ＋5b ＋4z ＝0，3a ＋b －7z ＝0，则a ＋b －c 的值是……………………（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）－1【提示】把c 看作已知数，解方程组用关于c 的代数式表示a 、b ，再代入a ＋b －c ．【答案】A ．【点评】本题还可采用整体代换（即把a ＋b －c 看作一个整体）的求解方法．（三）解方程组（每小题4分，共16分）：17．【提示】将方程组化为一般形式，再求解．【答案】 ⎩⎨⎧=-=21y x ⎩⎨⎧=+=-2312y mx y x ⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 21a a 21b b 21c c ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a ⎩⎨⎧=-=+52243y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-4352by x a y b ax ⎩⎨⎧=-+=++0730452c b a c b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+．022325232y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==．232y x18．【提示】将方程组化为整系数方程的一般形式，再用加减法消元．【答案】19．【提示】用换元法，设x －y ＝A ，x ＋y ＝B ，解关于A 、B 的方程组， 进而求得x ，y ．【答案】20．【提示】 将三个方程左，右两边分别相加，得4x －4y ＋4z ＝8，故 x －y ＋z ＝2 ④，把④分别与第一、二个方程联立，然后用加、减消元法即可求得x 、z 的值．【答案】（四）解答题（每小题5分，共20分）:21．已知，xyz ≠0，求的值．【提示】把z 看作已知数，用z 的代数式表示x 、y ，可求得x ∶y ∶z ＝1∶2∶3．设x ＝k ， y ＝2 k ，z ＝3 k ，代入代数式．【答案】．【点评】本题考查了方程组解法的灵活运用及比例的性质．若采用分别消去三个元可得方程21 y －14 z ＝0，21 x －7 z ＝0，14 x －7 y ＝0，仍不能由此求得x 、y 、z 的确定解，因为这三个方程不是互相独立的．22．甲、乙两人解方程组，甲因看错a ，解得，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得，求a 、b 的值．【提示】可从题意的反面入手，即没看错什么入手．如甲看错a ，即没看错b ，所求得的解应满足 4 x －by ＝－1；而乙写错了一个方程中的b ，则要分析才能确定，经判断是将第二方程中的b 写错．【答案】a ＝1，b ＝3．23．已知满足方程2 x －3 y ＝m －4与3 x ＋4 y ＝m ＋5的x ，y 也满足方程2x ＋3y ＝3m －8，求m 的值．⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++=-8001005.8%60%10)503(5)150(2y x y x ⎩⎨⎧==．30500y x ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--．6)(2)(3152y x y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-623152B A B A ⎩⎨⎧-==．11y x ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==．15451z y x ⎩⎨⎧=+-=-+0254034z y x z y x 222223y x z xy x +++516⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ⎩⎨⎧==32y x ⎩⎨⎧-=-=21y x【提示】由题意可先解方程组用m 的代数式表示x ，y再代入3 x ＋4 y ＝m ＋5．【答案】m ＝5．24．当x ＝1，3，－2时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值分别为2，0，20，求：（1）a 、b 、c 的值；（2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．【提示】由题得关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 再代入这个代数式．【答案】a ＝1，b ＝－5，c ＝6；20．【点评】本例若不设第一问，原则上也应在求出a 、b 、c 后先写出这个代数式，再利用它求值．用待定系数法求a 、b 、c ，是解这类问题常用的方法．（五）列方程组解应用题（第1题6分，其余各7分，共20分）:25．有一个三位整数，将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．【提示】设百位上的数为x ，由十位上的数与个位上的数组成的两位数为y ，根据题意，得【答案】x ＝4，y ＝39，三位数是439．【点评】本例分别设十位上的数和个位上的数为不同的未知数，无论从列方程组还是解方程组都更加简捷易行．26．某人买了4 000元融资券，一种是一年期，年利率为9%，另一种是两年期，年利率是12%，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少？【提示】若设一年期、二年期的融资券各买x 元，y 元，由题意，得【答案】x ＝1 200，y ＝2 800．【点评】本题列方程组时，易将二年期的融资券的利息误认为是y 元，应弄清题设给出的是年利率，故几年到期的利息应该乘几．27．汽车从A 地开往B 地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离AB 中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B 地．求AB 两地的距离及原计划行驶的时间．【提示】设原计划用x 小时，AB 两地距离的一半为y 千米，根据题意，得【答案】x ＝8，2y ＝360．【点评】 与本例中设AB 两地距离的一半为y 千米一样，也可设原计划的一半时间为x 小时．恰当地设未知数，可以使列方程组和解方程组都更加简便．⎩⎨⎧-=+-=-8332432m y x m y x ⎩⎨⎧=++=-+．y x x y y x 391045100⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+78010012210090004y x y x 10012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=⋅+⋅21554040402250240x y y y x x。
二元一次方程组无解
二元一次方程组无解二元一次方程组无解是数学中的一个概念，它表示一个包含两个未知数的方程组在数学上无法找到满足所有方程的解。
这种情况可能在现实生活中存在，也可能只是数学上的抽象概念。
无论是哪种情况，我们都可以通过一些例子来说明二元一次方程组无解的原因和意义。
假设有一个问题，要求我们找到满足以下两个条件的数：它们的和是7，它们的差是3。
我们可以设这两个数分别为x和y，那么我们可以得到以下两个方程：x + y = 7x - y = 3我们可以尝试解这个方程组。
将第一个方程两边同时减去第二个方程，我们得到：2y = 4这意味着y = 2。
将y的值代入第一个方程，我们可以求得x的值：x + 2 = 7x = 5所以，根据我们的计算，满足以上两个条件的数是5和2。
