第2讲：特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值-教案
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【答案】 见解析
【解析】（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°= a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ +1）a．
（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC= ．
在Rt△OBE中，∠OBE= 30°，OB= = a．
A．2B． C． D．1
【答案】C
【解析】原式= + ﹣ = ．
故选：C．
3．在△ABC中，若|cosA－ |＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是( )
A．45°B．60°C．75°D．105°
【答案】C．
【解析】根据三角函数值倒推角，易得∠A和∠B的度数，从而求得∠C的度数.
1.在△ABC中，∠A＝30°，sinB＝ ，AC＝2 ，则AB＝．
【答案】A
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.
∵ ， ，
∴
故选A.
【题干】已知α为锐角，sin（α﹣20°）= ，则α=（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】D
【解析】∵α为锐角，sin（α﹣20°）= ，
∴α﹣20°=60°，
∴α=80°，
故选D．
【题干】计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )
【答案】C
【解析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°= 即可求解．
解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα= ．∴α=60°．
故选C．
3.RtΔABC中,∠C=900,sinA和cosB是关于x的方程kx2－kx+1=0的两个根,求∠B的度数.
【答案】见解析
【解析】sinA和cosB是关于x的方程kx2－kx+1=0的两个根，由根与系数的关系有
【答案】4
【解析】据三角函数值倒推角，∠B的度数,从而确定∠C的度数，然后根据三角函数易得AB=4.
2.计算：( )－1＋4cos60°－|－3|＋
【答案】4
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.
3.已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
2.由特殊三角函数值求角
3.三角函数值计算
教学目标
1.掌握特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
2.掌握三角函数的计算
教学重点
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB= a．
比较可知， a<（ +1）a<2a，∴图（3） 所示方案最好．
因 ，所以 ，所以 ，于是
所以有 ，即
因为 ，所以
1.如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上， 且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．
【答案】见解析
【解析】过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
A．2B． C． D．1
【答案】C
【解析】原式= + ﹣ = ．
故选：C．
1.sin60°的相反数是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值及相反数的定义求解即可.
，相反数为 ，故选C.
2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2× = （cm）．∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2× = （cm）．在Rt△BOC中，OC= BC=1．
2.先化简，再求值： ，其中x＝2sin60°＋1．
三角函数
记忆方法
一二三
三二一
1
三九二十七
示意图
正弦与余弦的分母都是2,正切的分母是3,,分子是根号对应的数.
注意：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为 ， 与 ．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为 ， 与 ．对于正切，60度的正切值为 ，当角度递减时，分别将上一个正切值除以 ，即是下一个角的正切值．
能熟练掌握三角函数的计算
教学难点
能熟练掌握锐角三角函数的计算
【教学建议】
本节的教学重点是让学生理解、记忆一些特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值并能进行相关的运算，能由三角函数值倒推一些特殊的角。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要帮助学生积累一些基本的直角三角形模型，为下一节学习解直角三角形打下一定的模型铺垫。
1．特殊角的三角函数值：（填表并画出相应的示意来自百度文库）
三角函数
1
示意图
2．特殊角的三角函数值得运算：
注意：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
1.2sin60°的值等于（）
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】2sin60°=2× = ，故答案选C．
2.计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
【答案】120°
【解析】因为 ，且 ，所以 ，又因为
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重难点放在特殊角的三角函数值及其运算上，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意基本模型的积累。
1.计算 sin45°的结果等于( )
A. B.1C. D.
【答案】B
【解析】原式= × =1．故选B．
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
1.特殊三角函数值的记忆。
2.特殊三角函数值的混合运算。
3.实际问题中的三角函数值的运用。
【知识导图】
【教学建议】
有关特殊角的三角函数值是中考的必考内容，常见的考法有两种：一种是直接考特殊角三角函数值的相关运算；一种是在解直角三角形的综合题中，与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，一要抓好学生的记忆关；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。
A. B. C.- D.1
【答案】B
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果.
