梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)

6kN
1
1
A 2m
6kN m
2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
80 kN.m
M5 =M4 =- 80kN.m M6 =72×12-160-
20×10×5+148×2=0
160kN.m
20kN/m
20kN
1
A
23
C
45 6
7B
D
FA 2m
72
FQ
8m
2m
FB
60
(kN)
20
x = 3.6m
在x = 3.6ｍ处， V（x）=0时，
88
M （x）有极值。
80
16
即M7 =72×5.6-160-20×3.6×3.6/ M
利用上述规律： 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图。
三、利用微分关系作V 和 M 图
1、求支座反力; 2、判断各段FQ、M图形状（利用规律1、2）；
3、求出各段控制截面(杆段两端及内力极值截面）的FQ 和M；
4、利用微分关系连线（曲线或直线）。
注：最后利用规律3、4、5校核
F
3.
4. M
FQ （x）
FQ图水平线 FQ图斜直线
M x
M x Cx D
M图斜直线
M x是x的二次式
M图抛物线
FQ图突变值为F 无突变，但有尖角
FQ图无影响
有突变，突变值为M
5. 极值点
FQ=0
M有极值
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右看:
1 在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，
FQ 分段建立方程，依方程而作图。
0
x
0 x
M
3 、列方程法画内力图
例1 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，
画梁的剪力、弯矩图。
解 :1. 求出约束力
xC
FA
FB
FQ ql/2
x
l/2 -ql/2
FA=ql/2， FB= ql/2。 2.列剪力方程和弯矩方程
2=113.6 kN.m
(kN.m)
113.6
144
全梁的最大剪力在 4 截面处, Vmax = 88 kN, 最大弯矩在 2 截面处, M max =144 kN.m.
【课内作业】 【课后作业】习题9-3；9-4。 【预习】
教学 剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其应用. 难点
复习
1、梁：
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
2、平面弯曲 变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯 曲称为平面弯曲（最简单、最常见）。
剪力FQ 3、梁的内力及计算方法 弯矩M
截面法
简易法
例：求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4
和5－5各截面上的内力。
（1） FQ图上某一点切线的斜率就等于梁上该点的荷 载集度 q（x）。
（2）M图上某一点切线的斜率就等于梁上该点
处的剪力FQ（x）。
（3）可帮助判断M图的凹凸。
x
q(x)
d
2M (x) dx2

q(x)

0
M
x
q(x) M
d
2M (x) dx2

q(x)

0
qx
1. 梁段上q(x)＝0
2. 梁段上q(x)＝c
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
梁的剪力方程
FQ=FQ (x)
梁的弯矩方程
M=M(x)
2 、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以 垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分
别绘制表示FQ(x)和M(x)的图象。这种图象分别 称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。
绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下 侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
例3： 画出FQ图和M 图。
解：1、求反力
由∑MA= 0，FB= 148 kN. ∑MB= 0，FA= 72 kN.
2、判断各段V、M图形状
分段
AC
160kN.m
1
A
23
C
FA 2m
CB
20kN/m
20kN
45 6
BD
8m
2m
FB
BD
q
q=0
FQ
水平线
M 斜直线
q=c＜0 下斜直线 下凸曲线
q=c＜0 下斜直线 下凸曲线
88
FQ6 = 72 - 20×10 + FB = 20 kN
FA= 72 kN. FB= 148 kN.
注：利用几何法或微分法确定M有
极值的位置。
FQ(x)=0,x=3.6m
4、求各段控制截面的M，画M图。
M：需 7 个控制截面
M1=0，M2=72×2=144kN.m M3=72×2-160=-16kN.m M4=72×10-160-20×8 ×4 = -
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
步骤
1 、求支座反力 (利用结构对称性简 化计算；悬臂结构可不求反力）
2、列内力方程(截面法或简易法---任取一横截面，称x截面)
3、作剪力图和弯矩图(描点法在基线上作图，不画坐标系)
注：直线2个点；曲线3个点。
例2 图示悬臂梁AB，已知作用的荷载集度q(x)=-q 、跨长为
3、Baidu Nhomakorabea出各段控制截面的FQ，画FQ图。
160kN.m
20kN/m
20kN
1
A
23
C
45 6
BD
FA 2m
8m
72
FQ
(kN)
x = 3.6m
2m
FB
60
20
FQ：6个控制截面 FQ1 = FQ2 =FQ3 =FA =72 kN
FQ4 =72 - 20×8 = - 88 kN FQ5 =72 - 20×8 + FB =60 kN
M3

6 5 133
23
3 2

0
值及位置如何确定？
---画内力图（结构 设计的依据）。
FQ4 6 13 23 1kN
3 M 4 6 5 13 3 2 3 2 6 6kNm FQ5 5kN M 5 0
结论：梁的内力（剪力和弯矩）是随截面位置变化而
选取距梁左端任意x截面
ql FQ ( x) FA qx 2 qx
x qlx qx2 M(x) FA x qx 2 2 2
3. 画剪力图
ql FQ (0) 2
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
M ql/8
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
结论：梁的弯矩、剪力、荷载
集度间的微分关系：
x
M
dM ( x) dx

FQ
(x)
dFQ (x) q(x) dx
单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图
二、剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
d FQ(x) / dx=q(x) ……..（1） d M(x) / dx= FQ(x) ……（2） 几何意义： d2 M(x) / dx2=q(x) …….（3）
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx

qx

FQ
(
x)
dFQ (x) q q(x) dx
3.画剪力、弯矩图
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。FQ>0时下斜，FQ<0时上 斜，FQ=0时为水平线。
2 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜(\)，反之，向右上方倾斜(/)。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸；q>0（ ）向上凸（斜向与 凸向与q的指向一致）。 3 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现尖角 ，尖角方向与集 中力的方向相同。 4 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶 的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 5 极值弯矩：剪力为零的截面弯矩有极值。