时间反演(简介)

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4.4 时间反演分立对称性

对j半整数体系，则-|n>=ΘΘ|n>=Θeiδ|n>=|n>,故|n>与 Θ|n>不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子的晶体在外电场中的行为很不相同。
十、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并

有外磁场时，H含
S B , p A A p , ( B A ). 由于 p , S
(k ) q
j T
(k )
j
jkmq
2 j 1

只要考虑q=0的分量即可。

对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：
Tq 0
(k ) 1
T q 0 . 对 A T q 0，有
(k ) (k )

由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态<x>=0，这对非宇称本征态亦成立

θ是反幺正的
五、时间反演算符Θ

时间反演态（运动反演态）：Θ |α>
上面讨论知,动量本征态|p>的时间反演态:
Θ|p>=|-p> 时间反演算符的基本性质：

由态矢时间反演的对称性
得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符
HΘ=ΘH
五、时间反演算符Θ

重要等式：
这是因为对

对时间反演,波函数变为复共轭,应有

~ ~ *
: ~ , ~

定义：对变换
*;
,如果
( c1 c 2 ) c1 * c 2 * ),

信号对时间反演电磁波聚焦特性影响的数值仿真研究

摘要*时间反演技术（Time Reversal, TR）是指对时域信号的一种逆序操作，该技术可以克服多径效应这一传统通信中的不利因素，将多径效应充分利用，获得空间复用及自适应聚焦的效果，即时空聚焦特性。

TR技术独特的时空聚焦特性使其在通信、输能以及高分辨率成像领域都具有广泛的应用前景。

但现今TR技术在电磁波领域的研究还处于初始阶段，尤其在信号对TR电磁波聚焦特性影响的研究方面还有所欠缺。

针对上述问题，本文的主要工作内容如下：（1）介绍TR技术的基本理论。

首先引出时间反演镜（Time Reversal Mirror, TRM）和多径效应两个重要概念。

接着从数学理论的角度探讨TR技术的时间聚焦特性和空间聚焦特性及相应性能表征，最后详细阐述TR技术的单天线MIMO效应。

（2）研究信号对TR电磁波聚焦特性的影响并提出改善聚焦性能的方法。

首先利用时域有限差分法算法（Finite-Difference Time-Domain, FDTD）电磁仿真工具以及MATLAB软件建立有限数量TRM阵列单元金属腔仿真模型，接着对三种信号特性（信号波形，信号带宽，信号载频）对TR电磁波时间聚焦和空间聚焦特性的影响进行了仿真实验和结果分析。

最后实验结果表明，信号特性对TR电磁波的时间聚焦和空间聚焦特性有明显的影响，选择合适的信号类型或提高信号带宽，可以增强TR电磁波时空聚焦性能。

（3）研究信号对TR单天线MIMO效应中信道有效多径数量的影响并提出增加有效多径数量的方法。

首先利用仿真实验和物理实测实验，得到空间信道冲激响应，最后对信道有效多径数量的影响进行了统计和分析。

实验结果表明增加信号带宽可以有效增加信道有效多径数量，实现更优的TR单天线MIMO性能。

关键词：时间反演；信号特性；时空聚焦；单天线MIMO效应；数值仿真*本课题得到国家自然科学基金（61871193）、广东省自然科学基金重点项目（2018B030311049）和工信部国家物联网专项(工信部科函[2014]351 号)的资助。

§4.4时间反演分立对称性

a'
a'
a'
a" a" UU a' a' * θ是反幺正的
a' a"
五、时间反演算符Θ
时间反演态（运动反演态）： Θ |α> 如由上面讨论知，动量本征态|p>的时间反演态: Θ|p>=|-p> 时间反演算符的基本性质假设态矢具有时间反演对称性：
得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符 HΘ=ΘH
六、时间反演算符Θ的运算
仅考虑Θ从左边作用于右矢，和利用 ~ ~ * 及左右矢的对偶对应关系
重要等式：这是因为对
，有
故
七、厄米算符的时间反演对称性
对厄米算符A，有
若ΘAΘ-1=±A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称
由此，
可得A在时间反演态的期望值：
由
，知 ΘpΘ-1=-p
而故对任意|α>:
此外，由于
不妨约定 1/2体系，该约定对应于取 i ）
（对自旋
一般地可约定：注：相位约定依处理问题方便而定，但Θ2=±1与相位约定无关。
十一、球张量的时间反演性质
对
若A是
T (k) q
的分量，由于Wigner-Eckart定理
j T (k) j
jm
T (k) q
§4.4 时间反演分立对称性
一、牛顿力学的时间反演变换
经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图
m
d
2
x(t)
V
(x(t))
dt 2
若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有
m
d 2 x(t) d (t)2
m
d 2 x(t) dt 2