5sin30°+2cos245°-tan260°
故选B.
【题干】当锐角a>60°时，cosa的值（ ）
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
【答案】A
【解析】解：当角为锐角时，角越大，则其余弦值越小.
故选A．
【题干】在△ABC中，若 ，则 _______.
三角函数
1
1.运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行.
2.强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
【题干】下列各式正确的是（ ）
A.cos600＜sin450＜tan450B.sin450＜cos600＜tan450
C.cos600＜tan450＜sin450D.tan450＜cos600＜sin450
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
【答案】 见解析
【解析】根据根与系数的关系以及直角三角形中两个锐角三角函数之间的关系，易得：m=2 +1，∠A=45°，∠B=45°.
1.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，求tan∠ANE的值．
2.先化简，再求值：（1－ ）÷ ，其中 =sin60°.
【答案】 见解析
【解析】先通分，然后进行四则运算，最后将a=sin60°=1/2代入即可求得答案．
解：原式=（ － ）· = · = +1
把 =sin60°= 代入
原式= =
3.如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水， 这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】C
【解析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°= 即可求解．
解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα= ．∴α=60°．
故选C．
3.计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
【答案】见解析
【解析】设正方形的边长为2a，DH＝x，则CH＝2a－x，由翻折的性质，DE＝ AD＝ ×2a＝a．EH＝CH＝2a－x，在Rt△DEH中，DE2＋DH2＝EH2，即a2＋x2＝(2a－x)2，解得x＝ a，∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝90°∵∠ANE＋∠AEN＝90°∴∠ANE＝∠DEH，∴tan∠ANE＝tan∠DEH＝ ＝ ＝
【答案】见解析
【解析】原式
。当x＝2sin60°＋1＝ ＋1时，原式
3.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．
【答案】见解析
【解析】∵AD是BC边上的高，∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
∵ =tan30°，BD=10，∴AD= ．∴ =sinC，
∴AC=
【解析】（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°= a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ +1）a．
（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC= ．
在Rt△OBE中，∠OBE= 30°，OB= = a．
A．2B． C． D．1
【答案】C
【解析】原式= + ﹣ = ．
故选：C．
3．在△ABC中，若|cosA－ |＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是( )
A．45°B．60°C．75°D．105°
【答案】C．
【解析】根据三角函数值倒推角，易得∠A和∠B的度数，从而求得∠C的度数.
1.在△ABC中，∠A＝30°，sinB＝ ，AC＝2 ，则AB＝．
【答案】A
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.
∵ ， ，
∴
故选A.
【题干】已知α为锐角，sin（α﹣20°）= ，则α=（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】D
【解析】∵α为锐角，sin（α﹣20°）= ，
∴α﹣20°=60°，
∴α=80°，
故选D．
【题干】计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )
【答案】C
【解析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°= 即可求解．
解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα= ．∴α=60°．
故选C．
3.RtΔABC中,∠C=900,sinA和cosB是关于x的方程kx2－kx+1=0的两个根,求∠B的度数.
【答案】见解析
【解析】sinA和cosB是关于x的方程kx2－kx+1=0的两个根，由根与系数的关系有
【答案】4
【解析】据三角函数值倒推角，∠B的度数,从而确定∠C的度数，然后根据三角函数易得AB=4.
2.计算：( )－1＋4cos60°－|－3|＋
【答案】4
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.
3.已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
2.由特殊三角函数值求角
3.三角函数值计算
教学目标
1.掌握特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
2.掌握三角函数的计算
教学重点
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB= a．
比较可知， a<（ +1）a<2a，∴图（3） 所示方案最好．
因 ，所以 ，所以 ，于是
所以有 ，即
因为 ，所以
1.如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上， 且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．
【答案】见解析
【解析】过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
A．2B． C． D．1
【答案】C
【解析】原式= + ﹣ = ．
故选：C．
1.sin60°的相反数是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值及相反数的定义求解即可.
