常微分方程§42 常系数线性微分方程的解法42 常系数线性微分方程的解法
常微分方程的解法
常微分方程的解法什么是常微分方程？在数学中，常微分方程是描述自变量与一个或多个函数的导数之间关系的方程。
常微分方程是许多科学和工程问题的数学模型的基础，因此对其解法的研究具有重要意义。
常微分方程的分类常微分方程可以根据阶数、线性性质、系数类型等进行分类，主要包括一阶常微分方程、二阶常微分方程、线性常微分方程、非线性常微分方程等。
不同类型的微分方程需要采用不同的解法进行求解。
常微分方程的解法1. 分离变量法当常微分方程可以化为变量分离后，可以采用分离变量法进行求解。
这种方法适用于一阶可分离变量的常微分方程，基本思想是将未知函数的导数与自变量分离到不同的方程两边，通过积分来求解。
2. 特征方程法特征方程法适用于线性常系数齐次微分方程，通过找到相应的特征方程并求得特征根，再根据特征根的不同情况得到通解形式。
特征方程法是解决二阶及以上线性齐次微分方程最常用的方法之一。
3. 变易参数法对于二阶非齐次线性微分方程，可以采用变易参数法求解。
该方法通过猜测一个特解形式，并代入原微分方程得到特解，再加上对应齐次线性微分方程的通解得到原非齐次微分方程的通解。
4. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法主要适用于线性时不变系统稳态和暂态响应问题，通过将微分方程转化为代数方程，从而得到更容易求解的结果。
常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理、生物、经济、工程等领域。
例如，弹簧振动系统、放射性衰变过程、人口增长模型等都可以用常微分方程进行建模和求解，因此对常微分方程的深入理解及其解法的掌握对于实际问题具有重要意义。
总结通过本文简要介绍了常微分方程及其分类，并详细讨论了常微分方程的几种常用解法。
同时也指出了常微分方程在现实生活中的重要应用。
在实际问题中，掌握不同类型常微分方程的解法，并能灵活运用于实际问题中，对于深化对其理论和应用的理解具有重要意义。
希望本文对读者进一步理解和掌握常微分方程及其解法有所帮助。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程：
2021/10/10
（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔
函数。
常微分方程毕文彬
2
2021/10/10
常见例子
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及ω均为常数。
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常微分方程毕文彬
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简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
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常微分方程毕文彬
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01 一阶线性常微分方程
l对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数 变易法： l对于方程：
l可知其通解：
l然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x) 的值
2021/10/10
常微分方程毕文彬
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02 二阶常系数齐次常微分方程
l对于二阶常系数齐次常微分方程，常用 方法是求出其特征方程的解 l对于方程： l可知其通解： l其特征方程： l根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 l一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
l(在的r1≠r2情况下): l(在共轭复数根的情况下)：
l 非齐次一阶常系数线性微分方程：
l 齐次二阶线性微分方程：
l 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
l 非齐次一阶非线性微分方程：
l 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程毕文彬
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微分方程的解
l微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个 或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： ldy/dx=sinx， l的解是 ly=-cosx+C， l其中C是待定常数； l例如，如果知道 l y=f(π)=2， l则可推出 l C=1， l而可知 ly=-cosx+1，
常系数线性微分方程组解法举例
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
常系数微分方程的求解
常系数微分方程的求解常系数线性微分方程的求解是一种最基本的研究对象。
而且，由于微积分基本定理的内容极为丰富，因此给各类求解提供了可能。
就连我们高等数学课程中常见的一阶微分方程的求解也属于常系数线性微分方程的求解范畴。
若已知，我们称该问题为线性微分方程。
我们把已知变量(初值)、求解条件和求解的方法三者结合起来，构成一个系统。
但要注意，这里并不是说每一个线性微分方程都有其求解系统，如一阶线性方程的零点问题是不存在的，就不属于我们的讨论范围。
常系数线性微分方程的求解具有复杂性和抽象性的特点。
首先，它是一个数学系统，它的形式比较多样，用来求解的方法也比较多样。
其次，它需要很多计算工具，计算量很大。
在这些计算工具中，有许多数学符号需要我们去掌握，有些符号我们还没有接触到过。
所以，我们认为常系数线性微分方程的求解的困难之处就在于它的繁琐性和高深性。
当然，任何事物都有两面性，对我们也不例外。
常系数线性微分方程的求解作为微积分基础理论的重要部分，对我们后续的微积分运算，如求导等提供了基本思路。
在求解过程中，必须遵守“微分中值定理”。
即微分方程的未知函数与初始值建立起某种关系，使得利用积分区间把微分方程化为代数方程。
一般来说，微分方程具有非齐次性和齐次性两种不同的解。
常系数线性微分方程的齐次解可以看成是二阶线性方程的特殊情况，也就是说一般的二阶线性方程是可以转化为常系数线性微分方程的。
