现代设计方法习题答案

3.用梯度法求下列无约束优化问题：MinF(X)=x12+4x22，设初始点取为X(0)={2,2}T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。

1)求初始点梯度▽F(X)

▽F(X)={2x1,8x2}T▽F(X(0))={4,16}T

(2)第一次搜索

|▽F(X(0))|=16.5,S(0)=- ▽F(X(0))/16.5=-{0.243,0.97}T

α(0)=2.157

X(1)=X(0)+α(0)S(0)={1.476,-0.923}T

▽F(x(1))={2.952,-0.738}T

|▽F(x(1))|=3.043<5.0

故满足要求，停止迭代。

最优点X*={1.476,-0.0923}T

最优值F(X*)=2.21

4.

5.

6.

用外点法求解约束优化问题：

()()12211221min ..0()0

f X x x s t

g X x x g X x =+=-≤=-≤ ， 收敛准则：(1)

()0.10.01k k X

X εδ+-≤=，约束容限＝ 解：（1）利用外点法惩罚法构造无约束优化问题

()

(

)

12()22()212121(min ,()()

k k k x x X r

x x r x x r x +⎧⎪Φ=⎨++-+-⎪⎩可行域内）（可行域外）

（2）此例只是为了说明外点法的思路，用微分法求解上述无约束优化问题。 用极值条件求解：

在可行域内：偏导数不可能等于0，即可行域内无极值

在可行域外，令：

()2()11211

()2122

14()2012()0k k k r x x x r x x r x x x ∂Φ

=+-+=∂∂Φ

=--=∂

从上面两式解得 12()()2()

1

11

,

2(1)

4(1)2k k k x x r r r =-

=

-

++ 可见，对于不同的惩罚因子值，可以得到不同的极小点。 【令()

k r

→∞，即可得到原问题的最优解**(0,0),()0T X f X ==】

（3）取(0)(1)()()1,10k k k r r Cr r +===进行迭代计算，迭代结果如下：

(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(3)(3)(3)(3)(2)1(0.25,0.4375),()0.6875

10,(0.0455,0.0479),()0.0934,0.44100(0.00495,0.00498),()0.00993,0.059T T r X f X r X f X X X r X f X X X εε

==--=-==--=--=>==--=--=<当时，当时当时， 点(3)

X

满足点距收敛准则，同时，它在约束容限范围内，因此，终止迭代！输出结果

7.

已知一轴的危险断面上，同时作用有弯矩M 和转矩T ，如图所示。弯矩M =(1.5×105±4.2×104)N·m ，转矩T =(1.2×105±3.6×103)N·m ，轴材料的抗拉强度为σb =N (μσb ,σσb )=(935MPa, 18.75MPa)。设轴径d = N (μd ,σd )，其制造公差为±0.005μd 。要求可靠度为R =0.9999，试设计该轴直径d 。（注：当R =0.9999时，可靠性系数为u =3.719）

题3图

T

解：（1）计算给定参数的均值和标准差

轴径的标准差 d d d μμσ00167.0005.03

1

==

弯矩的均值和标准差5

105.1⨯=M μN·m ，3

102.44

⨯=M σN·m=1.4×104 N·m

因此有

()()mm N 104.1mm,N 105.1,78⋅⨯⋅⨯=M M σμ

转矩的均值和标准差5

102.1⨯=T μN·m ，3

106.33

⨯=T σN·m=1.2×103 N·m

因此有

()()mm N 102.1mm,N 102.1,68⋅⨯⋅⨯=T T σμ

（2）计算弯曲应力、扭转应力和合成应力

1）弯曲应力 W M =

σ，即()()()

W W M M σμσμσμσσ,,,= 式中，抗弯截面系数332

d W π

=

，从而

33098175.032

d d W μμπ

μ==

3

22

000492.0)00167.03(32

)3(32

d d d d d W μμμπ

σμπ

σ=⨯=

=

将弯矩和抗弯截面系数是的特征参数代入弯曲应力表达式，可得到弯曲应力的均值和标

准差为

3

9

3810527889.1098175.0105.1d

d μμμσ⨯=⨯= ()

()()()()

3

8

232

72

32

82

310428084.1098175.0104.1000492.0105.1098175.01

d

d

d

d

μμμμσσ⨯=

⨯+⨯=

2）扭转切应力 ()()

T

T W W T T T W T σμσμτ,,==

式中，抗扭截面系数W W T 2=，故

()()

3

300098.0,19635.0,d

d W W T T

μμσμ

= 将转矩和抗扭截面系数的特征参数代入扭转切应力表达式，可得到扭转切应力的均值和标准差为

3

83810111555.619635.0102.1d

d μμμτ⨯=⨯= ()

()()()()

3

6

232

6232

82

310836065.619635.0102.100098.0102.119635.01

d

d

d

d

μμμμστ⨯=

⨯+⨯=

3）合成应力计算。根据变形强度理论知道，合成应力为223τσσ+=F

计算σ2：

()()σσσσσσμμσμσ2,,2

22==

代入数据有

()

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯⨯=6166182

2

10363906.4,10334444.2,d d μμσμσ

σ

计算3τ2： ()()

τττττσμμσμτ2,3,3322

2== 代入数据有

()

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯⨯=616618232

310506739.2,10120533.1,d d μμσ

μ

τ

τ

计算合成应力的平方 222

3τσσ+=F

代

入

上

述

数

值，计算可得：