梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)
梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)
注：表中的K为轴向力变形影响的修正系数。
（1）无拉杆双铰拱
1）在竖向荷载作用下的轴向力变形修正系数
式中 Ic——拱顶截面惯性矩；
Ac——拱顶截面面积；
A——拱上任意点截面面积。
当为矩形等宽度实腹式变截面拱时，公式I＝Ic/cosθ所代表的截面惯性矩变化规律相当于下列的截面面积变化公式：
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）
梁的简图
剪力Fs图
弯矩M图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁
表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征
某一段梁上的外力情况
剪力图的特征
弯矩图的特征
无载荷
水平直线
斜直线
集中力
突变
转折
集中力偶
无变化
突变
均布载荷
斜直线
抛物线
零点
极值
表3 各种约束类型对应的边界条件
2）三跨等跨梁的力和挠度系数 表2-12
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
3）四跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-13
注：同三跨等跨连续梁。
4）五跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-14
注：同三跨等跨连续梁。
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
[例1] 已知二跨等跨梁l＝5m，均布荷载q＝11.76kN/m，每跨各有一集中荷载F＝29.4kN，求中间支座的最大弯矩和剪力。
2.3.2剪力图和弯矩图
二、剪力图和弯矩图的绘制方法
如图所示，坐标原点对应梁的左端点截面。
x轴对应梁的杆轴线，从梁左端点开始；y轴对应剪力
值或弯矩值：（注意：箭头可以省略不画）
剪力正值画在x轴上方，负值画在x轴下方，并标出正
3、弯矩极值点：剪力为0的点，对应弯矩值取极值
4、集中力作用点：剪力图发生突变，突变方向和集中力方 向一致，突变值等于集中力的值，弯矩图有转折
5、集中力偶作用点：剪力图不受影响，弯矩图有突变，突 变方向和集中力偶符号相反，突变值等于集中力偶矩的值。
四、剪力图和弯矩图的绘图步骤
1、求支座反力 2、荷载图、剪力图、弯矩图三图上下对齐 3、分段定性 4、根据荷载走向作出Fs图 5、根据Fs图作出M图
A
B
FAy=ql/2
l
q
FBy=ql/2 M中=ql2/8
A
B
（3）计算可得出：
FAy=ql
l
MA=ql2/2
M1
A
B （4）计算可得出：
FAy=FBy=0
l
M=-M1
1、无荷载区段：剪力图是水平线，弯矩图是斜直线（如剪 力图为0，弯矩图为水平线）
2、向下的均布荷载区段：剪力图是下斜直线，弯矩图是下 凸的抛物线
第二章 静定结构内力分析
第三节 单跨静定梁的内力分析 （剪力图和弯矩图）
授课教师：工计会组 靳玉红
一、剪力图和弯矩图的定义
在一般情况下，梁各个截面上的剪力值和弯矩值是不 同的，它们随着截面位置的不同而变化。
由于在进行梁的强度计算时，需要知道梁在外力作用 下所产生的最大内力及最大内力所在的截面位置，以及全 梁的内力随截面位置变化的情况。通常用相应的图形来表 示内力沿梁长度方向的变化规律，这种表示剪力和弯矩变 化规律的图形称为剪力图和弯矩图。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
2、分段建立方 A程C段：
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示Ｆ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 下端受拉为正弯矩
A
C
D
B
FA
a
c
l
FA
b
FB
FB
FAa
FBb
a
F
F
Fa
a
5
kN
4
Fa kNm
2kN m
4m 3kN
kN
3
2.25
kNm
4kN m
6kN
4.5
1m
1m
4.5
1.5
4
8.5
7
2kN m
2m
5.5
kN
5.5 kNm
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
梁 弯矩图 梁 内力图 (剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5标准标准标准标准标准标准标准注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
实用文档2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
.\2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
梁的内力图-剪力图和弯矩_OK
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（2） 绘制剪力图( 图4b)。看荷载图，跟集中力、均布荷载 走，绘制过程见表4-5。
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（3） 绘制弯矩图（图c）。有力偶，跟剪力图走，绘制过程 见表4-6。 （4） FS 图、M 图均自行封闭，绘图正确。
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记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。
三、 梁内力图的绘制
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[ 观察与思考] 试根据梁内力图的规律，判别下图 所示各梁的剪 力图和弯矩图是否正确，若有错请说明原因。
通过观察本例 可以发现：因为该外伸梁结构的几何 形状、受到的竖向荷载均左右相同，具有对称性， 所以弯矩图在对称位置的弯矩数值和符号相等，具 有对称性（工程上把这种对称称为正对称），剪力 图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有 对称性（工程上把这种对称称为反对称）。土木工 程中对称结构使用非常广泛，一方面对称美符合人 们的审美要求，另一方面结构受力合理，不仅可以 简化计算，而且也可以简化设计计算和提高施工的 效率。
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2. 梁内力图的绘制
例1:如图a 所示外伸梁，已知F=5 kN，q=4 kN/m，
试绘制梁的内力图。
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(3) 绘制弯矩图(图c)。无力偶，跟剪力图走，绘制过程见表4-4。
梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表2表3 各种约束类型对应的边界条件常用截面几何与力学特征表表2-5注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
5章-梁的剪力图与弯矩图
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
变化区间——控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先 发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的 横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚 度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长 度方向是怎样变化的。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最 先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要 考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点， 这些点称为“危险点”。
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身 重 量 ( 均 布 载 荷 q) 的 作用下，大梁将发生 弯曲。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
梁的内力及其与外力的相互关系
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D
l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
名词解释梁的内力图
名词解释梁的内力图梁的内力图是建筑结构力学中的一个重要概念。
它描述了梁在受力过程中内部产生的力的分布情况。
梁是一种常见的结构材料，用于支撑和传递负荷。
无论是建筑中的梁，还是机械结构中的梁，梁的内力图都是分析梁的受力性能的重要工具。
梁的内力图是通过工程师使用力学原理和力学方程对梁进行分析和计算得到的。
内力图可以帮助工程师了解梁在不同位置的受力情况，从而评估梁的强度和稳定性。
在设计和施工过程中，准确地绘制和分析梁的内力图对于保证结构的安全和可靠性至关重要。
梁的内力图一般包括两个主要力：弯矩和剪力。
弯矩是指梁由于受到外力作用而产生的弯曲力，它可以导致梁在不同位置产生不同的应力和变形。
剪力是指梁由于受到外力作用而产生的垂直于梁轴线方向的力，它可能会导致梁的剪切破坏。
梁的内力图可以呈现为一条曲线，在图中横轴表示梁的长度或位置，纵轴表示梁的内力大小。
根据梁的受力情况，内力图的形状可能会有所不同。
例如，当梁受到对称荷载时，内力图可能呈现为一个对称的形状；当梁受到单点荷载时，内力图可能呈现为一个集中力。
通过分析梁的内力图，工程师可以确定梁在不同位置的弯矩和剪力大小，从而选择合适的结构材料和截面尺寸。
例如，如果梁的内力图呈现出很大的弯矩值，工程师可以选择更高强度的材料或增加梁的截面尺寸来增强结构的稳定性。
此外，梁的内力图还可以用于分析梁在不同荷载下的变形情况。
通过对梁的内力分布情况进行定量分析，工程师可以评估梁的挠度和变形，从而保证结构的稳定性和舒适度。
需要注意的是，绘制梁的内力图需要工程师具备扎实的力学基础和丰富的实践经验。
在实际工程应用中，工程师往往依赖计算机软件来辅助绘制和分析梁的内力图。
这些软件可以自动计算梁的内力分布，并提供直观的图形结果，降低了工程师的工作难度。
总之，梁的内力图是建筑结构力学中重要的工具，用于分析和计算梁的受力性能。
通过绘制和分析梁的内力图，工程师可以了解梁在不同位置的弯矩和剪力大小，从而选择合适的结构材料和截面尺寸。
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6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
qx
FQ
(
x)
dFQ (x) q q(x) dx
3.画剪力、弯矩图
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，
FQ 分段建立方程，依方程而作图。
0
x
0 x
M
3 、列方程法画内力图
例1 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，
画梁的剪力、弯矩图。
解 :1. 求出约束力
xC
FA
FB
FQ ql/2
x
l/2 -ql/2
FA=ql/2， FB= ql/2。 2.列剪力方程和弯矩方程
结论：梁的弯矩、剪力、荷载
集度间的微分关系：
x
M
dM ( x) dx
FQ
(x)
dFQ (x) q(x) dx
单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图
二、剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
d FQ(x) / dx=q(x) ……..（1） d M(x) / dx= FQ(x) ……（2） 几何意义： d2 M(x) / dx2=q(x) …….（3）
80 kN.m
M5 =M4 =- 80kN.m M6 =72×12-160-
20×10×5+148×2=0
160kN.m
20kN/m
20kN
1
A
23
C
45 6
7B
D
FA 2m
72
FQ
8m
2m
FB
60
(kN)
20
x = 3.6m
在x = 3.6ｍ处， V（x）=0时，
88
M （x）有极值。
80
16
即M7 =72×5.6-160-20×3.6×3.6/ M
2=113.6 kN.m
(kN.m)
113.6
144
全梁的最大剪力在 4 截面处, Vmax = 88 kN, 最大弯矩在 2 截面处, M max =144 kN.m.
