常微分方程§42 常系数线性微分方程的解法42 常系数线性微分方程的解法

tt0 t t0
t t0
t t0
lim
tt0
z(t) z(t0 ) t t0
z(t0 )
dz dt
t t0
d
dt
t t0
i d
dt
t t0
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
易验证
d dt
(z1(t)
z2 (t))
及 v(t) 都是实函数。那么这个解的实部 U (t) 和虚部
V (t)
分别是方 程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1(t) dt an (t)x u(t)
和
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
an1 (t)
dx dt
an
(t)x
v(t)
齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。
非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的 通解与自身的一个特解之和。
非齐线性方程 特解
表示
齐线性方程 基解组
常数变 易法
非齐线性方程通解
关键
4
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
4.2.1 复值函数与复值解/Complex Function and Complex Solution/
dnx dt n
a1(t)
d n1x dt n1
an1 (t )
dx dt
an
(t)
x
0
( 4.2)
定理8 如果方程4.2中所有系数 ai (t)(i 1,2,, n)
都是实值函数，而 x z(t) (t) i (t) 是方程的复数解，
则 z(t) 的实部 (t)，虚部 (t) 和共轭复数函数 z(t)
♣ n 阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空 间。 方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基 本
解组。
2
本节要求/Requirements/
熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法 熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法 熟练掌握欧拉方程的求解方法
3
结构
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
§ 4.2 常系数线性微分方程的解法
Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
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§ 4.1General Theory of Higher-Order Linear ODE
§ 4.1内容回顾
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x 0 (4.2) 解的性质与结构。
(1(t)
i1(t) 2 (t)
i 2 (t))
d dt
{[1(t)
2 (t)] i[1(t)
2 (t)]}
d dt
[1(t)
2 (t)]
i
d dt
[1(t)
2 (t)]
( d1 i d1 ) ( d2 i d 2 ) dz1(t) dz2 (t)
dt dt dt dt
dt dt
也是方程4.2的解。
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
定理9
若方程
dnx dt n
a1(t)
d n1x dt n1
an1
(t)
dx dt
an
(t)x
u(t)
iv(t)
有复数解 x U (t) iV (t),这里 ai (t)(i 1,2,..., n) u(t)
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
d dt
[cz1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
d dt
(z1(t)
z2 (t))
dz1(t) dt
z2 (t)
z1(t)
dz2 (t) dt
如 z j (t) j (t) i j (t) j 1,2 t [a,b]，
d dt
(z1(t)
z2 (t))
d dt
eit cos t i sin t
k i 表示 k i 共轭复数，
ekt e( i )t e( i )t et (cos t i sin t) et (cos t i sin t) ekt
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
的解。
10
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程
/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/
三 线性方程的复值解/Complex Solution of Linear Higher-Order ODE
如果定义在 [a,b] 上的实变量的复值函数 x z(t) 满足方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
f
(t)
(4.1)
则称 x z(t) 为方程的一个复值解。
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
e 二 关于 kt k i , 为实数，t为实变量。
定义 ekt e( i )t eteit
et (cos t i sin t)
e(i )t et (cos t i sin t) eit cos t i sin t
一 定义
z(t) (t) i (t) t [a,b]，
(t)， (t)是定义在[a,b]上的实函数。
极限
源自文库
lim z(t) lim(t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
t0 [a,b]，
连续 导数
lim z(t)
t t0
z(t0 )
t0 [a,b]，
lim z(t) z(t0 ) lim (t) (t0 ) i lim (t) (t0 )
ekt 的性质
e e e 1） (k1k2 )t k1t k2t
2） dekt kekt dt
3）
d nekt dt n
k nekt
结论
实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函 数的求导公式一致。
实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指 数函数的性质一致。
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE