波函数的几种不同的形式

波是驻波。
2、驻波的形成 :
设有两列相干波，振幅相同，分别沿 x 轴正、负方向传
播，选初相位均为零的表达式为：
y1
Acos(t 2
x)
y2
Acos(t
2
x)
y1 t 0 u
y2 t 0 u
x
x
其合成波称为驻波，其表达式：
y
y1
y2
Acos(t
2
x)
Acos(t
2
x)
利用三角函数关系求出驻波的表达式：
注意： 波的叠加原理仅限于线性波动现象， 例如对强冲击波则不成立。
三、弦上横波的反射与透射
定义媒质特征阻抗: Z u 媒质密度，u 波速
1、振幅
振幅反射系数
B Z1 Z2 A Z1 Z2
A 入射波振幅
振幅透射系数
C 2Z1 A Z1 Z2
B 反射波振幅 C 透射波振幅
2、能量＝1 2 A2 , I 1 2 A2u 1 2 A2 Z
O
•
•P
S1
x
•
x
S2
解:选S1 处为坐标原点O, 向右为x 轴正方向,设点S1 的振动 初相位为零,由已知条件可得波源S1 和S2 作简谐振动的 运动方程分别为:
y1 Acos(2t ) y2 Acos(2t )
S1 发出的向右传播的波的波函数为:
y1
A cos [2
(t
x )]
S2 发出的向左传播的波的波函数为:
10 )
2
(r2
r1 )
由于波的强度正比于振幅平方：I 1 A2 2u
2
I I1 I2 2 I1I2 cos
对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
A A12 A22 2 A1 A2 cos
干涉加强 的条件：
(20
10 )
2
(r2
的变化和动能的变化“步调一致”。
3)总机械能:
E
Ek
E p
VA2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
4)能量密度:( 单位体积中的能量 )
E
V
A2
2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
5)平均能量密度( 在一个周期内的能量密度的平均值)
1
T
T
dt
0
1 T
T 0
A2
2
s in2 [ ( t
单极子声源波场不同时刻切片图
t＝1E-5（s）
t＝2E-4（s）
偶极子声源波场不同时刻切片图
t＝1E-5（s） t＝4E-4（s）
t＝2E-4（s） t＝6E-4（s）
四极子声源的波场图
四个同相点源叠加后的波场图
t＝1E-5（s）时刻的波场图
二、驻波：（驻波是干涉的特例） 1、驻波:两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成
2
2
2
能量反射系数
B 2
A
Z1 Z1
Z2 Z2
2
能量透射系数
Z2C 2 Z1 A2
4 Z1 Z2 (Z1 Z2 )2
§ 6-6 波的干涉 驻波
一、波的干涉： 波的干涉
1、干涉现象: 在一定条件下，两波相遇,在媒质中某些位置 的点振幅始终最大，另些位置振幅始终最小， 而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保 持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。
2 y t 2
即y1、y2 分别是它的解，则它们的任一线性组合y=C1 y1+C2 y2
也是方程的解,即上述波动方程遵从叠加原理。
实际表现：
❖ 无论是否相遇, 各列波将保持原有的特性( 频率, 波长和
振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有
遇到其他的波一样。
❖ 在其相遇区域内, 任一点处质点的的振动为各个波单独 存在时所引起的振动的矢量和。
1、平面波 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在传播方向上振幅不变。
证明：因为
在一个周期
T内通过
S1和
S
面的能量应该相等
2
I1S1T I2 S2T ,
S1 S2 S I1 I2 S1
1 2
2 A12u
1 2
2 A22u
所以,平面波振幅不变： A1 A2
u
S2
2、球面波 同理 I1S1T I2 S2T ,
2、产生干涉的条件：
两波源具有相同的频率。
两波源具有恒定的相位差。 满足上述条件的称为相干波。 两波源的振动方向相同
两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。
3、干涉加强、减弱条件：
s1
r1
p
设有两个频率相同的波源 S1和 。S2
s2
r2
S1 、S2 的振动表达式为：
y10 (s1 , t ) A10 cos(t 10 )
r1 ) 2n
n 0,1,2,3,.....
A Amax A1 A2
干涉减弱 的条件：
( 20
10
)
2
(r2 r1 ) (2n 1)
n 0,1,2,3,.....
A Amin | A1 A2 |
当两波源的初相位相同时，相干条件可写为：为波程差
干涉加强 r2 r1 n n 0,1,2,3,...
s1
r1
p
y20 (s2 , t ) A20 cos(t 20 )
s2
r2
传播到 P 点引起的振动为：
y1( p, t)
A1
cos [ ( t
r1 u
) 10 ]
y1 (
p, t)
A1
cos(t
10
2
r1 )
y2 (
p, t)
A2
cos [ ( t
r2 u
) 20 ]
y2 (
p, t)
A2
则柱面简谐波的波函数： y A cos (t r )
r
u
§6-6 波的反射和透射
一、惠更斯原理： 1、表述： 1）媒质中任一波面上的各点，都是发射子波的新波源。 2）其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波面。 波的传播：球面S上任一点都可以看成发射子波的波源。 经Δt时间子波行进到包络面S2。
C、若 t 一定， E k 、 E p 随 x 周期分布。
D、能量以速度 u 传播。
二、波的能流（描述波的能量传播的物理量）：
1)能流 — 单位时间内垂直通过某一截面的能量。
设波速为u ，在 时t 间内通过垂直于波速截面
E u t S
的Su能量:
S
ε为截面所在位置的能量密度。
能流为：
ut
P E u S uS 2 A2 sin2[(t x )]
y2
Acos[2 (t
20
x)]
因干涉而静止的点的条件为:
[2 (t x 20 ) ] 2 (t x ) (2n 1)
n 0,1,2,
化简上式,得:
x n 10
2
将 u 代2入m,可得:
x n 10(m)
所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
x 1,2,3,,17,18,19m
2. 惠更斯原理的意义： 只要已知某时刻的波面 和波速，可以确定下时 刻的波面和波的传播速度。
3. 惠更斯原理的应用：
解释波的衍射, 波的散射, 波的反射、折射等现象.