【课内作业】 【课后作业】习题9-3；9-4。 【预习】
教学 剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其应用. 难点
复习
1、梁：
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
2、平面弯曲 变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯 曲称为平面弯曲（最简单、最常见）。
剪力FQ 3、梁的内力及计算方法 弯矩M
截面法
简易法
例：求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4
和5－5各截面上的内力。
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。FQ>0时下斜，FQ<0时上 斜，FQ=0时为水平线。
2 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜(\)，反之，向右上方倾斜(/)。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸；q>0（ ）向上凸（斜向与 凸向与q的指向一致）。 3 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现尖角 ，尖角方向与集 中力的方向相同。 4 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶 的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 5 极值弯矩：剪力为零的截面弯矩有极值。
88
FQ6 = 72 - 20×10 + FB = 20 kN
FA= 72 kN. FB= 148 kN.
注：利用几何法或微分法确定M有
极值的位置。
FQ(x)=0,x=3.6m
4、求各段控制截面的M，画M图。
M：需 7 个控制截面
M1=0，M2=72×2=144kN.m M3=72×2-160=-16kN.m M4=72×10-160-20×8 ×4 = -
梁的剪力方程
FQ=FQ (x)
梁的弯矩方程
M=M(x)
2 、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以 垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分
别绘制表示FQ(x)和M(x)的图象。这种图象分别 称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。
绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下 侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
3、求出各段控制截面的FQ，画FQ图。
160kN.m
20kN/m
20kN
1
A
23
C
45 6
BD
FA 2m
8m
72
FQ
(kN)
x = 3.6m
2m
FB
60
20
FQ：6个控制截面 FQ1 = FQ2 =FQ3 =FA =72 kN
FQ4 =72 - 20×8 = - 88 kN FQ5 =72 - 20×8 + FB =60 kN
F
3.
4. M
FQ （x）
FQ图水平线 FQ图斜直线
M x
M x Cx D
M图斜直线
M x是x的二次式
M图抛物线
FQ图突变值为F 无突变，但有尖角
FQ图无影响
有突变，突变值为M
5. 极值点
FQ=0
M有极值
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右看:
1 在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，
利用上述规律： 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图。
三、利用微分关系作V 和 M 图
1、求支座反力; 2、判断各段FQ、M图形状（利用规律1、2）；
3、求出各段控制截面(杆段两端及内力极值截面）的FQ 和M；
4、利用微分关系连线（曲线或直线）。
注：最后利用规律3、4、5校核
例3： 画出FQ图和M 图。
解：1、求反力
由∑MA= 0，FB= 148 kN. ∑MB= 0，FA= 72 kN.
2、判断各段V、M图形状
分段
AC
160kN.m
1
A
23
C
FA 2m
CB
20kN/m
20kN
45 6
BD
8m
2m
FB
BD
q
q=0
FQ
水平线
M 斜直线
q=c＜0 下斜直线 下凸曲线
q=c＜0 下斜直线 下凸曲线
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
步骤
1 、求支座反力 (利用结构对称性简 化计算；悬臂结构可不求反力）
2、列内力方程(截面法或简易法---任取一横截面，称x截面)
3、作剪力图和弯矩图(描点法在基线上作图，不画坐标系)
注：直线2个点；曲线3个点。
例2 图示悬臂梁AB，已知作用的荷载集度q(x)=-q 、跨长为
M3
6 5 133
23
3 2
0
值及位置如何确定？
---画内力图（结构 设计的依据）。
FQ4 6 13 23 1kN
3 M 4 6 5 13 3 2 3 2 6 6kNm FQ5 5kN M 5 0
结论：梁的内力（剪力和弯矩）是随截面位置变化而
选取距梁左端任意x截面
ql FQ ( x) FA qx 2 qx
x qlx qx2 M(x) FA x qx 2 2 2
3. 画剪力图
ql FQ (0) 2
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
M ql/8
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
（1） FQ图上某一点切线的斜率就等于梁上该点的荷 载集度 q（x）。
（2）M图上某一点切线的斜率就等于梁上该点
处的剪力FQ（x）。
（3）可帮助判断M图的凹凸。
x
q(x)
d
2M (x) dx2
q(x)
0
M
x
q(x) M
d