4.4 时间反演分立对称性

2 2

Xr(t)=x(-t)也是牛顿方程的解 (时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)

时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。
二、电动力学的时间反演变换

Maxwell方程：

Lorentz力：
1 F e E (v B) c

对t-t变换,若

对j半整数体系，则-|n>=ΘΘ|n>=Θeiδ|n>=|n>,故|n>与 Θ|n>不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子的晶体在外电场中的行为很不相同。
十、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并

有外磁场时，H含
S B, p A A p, (B A). 由于p, S
对
(k ) T 若A是 q 的分量，由于Wigner-Eckart定理

j m T
(k ) q
jm jkm q jkjm
j T ( k ) j
2 j 1

只要考虑q=0的分量即可。

对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：
k ) 1 (k ) (k ) Tq( T . 对 A T 0 q 0 q 0，有

在时间反演下是奇的, [Θ,H]≠0 ,不存在Kramers简并

一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即 Kc c * K .若为基矢，则K 若|α>不是基矢,可展开为以|a’>为基矢的矢量:

Ca a ,则K Ca * a

高量15-时间平移和时间反演

ˆ ( H 不显含时间）
i ˆ H
所以：
ˆ D( ) e

d dt
e
6
§21-2 时间反演
一、态函数的时间反演变换
ˆ 1．时间反演算符 T0
ˆ 设系统的 H 为实算符（不含虚数），且不含时，无自
旋。系统的态满足Schrö dinger方程：
ˆ i (r, t ) H (r, t ) t
14
3. 时间反演算符的数学性质
无自旋系统的时间反演算符可以写成
ˆ ˆ T0 KT1
ˆ K (r, t ) * (r, t )
T1 (r, t ) (r,t )
不寻常的数学性质：
ˆ （1）时间反演算符 T0 不是线性算符，它是反线性算符。
它虽然满足但是
ˆ ˆ ˆ T0 ( 1 2 ) T0 1 T0 2 ˆ ˆ ˆ T0 (a ) a *T0 aT0
ni
i En t
式中
ˆ H ni (r ) En ni (r )
i 1,2, , d n
i Ent
d n 是能级 En 的简并度。
* * ˆ (r, t ) T0 (r, t ) * (r,t ) ani ni (r )e 时间反演态: ni
T 除了符合 T0 所满足的21.10式或21.19式之外，还应满足
TST 1 S
S是粒子的自旋算符。令 T UT0
其中 T0 KT1 , U 是一个 2 2 矩阵，为自旋空间中的算符。
TST 1 UT0ST0 U 1 US*U 1
1
22
在 S z 表象中，
1 0 Sz 0 1 2

基于全电子技术的时间反演镜_从声波到微波_梁木生

时间反演镜（ Time Reversal Mirror，简称 TRM）是将信号进行时间反演变换的装置，是 TR 技术中
的核心部件，因此，TRM 实现一直是研究者们关注的问题。
按照应用频率的高低，TRM 可以分为声波 TRM、微波 TRM 和光波 TRM。声波 / 超声波频率较低，其 TRM 实现技术日趋成熟，应用领域最为广泛，包括水下声波通信、人体超声波碎石等。微波信号的 TRM 实现鲜有报道，尚处于方案探索阶段，目前主要借助高端仪器如高端任意波形发生器（ AWG）、示波器（ DSA）等实现时间反演。光波 TRM 实现已有部分报道，因涉及激光源等设备，其研究成本较为高昂。因此，随着频率的增高，TRM 实现的难度和成本也随之增加。
本文将从声波 TRM 的研究现状出发，简单分析
* 收稿日期：2011-04-17；修回日期：2011-09-08 基金项目：国家自然科学基金（ 61071031 ）；教育部博士点基金（ 20100185110021 ）；中央高校基本科研业务费项目（ E022050205）
第 27 卷第 6 期 2011 年 12 月
微波学报
JOURNAL OF MICROWAVES
Vol． 27 No． 6 Dec． 2011
文章编号：1005-6122（ 2011） 06-0001-05
基于全电子技术的时间反演镜：从声波到微波*
梁木生王秉中丁帅
（电子科技大学应用物理研究所，成都 610054）
目前基于全电子技术实现声波trm实现方案分析基于全电子技术实现声波trm的常用方案有时间变换系统框图caputi还利用傅里叶变换理论进行了推导分析并通过简单的实验验证了该方案的可行schwartz等人利用该原理通过全电子技术实现了微波信号在时域上的拉伸15其关键器件是电磁带ebg啁啾色散延迟线161989年kolnernazatathy提出了时域成像和时间透镜概念17

物理量及物理方程的时间反演变换

中材罗定水泥有限公司，广东罗定
收稿日期：2019年4月17日；录用日期：2019年5月3日；发布日期：2019年5月10日
文章引用: 李大庆. 物理量及物理方程的时间反演变换[J]. 现代物理, 2019, 9(3): 162-175. DOI: 10.12677/mp.2019.93018
李大庆
Modern Physics 现代物理, 2019, 9(3), 162-175 Published Online May 2019 in Hans. /journal/mp https:///10.12677/mp.2019.93018
Time Inversion of Physical Quantity and Physical Equation
Open Access
1. 引言
当前被人们普遍接受的观点是，时间反演变换是一种将物理量及物理方程中的时刻 t 直接用−t 替换从而导致时间方向逆转的数学变换[1]，是用于研究物理过程与其逆过程之间对称关系的重要方法以及研究物理过程可逆性的重要数学工具；同时，由于时间反演变换被认为可导致与原物理过程变化方向相反的物理过程，因此时间和物理过程两者常被认为是同一的，而且人们普遍认为(热力学)过程的不可逆导致时间的单向性[2]，换句话说“时间前进的方向就是气体分子变得越来越均匀，从而达到越来越高的熵的方向”[3]。据此推论，经典力学、电磁学等所描述的最基本物理过程的可逆性应导致时间的双向(或无向) 性，而且人们在思考相关问题时都会在不知不觉中产生类似的观点[4]。那么这是否意味着时间既是单向的、(至少在理论上)又是双向的呢？美国物理学家布赖恩·格林在其著作中就提出过类似的问题，但并没有给出明确的结论[5]，由此可见，目前采用的时间反演变换的概念及方法有值得商榷之处。本文的研究表明，产生这一问题的根源在于，物理过程的时间反演变换虽然是其关于 t = 0 轴(或坐标原点 O(0，0)) 的对称变换，但人们却直接将变换所得物理过程作为原物理过程的逆转变换。而正是在对时间反演变换定义中物理过程方向性的详细分析基础上，本文获得了在时间保持正向流逝条件下时间反演变换将改变物理过程的方向的重要结论；同时，在此基础上还推论出在时间反演变换操作中物理过程与其逆过程的微分、导数以及常用算符之间的对称关系，并对几个重要物理方程的时间反演变换进行了讨论。结果表明，当前物理学中普遍采用的时间反演变换的操作定义虽然能获得正确结论，但操作方法并不恰当，并且将时间的单向性归结为热力学过程的不可逆性的观念也有问题。

