3.2人大附中数学试卷(详解版)
2024届北京人大附中初三2月开学测试数学试题及答案
2024北京人大附中初三（下）开学考数 学考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间，120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，等合题意的选项只有一个．1．2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ）A ．471.110⨯B ．57.1110⨯C ．47.1110⨯D ．371110⨯2．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．－1 4．已知1x −>−，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．1x >−D ．1x <−5．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．126．已知点()()()1233,,1,,1,y y y −−在下列某一函数图象上，且312y y y <<，那么这个函数可能是（ ）A ．3y x =B ．23y x =C ．3y x =D ．3y x=−7．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35，则,M N 之间的距离约为（参考数据：tan430.9≈，sin430.7,cos350.8,tan350.7≈≈≈，结果保留整数）（ ）A ．312mB ．286mC ．269mD ．188m8．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接,AF EF AF 、交BD 于G ．给出下面四个结论：①2222AB BF AP +<；②BF DE EF +>；③2PB PD BF −<；④FC EC +>． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③ 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式12x −有意义，则实数x 的取值范围是______． 10．五边形的内角和等于______度．11．若反比例函数的图象经过点()2,3−，则该函数的解析式为______．12．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为______米．13．如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，且5,4AB AC ==．则tan ADC ∠=______．14．如图，ABC △中，CD 平分,//ACB DE AC ∠交BC 于点E ．若5,3AC DE ==，则BE =______．15．已知()1,3是反比例函数11k y x=图象和正比例函数22y k x =图象的交点．若12y y >，则x 的取值范围是______．16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分． 三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．计算：112sin452−⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 18．解不等式组：24,3172.x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩ 19．已知230x xy +−=，求代数式222xy y x y x x x⎛⎫+++÷ ⎪⎝⎭的值． 20．如图，在ABC △中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，点E 为AD 中点，过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于点F ，连接CF（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若36,sin 5BC BAD =∠=，求EF 的长． 21．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？“该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下面有三种说法：①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．②刘三姐的姐妹们给出的答穼是唯一正确的答案．③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．所有正确说法的序号是______；（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,B m（1）若2m =，求该函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数1y mx =−的值大于()0y kx b k =+≠的，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：（1）写出表中,m n 的值；（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为,H E 为BC 上一点，过点E 作O 的切线，分别交,DC AB 的延长线于点,F G ．连接AE ，交CD 于点P ．（1）求证：FEP FPE ∠=∠；（2）连接AD ，若4//,4,cos 5AD FG CD F ==，求EG 的长． 25．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A 种酶对面粉拉伸面积的影响表．x 之间的关系， 当020x ≤≤时，y 与x 满足______关系：当2060x ≤≤时，y 与x 满足______关系；（填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”）（2）当面粉拉伸面积不小于2112.5cm 时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积y 与A 种酶的添加量x 的函数关系式，并写出达到效果较好时的x 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()00,x y 是抛物线()230y ax bx a =++>上任意一点． （1）若002,3x y =−=，求该拋物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,1,,3,y y y −在该抛物线上．若存在034x <<，恰好使03y =．比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 27．在ABC △中，,,BAC AB AC D α∠==为BC 上一动点，连结AD ．将AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ，连接BE ，取BE 中点G ．（1）如图1，点D 不与B C 、重合，用等式表示线段CD 与AG 的数量关系，并证明；（2）若120α=，且AD BE ⊥，连接,DG CE ，依题意补全图2，并直接写出BD DG CE −的值． 28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和点C 给出如下定义；若直线CA 经过点O ，线段CB 与O 只有一个公共点B ，且30ACB ∠=，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,,1,022A B ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭．在点(()()12341,,,,1,02C C C C ⎛−⎝⎭中，弦AB 的“关联点”是______；（2）若点()1,0,,22A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且点C 是弦AB 的“关联点”，求线段OC 的长；（3）已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点,M N ．对于线段MN 上一点P ，存在O 的弦AB ，使得点P 是弦AB 的“关联点”．记AB 的长为t ，当点P 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）16分）9．2x ≠； 10．540； 11．6y x=−； 12．38； 13．43； 14．92； 15．01x <<或1x <−； 16．5 三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分）17．解：原式222=⋅+−2= 18．解：原不等式组为243172x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩①②由①得4x ≤，由②得2x >，∴不等式组的解集为24x <≤．19．解：原式2222x xy y x x x y ++=⋅+()22x y x x x y+=⋅+()x y x =+⋅2x xy =+ 230x xy +−=23x xy ∴+=．即原式值为3． 20．（1）证明：点E 为AD 中点，//AF BC ，1EF AE BE ED ∴==． ∴四边形ABDF 为平行四边形，//,AF BD AF BD ∴=． 又,AB AC AD =为BC 边上的中线，,AD BC BD DC ∴⊥=．,AF DC AF DC ∴=．∴四边形ADCF 为平行四边形． 又90ADC ∠=，∴平行四边形ADCF 为矩形．（2）解：6,BCAD =为BC 边上的中线，132BD BC ∴==． 在Rt ABD △中，3sin 5BAD ∠=，5sin BD AB BAD ∴==∠．4AD ∴==． 又点E 为AD 中点，122ED AD ∴==． ∴在Rt EBD △中，BE ==EF BE ∴==．21．（1）①；（2）解：设数量多的三个群均有x 条狗，则数量少的群有()40x −条狗．由题意，列方程为()340300x x +−=，解得85x =．则4045x −=．答：四个群里狗的条数分别为85，85，85，45．22．（1）2m =，∴函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,2B ．422k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得26k b =−⎧⎨=⎩．∴该函数的解析式为26y x =−+． （2）1m ≥23．（1）8, 6.5m n ==；（2）甲；（3）乙；甲24．（1）证明：连接OE ，EF 为O 的切线，90OEF ∴∠=．90OEA PEF ∴∠+∠=．CD AB ⊥，90AHP ∴∠=．∴在APH △中，90PAH APH ∠+∠=．又OE OA =，OEA PAH ∴∠=∠．FEP APH ∴∠=∠．APH FPE ∠=∠．FEP FPE ∴∠=∠．（2）解：//AD FG ，F ADH ∴∠=∠． 4cos 5F =，4cos5ADH ∴∠=．弦,4CD AB CD ⊥=， 12,902DH CD AHD OHD ∴==∠=∠=． ∴在Rt AHD △中，53,cos 22AD AH ADH ====∠． 设半径OD r =，则32OH OA AH r =−=−， 在Rt OHD △中，222OH DH OD +=， 222322r r ⎛⎫∴−+= ⎪⎝⎭，解得2512r =． 在Rt FHG △中，4sin cos 5G F ==，125sin 48OE OG G ∴==，2516EG ∴==． 25．（1）一次函数；二次函数（2）解：当020x ≤≤时，依据表格数据，设90y kx =+，代入()10,95得109095k +=，解得12k =． 1902y x ∴=+． 当2060x ≤≤时，依据表格数据，设()235y a x m =−+，代入()20,100和()40,120得()()2220351004035120a m a m ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得1102452a m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．()2124535102y x ∴=−−+ 综上所述，y 与x 的函数关系式为()2190,020*********2x x y x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪−−+⎪⎩，2060x <≤， 达到效果较好时的x 的取值范围为2545x ≤≤．26．（1）解：抛物线过()2,3−，4233a b ∴−+=即2b a =，∴抛物线对称轴为直线2122b a x a a=−=−=−； （2）解：132y y y >>理由如下：设抛物线对称轴为直线x t =，则抛物线上点()0,3关于对称轴的对称点为()2,3t ， 存在034x <<，恰好使03y =．324t ∴<<，即322t <<． 抛物线开口向上，∴在对称轴的左侧y 随x 增大而减小．又()33,y 关于对称轴的对称点为()323,t y −且0231t <−<∴点()()()1231,,1,,23,y y t y −−都在对称轴左侧，且1231t −<−<132y y y ∴>>．27．（1）线段CD 与AG 的数量关系：2CD AG =．证明：倍长EA 到F ，连接BF G 为BE 的中点，2BF AG ∴=． AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ， ,180AD AE DAE α∴=∠=−．,AD AF DAF α∴=∠=．BAC FAD α∠==∠，BAF CAD BAD α∴∠=∠=−∠．又AB AC =，FAB DAC ∴△≌△．BF CD ∴=．2CD AG ∴=．（2）BD DG CE −的值：2． 依题意补全图2如图：28．（1）1C ；（2）解：如图，由题意可得，点C 在x 轴上且30ACB ∠=， 即图中1C 和2C 两个位置．过B 作BD x ⊥轴于D ，2,,,?222B OD BD ⎛∴== ⎝⎭，又在Rt 1BC D △中，130BC D ∠=，1C D ∴=．112OC C D OD ∴=−=−=2C D =，22222OC C D OD ∴=+=+=．综上所述，线段OC 的长为2或2（31t ≤≤t ≤≤．。
2024北京人大附中初三3月月考数学试卷和答案
2024北京人大附中初三3月月考数 学（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每小题2分）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱2. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）A. 239510⨯ B. 43.9510⨯ C. 33.9510⨯ D. 50.39510⨯3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A. 23B.34C.25D.354. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）A.60︒B. 40︒C. 20︒D. 10︒5. 正六边形的外角和是（ ）A. 180︒B. 360︒C. 540︒D. 720︒6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A. 1- B. 1C. 2D. 37. 如图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A. B.C. D.8. 如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每小题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．10.分解因式：3a 2﹣12=___．11. 方程322x x=+的解为_______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m 和点(2,)B n -，则m n +=______．13. 如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是______米．14. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠︒=，则ADC ∠=________°．15. 用一组a ，b ，m 的值说明“若a b <，则ma mb >”是错误的，这组数可以是=a ___________，b =___________，m =___________．16. 从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三、解答题（共52分）17. 计算：06cos 455(2)+--π-°．18. 解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19. 已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20. 如图，在ABC 中， AB AC =．（1）使用直尺和圆规，作AD BC ⊥交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①BEC ∠= °；②写出图中一个与CBE ∠相等的角 ．21. 如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23. 列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24. 如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过点E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．（1）求证：ACD 是等边三角形；（2）若点F 是AC的中点，过点C 作CG AF ⊥，垂足为点G ．若O 的半径为2，求CG 的长．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c=+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛ ⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】结合长方体的三视图特征判断即可．【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，∴该几何体符合长方体的三视图特征，故选A ．【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．2. 【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将39500用科学记数法表示应为43.9510⨯．故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+ ；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．4. 【答案】C【分析】根据对顶角相等可得60BOD ∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：60AOC ∠=︒ ，60BOD ∴∠=︒，40BOE ∠=︒ ，∴604020DOE BOD BOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 【答案】B【分析】根据任何多边形的外角和是360︒即可求出答案．【详解】解：正六边形的外角和是360︒．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360︒，外角和与多边形的边数无关．6. 【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得z mkx mb =+，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【详解】解：由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得：()z m kx b mkx mb =+=+，z ∴与x 的函数关系为一次函数关系，0k < ，0b >，0m >，0mk ∴<，0mb >，z ∴与x 的函数图象过一、二、四象限．故选：D ．8. 【答案】C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=， 当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒；∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∵90AHB ∠=︒，∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得OC ==，∴CE 12a -=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，∵OB OE OC OC ==，，∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，∴1tan 2OE OCE CE ==∠，∴30OCE ≠︒∠，∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误；∵BC EC OB OE ==，，∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠，∴ABE BCO OCE ==∠∠∠，∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9. 【答案】1x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负是解决本题的关键．根据二次根式被开方数非负可得10x -≥，解不等式即可．【详解】由题意得：10x -≥，解得：1x ≥，故答案为：1x ≥．10. 【答案】3（a +2）（a ﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a +2）（a ﹣2）．11. 【答案】4x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：()322x x =+，解得：4x =，检验：当4x =时，()20x x +≠，所以4x =是分式方程的解，故答案为：4x =．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12. 【答案】0【分析】将(2,)A m ，(2,)B n -两点代入反比例函数求得m 和n 的值，再计算求值即可；【详解】解：∵点A 和B 在反比例函数图象上，∴632m ==，632n ==--，∴330m n +=-=，故答案为：0；【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．13. 【答案】2【分析】由题意知AB PO ∥，得出Rt ABC Rt POC ∽，根据AB AC PO PC=求出AB 的值．【详解】解：由题意知AB PO∥在Rt ABC 和Rt POC △中 C C CAB CPOABC POC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ Rt ABC Rt POC∽∴AB AC PO PC =∴353 4.5AB =+解得2AB =故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．14. 【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到∠ADC =∠ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB =90°，再根据∠BAC =40°即可求解.【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC =∠ABC∵AB 是直径∴∠ACB =90°∵∠BAC =40°∴∠ABC =180°-90°-40°=50°∴∠ADC =∠ABC =50°故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15. 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 0【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命题，只需举反例即可．本题中依据题意选出适当的a 、b 、c 即可，答案不唯一．【详解】解：当1,2,0a b m ===时，满足a b <，而0,0ma mb ==，不满足ma mb >，∴1,2,0a b m ===符合题意．故答案为：1,2,0.16. 【答案】C【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.【详解】解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，∴乘坐C 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.三、解答题（共52分）17. 【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：06cos 455(2)-+--π-°651=-+-4=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19. 【答案】2【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：(2)(2)(2)x x x x +---，2242x x x =--+，2224x x =--，∵230x x --=，∴23-=x x ． 0∴原式22()42x x =--=．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 【答案】（1）见详解 （2）①90；②CAD∠【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线得到AD ；（2）①根据等腰三角形的性质得到DB DC =，则BC 为D 的直径，然后根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒；②先利用AB AC =得到A ABC CB =∠∠，再根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒，根据等角的余角相等得到CBE CAD ∠=∠．【小问1详解】如图，AD 即为所作．【小问2详解】①AB AC = ，AD BC ⊥，DB DC ∴=，AD 平分BAC ∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒；②AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒，AD BC ⊥ ，90CBE BCE ∠+∠=︒ ，90CAD ACD ∠+∠=︒，CBE CAD ∴∠=∠．21. 【答案】（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题．【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ，∵45,cos 5BE B ==，∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．22. 【答案】（1）112y x =-+，(2,0)A （2）4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【小问1详解】解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；【小问2详解】解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23. 【答案】150件【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x ，依题意可得：60006000254x x+=，解得：150x =．经检验，150x =是原分式方程的解且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24. 【答案】（1）证明见解析；（2）CG =．【分析】（1）连接OC ，先证明AB 是CD 的垂直平分线，从而求得AC AD =，利用特殊三角函数值判断60COE ∠=︒，则可推得60CAD ∠=︒，利用“有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形”即可得证；（2）先根据()1中的结论及圆周角定理得到30GAC ∠=︒，证明AEC AGC ≌即可得CG CE =，根据勾股定理即可求出直角COE 中CE 的长，即CG 的长．【小问1详解】证：如图，连接OC ，AB 是O 的直径，且CD AB ⊥，CE DE ∴=，BC BD =，BAC BAD ∴∠=∠，AB ∴是CD 的垂直平分线，AC AD ∴=，OC OB = ，点E 是OB 的中点，∴点C 在线段OB 的垂直平分线上，1122OE BE OB OC ===，Rt COE ∴ 中,1cos 2OE COE OC ∠==，即60COE ∠=︒，BC BC =，1302BAD BAC COE ∴∠=∠=∠=︒，即60CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒ACD ∴是等边三角形．【小问2详解】解：由()1得，ACD 是等边三角形，60ADC ∴∠=︒，F 是AC 的中点，12CF AC ∴=，1302GAC ADC BAC ∴∠=∠=︒=∠，CD AB ⊥ ，CG AF ⊥，90AEC AGC ∴∠=∠=︒，在AEC 和AGC 中，AEC AGC GAC EAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEC AGC AAS ∴ ≌，CG CE ∴=，O 半径为2，且点E 是OB 中点，2OC OB ∴==，1OE =，Rt COE ∴中，CE ===，CG CE ∴==【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c =+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．【答案】（1）见详解 （2）0.1b =-，25c =，1k =-（3）>【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：（1）由题意，作图如下．【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =-++．又点(0,25)，(10,20)在函数图象上，∴2250.04101020c b c =⎧⎨-⨯++=⎩．解得：0.125b c =-⎧⎨=⎩．∴场景B 函数关系式为210.040.125y x x =--+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2y kx c =+．又(0,25)，(10,15)在函数图象上，∴251015c k c =⎧⎨+=⎩．解得：251c k =⎧⎨=-⎩．∴场景B 函数关系式为225y x =-+．∴0.1b =-，25c =，1k =-．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20.040.1254x x --+=，解得：1221.7x x =≈=，（舍），即：21.7A x ≈，场景B 中，425B x =-+，解得：21B x =，A B x x ∴>．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =（2）12y y <（3）1122m -<<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M 、N 都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m 的取值范围．【小问1详解】解：抛物线22y ax ax c =-+（0a >）的对称轴为：212a x a -=-=，∴抛物线的对称轴为直线1x =；【小问2详解】∵0a >，抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，121,2x a x a =+=+，∴()11,M x y ，()22,N x y 都在对称轴右侧，∵当1x >时，y 随x 的增大而增大，且12x x <，∴12y y <；【小问3详解】∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴122123222x x m m +++<< ，∵12,0y y a <>，∴()11,M x y 距离对称轴更近，12x x <，则MN 的中点在对称轴的右侧，∴2112m +<，2312m +>，解得：1122m -<<．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【小问1详解】解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；【小问2详解】CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②p ≤≤（2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =同理可得p 的最小值为，即可求解；（2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥，∴NPx ON OP x =,∴p =同理可得p的最小值为∴p ≤≤【小问2详解】解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA ==∴511122MT OM OT OA AM OT =-=--=--=∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。
2023届北京市人大附中高三3月份模拟考试数学试题含解析
2023年高考数学模拟试卷 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+=⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =± B ．2y x =± C ．y = D．y =2．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x=+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭ D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭3．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2D ．()2,e5．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．2-6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ）A ．56B ．72C ．88D ．407．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a -=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A． B． C．3 D．8．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行9．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．18011．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z ii =++12．已知i 为虚数单位，若复数12i12i z +=+-，则z =A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1．已知平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 的位置关系是（）A ．平行B ．平行或异面C ．异面D ．异面或相交2．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）.A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-3．一个水平放置的平面图形OAB 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角O A B '''△，其中A B ''=，则平面图形OAB 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．已知1cos ,3a b 〈〉=-，则下列说法错误的是（）A ．若,a b分别是直线12,l l 的方向向量，则12,l l所成角余弦值是13B ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角正弦值是13C ．若,a b分别是平面ABC 、平面BCD 的法向量，则二面角A BC D --的余弦值是13D ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角余弦值是223.5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是A ．B ．C ．D ．6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，其中2AB =，4=AD ，13AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．9B C D ．7．如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A ．22B ．40C ．D 8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π9．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，//BC QH ，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是A ．．C ．．10．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11A B CD 截正方体可得两个壍堵，再沿平面11B C D 截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111D A B C D -），一个鳖臑（三个棱锥11D B C C -），若P 为线段CD 上一动点，平面α过点P ，CD ⊥平面α，设正方体棱长为1，PD x =，α与图中鳖臑截面面积为S ，则点P 从点D 移动到点C 的过程中，S 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．已知正方形ABCD 的边长为2，则AB AC =+ .12．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥的表面积为.13．平面与平面垂直的判定定理符号语言为：.14．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n 维空间中，正交的定义是两个n 维向量()()1212,,,,,,,n n a x x x b y y y =⋯=⋯满足11220n n x y x y x y ++⋯+=.已知某通信方式中用户的信号是4维非平向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为22(0,0,0,1),(0,0,1,0),,,0,022⎫⎪⎪⎝⎭.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量.15．一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为.三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：(1,1,1),(1,2,3),(4,5,6),(7,8,)A B C D x .(1)求||AC ；(2)若AB CD ⊥ ，求x 的值；(3)若D 点在平面ABC 上，直接写出x 的值.17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.(1)求证：BC AD ∥；(2)求证：CE 平面PAB ；(3)若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN 平面PAB ？说明理由.18．如图所标，已知四棱锥E ABCD -中，ABCD 是直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，平面EAB ⊥平面ABCD ，63AB BC BE AD AE =====,,(1)证明：BE ⊥平面ABCD ；(2)求B 到平面ADE 的距离；(3)求二面角A DE C --的余弦值.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）19．关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（）①空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦②空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦③空间中二面角的平面角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦④空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．1B ．2C ．3D ．420．.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC ，AD 的中点.将ABF △沿BF 所在直线进行翻折，将CDE 沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（）A ．点A 与点C 在某一位置可能重合B ．点A 与点C 3ABC ．直线AB 与直线DE 可能垂直D ．直线AF 与直线CE 可能垂直21．在正方体ABCD A B C D -''''中，P 为棱AA '上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A ．棱柱B ．棱台C ．棱锥D ．球的一部分22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸上的相应位置.）23．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是.24．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，D 是1CC 的中点，则直线AD 与平面1A BD所成角的正弦值为．25．点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为.三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）26．已知自然数集()*{1,2,3,,}N A n n =∈ ，非空集合{}()*12,,,N m E e e e A m =⊆∈ .若集合E 满足：对任意a A ∈，存在,(1)i j e e E i j m ∈≤≤≤，使得,,{1,0,1}i j a xe ye x y =+∈-，称集合E 为集合A 的一组m 元基底.(1)分别判断下列集合E 是否为集合A 的一组二元基底，并说明理由：①{1,2},{1,2,3,4,5}E A ==；②{2,3},{1,2,3,4,5,6}E A ==.(2)若集合E 是集合A 的一组m 元基底，证明：(1)n m m ≤+；(3)若集合E 为集合{1,2,3,,19}A = 的一组m 元基底，求m 的最小值.1．B【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，所以a 与b 没有交点，即a 与b 可能平行，也可能异面．故选：B.2．B【分析】根据空间向量的坐标表示可得.