二、波的叠加原理（独立性原理）：
表述： 若波动函数y1(x , t) , y2(x , t) 满足线性波动方程
2 y x 2
1 u2
波函数的几种不同的形式：
y( x, t )
A cos[ (t
x u
)
0
]
1 , 2
T
u
T
y( x, t )
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
y( x, t )
A cos[2 (t
x) u
0
]
y( x, t )
Acos[ 2
(ut
x)
0 ]
三.平面波的波动方程 Wave Equation of Plane Wave
1 2
u 2 A12 S1T
1 2
u 2 A22 S2T
S1 4r12 ; S2 4r22
r2
r1
A1r1 A2r2
所以球面波的振幅与离波源的距离成反比。
如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 A r
由于振动的相位沿波速方向随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
AB
x 体密度
1) 微元的动能:
v
y t
A
s in[ ( t
x u
)
0
]
Ek
1 m v2 2
1 VA2 2 sin2[(t
2
x u
)
0
]
2)微元的势能 :
微 元 应 变 ：y x
A u
s in[ (t
x u
)
0
]
E p
1
GSx
y
2
2
x
1 2
VA2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
利用u G G u2 各微元的势能和动能相等，而且势能
y A cos(t r ) （初相位为零）
r
u
3、柱面波
同理 I1S1T I2 S2T ,
1 2
u 2 A12 S1T
1 2
u 2 A22 S2T
S1 2r1L; S2 2r2 L
A1 r2
A2
r1
所以柱面波的振幅与离波源的距离的平方根成反比。
如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 A r
y 2Acos 2 x cost
Standing wave
A' ( x)
简谐振动的振幅
简谐振动
此式为振动表达式。无波形的跑动现象（即非行波）
它表示各点都在作简谐振动，各点振动 的频率相同，是原来波的频率，但各点 振幅随位置的不同而不同。
Traveling wave
❖ 振幅为 A( x) 2 Acos 2 x
x) u
0
]d t
1 A22
2
A2,2
特点:
A2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
x, t
A、Ek Ep 相位,大小均相同；机械能不守恒。
( 注意与振动能量相区别 )
y
•c
y
•c
O
•B
x
• A 波形图
O•
•B
t
• A 振动图形
平衡位置（y = 0） E k 、 E p 最大。 振幅处（y = A） E k 、 E p 为 0。 B、若x 一定, E k 、 E p、E 均随 t 周期性变化。
两相邻波节间的距离 / 2。
波腹：振幅最大的点称为波腹。
O
x
| cos 2 x | 1
即: 2 x n 的各点。
干涉减弱
r2 r1
(2n 1)
2
n 0,1,2,3,...
[例1]在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方
向,同频率(ν=100Hz )的谐振动,振幅均为A=0.05m,点S1 为波峰时,点S2恰为波谷,波速u = 200m / s 。
求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.
将平面简谐波的波函数对t和x分别求二阶偏导数,有:
v
y
y( x, t) t
A sin[ (t
x u
)
0
]
a
y
2
y( x,
t 2
t)
A
2
cos[ (t
x u
)
0]
波平 动面 方波 程的
2y x 2
2
A u2
cos[ (t
x u
)
0
]
1 u2
2y t 2
2y x 2
1 u2
2y t 2
具有普遍意义
一维简谐波的波函数就是此波动方程的解。
推广:
2
x 2
2
y 2
2
z 2
1 u2
2
t 2
三维空间
任何物理量φ满足上式,则以波动形式传播
➢ 波速
(1) 弹性绳上的横波 u
FT
l
FT-绳的切向张力,
ρL-绳的线密度
(2) 固体棒中的纵波 u
Y
F
F
l
长
Y-杨氏弹性模量 -体密度
l0 +0 l
变
(3) 固体中的横波 u G
2
u
单位: W / m 2
2
注意： 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
4) 波的吸收： 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收
的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要减小、 波的强度将减弱，这种现象称为波的吸收。
I I0e 2x
α为吸收系数,取决于媒质和波的频率
三、平面波、球面波、柱面波的振幅 若不考虑能量吸收即能量守恒，可讨论波传播时振幅的变化：
t
u
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值。
2)平均能流:在一个周期内能流的平均值称为平均能流。
P u S
3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为能流密度或波的强度。
I P u 1 A2 2u
S
2
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的
平均能量。
I
1
A2
G- 切变模量
F切
∵G < Y, 固体中 ｕ横波<ｕ纵波
切变
(4) 流体中的声波 u k
0
k-体积模量, 0-无声波时的流体密度
(5) 水面波 u gh0 h0-水的平均深度
§ 6-5、波的能量和能流 Y
y
一、波的能量：
以横波为例,其波函数为:
X
y
A cos [ ( t
x u
)
0
]
O
任取一体积元△V，其质量△m = ρ △V，
3、驻波的特征： y y1 y2 2 Acos kx cost
①波节和波腹： 有些点不动(波节),有些点振动最强(波腹)
波节：振幅为零的点称为波节。
| 2 Acos 2 x | 0 即: 2 x (2n 1) 的各点。
2
波节的位置为： x (2n 1)
4
n 0, 1, 2y...
cos(t
20
2
r2 )
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
y1( p, t )
A1 cos(t
10
2
r1 )
y2 ( p, tΒιβλιοθήκη Baidu)
A2
cos(t
20
2
r2 )
由叠加原理P 点合振动：
y y1 y2 Acos(t )
A A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20