所以，对于解决常系数线性微分方程的问题，我们应该有足够的耐心。
从“以不变应万变”的角度出发，求解的过程就是一个证明一个矛盾的过程。
如果你相信自己的智慧和聪明，就会克服一个又一个困难;反之，就会一直受到困扰。
而且，求解常系数线性微分方程中最基本的方法，就是我们平时讲的“四则运算”，运算步骤的合理性、准确性与书写习惯密切相关。
从这个意义上说，我们平时养成良好的书写习惯，这对我们解题也很有帮助。
但是也不能太绝对了，“上善若水，厚德载物”，事实上，“四则运算”正好是我们的一个品格锻炼，让我们变得更加踏实，更加务实。
常微分方程4.2
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法
Y
C1e1xT1
C2e2xT2
Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)
c2 e 2 x
c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解 第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件 满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内 容
一阶常系数线性齐次方程组的解法 高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x
第四章42常系数线性微分方程的解法
从而，对应方程(4.19)变化为：
d x d x d x a1 n 1 an k k 0 n dt dt dt 显然，它有k个解： 1, t, t 2 , , t k 1 （线性无关）.
n
n 1
k
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着方 程(4.19)的k个线性无关的解:1, t , t ,
3、复值解
d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x f (t ) n dt dt n n 1 d x d x a1 (t ) n1 an (t ) x 0 n dt dt
(4.1) (4.2)
1) 定义： 定义于区间a t b上的实变量复值函数z (t ),
bn y )e1t L1[ y ]e 1t
于是，方程(4.19)化为
dny d n1 y L1[ y ] n b1 n1 dt dt
bn y 0,
(4.23)
其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 令y et , 代入L1[ y] 0得：
L1[ y] L1[et ] G()et 0,
e , te , t e ,, t
mt mt
2 mt
2t
2t
2 2t
k2 1 2t
e ; e ;
(4.26)
e , te , t e ,, t
km 1 mt
下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基
本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见P140）
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 , 从而(4.19)的通解为
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
常微分方程的特殊类型及解法
常微分方程的特殊类型及解法在数学中，微分方程是研究自变量与其导数之间关系的方程。
它们在多个学科领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学和生物学等。
常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是指仅涉及一元函数的微分方程，相对于偏微分方程来说，常微分方程的研究较为简单。
在本文中，我们将介绍常微分方程中的一些特殊类型及其解法。
一、一阶线性常微分方程首先，让我们来讨论一阶线性常微分方程。
它可以表示为：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$其中，P(x)和Q(x)是已知函数。
为了求解这类方程，我们可以采用积分因子的方法。
具体步骤如下：1. 将方程变形为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 寻找积分因子$\mu(x)$，它满足$\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$。
3. 将方程两边同时乘以积分因子$\mu(x)$，得到$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$。
4. 将左侧变为导数形式，即$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$。
5. 对上式两边同时积分，解得$\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx + C$，其中C为常数。
6. 最终求得方程的解为$y = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)Q(x)dx +\frac{C}{\mu(x)}$。
二、一阶可分离变量常微分方程接下来，我们来探讨一阶可分离变量常微分方程。
它可以写成以下形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$其中，f(x)和g(y)是已知函数。
这类方程的求解步骤如下：1. 将方程变形为$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$。
2. 对上式两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$。
4.2常系数线性微分方程的解法
dnx d n1 x dx L( x) n a1 n1 a n1 a n x 0 (4.19) dt dt dt
e 1t , e 2t ,, e nt . (4.22)
最后一个行列式是 范 德蒙行列式, 它不等于零, 从而W (t ) 0, 于是 解组（ 4.22 ）线性无关 , 这就是所要证明的 . 如果i (i 1,2,, n)均为实数, 则（ 4.22 ）是方程（ 4.19 ）的n个 线性无关的实值解 ,而方程（ 4.19 ）的通解可表示为
x ( m ) ( ye 1t ) ( m ) m(m 1) 2 ( m2) (m) m ( m 1) e y m1 y 1 y 1 y , 2!