【详解】由空间向量的坐标表示可知，AB OB OA =-，所以()()()2,5,33,1,05,4,3OB AB OA =+=-+-=-，所以点B 的坐标为()5,4,3-.故选：B 3．B【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积【详解】因为在直观图中，O A A B ''''=O B ''==，，高为2⨯=故原图形的面积为12=.故选：B4．C【分析】根据向量法逐一判断即可.【详解】对于A ：因为直线与直线所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以12,l l 所成角余弦值为1cos ,3a b 〈〉= ，故A 正确；对于B ：因为直线与平面所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以l 与α所成角正弦值3s n 1cos ,i a b θ〈=〉= ，l 与α所成223=，故BD 正确；对于C ：因为二面角的平面角所成角范围为[)0,p，所以二面角A BC D --的余弦值可能为负值，故C 错误；故选：C 5．B【分析】设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，由,SC SH 确定的平面，得到截面SCD ∆，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解.【详解】如图所示，设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，球O 是它的内切球，设H 为底面ABC ∆的中心，根据对称性可得内切球的球心O 在三棱锥的高SH 上，由,SC SH 确定的平面交AB 于D ，连接,AD CD ，得到截面SCD ∆，截面SCD 就是经过侧棱SC 与AB 中点的截面，平面SCD 与内切球相交，截得的球大圆如图所示，因为SCD ∆中，圆O 分别与,AD CE 相切于点,E H ，且SD CD =，圆O 与SC 相离，所对照各个选项，可得只有B 项的截面符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查了正四面体的内切球的截面问题，其中解答中正确理解组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了正四面体的性质，球的性质的应用，属于中档试题.6．C【分析】由11AC AC CC =+ ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2AC AC CC CC ⋅ 的值，进而可得答案【详解】由11AC AC CC =+ ，2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+ .因为底面ABCD 是矩形，2AB =，4=AD ，13AA =，所以2241620=AC AC =+= ，219CC = ，因为1160A AB A AD ∠=∠=，所以1123cos 603,43cos 606AB CC BC CC ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=所以()1111822()2()=23+6=1AC CC AB BC CC AB CC BC CC ⋅=+⋅=⋅+⋅，2112018947,47AC AC =++==故选：C.7．C【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED =AB ED ==故选：C8．A【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为14122=，∴该球形容器体积的最小值为：42π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.9．C【分析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.【详解】设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O ，则O 是底面QRH的中心.设OR HQ G ⋂=，则EAB PGO ∠=∠，又因为4323RG RO OG ===，3PO ==，所以22sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=选C.【点睛】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.10．B【分析】分析得出11PMN CB C △△，可得出1PNxCC =，求出PMN S △关于x 的函数关系式，由此可得出合适的选项.【详解】设M 、N 分别为截面与1DB 、1DC 的交点，DP x =，01x ≤≤，CD ⊥ 平面PMN ，CD ⊥平面11B CC ，所以，平面//PMN 平面11B CC ，因为平面1DCC 平面PMN PN =，平面1DCC 平面111B CC CC =，所以，1//PN CC ，同理可得11//MN B C ，1//PM B C ，所以，111111PN DN MN DM PM DP x CC DC B C DB B C DC ======，所以，11PMN CB C △△，易知111111122CB C S B C CC =⋅=△，因此，112212PMN CB C S x S x ==△△.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断.11．【分析】根据向量数量积以及模长公式即可求解.【详解】由题意可知π2,,4AB AC AB AC ===，24,2AB AC ∴=⋅=⨯故AB AC +===故答案为：12．3π【分析】由轴截面可确定圆锥底面半径和母线长，代入圆锥表面积公式即可.【详解】 圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，∴圆锥底面半径1r =，圆锥母线长2l =，∴圆锥的表面积2ππ2ππ3πS rl r =+=+=.故答案为：3π.13．,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）【分析】根据“平面与平面垂直的判定定理”写出正确答案.【详解】平面与平面垂直的判定定理：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥.故答案为：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）14．()1,1,0,0（答案不唯一）【分析】根据“正交”的定义列方程，从而求得正确答案.【详解】设满足条件的第四个用户的信号向量是(),,,x y z u ，则()()()(0,0,0,1),,,0(0,0,1,0),,,0,,,,022x y z u x y z u x y z u ⎧⎪⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⎛⎫⎪-⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，则00022u z x y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，则0,u z x y ===，故一个满足条件的信号向量是()1,1,0,0.故答案为：()1,1,0,0（答案不唯一）15．（或3或，答案不唯一）【分析】根据已知条件进行分类讨论，结合三棱锥的体积公式求得正确答案.【详解】（1）BCD △是等边三角形，且,AB AC AD AC ⊥⊥，如下图所示，由于,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABD ，所以AC ⊥平面ABD，2,BC BD CD AB AD AC ======222,AB AD BD AB AD +=⊥，则1132A BCD V -=⨯.（2）BCD △是等边三角形，且,AB BD AB BC ⊥⊥，如下图所示，由于,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，2BC BD CD AB ====，所以112322sin 602323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯︒⨯=.（3）BCD △是等边三角形，且,AB BD CD AC ⊥⊥，如下图所示，取AD 的中点O ，连接,OB OC ，则2BC BD CD AB ====，22AD =122OB OC AD ===222,OB OC BC OB OC +=⊥，,,,,AD OB AD OC OB OC O OB OC ⊥⊥⋂=⊂平面OBC ，所以AD ⊥平面OBC .所以112222232A BCD V -⎛=⨯⨯ ⎝.故答案为：23（或23或23，答案不唯一）.16．(1)92x =(3)9x =【分析】（1）根据空间向量的模求得正确答案.（2）根据向量垂直列方程，化简求得x 的值.（3）根据向量共面列方程，从而求得x 的值.【详解】（1）()3,4,5,AC AC ===（2）()()0,1,2,3,3,6AB CD x ==-，由于AB CD ⊥ ，所以3212290AB CD x x ⋅=+-=-= ，解得92x =.（3）()()0,1,2,3,4,5AB AC ==，设AD aAB bAC =+ ，即()()()()6,7,10,,23,4,53,4,25x a a b b b b a b a b -=+=++，所以6374125ba b x a b =⎧⎪=+⎨⎪-=+⎩，解得1,2,9a b x =-==.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形BCEF 为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以BC AD ∥；（2）如下图，取F 为AP 中点，连接,EF BF ，由E 是PD 的中点，所以EF AD ∥且12EF AD =，由（1）知BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥且EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形，故CE BF ∥，而CE ⊂平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，则CE 平面PAB .（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，因为E ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以EN PA ∥，因为EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB ，线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ，理由如下：由（2）知：CE 平面PAB ，又CE EN E = ，CE ⊂平面CEN ，EN ⊂平面CEN ，所以平面CEN 平面PAB ，又M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，所以MN 平面PAB ，所以线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB .18．(1)证明详见解析(2)3222-【分析】（1）通过证明BE AB ⊥，结合面面垂直的性质定理证得BE ⊥平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得B 到平面ADE 的距离.（3）利用向量法求得二面角A DE C --的余弦值.【详解】（1）由于222AB BE AE +=，所以BE AB ⊥，由于平面EAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，BE ⊂平面EAB ，所以BE ⊥平面ABCD .（2）由于BC ⊂平面ABCD ，所以BE BC ⊥，所以,,BC AB BE 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()6,0,0,0,6,0,0,0,6,3,6,0C A E D，故()()3,0,0,0,6,6AD AE==-，设平面ADE的法向量为(),,m x y z=，则30660m AD xm AE y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()0,1,1m=，又()0,6,0BA=，所以B到平面ADE的距离为m BAm⋅==.（3）由（2）得平面ADE的法向量为()0,1,1 m=.而()()3,6,0,3,6,6CD ED=-=-，设平面CDE的法向量为(),,n a b c=，则3603660n CD a bn ED a b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，故可设()2,1,2n=，由图可知二面角A DE C--为钝角，设为θ，则cos2m nm nθ⋅=-==-⋅.19．C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知①正确；对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可知②正确；对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是[]0,π，可知③错误；对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知④正确；故选：C20．D【分析】将ABF△沿BF所在直线进行翻折，将CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是圆，AB，AF是以BF为旋转轴的圆锥侧面；CE，CD是以DE为旋转轴的圆锥侧面；【详解】由题意，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以点A与点C不可能重合，故选项A错误；点A与点C的最大距离为正方形的对角线AC=，故选项B错误；由题易知直线BF与直线DE平行，所以直线AB与直线DE所成角和直线AB与直线BF所成角相等，显然直线AB与直线BF不垂直，故选项C错误；由题在正方形中直线AF 与直线CE 平行，设翻折后点A 为1A ，由题易知初始位置ππ,42AFB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，当ABF △沿BF 所在直线翻折到与平面BEDF 重合时，1π2,π2A FA AFB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭所以在此连续变化过程中必存在1π2A FA ∠=，即1A F AF ⊥，所以1A F CE ⊥,所以翻折过程中，直线AF 与直线CE 可能垂直，故选项D 正确.故选：D.21．A【分析】先讨论P 点与A 点重合，M 点的轨迹，再分析把P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中M 点的轨迹，从而可得出结论.【详解】解：若P 点与A 点重合，设,AB AD 的中点分别为,E F ，移动Q 点，则此时M 点的轨迹为以,AE AF 邻边的正方形，再将P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中可得M 点的轨迹是将以,AE AF 邻边的正方形沿1AA 向上移动，最后当点P 与1A 重合时，得到最后一个正方形，故所得的几何体为棱柱.故选：A.22．B【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD 不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则2222(1)|1|cos 2(1)1(2)233a a a a θ=⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，2cos (0,]2θ∈；所以πcos 6=不在上述范围内，错.故选：B23．【分析】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，由坐标法证明11,D E MN D E AM ⊥⊥，从而得出满足条件的所有点P 构成的图形，进而得出周长.【详解】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，如图，取1,CC CD 的中点分别为,N M ，连接11,,,AM MN B N AB ，由于1AB MN ∥，所以1,,,A B N M 四点共面，且四边形1AB NM 为梯形，()()()()()12,0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,2,1,2,0A M N D E ，()()()12,1,0,0,1,1,1,2,2AM MN D E =-==- ，因为11220,220AM D E MN D E ⋅=-+=⋅=-= 所以11,D E MN D E AM ⊥⊥，所以由线面垂直的判定可知1D E ⊥平面1AB NM ，即满足条件的所有点P 构成的图形为1AB NM ，由于11NM AB AM B N ===，则满足条件的所有点P构成的图形的周长为.故答案为：3225+24．10【分析】以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(0,2,1)AD = 和平面1A BD 的一个法向量为(3,1,2)n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以A 为原点，过点A 垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 和1AA 所在的直线分别为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，因为正四棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，可得1(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(0,2,1)A A B D ，则11(0,2,1),(3,1,2),(0,2,1)AD A B A D ==-=- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则1132020n A B y z n A D y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得3,2x z ==，所以(3,1,2)n =，设直线AD 与平面1A BD 所成的角为θ，可得410sin cos ,5522AD n AD n AD n θ⋅====⨯ ，所以直线AD 与平面1A BD 所成的角的正弦值为105.故答案为：105.25．16391639【分析】将正四面体1234A A A A 放入正方体中，得到正方体的体对角线是12OA ，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到P 扫过的区域的体积即可.【详解】图，作出正四面体1234A A A A ，将正四面体1234A A A A 放入正方体中，如下图所示：则O 是该正方体的中心，设该正方体的棱长为a ，则22212a a a ++=⨯，解得：233a =，又11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，()011,2,3,4i i λ≤≤=，则知P 扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：可得动点P 扫过的区域的体积为该正方体体积的2倍，即动点P 扫过的区域的体积3233239V ⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为：163.26．(1)①不是；②是(2)证明见解析(3)5【分析】（1）根据题干信息，利用二元基底的定义加以验证即可；（2）首先设12m e e e <<⋅⋅⋅<，计算出i j a xe ye =+的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意可得：22C C m m m m n +++≥，即可得证：()1n m m ≤+；（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当4m =时，集合E 的所有情况均不可能是A 的4元基底，而当5m =时，A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，由此可得m 的最小值为5.【详解】（1）{}1,2E =不是{}1,2,3,4,5A =的一个二元基底理由是{}()412,1,0,1x y x y ≠⋅+⋅∈-{}2,3E =是{}1,2,3,4,5,6A =的一个二元基底理由是11213=-⨯+⨯；21203=⨯+⨯；30213=⨯+⨯；41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯，61313=⨯+⨯.（2）不妨设12m e e e <<⋅⋅⋅<，则形如()101i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数共有m 个；形如()111i i e e i m ⋅+⋅≤≤的正整数共有m 个；形如()111i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；形如()()111i j e e i j m -+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；又集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅含有n 个不同的正整数，E 为集合A 的一个m 元基底.故22C C m m m m n +++≥，即()1m m n +≥.（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥.当4m =时，()1191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.假设{}1234,,,E e e e e =为{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的一个4元基底，不妨设1234e e e e <<<，则410e ≥.当410e =时，有39e =，这时28e =或27e =.如果28e =，则1109=-，198=-，1899=+，18108=+，重复元素超出一个，不符合条件；如果27e =，则16e =或15e =，易知{}6,7,9,10E =和{}5,7,9,10E =都不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当411e =时，有38e =，这时27e =，16e =，易知{}6,7,8,11E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当412e =时，有37e =，这时26e =，15e =，易知{}5,6,7,12E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当413e =时，有36e =，这时25e =，14e =，易知{}4,5,6,13E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当414e =时，有35e =，这时24e =，13e =，易知{}3,4,5,14E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当415e =时，有34e =，这时23e =，12=e ，易知{}2,3,4,15E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当416e =时，有33e =，这时22e =，11e =，易知{}1,2,3,16E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当417e ≥时，E 均不可能是A 的4元基底.当5m =时，易验证A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，理由：11101=⨯+⨯；21111=⨯+⨯；31301=⨯+⨯；41113=⨯+⨯；51501=⨯+⨯；61313=⨯+⨯；719116=-⨯+⨯；81315=⨯+⨯；91901=⨯+⨯；101515=⨯+⨯；1115116=-⨯+⨯；121319=⨯+⨯；1313116=-⨯+⨯；141519=⨯+⨯；1511116=-⨯+⨯；1611601=⨯+⨯；1711611=⨯+⨯；181919=⨯+⨯；1911613=⨯+⨯.综上所述，m 的最小值为5.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，照章办事，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
人大附中中考数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 若a、b是方程x²-5x+6=0的两根，则a+b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等腰三角形底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的高为（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2x+1C. y=2/xD. y=x³5. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点B的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）6. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 所有等边三角形都是等腰三角形C. 直角三角形的两个锐角互余D. 平行四边形的对边平行且相等7. 下列数列中，不是等差数列的是（）A. 1，4，7，10B. 2，5，8，11C. 3，6，9，12D. 4，7，10，138. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x²B. y=x³C. y=|x|D. y=x²+19. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-2，3），则a、b、c的符号分别为（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b<0，c<0D. a<0，b>0，c<010. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰梯形C. 等边三角形D. 长方形二、填空题（每题3分，共30分）11. 若|a|=5，则a的值为__________。
12. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为__________。
13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且an=an-1+3，则S5=__________。
中国人大附中2023年高一上学期数学统练(一)试题(解析版)
人大附中2023级高一年级第一学期数学统练（一）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是（ ） A. 20,0x x x ∀≤−> B. 20,0x x x ∀>−≤ C. 20,0x x x ∃>−< D. 20,0x x x ∃≤−>【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论即得. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是“20,0x x x ∃>−<”. 故选：C.2. 设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,4B =，则()()U U A B ∪= （ ） A. {}0,5 B. {}1,2,3,4C. {}0,1,2,3,4,5D. {}0,1,2,5【答案】C 【解析】【分析】根据补集的概念，即可求出,U U A B ，再根据并集运算，即可求出结果.【详解】由题意可知{}{}0,2,4,5,0,1,3,5U U A B ==， 所以()(){}0,1,2,3,4,5U U A B ∪=. 故选：C.3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件. 故选：B4. 下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）A. ()()U U A B ∩ B. ()()U U A B C. ()U A B D. ()U A B ∩【答案】C 【解析】【分析】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集.【详解】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用()U A B 表示. 【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.5. 设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ∪=，，，则满足条件的实数x 的个数是 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个.【答案】C 【解析】【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A ∪B={1，4，x}，得x 2=x 或x 2=4，可解出符合题意的x 有0，2，-2共3个．【详解】{}14A x = ，，，{}21B x =，，所以由集合的互异性可得1x =±且4x ≠，{}14A B x ∪= ，，，则2x x =或24x = 解之得0x =或2x =±满足条件的实数x 有022−，，共3个， 故选C.【点睛】本题给出含有未知数x 的集合A 、B ，在已知它们并集的情况下求实数x 值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．6. 命题甲：2x ≠或3y ≠；命题乙：5x y +≠，则甲是乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：若2x ≠或3y ≠则5x y +≠的逆否命题为：若5x y +=则2x =且3y =为假命题，则原命题不成立，即充分条件不成立；若5x y +≠则2x ≠或3y ≠的逆否命题为：若2x =且3y =则5x y +=为真命题，则原命题为真命题.即必要条件成立.所以甲成立是乙成立的必要不充分条件.故选B. 考点：四种命题.7. 设:1,:1p a b q ab a b >>+<+，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件定义结合题意求解即可.【详解】若1a b >>，则10,10a b −>−<，所以()()110a b −−<， 所以1ab a b +<+，所以p 是q 的充分条件；若1ab a b +<+，不妨取1,52a b ==，不满足1a b >>， 所以p 不是q 的必要条件，故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A .8. 若命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，则实数a 可取的最小整数值是（ ） A 1− B. 0C. 1D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“[]0,3x ∃∈，220x x a −−≤”为真命题，分离参数转化为22a x x ≥−在[]0,3x ∈上有解，构造函数求解最小值即可.的.【详解】因为命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，所以命题“[]0,3x ∃∈，220x x a −−≤”为真命题，即220x x a −−≤在[]0,3x ∈上有解， 即22a x x ≥−在[]0,3x ∈上有解，记2()2f x x x =−，[]0,3x ∈，则min ()a f x ≥， 因为2()2f x x x =−在[]0,1上单调递减，在(]1,3上单调递增，所以min ()(1)1f x f ==−， 所以1a ≥−，所以实数a 可取的最小整数值是1−. 故选：A9. 对于集合A ，B ，我们把集合{}x x A x B ∈∉且且叫做集合A 与集合B 的差集，记作A B −．现已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则下列说法不正确的是（ ）A. {1,5}A B −=B. {6,7}B A −=C. ()A A B B −−=D. ()A A B A B −−=【答案】C 【解析】【分析】由差集的定义对比选项判断即可得出答案. 【详解】因为{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则 {1,5}A B −=，故A 正确； {6,7}B A −=，故B 正确；{}()2,3,4A A B B --=≠,故C 不正确；{}2,3,4A B = ，故()A A B A B −−= ，故D 正确.故选：C10. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ =∉，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A ϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ = ∉，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅= ，()()01i i A B A B ϕϕ∴== ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ= ，则()i A B ∉ ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=； 若()1i A B ϕ= ，则()i A B ∈ ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=； ∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B A i B ϕϕϕ=⋅ （）（）；正确，故②正确； 对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B === ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ= （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+ ； 故③错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______．【答案】2a ≥ 【解析】【分析】根据子集的定义求解．【详解】因为{}A x x a =<，{}12B x x =<<，B A ⊆，所以2a ≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集定义是解题基础． 12. 能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】1?,1−（答案不唯一）【详解】分析：举出一个反例即可． 详解：当11a b =>=−时，1111a b=<=−不成立， 即可填1,1−．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．13. 若存在性命题:∃x ∈R ，使得210mx +≤是假命题，且全称命题: 2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】01m ≤≤ 【解析】 【分析】由全称、特称命题的真假结合一元二次不等式恒成立即可得解.【详解】若x ∃∈R ，使得210mx +≤是假命题，则210mx +>在R 上恒成立， 当0m =时，10>恒成立，符合题意； 当0m ≠时，则040m m >∆=−<，解得0m >；所以若该命题是假命题，则0m ≥若2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则2440m ∆=−≤，解得11m −≤≤； 所以实数m 的取值范围是01m ≤≤. 故答案为：01m ≤≤.14. 已知[]x 表示不大于x 的最大整数，{}|[]A y y x x ==−，{}|0B y y m =≤≤，若y A 是y B∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是______. 【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】先求出集合A ，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合{}|[]A y y x x ==−，不失一般性我们不妨设()1,Z k x k k ≤<+∈，此时由[]x 定义可知，有[]01y x x x k ≤=−=−<，的所以{}{}|[]|01A y y x x y y ==−=≤<， 若y A 是y B ∈的充分不必要条件，则A B ， 所以m 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.15. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =−，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =，则10m −≤≤或1m =；其中正确命题的序号为____________ 【答案】①②③④ 【解析】【分析】由题分析：1m l −≤≤≤1，若x S ∈则2x x l ≤≤，对每个选项列不等式组分析. 【详解】非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， 若1l >，则2l l >，2l S ∉，所以1l ≤，若1m <−，则21m m >>，2m ∉，所以1m ≥−， 所以1m l −≤≤≤1，且当x S ∈时，有211x x x l −≤≤≤≤≤1,，非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， ①若1m =，根据1m l −≤≤≤1，则1l =，所以{}1S =；②若12m =−，214m S =∈，则114l ≤≤； ③若12l =， 22121{2m m m m≤≤≥，解得：0m ≤；④若1l =，2211m m m m≤ ≤ ≥ ，解得：10m −≤≤或1m =；故答案为：①②③④【点睛】此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析.三、解答题（共35分）16. 设集合U =R ，{}03Ax x =≤≤，{}12B x m x m =−≤≤. （1）3m =，求()U A B ∩ ； （2）若B A ，求m 的取值范围. 【答案】（1）[)0,2 （2）{|1x m <−或312m≤≤【解析】【分析】（1）先利用补集运算求出U B ，再利用集合的交集求解即可； （2）由B A ，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组，求解即可．【小问1详解】当3m =时，{}26B x x =≤≤，故{|2UB x x =< 或}6x >， 又{}03Ax x =≤≤，故()[)0,2UA B =【小问2详解】当B =∅时，12m m −>，∴1m <−，符合题意；当B ≠∅时，需满足012312m m m m <− ≤ −≤ 或012312m m m m≤−≤ −<，解得312m ≤≤， 综上所述，m 的取值范围为{|1x m <−或312m≤≤17. 设命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，q ：关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根．（1）若q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 13,22m∈−；(2) ()()13,2,2,22m ∈−∞−−+∞【解析】【分析】(1)根据题意，若q 为真，即()242160m ∆=−−<即可求解；(2) 因p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 一真一假，分别讨论两种情况即可.【详解】(1)对于命题q ，因关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根， 所以()242160m ∆=−−<，即1322m −<<. 因q 为真，故1322m −<<，即13,22m∈−. (2) 对于命题p ，因关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根， 所以240m ∆=−>，即2m <−或m>2.因p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，221322m m m m −≤−≥或或 ，即2m <−或m>2；当p 假q 真时，221322m m −≤≤−<< ，即1322m −<<.综上所述：()()13,2,2,22m∈−∞−−+∞. 18. 给定整数i ，如果非空集合T 满足： 一：*T ⊆N ，{}1T ≠，二：x ∀，*y ∈N ，若x y T +∈，则xy i T −∈，那么称集合T 为“减i 集”. （1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明. （3）是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明. 【答案】（1）{}1,2P =是“减0集”，不是“减1集”（2）不存在“减2集”，证明见解析（3）存在“减1集”：{}{}{}{}*1,3,1,3,5,1,3,5,7,,|21,N x x k k =−∈【解析】【分析】（1）已知*P ⊆N ，{}1P ≠，11,110P P +∈×−∈，由此即可判断{}1,2P =是 “减0集”，同理可判断{}1,2P =不是 “减1集”.（2）假设存在“减2集”A ，根据“减2集”的性质可以推出矛盾，从而求解.（3）假设存在“减1集”A ，根据“减1集”的性质可以一个个判断前面几个正整数是否在“减1集”A 中，由此即可发现规律. 【小问1详解】因为*P ⊆N ，{}1P ≠，112,1101P P +=∈×−=∈， 所以{}1,2P =是“减0集”，同理因为*P ⊆N ，{}1P ≠，112,1110P P +=∈×−=∉， 所以{}1,2P =不是“减1集”. 【小问2详解】 假设存在“减2集”A ， 则x y A +∈，那么2xy A −∈， 分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=−>时，有()()113x y −−=， 注意到,*x y ∈N ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4， 所以集合A 中除1以外的最小元素为6， 但是336A +=∈，3327A ×−=∉， 而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +≠−时，则1x y xy +=−或(),2x y xy m m +=−>， （因为若m 为负整数，则()()110x y m −−−>，即此时1x y xy m +≠−+）， 若11x y xy +=−>，有()()112x y −−=， 注意到,*x y ∈N ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，第11页/共11页所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=∈，2324A ×−=∉，而这与集合A “减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=−>，有()()111x y m −−=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m −−=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+∈，但122xy a b a b <−=+−<+，所以2xy A −∉,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.【小问3详解】假设存在A 是“减1集”，{}1A ≠.假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A ∈，则11A +∈，但111A ×−∉，因此2A ∉，假设3A ∈，则12A +∈，且121A ×−∈，因此3A ∈，因此可以有{}1,3A =,假设4A ∈，则13A +∈，但131A ×−∉，因此4A ∉，假设5A ∈，则23A +∈，且321A ×−∈，因此5A ∈，因此可以有{}13,5A =,, 依次类推有：{}{}*1,3,5,7,,|21,N x x k k =−∈ .【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=−>和2x y xy +≠−证出矛盾（至于为什么结果是矛盾的可以首先举出几个特例然后猜想，最后演绎推理）， 第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.是是。