，相反数为 ，故选C.
2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2× = （cm）．∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2× = （cm）．在Rt△BOC中，OC= BC=1．
2.先化简，再求值： ，其中x＝2sin60°＋1．
三角函数
记忆方法
一二三
三二一
1
三九二十七
示意图
正弦与余弦的分母都是2,正切的分母是3,,分子是根号对应的数.
注意：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为 ， 与 ．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为 ， 与 ．对于正切，60度的正切值为 ，当角度递减时，分别将上一个正切值除以 ，即是下一个角的正切值．
能熟练掌握三角函数的计算
教学难点
能熟练掌握锐角三角函数的计算
【教学建议】
本节的教学重点是让学生理解、记忆一些特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值并能进行相关的运算，能由三角函数值倒推一些特殊的角。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要帮助学生积累一些基本的直角三角形模型，为下一节学习解直角三角形打下一定的模型铺垫。
1．特殊角的三角函数值：（填表并画出相应的示意来自百度文库）
三角函数
1
示意图
2．特殊角的三角函数值得运算：
注意：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
1.2sin60°的值等于（）
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】2sin60°=2× = ，故答案选C．
2.计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
【答案】120°
【解析】因为 ，且 ，所以 ，又因为
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重难点放在特殊角的三角函数值及其运算上，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意基本模型的积累。
1.计算 sin45°的结果等于( )
A. B.1C. D.
【答案】B
【解析】原式= × =1．故选B．
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
1.特殊三角函数值的记忆。
2.特殊三角函数值的混合运算。
3.实际问题中的三角函数值的运用。
【知识导图】
【教学建议】
有关特殊角的三角函数值是中考的必考内容，常见的考法有两种：一种是直接考特殊角三角函数值的相关运算；一种是在解直角三角形的综合题中，与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，一要抓好学生的记忆关；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。
A. B. C.- D.1
【答案】B
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果.
5sin30°+2cos245°-tan260°
故选B.
【题干】当锐角a>60°时，cosa的值（ ）
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
【答案】A
【解析】解：当角为锐角时，角越大，则其余弦值越小.
故选A．
【题干】在△ABC中，若 ，则 _______.
三角函数
1
1.运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行.
2.强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
【题干】下列各式正确的是（ ）
A.cos600＜sin450＜tan450B.sin450＜cos600＜tan450
C.cos600＜tan450＜sin450D.tan450＜cos600＜sin450
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
【答案】 见解析
【解析】根据根与系数的关系以及直角三角形中两个锐角三角函数之间的关系，易得：m=2 +1，∠A=45°，∠B=45°.
1.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，求tan∠ANE的值．
2.先化简，再求值：（1－ ）÷ ，其中 =sin60°.
【答案】 见解析
【解析】先通分，然后进行四则运算，最后将a=sin60°=1/2代入即可求得答案．
解：原式=（ － ）· = · = +1
把 =sin60°= 代入
原式= =
3.如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水， 这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】C
【解析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°= 即可求解．
解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα= ．∴α=60°．
故选C．
3.计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
【答案】见解析
【解析】设正方形的边长为2a，DH＝x，则CH＝2a－x，由翻折的性质，DE＝ AD＝ ×2a＝a．EH＝CH＝2a－x，在Rt△DEH中，DE2＋DH2＝EH2，即a2＋x2＝(2a－x)2，解得x＝ a，∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝90°∵∠ANE＋∠AEN＝90°∴∠ANE＝∠DEH，∴tan∠ANE＝tan∠DEH＝ ＝ ＝
【答案】见解析
【解析】原式
。当x＝2sin60°＋1＝ ＋1时，原式
3.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．
【答案】见解析
【解析】∵AD是BC边上的高，∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
∵ =tan30°，BD=10，∴AD= ．∴ =sinC，
∴AC=