1t
可得
n n 1 d y d y 1t L[ ye ] ( n b1 n1 bn y )e 1t L1 y e 1t dt dt
e Kt e i t et e it et cos t i sin t 由上述定义推得 1 it 1 i t i t cos t e e sin t e e it 2 2i 此外,函数e kt 还有下面重要性质：
t t0 t t0 t t 0
z (t 0 ) , 则称z(t )在t 0连续 如果 lim t t
显然, z(t )在t 0连续相当于 (t )和 (t )在t 0连续 .
当z (t )在区间a t b上每一点都连续时 , 就称z (t )在区间 a t b上连续.
最后, 我们给出在今后讨论中 要用到的两个重要结论 ：
d n z (t ) d n1 z (t ) dz (t ) a ( t ) a ( t ) a n (t ) z (t ) 0 (4.2) 1 n 1 n n 1 dt dt dt
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后，将这个新变量的函数代入微分方程，得 到一个更容易求解的方程。最后，对方程进 行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采 用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算 法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。
42常系数线性微分方程的解法
为什么？
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根 对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dnx dt n
z2
(t)]
dz1(t) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dz2 (t) dt
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)
z2
(t
)
z1
(t
)
dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
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解组。
2
本节要求/Requirements/
熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法 熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法 熟练掌握欧拉方程的求解方法
3
结构
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
d dt
[cz1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
d dt
(z1(t)
z2 (t))
dz1(t) dt
z2 (t)
z1(t)
dz2 (t) dt
如 z j (t) j (t) i j (t) j 1,2 t [a,b]，
d dt
(z1(t)
z2 (t))
d dt
eit cos t i sin t
k i 表示 k i 共轭复数，
ekt e( i )t e( i )t et (cos t i sin t) et (cos t i sin t) ekt
7
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
dnx dt n
a1(t)
d n1x dt n1
an1 (t )
dx dt
an
(t)
x
0
( 4.2)
定理8 如果方程4.2中所有系数 ai (t)(i 1,2,, n)
都是实值函数，而 x z(t) (t) i (t) 是方程的复数解，
则 z(t) 的实部 (t)，虚部 (t) 和共轭复数函数 z(t)
ekt 的性质
e e e 1） (k1k2 )t k1t k2t
2） dekt kekt dt
3）
d nekt dt n
k nekt
结论
实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函 数的求导公式一致。
实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指 数函数的性质一致。
8
Hale Waihona Puke § 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
及 v(t) 都是实函数。那么这个解的实部 U (t) 和虚部
V (t)
分别是方 程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1(t) dt an (t)x u(t)
和
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
an1 (t)
dx dt
an
(t)x
v(t)
(1(t)
i1(t) 2 (t)
i 2 (t))
d dt
{[1(t)
2 (t)] i[1(t)
2 (t)]}
d dt
[1(t)
2 (t)]
i
d dt
[1(t)
2 (t)]
( d1 i d1 ) ( d2 i d 2 ) dz1(t) dz2 (t)
dt dt dt dt
dt dt
§ 4.2 常系数线性微分方程的解法
Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
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§ 4.1General Theory of Higher-Order Linear ODE
§ 4.1内容回顾
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x 0 (4.2) 解的性质与结构。
齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。
非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的 通解与自身的一个特解之和。
非齐线性方程 特解
表示
齐线性方程 基解组
常数变 易法
非齐线性方程通解
关键
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
4.2.1 复值函数与复值解/Complex Function and Complex Solution/
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
e 二 关于 kt k i , 为实数，t为实变量。
定义 ekt e( i )t eteit
et (cos t i sin t)
e(i )t et (cos t i sin t) eit cos t i sin t
的解。
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程
/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/
tt0 t t0
t t0
t t0
lim
tt0
z(t) z(t0 ) t t0
z(t0 )
dz dt
t t0
d
dt
t t0
i d
dt
t t0
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
易验证
d dt
(z1(t)
z2 (t))
一 定义
z(t) (t) i (t) t [a,b]，
(t)， (t)是定义在[a,b]上的实函数。
极限
lim z(t) lim(t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
t0 [a,b]，
连续 导数
lim z(t)
t t0
z(t0 )
t0 [a,b]，
lim z(t) z(t0 ) lim (t) (t0 ) i lim (t) (t0 )
三 线性方程的复值解/Complex Solution of Linear Higher-Order ODE
如果定义在 [a,b] 上的实变量的复值函数 x z(t) 满足方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
f
(t)
(4.1)
则称 x z(t) 为方程的一个复值解。
也是方程4.2的解。
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
定理9
若方程
dnx dt n
a1(t)
d n1x dt n1
an1
(t)
dx dt
an
(t)x
u(t)
iv(t)
有复数解 x U (t) iV (t),这里 ai (t)(i 1,2,..., n) u(t)