(上海交大)大学物理上册课后习题答案2质点运动定律

习题2

2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为

6N x f =，7N y f =，当0

t =时，

0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。当2s t =时，求：

(1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。

解：由

x x f a m =

，有：x a 263m /168

s ==，2/167

s m m f a y y ==

（1）

t dt a v v t x x x 83

200+-=+=⎰

2000163

2)832(t t dt t dt v x x t t x +-=+-=+=⎰⎰

t dt a v v t y y y 167

000+=+=⎰

200032

7

167t tdt dt v y y t t y ==+=⎰⎰

于是2秒时质点的位矢为：)m )(8

7413(j i j y i x r

+-=+=

（2）于是质点在2s 时的速度： )m/s (8

745j i v

+-=

2-2 质量m =10 kg 、长l =40 cm 的链条，放在光滑的水平桌面上，

其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m 1 =10 kg 的物体，如图所示．t = 0时,系统从静止开始运动，这时l 1 = l 2 =20 cm< l 3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m 1速度和加速度的大小． 解：分别取m 1和链条m 为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x ，a m T g

m 11=-，ma l xgm T =-/，解出)/1(2

1l x g a -=

当链条刚刚全部滑到桌面时x = 0，a =

=g 2

1 4.9 m/s 2

x t x x t a d d d d d d d d v

v

v v -=⋅== x l x g x a d )/1(2

1d d --=-=v v

两边积分

⎰⎰--=0

02

d 1(d 2l x l x

g v v v 22

222)4/3(/21gl l gl gl =-=v ==232

1gl v 1.21 m/s

答案：2m/s 9.4=a ，m/s 21.1=v 。

2-3．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数

为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv =-

又由牛顿第二定律可得：dv f m dt =，则dv

kv m dt

-=

分离变量，可得：dv k dt v m =-，两边同时积分，有：000t v dv k

dt v m

=-⎰⎰，

所以：

t m

k

e

v v -=0

（2）子弹进入沙土的最大深度也就是0v =的时候子弹的位移，则：

考虑到dv dv dx dt dx dt =，dx v dt =，可推出：m dx dv k

=-，而这个式子两边积分就可以得到位移：

00max 0v m m

x dv v k k

=-=⎰ 。

2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L

，一端拴在竖直转轴OO ′

上，并以恒定角速度ω

在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．

解：考虑离轴线r 和r r ∆+间的一小段绳子（如图）

，它的长度为r ∆，质量

r L

M

m ∆=

∆ ，

由于绳子作圆周运动，这小段绳子就有法向加速度，所以它的两端的张力不相等，设为)(r T 和 )(r r T ∆+，其运动方程为：

r r L

M

r m a m r r T r T n ∆=⋅∆=⋅∆=∆+-22)()(ωω

因为；r

T

r r T r r T r d d )()(lim =

∆-∆+∞→∆ 于是有：r r L M T d d 2ω-=，r r L M

T L r L T r T d d 2)()(ω⎰⎰-=

得：)(2)()(22

2r L L

M r T L T --=-ω，而0)(=L T )(2)(22

2r L L

M r T -=ω

2-5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x

的平方成反比，即2

/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。

解：由题意：

2

k f x =-

，再由牛顿第二定律可得：2

k dv

m x dt

-

=， 考虑到dv dv dx dt dx dt =，dx v dt =，可推出：2k mvdv dx x =-

两边同时取积分，则：/4201

v A A m vdv k dx x =-⎰⎰

有：mA

k

v 6=

2-6．一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力2424F i t j =- (SI)的作用，0=t 时，它

的初速度为034v i j =+ (SI)，求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n F

解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

由：d v F

m

d t =，有：2

4242d v i t j dt

-=⋅，两边积分有： 02

01(424)2

v t v d v i t j dt =-⎰⎰，∴3024v v t i t j =+-， 考虑到034v i j =+，s t 1=，有15v i =