时间平移和时间反演概述

时间平移和时间反演概述时间平移和时间反演是物理学中常用的两个概念，它们都与时间的变化有关，但有着不同的含义和应用。

时间平移是指在时间上进行整体的移动或平移。

在物理学中，我们通常关注某个系统、现象或过程在不同时间点上的变化。

时间平移是指将这些时间点整体向前或向后移动，以便进行更详细或全面的观察和研究。

通过时间平移，我们可以在不同的时间点上观察和比较物理量的变化，以了解系统的演化规律、发展趋势或特性。

时间反演是指将一个物理现象或过程的时间轴倒置。

即，将时间向前的方向转换为时间向后的方向，以便研究物理现象的对称性、逆向演化或关联性。

时间反演是物理学中的基本操作之一，它常常应用于求解物理问题、理解系统行为和预测未来的发展趋势。

例如，在天体物理学中，通过时间反演可以研究宇宙的起源和演化；在热力学中，时间反演可以揭示系统的热传导规律和热平衡状态等。

时间平移和时间反演在物理学的研究中具有重要的应用价值。

它们不仅可以帮助我们理解物理现象的规律和本质，还可以推动科学技术的发展和应用。

例如，通过时间平移和时间反演的分析，我们可以预测和追溯地震、气候变化、流体动力学和量子力学等领域的发展趋势和演化规律。

同时，时间平移和时间反演还在工程、生物、经济等领域中发挥着重要作用，为我们解决实际问题和改善生活提供理论和方法支持。

总之，时间平移和时间反演是物理学研究中常用的两个概念。

它们通过调整时间轴的位置和方向，帮助我们更好地理解系统的演化和规律，预测未来的发展趋势和态势，以及解决实际问题和改善生活。

它们的应用广泛，是推动科学技术进步和实现可持续发展的重要工具和方法之一。

时间平移和时间反演作为物理学中常用的两个概念，在各个领域都具有广泛的应用。

接下来，我们将进一步探讨这两个概念在各个学科和实践领域中的应用和重要性。

在经典物理学中，时间平移和时间反演的应用非常广泛。

在力学中，时间平移可以帮助我们观察和比较物体的运动情况。

通过比较不同时间点上的位置和速度，我们可以了解到物体在不同时间段内的运动规律和变化趋势。

量子力学薛定谔方程时间反演

量子力学薛定谔方程时间反演【量子力学薛定谔方程时间反演】作为现代物理学中一个极具深度和难度的概念，量子力学薛定谔方程时间反演一直备受学术界和科研人员的关注。

本文将深入解读该概念，并围绕其展开一系列讨论和思考，旨在帮助读者更全面、深刻地理解这一复杂但又极具挑战性的主题。

1. 薛定谔方程的基本原理在探讨时间反演之前，我们首先需要了解薛定谔方程的基本原理。

薛定谔方程是描述微观粒子运动和状态的基本方程，它是量子力学的核心内容之一。

薛定谔方程的提出是为了描述微观粒子的波函数随时间的演化，从而揭示微观世界的奇妙规律。

2. 时间反演的概念和意义时间反演，顾名思义，即将时间的流逝方向逆转，将系统的演化过程倒转过来。

在经典物理学中，时间反演并不复杂，因为经典力学中的基本方程都满足时间反演对称性。

但在量子力学中，情况就变得复杂许多，特别是在描述复杂系统时。

时间反演的概念和意义对于理解微观世界的规律和特性具有重要意义。

3. 时间反演算符和薛定谔方程的时间反演在量子力学中，时间反演算符是描述时间反演过程的数学工具，它可以将系统的波函数随时间的演化倒转过来。

而在薛定谔方程中，时间反演算符是如何起作用的呢？这涉及到量子力学中一系列复杂的数学推导和物理分析，需要我们对量子力学的基本原理有一个相当深入的理解才能够解决。

4. 时间反演的对称性和破缺时间反演对称性是指系统在时间反演变换下保持不变，这是一个非常重要的物理概念。

然而，在一些特殊的情况下，时间反演对称性会被破缺，这往往会导致一些非常奇特的现象和规律。

对于这种现象，科学家们进行了大量的研究和探讨，以期能够揭示其中的奥秘。

5. 个人观点和理解对于量子力学薛定谔方程时间反演这一主题，我个人的观点是，它所涉及的数学和物理概念极为复杂，需要我们具备扎实的数学和物理知识才能够深入理解。

在今后的研究和学习中，我将继续深入探讨这一主题，希望能够更加全面地领会其中蕴含的深刻物理规律。

总结回顾：通过本文的讨论和分析，我们对量子力学薛定谔方程时间反演这一复杂而又充满挑战的主题有了更深入的了解。

时间反演

时间反演作者：晶晶来源：《大学生》2019年第04期它看起来像一面镜子，走近了可以显示你的样子。

一旦你将旁边的沙漏反转，这面镜子的图像会突然改变，可以同时看到过去的你和现在的你……在以“时间反演”为主题的“上海交通大学李政道科学与艺术大奖赛”上，49件优秀作品从169件雕塑、油画、水墨画、多媒体等作品中脱颖而出。

一等奖《上一秒，光》谭壹建上海视觉艺术学院作品形式：数字交互装置作品用Arduino和processing（媒体交互艺术中的两种设备）的结合来创作出一种时间的反差和错乱感，让观众感受并思考时间流线中的自己，在作品中找到迷失的自己和方向。