北京市人大附中2023届高三三模数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则的最小值为（ ）A ．1B．C．D ．62. 已知函数，若，恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则A．B．C．D．4. 若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ）A．B．C．D ．无法比较大5. 已知点P是曲线上的动点，则点P 到直线的距离的最大值为（ ）A．B．C．D．6. 已知是边长为的正方形，分别为边的中点，则的值为（ ）A．B．C．D．7. 复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.中，,在边上，且,.当的面积最大时，则的外接圆半径为（ ）A．B．C．D．9.已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（ ）A．平面B．球的体积是C ．直线与平面所成角的正弦值是D ．平面被球所截的截面面积是10. 如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E ，F （E ，F 是截口椭圆C 的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）北京市人大附中2023届高三三模数学试题 (2)北京市人大附中2023届高三三模数学试题 (2)三、填空题四、解答题A ．椭圆C 的中心不在直线上B．C ．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D ．椭圆C的离心率为11.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．平面平面B．平面C ．异面直线与所成角的取值范围是D ．三棱锥的体积不变12.双曲线：的离心率，H的两条渐近线分别记为，，其中经过第一，三象限，P 是H 右支上一个动点，过P 作直线交于，交于；过P 再作交于，交于，记P 与坐标原点O 连线的斜率为.则下列说法中，的有（ ）A ．若，则，，，四点彼此相异B ．设P 的纵坐标为，记，则是关于的偶函数C ．在P变化的过程中，恒有D ．若，则正确13.的展开式中项的系数是_______．14. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数=________.15. 已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且是边长为6的等边三角形，则球面面积为__________.16. 已知函数，且．(1)讨论的单调性；(2)比较与的大小，并说明理由；(3)当时，证明：．17. 已知函数.（1）求单调递增区间；（2）中，角，，的对边，，满足，求的取值范围.18. 在中，已知点边上的中线长与边上的中线长之和为，记的重心G的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)若圆，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直线平面；(2)求证：．20. 在数列中，，（k为常数，），且，，构成公比不等于1的等比数列．(1)求k的值；(2)设，求数列的前n项和．21. 函数．(1)求证：；(2)若方程恰有两个根，求证：．。
2023北京人大附中初二上学期期中数学试卷及答案
2023北京人大附中初二（上）期中数学一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．北京中轴线是指位于北京老城中心，贯穿北京老城南北，并始终决定整个北京老城城市格局的庞大建筑群体．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中华文明的独特见证．下面是2021北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的几件入选设计方案，其中主体图案（不包含文字内容）不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°3．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°4．在平面直角坐标系中，点（52x轴对称的点的坐标为（）A．（5，﹣2）B．（﹣5，2）C．（2，5）D．（2，﹣5）5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD6．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°7．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处8．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，记△ABC的周长为p，PD＝r，给出下面三个结论：①∠APB＝135°；②CD＝r；③AC•BC＝pr．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共20分，每题2分）9．（2分）下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是．10．（2分）已知三角形的两边长分别为2和5，第三边长为x，则x的取值范围是．11．（2分）一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形是边形．12．（2分）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断∠1与∠2一定相等的是（填序号）．13．（2分）如图，已知∠ABC＝∠BCD，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DCB，这个条件可以是，判定全等的依据是．14．（2分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示）．15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若AC＝8，AB＝5，则BD的长为．16．（2分）如图，AB＝AD＝DC，∠BAC＝75°，则∠ABD的度数为．17．（2分）如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为．18．（2分）在课堂的学习中，我们知道：在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，要在x轴上找一点P，使△AOP是等腰三角形．当点A确定时，符合题意的点P的位置及其个数m也会随之确定．那么对于所有第一象限的点A，m的所有可能值为．三、解答题（本题共56分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26-27题，每题6分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19．（5分）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长．20．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，AE是高，AE＝CE，∠DAE＝10°，求∠CAE 和∠B的度数．21．（5分）如图，B，C，E，F在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：AC＝DF．22．（5分）下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程：已知：如图，点P在直线l上．求作：直线PQ，使PQ⊥l．作法：①以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A，B两点，②分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l上方交于点Q，③作直线PQ．直线PQ即为所求的垂线．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AQ，BQ，∵根据作法，有AQ＝BQ，AP＝BP，∴PQ⊥AB，即PQ⊥l．（）（填推理的依据）23．（5分）小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明．已知，如图，在△ABC 中，AD 平方∠BAC ，且点D 是BC 的中点．求证：AB ＝AC ．方法一：证明：过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．方法二：证明：延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．24．（6分）小宇和小明一起进行数学游戏：已知∠MON ＝90°，将等腰直角三角板△ABC 摆放在平面内，使点A 在∠MON 的内部，且两个底角顶点B ，C 分别放在边OM ，ON 上．（1）如图1，小明摆放△ABC ，恰好使得AB ⊥OM ，AC ⊥ON ，又由于△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，从而直接可以判断出点A 在∠MON 的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是 ．（2）如图2，小宇调整了△ABC 的位置，请判断OA 平分∠MON 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（4，3），连接AO ，点P 为x 轴上一点，且△AOP 是以AO 为底边的等腰三角形．（1）利用圆规和无刻度的直尺，作出点P ．（保留作图痕迹）（2）已知点Q 的坐标为（3，0），请判断：点P 与点Q 在位置上满足 （填序号），并证明这个判断．①点P在点Q左侧；②点P在点Q右侧；③点P与点Q重合．26．（6分）已知：点A为直线MN上一定点，点B为直线MN外一定点，∠BAN＝30°，将点B关于直线MN对称，得到点C，连接BC交直线MN于点P．点D为直线MN上一动点（不与点A重合），以BD 为边，作等边△BDE（B，D，E三点按顺时针方向排列），直线CE交直线MN于点F．（1）如图1，求证：AD＝CE，并求∠BCE的度数；（2）当点D在直线MN上运动的过程中，①下列结论：（A）AD＝CE始终成立，（B）∠BCE的度数不变，（C）点F的位置不变，（D）CF+DF＝EF始终成立．其中所有正确结论的序号是．②若线段PE长的最小值为2，则线段AB的长为．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），给出如下定义：若b≥0，则将点P关于y轴对称得到点Q；若b＜0，则将点P向上平移3个单位，得到点Q．称点Q为点P的“对应点”．（1）点P（3，1）的对应点Q的坐标为；（2）已知点A（m，0），B（m﹣1，3），C（m+3，﹣3），连接AB，AC，得到折线段B﹣A﹣C，①当时，如图1，请判断是否存在这样的点Q，使得点Q同时是折线段B﹣A﹣C上不同的两个点P1，P2的对应点？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（注：本问的求解过程或理由，只需图形+简要思路即可）②若折线段B﹣A﹣C上任意两点P1，P2的对应点都不相同，直接写出m的取值范围．28．（8分）已知在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB为锐角，AD是BC边上的高，在射线DA上取一点E，使DE＝DC，在平面内取一点F，使CF⊥CA，CF＝CA，且点E，F在直线BC的异侧，连接EF交BC 于点M．（1）如图1，当∠ACB＜45°时，补全图形，并证明∠FCB＝∠CAD；（2）在图1中用等式表示线段AD，AE，CM之间的数量关系，并证明；（3）设AD＝1，当∠ACB的大小变化时，若，直接写出线段CD长的取值范围．参考答案一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2023年北京市人大附中初三3月月考数学试卷及答案
2023北京人大附中初三3月月考数 学2023.3一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥2. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量13731亿斤，比上年增长0.5%，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿所以上，将1373100000000用科学记数法表示应为（ ）A. 130.1373110⨯B. 121.373110⨯C. 131.373110⨯D. 1213.73110⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，点C 重合），连接DE ．若40D ∠=︒，70BED ∠=︒，则B ∠的大小为（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A. 2a <−B. a b <C. a b >−D. b a <−5. 五边形的外角和等于（） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87. 下图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21s ，B 课程成绩的方差为22s ，则21s ，22s 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212s s >D. 不确定8. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h 的值记录错误，错误的h 的值为（ ）A. 2.4B. 2.8C. 3.4D. 4第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．10. 因式分解：39a a −=______． 11. 方程233x x=−的解是_______ 12. 一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是______． 13. 已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根，写出一组符合题意的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14. 如图，点O 在线段AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径作半圆O ，BD 与半圆O 相切，切点为C ，连接OC ，AC ．若2OB OA =，则CAB ∠的度数为______．15. 如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F ．若4AB =，6BC =，则EF 的长为______．16. 甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()2132cos302π−⎛⎫−+︒+− ⎪⎝⎭18. 解不等式组：()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩19. 已知m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，求（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）的值．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点． 求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =． 证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．21. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE DF =，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）连接AC ，AC 平分EAF ∠．若4AB =，8BC =，5AF =，求证：四边形ABCD 是矩形． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,4． （1）求该函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围（3）若反比例函数ky x=的图象与函数y x b =+的图象交于点A ，B ．若AB >b 的取值范围． 23. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，与BC 的延长线交于点F ，F BAD ∠=∠．（1）求证：BD BE =；（2）若1tan 2F ∠=，5BE =，求AF 的长． 24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲小区用气量频数分布表如下：2025x ≤<，2530x ≤<）c ．乙小区用气量的数据在1520x ≤<这一组的是： 151516161617171818181819、、、、、、、、、、、d ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 和n 的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为1p ．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为2p ．比较1p ，2p 的大小，并说明理由；（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．25. 为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x （元/千克）与相应需求量p （千克）以及供给量q （千克）的数据，如下表：（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；（2）为了研究这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足2p ax c =+的形式，请求出p 关于x 关于的函数表达式．（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()14A y −，，232B a y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()3C m y ，三个点在抛物线()220y x ax c a =−+>上．（1）当1a =时，求抛物线的对称轴，并直接写出1y 和2y 的大小关系． （2）①若5m =，13y y =，则a 的值为______；②若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，令30B α∠=<︒，线段BC 的垂直平分线分别交线段AB 、BC 于点D ，E ．（1）如图1，用等式表示DE 和AC 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α交线段DE 于点F ， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF ，EF ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，过点P 作PH l ⊥，垂足为点H ，若点K 与Q 关于点H 对称，则称点K 为点P 关于直线l 和点Q 的垂直对称点． 已知()4,0A ，()0,3B ．（1）①点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为______；②点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，则点A 到直线l 的距离为______． （2）如图1，点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0的垂直对称点在直线AB 上，求t 的值．（3）如图2，点P 为线段AB 的四等分点，且AP BP >，点Q 在x 轴下方，且满足1OQ =，点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，直接写出EM 的长的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个矩形 ∴该几何体是三棱柱 故选：B ．【点睛】题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键． 2. 【答案】B 【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：121373100000000 1.373110=⨯． 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：40D ∠=︒，70BED C D ∠=∠+∠=︒，30C ∴∠=︒， AB CD ∥，30B C ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置如图所示．A ．由点在数轴上的位置得到2a >−，故选项错误，不符合题意；B ． 