但是，我们可以发现，这个方程组并不是无解的，而是有唯一解。
那么，我们应该怎样构建一个无解的方程组呢？让我们重新设定问题，要求找到满足以下两个条件的数：它们的和是6，它们的差是4。
同样地，我们设这两个数为x和y，得到以下方程组：x + y = 6x - y = 4我们可以尝试解这个方程组。
将第一个方程两边同时减去第二个方程，我们得到：2y = 2这意味着y = 1。
将y的值代入第一个方程，我们可以求得x的值：x + 1 = 6x = 5然而，我们会发现这个方程组的解与前面的方程组是一样的，即x=5，y=1。
这意味着这个方程组也不是无解的，而是有唯一解。
那么，我们如何构建一个真正的无解的方程组呢？再次设定问题，要求找到满足以下两个条件的数：它们的和是8，它们的差是10。
设这两个数为x和y，得到以下方程组：x + y = 8x - y = 10我们可以尝试解这个方程组。
将第一个方程两边同时减去第二个方程，我们得到：2y = -2这意味着y = -1。
将y的值代入第一个方程，我们可以求得x的值：x - 1 = 8x = 9然而，我们可以发现这个方程组的解与前面的方程组不一样，即x=9，y=-1。
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二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题
1、若关于x，y的方程组
2
6
x y
mx y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
有非负整数解，则正整数m为（）．
A.0，1
B.1，3，7
C.0，1，3
D.1，3
2、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组
210
320
mx y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
有整数解，则m2的值
为（）．
A.4
B.4，49
C.1，4，49
D.无法确定
3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组
()11
2
x a y
x y
⎧+-=
⎨
-+=
⎩
的解是整数．
4、
4
22
ax y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．
5、当整数m=______时，方程组
211
48
x my
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是正整数．
6、正整数a取______时，方程组
5
2
x y
ax y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是正整数．
7、请回答下列问题：
（1）当方程组
25
20
x ay
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是正整数时，整数a的值为______．
（2）m为正整数，已知二元一次方程组
210
320
mx y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
有整数解，则m2=______．
8、关于x，y的方程组
25
342
x y a
x y a
+=-
⎧
⎨
-=
⎩
的解都是正整数，求非负整数a的值．
9、当关于x、y的方程组
212
30
x my
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解为正整数时，求整数m的值．
10、已知方程组
24
20
x my
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，当方程组的解是正整数时，求整数m的值，并求出方程的
所有正整数解．
11、若m为正整数，且已知关于x、y的二元一次方程组
220
520
mx y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解为一组整数，
求m2的值．
12、m取什么整数值时，方程组
24
20
x my
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是正整数？并求它的所有正整数解．
二、二元一次方程组的无解问题
关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩，a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2均为实数，则解的情况有以下三种： ①当12a a ≠12
b b 时，方程组有唯一的解； ②当12a a =12b b =12
c c 时，方程组有无数多解； ③当
12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解． 即：
①当x 与y 的系数不成比例，常数取任意值时，有唯一解；
②当、x 、y 与常数的系数都成比例时，有无数个解；
③当x 与y 的系数成比例，常数不成比例时，无解．
13、方程组423634
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解的情况是（）
． A .有唯一解 B .无解 C .有两解 D .有无数解
14、与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（）．
A .10x +2y =4
B .4x -y =7
C .20x -4y =3
D .15x -3y =6
15、若方程组2354x y x my n +=⎧⎨
+=⎩有无数解，则下列说法正确的是（）． A .m =6，n ≠10
B .m ≠6，n ≠10
C .m =6，n =10
D .无法确定 16、若方程组()1332
k x y k
x y ⎧--=⎨-=⎩有无数个解，则k 的值为（）． A .1
B .2
C .3
D .不存在这样的值 17、若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩
无解，则a 的值为（）． A .-6 B .6 C .9 D .30
18、方程组373921
x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是______
19、若二元一次方程组2354x y x my n +=⎧⎨
+=⎩有无数组解，则m =______；n =______． 20、关于x ，y 的二元一次方程组232145ax y k x y +=-⎧⎨+=⎩
有无数组解，求a +k =______． 21、关于x 、y 的方程组4410841
x ky y x ++=⎧⎨-=⎩有无穷多组解，则k 的值为______．
22、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()214mx y n m x y -=-⎧⎨--=-⎩
． （1）无解．
（2）唯一解．
（3）有无数多解．
23、关于x ,y 的二元一次方程组8328
ax y k x y k +=-⎧⎨--=-⎩有无数组解，求参数a ,k 满足的条件；
若方程组有唯一解，则参数a ,k 又需要满足什么条件？
24、求k ，a 为何值时，关于x 、y 的方程组()4222kx y a k x y -=⎧⎨
+-=-⎩的解满足： （1）有唯一一组解．
（2）无解．
（3）有无数组解．
25、已知关于x ，y 的方程组1
ax y a x y -=⎧⎨-=⎩．
（1）当a ≠1时，解这个方程组．
（2）若a =1，方程组的解的情况怎样？
（3）若a =1，方程组2ax y a x y -=⎧⎨-=⎩
的解的情况怎样？。