观众在体验作品时，需将光束照射到置于影像前的镜子上，镜子中的光敏电阻传感器感应到光时，影像中的命运时钟开始反转。

通过设置这样的交互方式，体现时间在理想全黑的世界里，是反是正都无关紧要，重要的是我们该如何选择，是沉迷于过去还是跳脱于未来。

一等奖《先知的梦魇》韩韬鲁迅美术学院吴彤雕塑工作室作品形式：装置作品灵感来源于刘慈欣的小说《坍缩》，小说中描述宇宙在通过时间奇点之后进入坍缩态，在坍缩宇宙中的一切会随着时间反演运行，人的出生在死亡之后，历史成了未知的未来。

作品通過建立一个坍缩态的宇宙模型，在视觉上呈现宇宙由膨胀进入坍缩时的景象，并由这一主题进而追问时间乃至生命的意义。

二等奖《熵增》廖忠琴四川美术学院作品形式：丙烯熵增原理使时间反演对称性无法实现。

作品将时间用线性表示，以动荡的线条与画面走势传达熵。

二等奖《时间反演对称》杨清枫上海交通大学作品形式：油画作品以抽象语言提取道路、大地、天空、建筑的几何形态，在保持大致空间关系的条件下用相近色、几何体模糊彼此的界限，让这个片段可以建设或是拆解的过程，表达时间反演的对称性。