由点在数轴上的位置得到a b >，故选项错误，不符合题意；C ．由点在数轴上的位置得到a b <−，故选项错误，不符合题意；D ．由点在数轴上的位置得到b a <−，故选项正确，符合题意． 故选：D【点睛】此题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【详解】解：五边形的外角和是360°． 故选B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【分析】根据波动越大，方差越大，即可解答．【详解】由图可知A 课程成绩的波动小于B 课程成绩的波动 ∴2212s s < 故选A ．【点睛】本题考查了统计图及方差等知识点，能够正确的从统计图中获取信息是解答本题的关键． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．【详解】解：∵水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数， ∴每增加一分钟水位上升的值相同，由表格可得：由1 min 到2 min 上升了0.4 cm ，2 min 到5 min 共上升了1.2 cm ，2 min 到3 min 上升了0.6 cm ，故可知错误的数据为3 3.4t h ==，， 故选C ．【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥， 故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 【答案】()()33a a a +− 【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解：()3299(3)(3)a a a a a a a −=−=+− 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 【答案】x=9 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得 3x -9=2x ， 解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0． ∴原方程的解为：x =9． 故答案为：x =9． 12. 【答案】110【解析】【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是110． 故答案为：110【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 13. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】【分析】先根据根的判别式求出b 和c 的关系，再取数作答即可． 【详解】解：∵关于x 的方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴0∆>， 即240b ac −>， 移项得24b ac >， ∵1a =， ∴24b c > 故答案为3、1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14. 【答案】30︒##30度 【解析】【分析】BD 与半圆O 相切，切点为C ，则90OCB ∠=︒，由2OB OA =，OC OA =，得到1cos 2COB ∠=，则60COB ∠=︒，由三角形外角的性质即可得到CAB ∠的度数． 【详解】解：∵BD 与半圆O 相切，切点为C ， ∴90OCB ∠=︒，∵2OB OA =，OC OA =， ∴2OB OC =，OCA CAB ∠=∠， ∴1cos 2OC COB OB ∠==， ∴60COB ∠=︒，∵2OCA CAB CAB COB ∠+∠=∠∠=， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒． 故答案为：30︒【点睛】此题考查了切线的性质定理、特殊角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】先求得6CF CB ==，则2DF =，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F∴4CD AB ==，90,45ABC C FBC ∠=∠=︒∠=︒，AD BC ∥，则BCF △是等腰直角三角形， ∴90,45FDE C FED ∠=∠=︒∠=︒， ∴EFD △是等腰直角三角形，∴2DE DF CF CD BC CD ==−=−=，EF ==，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，得出EFD △是等腰直角三角形，是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 24 ②. 106 【解析】【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+−+−⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品， ∴ 14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106． 故答案为106．【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】3 【解析】【分析】先利用零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂进行化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：()2132cos302π−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭1242=+⨯+14=+−3=．【点睛】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关性质和定义是解答本题的关键． 18. 【答案】13x << 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【详解】()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩①② 解①得1x > 解②得3x <不等式解集为13x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 19. 【答案】3. 【解析】【分析】把x ＝m 代入方程得：m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，再整体代入原式＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5可得．【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根， ∴m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，∴（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 20. 【答案】见解析 【解析】【分析】证明AED CEF ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点， ∴,AD BD AE EC ==， 又AED CEF ∠=∠， ∴()SAS AED CEF △≌△， ∴,CF AD BD EFC ADE ==∠=∠， ∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴,DF BC DF BC =∥， ∵12EF DE DF ==， ∴DE BC ∥ 且 12DE BC =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】对于（1），根据平行四边形的性质可知AD BC ∥，AD BC =，再根据BE DF =，可知AF CE =，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；对于（2），先求出BE ，再求出AE ，然后根据勾股定理的逆定理证明ABE 是直角三角形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【小问1详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =. ∵BE DF =， ∴AF CE =. ∵AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形；∵8BC =，5CE AF ==， ∴3BE BC CE =−=. ∵AC 平分EAF ∠， ∴CAE CAF ∠=∠． ∵AF CE ∥， ∴CAF ACE ∠=∠， ∴CAE ACE ∠=∠， ∴5AE CE ==． 在ABE 中，22222243255AB BE AE +=+===，∴ABE 是直角三角形， ∴90B，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，勾股定理的逆定理等，灵活选择定理是解题的关键． 22. 【答案】（1）4y x= （2）4m ≥ （3）3b >或3b <− 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据反比例函数的增减性，得出当1x >时，4y <，从而得出当1x >时，使4mx ≥即可，得出4m ≥；（3）联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：112b x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222b x y ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，根据两点间距离公式求出AB =AB >>b 的不等式即可．【小问1详解】 解：把()1,4代入()0ky k x=≠得： 41k=，解得：4k =， ∴函数的解析式为4y x=；解：∵反比例函数4y x=在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，反比例函数4y x=的函数值4y <， ∵当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值， ∴只要当1x >时，使4mx ≥即可， ∴4m ≥；【小问3详解】解：联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：112x b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，222x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB ===∵AB >> ∴21625b +>， ∴29b >， ∴3b >或3b <−．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，反比例函数的增减性．23. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意可证90BAD AEF ∠+∠=︒，而90ADB BAD ∠+∠=︒，从而可证BED ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）过A 点作AH BF ⊥，设EH 长为a ，根据勾股定理可解出AF 的长． 【小问1详解】 ∵直线AF 与O 相切于点A∴90EAF ∠=︒∴1809090F AEF ∠+∠=︒−︒=︒ ∵F BAD ∠=∠∴90BAD AEF ∠+∠=︒ ∵AD 是O 的直径，O 是ABC 的外接圆 ∴90ABD∴90ADB BAD ∠+∠=︒ ∴ADB AEF ∠=∠ ∵AEF BED ∠=∠ ∴BED ADB ∠=∠ ∴BD BE = 【小问2详解】过A 点作AH BF ⊥，则90AHF AHE ∠=︒=∠ ∴90F HAF ∠+∠=︒∵90EAF ∠=︒，EAF EAH HAF ∠=∠+∠ ∴EAH F ∠=∠∵1tan 2F ∠=，F BAD ∠=∠ ∴1an 2t BAD ∠=、1tan 2EAH ∠= 设EH 长为a ，则2tan EHAH a EAH==∠∵根据（1）BD BE = ∴5BD = ∴10tan BDAB BAD==∠在Rt ABH △中根据勾股定理有222BH AH AB +=即()()2225210a a ++= 解得3a =或5−（舍去负值） ∴236AH =⨯= ∴12tan AHHF AFC==∠∴AF ===【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．24. 【答案】（1）8m =、16.5n = （2）12p p > （3）190（户） 【解析】【分析】（1）用调查总数30减去其他分组的频数即可求得m 值，n 的值利用求中位数的方法求解即可； （2）利用平均数、中位数的意义求解即可；（3）根据甲乙两小区抽取的30户中用气量不小于20立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】30361038m由题可知乙小区用气量的中位数应在1520x ≤<这一组中，分布在510x ≤<，1015x ≤<这两组数据中的共10户，∴乙小区用气量的中位数161716.52n +== 【小问2详解】由题意可知甲小区平均用气量为17.4，中位数为18乙小区平均用气量为17.1，中位数为17 ∴115p >、215p < ∴12p p > 【小问3详解】抽取的甲小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：83113030+= 抽取的乙小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：6243015+= ∴甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为1143003001903015⨯+⨯=（户） 【点睛】本题考查平均数、中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体． 25. 【答案】（1）一次函数，1y x =− （2）2195p x =−+ （3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【解析】【分析】（1）根据供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间的数量关系可得到答案； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）根据供给量与需求量相等得到21195x x −=−+，解方程即可得到答案． 【小问1详解】解：观察表中的数据，可发现供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是1y x =−，故答案为：一次函数，1y x =− 【小问2详解】由表格可知当 2.5x =时，7.75y =，当3x =时，7.2y =，∴227.75 2.57.23a ca c ⎧=⨯+⎨=⨯+⎩解得159a c ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴p 关于x 关于的函数表达式是2195p x =−+． 【小问3详解】当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，21195x x −=−+， 即25500x x +−=，解得125,10x x ==−（不合题意，舍去），∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． 26. 【答案】（1）见解析 （2）①12；②1423a <<或10a > 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=−可求解，将a 、b 坐标代入解析式中即可求解； （2）①将A 、C 两点坐标分别代入解析式，再使13y y =即可求解．②画出图像根据题意列出不等式即可求解，注意分类讨论． 【小问1详解】解：当1a =时，抛物线解析式为22y x x c =−+，232B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将()14A y −，代入得116824y c c =++=+将232B y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得293344y c c =−+=−+∴12y y >抛物线对称轴为212x −=−= 综上所述抛物线对称轴为：直线1x =、12y y >； 【小问2详解】 ①∵5m = ∴()35C y ，代入抛物线中得32510y a c =−+ 将()14A y −，代入得1168y a c =++ ∵13y y =∴1682510a c a c ++=−+ 解得12a =；②抛物线对称轴为22a x a −=−= 当02a <<时，如图所示，∵0a >∴点A 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为424a a a −++=+若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则245322a a +>⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得1423a <<，满足02a << 故a 的取值范围为1423a << 当25a ≤≤时，因为函数顶点在5x ≤≤内，3y 可以为该函数最小值，故不符合题意舍去当5a >时∵5a >∴点B 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为2a ， 若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则52a > 解得10a >．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 【答案】（1）12DE AC =，证明见解析 （2）①图见解析；②3AF DE EF =−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，再根据平行公理，得出AC DE ∥，进而得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC 于点M ，交线段BA 于点N ，再以点A 为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC 于点P ，再以点P 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点Q ，再以点Q 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点K ，连接AK ，并延长交DE 于点F ； ②设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出90ACC AC C α''∠=∠=︒−，再根据角之间的数量关系，得出C CB α'∠=，连接CD ，根据线段垂直平分线的性质，得出DC DB =，再根据等边对等角，得出DCB B α∠=∠=，再根据角相等，得出DCB C CB '∠=∠，进而得出点C C D '、、三点共线，再根据题意，得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，得出1122DE AC AC '==，进而得出2AC DE '=，再根据两直线平行，内错角相等，得出ACC C DF ''∠=∠，进而得出AC C C DF ''∠=∠，再根据对顶角相等，得出AC C DC F ''∠=∠，再根据等量代换，得出DC F C DF ''∠=∠，再根据等角对等边，得出FC FD '=，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出3AF DE EF =−．【小问1详解】 解：12DE AC =，证明如下： ∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴12DE AC =； 【小问2详解】解：①如图，即为所求；②3AF DE EF =−，证明如下：设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，∵2CAC α'∠=，AC AC '=， ∴1802902ACC AC C αα︒−''∠=∠==︒−， 又∵90ACB ∠=︒，∴()9090C CB αα'∠=︒−︒−=，连接CD ，∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC DB =，∴DCB B α∠=∠=，∴DCB C CB '∠=∠，∴点C C D '、、三点共线，又∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴1122DE AC AC '==，∴2AC DE '=，∵AC DE ∥，∴ACC C DF ''∠=∠，又∵AC A C C C ∠='∠'，∴AC C C DF ''∠=∠，∴AC C DC F ''∠=∠，∴DC F C DF ''∠=∠，∴FC FD '=，∴AF AC C F ''=+2DE DF =+()2DE DE EF =+−3DE EF =−，∴3AF DE EF =−．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．28. 【答案】（1）()2,0（2）157（3）11188EM ≤≤ 【解析】【分析】（1）依据垂直对称点的定义，中点坐标公式和勾股定理解决即可；（2）先用待定系数法确定直线AB 的解析式为334y x =−+，依据垂直对称点定义和45C OC '∠=︒，并利用锐角三角函数可得OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭，再根据点C '在直线y x =上，可建立关于a 的方程，求得87a =，可得1515,1414C ⎛⎫' ⎪⎝⎭，利用勾股定理求得14OC '=，最后代入OC '=，得出1507C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问题得解； （3）证明APP ABO '∽△△，由相似三角形的性质可得到()1,0P '，设(),Q m n ，依据垂直对称点定义，()2,K m n −−，从而得到3342EF m =+，EK n =−， ∴313824MK m n =++，()133484EM m n =−+，设134k m n =−，根据1OQ =，可建立122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，再利用根的判别式()()2211842590k k −⨯−≥，可得155k −≤≤，从而问题得以解决．【小问1详解】解：①如图，过点()3,2作x 轴的垂线，则垂足所表示的数为()3,0，∵()4,0A ，∴点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为()2,0A '，故答案为：()2,0；②∵()0,3B ，点()6,1， ∴它们的中点的坐标为0631,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,2， ∵点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，∴点A 到直线l=，【小问2详解】∵()4,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴403k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =−+， ∵点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0D 的垂直对称点在直线AB 上，∴CC OC ''⊥，点D 和点D 关于点C '对称，∵45C OC '∠=︒，∴cos 2OC C OC OC ''∠==，∴OC '=， 设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭， ∴33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点C '在直线y x =上，∴3301422aa−+++=，解得：87a=，∴115 214a+=，∴1515,1414C⎛⎫' ⎪⎝⎭，∴14 OC'==，∴15147OC'===，∴157C⎛⎫⎪⎝⎭，，∴157t=．∴t的值为157．【小问3详解】过点P作PP x'⊥轴于点P'，∴PP y'∥轴，∴APP ABO'∽△△，∴PP AP APBO AO AB''==∵点P为线段AB的四等分点，且AP BP>，()4,0A，()03B，，∴3344PP AP''==，∴3AP'=，∴()1,0P'，设(),Q m n∵点Q 在x 轴下方，1OQ =，∴221+=m n ，11m −<<，10n −<≤，∵点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，∴()2,K m n −−，∴当2x m =−时，()33323442y m m =−−+=+， ∴3342EF m =+，EK n =−， ∴()11333132242824MK FK EF EK m n m n ⎛⎫==−=++=++ ⎪⎝⎭， ∴()313313133482482484EM EK MK n m n m n m n =+=−+++=−+=−+， 设134k m n =−，则122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩， 整理得：221125890n k n k ++−=，∵()()2211842590k k −⨯−≥， ∴155k −≤≤，即5345m n −≤−≤， ∴11188EM ≤≤． ∴EM 的长的取值范围是11188EM ≤≤．【点睛】本题以一次函数为背景，考查了中点坐标公式，勾股定理，直角坐标系中点到原点的距离，待定系数法确定一次函数解析式，特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质，根的判别式，新概念的理解与应用等知识．正确理解题中的垂直对称点的含义是解题的关键．。
2023年北京人大附中中考三模数学试卷试题(含答案详解)
A ．AEF DEC ∠=∠C ．::FA AB FE EC=5．用一块等边三角形的硬纸片（如图盒子（边缝忽略不计，如图2AMDN 中，MDN ∠的度数为（A ．100︒B ．110︒6．一家游冰馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）．．．．．．．．16．计算：201(7)324602sin π-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭17．解不等式组：()41710853x x x x ⎧+≤+⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．18．已知023a b =≠，求代数式(225224a ba ab -⋅--19．如图，在 ABCD 中，F 是AD 的中点，延长CF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB =4，AD =6，∠B =60°，求DE 的长．20．已知：在平面直角坐标系xOy 中，点A （（1）求m 的值；（2）过点A 作y 轴的平行线l ，直线2y x =-的图象交于点C ，与y 轴交于点D ．①当点C 是线段BD 的中点时，求b 的值；②当BC <BD 时，直接写出b 的取值范围．21．如图，在ABC 中，点D 是线段AB 的中点．求作：线段DE ，使得点E 在线段AC 上，且作法：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，②作直线MN ，交AC 于点E ；③连接DE ．所以线段DE 即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹．．．．．．（2）完成下面的证明．证明：∵AM CM =，AN CN =，∴MN 是AC 的垂直平分线．（）（填推理的依据）∴点E 是AC 的中点．∵点D 是AB 的中点，∴12DE BC =．（）（填推理的依据）长．(2)结合函数图像，出水口距地面的高度为离约为______米；(3)若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要（填高”或“降低”）______米（结果保留小数点后一位）25．已知抛物线22y x hx =-(1)抛物线的顶点坐标为______(2)若抛物线过点()0,x n （其中(3)在（2）的基础上，若m <26．等边ABC 中，D 、E 、(1)求DFE ∠的度数；(2)若G 是DE 的中点，连接BG 并延长交AC 于点H ，补全图形并探究BG 与GH 之间的数量关系；(3)若6DE =，过B 作BH DE ⊥交DE 于点H 交AC 于点G ，请直接写出BG 的长．27．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点P ，给出如下定义：若在直线y x =上存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，则称点P 为线段AB 的“关联点”．已知()5,2A ，()1,4B ．(1)在()13,3P -，()22,4P -，()31,5P -，()41,6P 中，线段AB 的“关联点”是___________；(2)若点P 在第二象限且点P 是线段AB “关联点”，求线段OP 长度d 的取值范围；(3)已知正方形CDEF 边长为1．以(),3T t 为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M ，N 在线段AB 上（M 在N 的下方）．若正方形CDEF 上的任意一点都存在线段MN ，使得该点为线段MN 的“关联点”，直接写出t 的取值范围．B 、根据相似三角形的性质定理，得FA FB AE BC =::，所以此结论错误；C 、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；D 、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确．故选：B ．【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．5．C【分析】由题意可知60A ∠=︒，90AMD AND ∠=∠=︒，对角又互补，则MDN ∠的度数为120︒．【详解】解：ABC 为等边三角形，60A ∴∠=︒，因为要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子，所以90AMD AND ∠=∠=︒，又∵四边形ANDM 角的度数之和为360︒，∴360609090120MDN ∠=︒-︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．6．C【分析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x 次，消费的钱数为y 元，分别求出y 与x 的解析式，当45≤x ≤55时，求出1175≤y A ≤1425；1100≤y B ≤1300；1075≤y C ≤1225；1350≤y D ≤1650，比较可得答案．【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x 次，消费的钱数为y 元，∴y A =50+25x ，y B =200+20x ，y C =400+15x ，不办会员卡时y D =30x ，当45≤x ≤55时，1175≤y A ≤1425；1100≤y B ≤1300；1075≤y C ≤1225；1350≤y D ≤1650，由此可见，C 类会员卡消费最低，∴最省钱的方式为购买C 类会员卡，故选：C ．角除以30的倍数就可以解决问题．解：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．故么n 的所有可能的值是2，3，4，6，12．故答案是：2，3，4，6，12．10．1k <-【分析】方程无实数根，则0∆<，建立关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围．【详解】∵1a =，2b =，c k =-，由题意知，()224241440b ac k k ∆=-=-⨯⨯-=+<，解得：1k <-，故答案为：1k <-．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠，a b c ，，为常数）的根的判别式24b ac ∆=-．当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根．11．5-【分析】运用配方法即可解答此题．【详解】解：将代数式x 2＋2x －3加上1再减去1，其形式变为x 2＋2x －3＋1－1，将x 2＋2x ＋1化为完全平方形式，则原式就变为(x ＋1)2－4.因此m ＝﹣1，k ＝﹣4.则m ＋k ＝﹣5．故答案为：-5．【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，熟记公式结构，完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2．12．26cm π【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=RL π．【详解】根据圆锥的侧面积公式：RLπ底面半径是2cm ，母线长是3cm 的圆锥侧面积为236ππ⨯⨯=故答案是：26cm π在Rt PAB 和Rt PBH △中，PF FB = ，AF PF FB FH ∴===，A ∴、P 、H 、B 四点共圆，30AHB APB ∴∠=∠=︒，BH 垂直OP 于点H ，90BHP ∴∠=︒，60AHP ︒∴∠=，∴点B 在射线HB 上运动，∴当OB BH ⊥时，OB 的值最小，最小值为OH 的长，在Rt AOH △中，26OA = ，60AHP ∠=︒，2622tan 603OA OH ∴===︒，OB ∴的最小值为22．故答案为：22．【点睛】此题考查了一次函数上点坐标的特征，利用转化思想找到点出何时OB 长度最短为解题关键．16．53+∵点C是BD的中点，∴点C的横坐标为101 22 -+=-，把12x=-代入函数2yx=-中，得y=4，∴点C的坐标为（12-，4），把点C的坐标为（12-，4）代入函数y=得：1422b⎛⎫=-⨯-+⎪⎝⎭，解得：3b=；②当点B是CD的中点时，BC=BD，此时，点B 的横坐标为-1，点D 的横坐标为设点C 的横坐标为x ，∴012x +=-，解得：2x =-，把2x =-代入函数2y x=-中，得y =1，∴点C 的坐标为（2-，1），把点C 的坐标为（2-，1）代入函数y =得：()122b =-⨯-+，解得：3b =-；观察图象，当3b >-时，BC <BD ，故答案为：3b >-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，图象交点情况，中点坐标公式的应用，解题关键是正确读图、识图、观察图象，利用数形结合思想解决问题．21．（1）见解析；（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线等于第三边的一半【分析】（1）根据题干的提示作线段AC 的中垂线，再连接（2）由线段的垂直平分线的判定与三角形的中位线的性质可得答案．【详解】解：（1）补全图形如图：，∴．DH=2．，∴，即FB=．（2）解：由图象可知：出水口距地面的高度为设y 与x 的关系式为2y ax =∴BD BN AB BH =，BE BM BC BH =∴BD BE BN BM AB BC BH BH+=+，∵点G 为DE 的中点，∴DG EG =，∵∥ME AC ，DN AC ∥，∴ME DN ∥，∴MEG NDG ∠=∠，EMG ∠∴()AAS EMG DNG ≌，∴12MG NG MN ==，即∵AB BC AC ==，AD =∴BD BE BD AD AB +=+=∴BD BE BD BE AB BC AB AB +=+=BN BM BM MN BM BH BH BH +++=∴21BG BH=，∴2BH BG BG GH ==+，∴BG GH =；∵DEF 是等边三角形，∴,FN DE ⊥DN NE ==∴90FNE ∠=︒，∴226FN EF NE =-=∵BH DE ⊥，∴FN BG ∥，∴MNF MBG ，由（2）可知，BN MN =∴12NF MN BG BM ==，∴263BG FN ==，即BG 的长为63．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、定和性质、勾股定理等知识，关键．27．(1)12,P P (2)326d ≤<(3)322t -≤<或982t <≤【分析】（1）根据定义以及平行四边形的性质；,P P故答案为：12（2）由（1）可知，线段AB的“关联点∵点P 在第二象限且点P 是线段AB ∴P 在线段MN 上，不包括端点，设O 到12PP 的距离为h ，则66h ⨯=∴326d ≤<（3）依题意，正方形在直线6y x =+与6y x =-之间运动时，存在线段MN ，使得该点为线段MN 的“关联点”，如图，当点E 在6y x =-上时，2.50.56t =+-解得8t =，根据（1）中，当3P 与AB 共线时，不符合定义，∴当正方形的与AB 有交点时，不符合题意，①当F 在直线AB 上时，()0.5,3.5F t +，∵直线AB 的解析式为1922y x =-+∴()193.50.522t =-++解得：3=2t。
北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(含答案解析)
北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}|13A x N x =∈-≤<，2,1,0,1,2U ，则UA 为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}2,1--2．在复平面内，复数21iz i=- 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A ．15-B ．15C ．60-D ．604．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①l m αβ⇒⊥∥；①l m αβ⊥⇒∥；①l m αβ⇒⊥∥.则真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．35．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称．而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e6．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底{},a b 表示c ，则（ ）A ．23c a b =-B ．23c a b =--C ．32c a b =-+D ．32c a b =-7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（ ） A ．0.75B ．0.7C ．0.56D ．0.388．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则“函数()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要件9．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，若以点P 为圆心的圆与C 的准线相切，且与x 轴相交的弦长为6，则以OP 为直径的圆与准线l 的位置关系为（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定10．《九章算术》是我国古代内容极为丰高的数学名著.书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A ．22斛 B ．36斛 C ．42斛 D ．88斛二、填空题11．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则10a =___________. 12．已知椭圆221259x y +=与双曲线2217x y a -=焦点重合，则该双曲线的离心率为___________.13．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ①这8个数列中最多有3个等比数列；①若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ①若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 三、双空题14．一组数据：7，6，3，2，8，3，5，6，9，7的中位数是___________；85%分位数是___________.15．在ABC 中，6BC =，3A π=，sin 2sinBC =，则AB =___________；ABC 的面积为___________. 四、解答题16．已知数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：条件①：()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；条件①：()f x 的图象关于直线12x π=对称.(1)请写出你选择的条件，并求()f x 的解析式；(2)当,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若（1）中所求函数()f x 的值域为[]1,2-，求出m 的一个合适数值.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 上的点，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1BB 的中点，12AC AA ==.(1)求证：FG AC ；(2)若FG ∥平面BCD ，试确定D 点的位置，并求二面角1B CD C 的余弦值. 18．自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验：(1)实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除2号､3号､7号和10号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取3只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X ，求X 的分布列和数学期望.(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到90%？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在90%以上的建议.19．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，与直线4x =-相交于点Q ．在x 轴是否存在定点M ，使MP MQ ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 20．设函数()()()ln 10f x a x x a =+-≠. (1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有最大值并记为()M a ，求()M a 的最小值； (3)当12a =时，求()f x 零点的个数. 21．已知实数数列{}n a 满足：()21n n n a a a n N *++=-∈.(1)若10a =，42a =，求3a ，5a 的值；(2)试判断：{}n a 的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；(3)若数列{}n a 中的各项均不为0，记{}n a 前2022项中值为负数的项个数为m ，求m 所有可能的取值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】先化简出集合A ，再根据补集运算直接求解即可. 【详解】由集合{}|13A x N x =∈-≤<，即{}0,1,2A =，2,1,0,1,2U所以{}2,1UA =--故选：D 2．B 【解析】 【详解】 ()()()21222i 1i 1112i i i z i i i +-+====-+--+， ①复数21iz i=- 对应的点位于第二象限 故选B点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 3．D 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式求解. 