二等奖《人可能两次踏进同一条河流》王杨林广西艺术学院作品形式：布面丙烯图像以水中月影为抽象形态，表现黄色月影在水中漂浮不定，但是经过运动后总能回到最初的形态。

时间反演不可逆性问题的起源与现状

时间反演不可逆性问题的起源与现状1. 时间反演不可逆性问题的起源与现状时间过程的不可逆性自古以来一直与人类的情感密切相关。

面对月圆月缺，天荒地老，古今之人无不感慨万千。

生老病死，是每个人生的必经之旅。

然而作为一个科学问题，为何时间过程不可逆，却不是能够容易回答的。

事实上这是科学史一个非常著名的难题，为了解答这个问题，一百五十多以年来几代物理学家前仆后继，付出艰苦卓绝的努力，却至今没有得到最终的答案。

取一杯清水来，滴上一滴墨水，你可以看到墨水最终会扩散到整杯水中。

但你能看到杯中的墨水重新再集聚成一滴吗？或许可能，但要你千秋万代后的子孙才可能看到。

更大的可能性是，你的子子孙孙永远都看不到。

把一根铁棍的一头放到火里烧热后拿出，铁棍最后会变得两头一样热。

你不可能看到一根棍子突然一头变得冰冷，一头变得火热。

如果这样，还有谁敢舞枪弄棍的，少林和尚得关门吃素。

这是两个由大量微观粒子组成的宏观孤立系统自然演化过程不可逆的典型例子，用来描述这类现象的理论就是著名的热力学第二定律。

没听说过吧，物理学家会马上告诉你，世界上任何规律都可以违背，就是热力学第二定律不能违背。

就比如你可以做任何事情而不受惩罚，但抢银行是一定要受惩罚的。

在网上你可以经常看到有人声称发明了永动机，但全世界所有国家的专利局都会拒绝给他专利，原因是永动机违背热力学第二定律。

不是专利审查员被洗过脑，而是想为你省几个钱，因为把这个专利批给你也没有用。

有人故弄玄虚，把热力学第二定律称为熵增原理。

说一个宏观孤立系统从一个平衡态绝热地演化到另一个平衡态的过程中，熵永不减少。

看不懂没关系，你可以把它理解为脸上的皱纹永不减少原理。

往脸上搽点雪花膏，看去也许平滑了点，那叫“涨落”，物理学家的词典厚得很。

正是这该死的熵，导致世间万物衰退，失去活力，最终达到热寂。

什么叫“热寂”，就是“死寂”。

“死寂”可能还有风吹过，“热寂”连风都没有，真有点骇人听耸。

用温和一点词，“热寂”也叫做“平衡态”。

时间平移和时间反演概述

* ni
(r)
* ni
(r)
即
ni
(r)
的时间反演态，
可见，当哈密顿量具有时间反演不变性时，它的本征
函数的时间反演仍是其本征函数，而本征值不变。
24
§21-3 实表示和复表示
主要内容：讨论了一个空间对称变换群{Q}的d 维表示矩阵D(Q)与其复共轭表示D*(Q)之间的关系,并重点
介绍了如何判断他们之间的关系属于哪种类型。
利用： r r dr 1 左乘 r 并积分，得
T0 dr r (t) r
在Hilbert空间中仍有 T01 T0 仍可写成 T0 KT1
其中左矢形式
K (t) dr r (t) r
(t) K dr r (t) r (t) K
19
内积 K , K dr dr r r r r
对线性算符， A A A 对反线性算符， A ?= A A
例如：可以设 a 则对反线性算符 A，有
A (A )a*
A (A )a* A ( A) a
17
若对任意 , , A A 成立，则
( A )a* ( A) a ，且有 ( A ) ( A)
§21 时间平移和时间反演 §21-1 时间平移一、量子力学中的时空观
在量子力学中，系统或粒子的空间坐标是物理量，有厄米算符与之对应，有本征值和本征矢量，但是时间却不是物理量，没有算符与之对应，它在理论中的地位只是一个实数参数，所以系统的哈密顿量在时间变换方面的不变性或对称性，与对空间变换的不变性是不完全一样的。
(t ) (t)
(t) (t )
2
定义 Q( ) 为作用于时间参量上的时间平移操作，即 Q( )t t
定义 Dˆ ( )为作用于时间函数上的时间平移算符，这是一个

保守系与时间反演不变性

度反向时过程不沿原路返回，故耗散过程是不可逆的。
五．保守系与时间反演不变性
时间t →－ t 的变换称为时间反演变换
保守系的运动规律具有时间反演不变性： • 亦即，如果在某个时刻令物体系中的每
保守系与时间反演不变性的简单讨论
• 考虑任一质点 mi 所服从的牛顿第二定律：
fi
mi
dvi dt
• 作时间反演变换 t →﹣t 时，vi → ﹣vi ，上式右端不变。
• 保守力只与质点的相对位置有关，它是时间反演不变的，故上式左端也不变，即该式对正、反过程同样成立。
• 在这种情况下，任何时刻只要速度反向，过程就会逆转。
保守系与时间反演不变性讨论（续）
fi
mi
dvi dt
• 然而，耗散力与速度的方向有关，作时间反演变换时，fi =﹣fi ，上式左端变号，即正、反过程的运动方程不同，速

ch1_5_2004_时间反演对称性

极化率张量的时间反演对称性1.时间反演的意义-t代替t，即改变时间的测量方向。

有两类重要的经典动力学变量。

当由经典力学过渡到量子力学时，每一个力学量都有一个力学量算符相对应。

Schrodinger表象中等效于将算符变成其复数共轭，即实数算符在时间反演下符号不变，虚数算符在时间反演下改变符号。

不同类经典和量子力学量比较如下，类经典力学变量在时间反演下量子力学算符符号性质在时间反演下I 位置坐标，坐标函数，动量的偶函数等符号不变∧x22(,,)(,,)2H T U x y z U x y zμ∧∧∧∧=+=-∇+动量矩平方算符：2222zyx LLLL∧∧∧∧++=222()()()y z z x x yz y x z y x⎧⎫∂∂∂∂∂∂=--+-+-⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭实数算符符号不变II 动量，动量的奇函数，角动量等符号改变xipx∂∂=∧动量矩算符：)(yzzyiL x∂∂-∂∂=∧虚数，算符符号改变2. 电极化率张量的时间反演对称性),,(),,(21212121r r r r rrωωωχωωωχααμαααμα---= ,这表示当所有频率r ωωω,,,21 都变为负值时),,(2121r rr ωωωχααμα 是不变的。

这种对称性，就称为电极化率张量的时间反演对称性。

远离共振频率下，第r 阶电极化率张量元素为：12112231212()12011(,,,)!(,,,;,,)rrrra a a T ab b b b b b a r r aa rab b b r r S r D a b b μμαααμμμμχωωωρεωω∧=∑其中：按定义。

电偶极矩阵元：*(,)(,)ab u a u b d ααμμτ∧=⎰r r式中(,)u b r 是分子Hamilton 算符0∧H 的本征函数，即：0(,)(,)a H u b E u b ∧=r rHamilton 0∧H0∧HHamilton 0∧H (,u b r αμ有：i i iq r ααμ∑＝式中q i 和r i α分别是第i 个粒子的电荷和该粒子的第α数。