【详解】解：二项式62x ⎫⎪⎭的通项公式为()636216622rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令6302r-=，解得2r = 所以展开式中常数项为()2236260T C =-=，故选：D4．C 【解析】 【详解】若直线l ⊥平面α，//αβ，则直线l ⊥平面β，又因为直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；若直线l ⊥平面α，αβ⊥，则//l β或直线l ⊂平面β，则l m ，可能平行、相交或异面，故①错误；若直线l ⊥平面α，l m ，则直线m ⊥平面α，又因为直线m ⊂平面β，所以αβ⊥，故①正确； 故选C. 5．B 【解析】 【详解】①函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，①函数()y g x =与x y e =互为反函数，则()ln g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，①()()ln f x x =-，又①()1f m =-，①()ln 1m -=-，1m e=-，故选B.6．D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出a 、b 和c ，并设c ma nb =+，联立方程组求出m 和n 即可. 【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则()()()()1,0,2,1,0,4,7,1A B C D所以()1,1a =，()2,3b =-，()7,3c =-，设向量c ma nb =+， 则()()2,37,3c ma nb m n m n =+=-+=-则273332m n m m n n -==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩， 所以32c a b =-. 故选：D7．A 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A 餐厅”和“第1天去B 餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”， 2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =， 则()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=. 故选：A. 8．A 【解析】 【分析】由263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出6x πω-的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得ω范围，即可判断出关系. 【详解】①263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，①626366x ππππωπωω---≤≤， 由于函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①2662223620k k πππωππππωπω⎧-≥-+⎪⎪⎪-≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z ∈）解得212130k k ωωω≥-+⎧⎪≤+⎨⎪>⎩，（k Z ∈）故k 只能取0，即01ω<≤，①“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的充分不必要条件.故选：A. 9．C 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求出焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义可知圆P 过点()1,0F ，再根据圆与x 轴相交的弦长，即可得到P x ，从而得到P 点坐标，最后求出OP 及OP 的中点，即可判断； 【详解】解：依题意抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，根据抛物线的定义可知PF 即为圆P 的半径，即圆P 过点()1,0F ，因为圆与x 轴相交的弦长为6，所以134P x =+=，又点P 在抛物线上，所以4P y =±，即()4,4P 或()4,4P -，所以OP =，OP 的中点为()2,2或()2,2-，点()2,2或()2,2-到准线的距离()213d =--=>OP 为直径的圆与准线l 相离； 故选：C 10．A 【解析】 【分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求总体积，再代换为斛即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π⨯=，又取圆周率约为3解得16r π=，故米堆的体积222111311436320543V r h ππππ=⨯⨯==⨯⨯（立方尺）．因为1斛米的体积约为1.6立方尺，故总体积为200221.632033ππ=≈（斛） 故选：A 11．10 【解析】 【分析】根据等差数列及1a ，3a ，4a 成等比数列建立等式，求得18a =-即可求解. 【详解】由题意可得，314113446a a a a a a a =+=+，．，， 成等比数列， 21111(4)(6)8a a a a ∴+=+∴=-，，1019210a a ∴=+⨯=.故答案为：1012．43【解析】 【分析】由椭圆的性质得出半焦距，再由双曲线离心率公式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为c，则4==c ，又716,9a a +==，故该双曲线的离心率为43=. 故答案为：4313．①①① 【解析】【分析】①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中可判断；①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9，从而可判断；①由2519283746⨯=+=+=+=+，可判断；①举反例即可判断. 【详解】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.①. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故①正确①. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故①正确.①. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故①不正确 故答案为：①①① 14． 6 8【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，即可求出中位数与85%分位数； 【详解】解：将数据从小到大排列为：2、3、3、5、6、6、7、7、8、9， 故中位数为6，又1085%8.5⨯=，故这一组数据的85%为第9个数为8； 故答案为：6；8；15． 【解析】 【分析】由正弦定理得出2b c =，再由余弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】设,,A B C 对应的边为,,a b c ，sin 2sin ,2B C b c =∴=，由余弦定理可得22262cos60b c bc ︒=+-，即c =，11sin 222ABC S bc A ==⨯⨯=△故答案为：16．(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3π（答案不唯一） 【解析】 【分析】先由函数的周期求出ω的值，（1）若选①，则由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ，若选①，则212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ，（2）由,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22633x m πππ-≤+≤+，再由()f x 的值域为[]1,2-，可得72236m πππ≤+≤，从而可求出m 的范围 (1)因为()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，所以2ππω=，得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，若选①，因为()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()22sin 03f x πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若选①，因为()f x 的图象关于直线12x π=对称，所以212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即2sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,62k k Z ππϕπ+=+∈，得,3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)因为,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22633x m πππ-≤+≤+，因为当,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域为[]1,2-，所以72236m πππ≤+≤，得5266m ππ≤≤， 所以51212m ππ≤≤， 所以m 的一个值可以为3π（答案不唯一） 17．(1)证明见解析(2)【解析】 【分析】（1）由已知可得//EF BG ，所以E 、F 、B 、G 四点共面，再证明AC ⊥平面EFGB 即可证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,0,2F ，()G ，设()1,0,D a ，()02a ≤≤，由FG ∥平面BCD ，则0FG n ⋅=，可得2a =，利用向量法即可求解. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1BB 的中点，所以1//EF CC ，又1//BG CC ， 所以//EF BG ，EF ⊥平面ABC ，所以E 、F 、B 、G 四点共面，EF AC ⊥， 又因为BE AC ⊥，且EF BE E =，所以AC ⊥平面EFGB ， 所以FG AC ；(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,0,2F ，()G ，设()1,0,D a ，()02a ≤≤，()1FG =-，()1,BC =-，()1,BD a =，设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，则00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0x x az ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取6z =，可得()3,,6n a =-，因为FG ∥平面BCD ，所以0FG n ⋅=，解得2a =，所以()6,2n =-， 易知平面1CDC 的法向量()0,1,0m =，所以23cos ,221m n m n m n⋅<>===，由图可知二面角1B CD C 为钝二面角， 所以二面角1B CD C 的余弦值为 18．(1)分布列见解析；数学期望()65E X =； (2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上. 【解析】 【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望的公式可计算得到数学期望；（2）根据注射一次疫苗的有效率为0.6，结合独立事件和对立事件概率公式可求得注射两次疫苗的有效率为84%；设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，则可构造方程求得x 的取值范围，由此可给出建议.(1)由题意得：X 所有可能的取值为0，1，2，3，()3631020101206C P X C ∴====；216431060111202C C P XC ； 1264310363212010C C P X C ；3431041312030C P XC ； X ∴的分布列为：∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； (2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.6，则注射一次疫苗的有效率为0.6，∴一只白兔注射两次疫苗的有效率为：()2110.60.8484%90%--==<， ∴无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%； 设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，()21190%x ∴--≥，解得：0.990%x ≥=，∴需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%.19．（1）22184x y +=，e =（2）存在定点M ，M 为(20)，- 【解析】（1）利用2c =，2b =，2228a b c =+=求解方程（2）设直线方程为y kx m =+，与椭圆联立利用判别式等于0得2284m k =+，并求得切点坐标84(,)k P m m-及(4,4)Q k m --+，假设存在点(),0M t ，利用0MP MQ ⋅=化简求值 【详解】（1）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=，椭圆的方程为22184x y +=，离心率为c e a ==； （2）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥，证明：设直线方程为y kx m =+ 代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222()214280k x kmx m +++-=由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，设00(,)P x y ，则022821km k x k m --==+，2200884k m k y kx m k m m m m--=+=⋅+==， 则84(,)k P m m-，设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+ 假设存在点(),0M t001(,)(,)MP MQ x t y t y ⋅=-⋅-0012(2)x y y =-++()282(2)0kt t m=+++=解得2t =- 所以在x 轴存在定点()20，-M 使MP MQ ⊥． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题20．(1)()1y a x =- (2)()M a 取得最小值0 (3)2个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的最大值()ln 1M a a a a =+-，再利用导数求函数的最小值；（3）首先利用导数求函数的单调性和最大值，再结合零点存在性定理，即可求解函数的零点个数. (1)()11af x x '=-+，()00f =，()01f a '=-， 所以函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程是()1y a x =-； (2)()11af x x '=-+，()1x >-， 当0a <时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,-+∞单调递减，函数没有最大值，故舍去； 当0a >时，()()11011x a af x x x -+-'=-==++，得11x a =->-， 当()1,a 1x ∈--时，()0f x '>，函数单调递增， 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<，函数单调递减，所以当1x a =-时，函数取得最大值()()1ln 1f a M a a a a -==+-，()ln 0M a a '==，得1a =，当()0,1a ∈时，()0M a '<，函数()M a 单调递减， 当()1,a ∈+∞时，()0M a '>，函数()M a 单调递增， 所以当1a =时，函数()M a 取得最小值，()10M =. (3)当12a =时，()()1ln 12f x x x =+-， ()()()121102121x f x x x --'=-==++，得12x =-，当11,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当12x =-时，函数取得最大值，()11111ln 1ln 2022222f ⎛⎫-=+=-> ⎪⎝⎭，当13x =-时，2222111111ln 10e 2e e e f ⎛⎫-=+-=-< ⎪⎝⎭，所以2111,2x e⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，必存在一个零点，当2e 1x =-时，()()22221e 1ln e e 12e 02f -=--=-<，所以21,e 12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，必存在一个零点，综上可知，函数()f x 零点个数是2个. 21．(1)31a =，51a =(2){}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (3){}674,675 【解析】 【分析】（1）根据递推公式计算可得；（2）假设数列{}n a 的项都是正数，则21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾；假设数列{}n a 的项都是负数，则21||0n n n a a a ++=->，与假设矛盾，由此能证明{}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）存在最小的正整数k 满足0k a <，10k a +>（5k ≤），数列{}n a 是周期为9的数列，由此能求出结果。
人大附中高考数学试卷答案
---人大附中2023年高考数学试卷答案选择题1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. $y = \sqrt{x^2 - 1}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = \log_2(x + 1)$D. $y = \sqrt[3]{x}$答案：D解析：A选项中，当$x^2 - 1 < 0$时，函数无定义；B选项中，当$x = 0$时，函数无定义；C选项中，当$x + 1 \leq 0$时，函数无定义。
只有D选项的定义域为实数集R。
2. 若$a, b, c$是等差数列的前三项，且$a + b + c = 9$，$abc = 27$，则该等差数列的公差是（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：由等差数列的性质，有$a + c = 2b$。
结合$a + b + c = 9$，得$3b = 9$，即$b = 3$。
又因为$abc = 27$，代入$b = 3$得$ac = 9$。
又因为$a + c = 6$，解得$a = 1$，$c = 5$。
因此，公差$d = c - b = 2$。
3. 在平面直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点为$B$，则$|AB|$的长度是（）A. 2C. 4D. 5答案：C解析：设点$B$的坐标为$(x, y)$，则根据对称性，有$\frac{x + 2}{2} +\frac{y + 3}{2} = 5$，解得$x + y = 8$。
又因为$A$和$B$关于直线$x + y =5$对称，所以$x + y = 10$。
解得$x = 3$，$y = 5$。
因此，$|AB| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$。
填空题4. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(2023)$的值是______。
答案：-2312解析：由于$f(x)$是三次多项式，我们可以通过计算$f(1)$、$f(2)$、$f(3)$、$f(4)$来观察函数的增减性。
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1
一元二次方程2
二次根式
3
已知正比例函数
下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（4 D.
如图，在平行四边形5
D.
如图，6用配方法解方程7
8
已知两个一次函数9
方程
10
若11
点12
矩形
∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
13
如图，方格纸中有一个四边形（
形的边长为，则四边形的面积为如图所示，
∵小正方形的边长都为，
∴，，且
∴≌≌≌
∴四边形为菱形，
∵，，
∴四边形的面积
14
《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？
子原高一丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根
高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段
触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度
设，则，由勾股定理得：
，
即，
解得．
15
点
16
阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
四条边都相等的四边形是菱形，②菱形的每条对角线平分一组对角，③两点确定一条直线．
17
计算：18
解方程：19
若
20
已知一次函数21
如图，点
22
已知点
23
如图，平行四边形
24
探究活动：探究函数
，则的值为．，
25
一次函数26
如图
的中点，连接，用等式表示，，
27
在平面直角坐标系
（Ⅱ）略。