如何建立直角坐标系

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4-4.1.1平面直角坐标系qwx

（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x’=x y’=3y 后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1
练习1
1 (1)则点 A( ，－2)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标为________； 3 (2)则直线 l： y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程是________．
【思路点拨】 1 (1)将点 A（x，y）= ( ，－2)的坐标代入变换公式得新 A′ 的坐标； 3 x′ (2)由伸缩变换公式，得 x＝且 y＝2y′，代入已知直线方程可求 l′的 3 方程．
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
平面直角坐标系下，曲线伸所变换问题，就是：原曲线f(x,y)=0、 x x 伸缩变换: 、 y y 新曲线f ( x , y ) 0 三者之间“知二求一”的问题。
x′＝3x，在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ： 2y′＝y.
x′＝3x，伸缩变换 y′＝2y
可以化为
代入圆的方程 x ＋y ＝1， 1 1 2 2 得3x′ ＋2y′ ＝1， 2 2 x′ y′ 即＋＝1， 9 4
x′＝3x，所以经过伸缩变换后， y′＝2y
2
2
圆的方程 x ＋y ＝1 可以变为 x′ y′ ＋＝1，是一个椭圆的方程． 9 4
数学选修4-4
数学选修4-4
第一讲
坐标系
张家界市一中
高二数学组

如何建立坐标系

如何建立坐标系？恰当地建立坐标系，可以使解题简便．通常以加速度a 的方向为x 轴的正方向，与此垂直的方向为y 轴，建立直角坐标系．将物体所受到的力按x 轴、y 轴方向分解，分别求得x 轴和y 轴上的合力F x 和F y ，根据力的独立作用原理得方程组F x =ma ，F y =0．但有时用这种方法得到的方程组求解较为烦琐，因此在建立直角坐标系时，也可根据物体的受力情况，使尽可能多的力位于两坐标轴上而分解加速度a 得a x 和a y ，根据牛顿第二定律得方程组F x =ma x ，F y =ma y 求解．究竟采用哪种方法，要视具体情况灵活使用．例1 质量为10kg 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.2，如果用大小为40 N ，方向斜向上与水平方向的夹角为37°的恒力作用，使物体沿水平面向右运动，（g 取10 m/s 2， sin370=0.6，cos370=0.8），求：（1）物体运动的加速度大小；（2）若物体由静止开始运动，需要多长时间速度达到8.4m/s?物体的位移多大?答案：（1）a ＝1.68m/s 2 （2）5 s 21m【解析】（1）以物体为研究对象，首先对物体进行受力分析，如图4-6-1所示．建立平面直角坐标系把外力沿两坐标轴方向分解．设向右为正方向，依据牛顿第二定律列方程：F ·cos θ－f ＝m aF ·sin θ＋F N ＝mgf ＝μF N整理后得到：a ＝m F mg F )sin (cos θμθ⋅--⋅ 代入相关数据，解得物体运动加速度大小a ＝1.68m/s 2．（2）因为物体做匀加速直线运动，所以根据运动学公式可知：v t ＝v 0＋a t物体运动时间为：t ＝a v t ＝68.14.8s ＝5 s s ＝v 0t ＋21a t 2 物体的位移大小为：s ＝21a t 2＝21×1.68×52m ＝21m ．说明：（1）这是一道已知物体的受力情况，确定物体的运动情况的习题；（2）本题中物体受4个力作用（大于3个力作用），一般在处理力的关系时用正交分解法；（3）支持力不是外力在竖直方向上的分力；重力大小不等于地面给予的支持力．【点评】本题是已知物体的受力求物体的运动情况，关键在于对物体的受力分析要正确，应用牛顿第二定律求出加速度，再由运动学公式求解．图4-6-1例2 如图4-6-2所示，某商场内电梯与水平面夹角为300，当电梯加速向上运动时，人对梯面压力为其重力的56，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？答案：mg F f 53= 【解析】选梯面上的人为研究对象，对其进行受力分析，重力和支持力都不难分析，至于人与梯面间的摩擦力是本题分析的难点，由于人与电梯具有相同的加速度，故人所受合外力沿斜面向上，因而人所受摩擦力一定沿梯面水平向右；如图4-6-3所示，水平、竖直建立直角坐标系，将加速度在两个坐标轴上分解，设电梯倾角为θ，加速度为a ，在x 轴和y 轴分别列方程，得θcos ⋅=ma F f ①θsin ⋅=-ma mg F N ②由题意，知 mg F N 56= ③ ①②③三式联立，代入数据，得 mg F f 53=【点评】本题是已知物体的运动情况求物体的受力，关键在于对物体的受力分析要正确，能够建立合适的坐标系（本题也可以沿斜面和垂直斜面建坐标系，同学们可以试一试），使方程和求解都更加简洁．在用牛顿定律解决问题时，有时可以分解力，有时可以分解加速度，看哪一种更为简单．图4-6-2。

八年级数学上册《建立适当的平面直角坐标系》教案、教学设计

4.学生在合作交流方面有待提高，教师应充分利用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力，使学生在交流中互相学习、共同进步。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：建立适当的平面直角坐标系，理解点与坐标之间的关系，运用坐标系解决实际问题。
2.难点：坐标系的选择与建立，图形与坐标之间的转换，以及坐标系在实际问题中的应用。
4.培养学生严谨、细致、勤奋的学习态度，养成独立思考、合作交流的学习习惯，为学生终身学习奠定基础。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和代数运算。在此基础上，学生对平面直角坐标系的建立与运用是一个新的挑战。根据前期的教学观察，学生对坐标系的概念理解不够深入，对坐标与图形之间的关系认识不足。因此，在本章节的教学中，应关注以下几点：
3.教师提出问题：“如何用数学的方法来描述这些场景中的位置关系？”激发学生的好奇心，为接下来的新课学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教师简要回顾已学的几何知识和代数运算，为学生建立坐标系的知识框架。
2.介绍平面直角坐标系的概念，解释坐标轴、坐标点等基本元素，并说明坐标系在数学和实际生活中的重要性。
3.示范如何建立平面直角坐标系，讲解坐标与图形之间的关系，引导学生理解坐标系中各个部分的含义。
八年级数学上册《建立适当的平面直角坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平面直角坐标系的概念，掌握平面直角坐标系的建立方法，能够准确地描述点在坐标系中的位置。
2.学会通过给定的点或图形，建立适当的平面直角坐标系，并能运用坐标系进行问题的分析与解决。
3.能够运用坐标系中的点与坐标之间的关系，进行图形的变换、点的对称、距离和角度的计算等操作。

高中数学立体几何建系设点专题

ABCD 222，，，AQ PB 22222，，，，，2x 2)2PQ nn2ABQM ADCOPxyzMABD CO PxyzE C B ==32的正三角形，的正三角形，223a2a23(0,02a32a2a3a13OCDA1 B1 C1 AOCDA1 B1 xzyA BCA1B1C1MzyxCA1B1C1Mz解法二： 13(,,2)22a AC a a =-，平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角q 的正弦为：1sin cos ,AC n q =<> =1112||||AC n AC n ×=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。

（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面,,,A B C D A B A D A C C D A B C ^^Ð=°,P A A B B C ==E 是PC 的中点的中点.. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．中点．A P E B C D ABCD1A1C1B63611222226121++621566建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2AB=2，，则(13,1,0(3,1,C 平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n = ，所以AC 1113648AC n AC n ×== 。

3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。

的距离。

解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则1111(1,1,1,0),1(1,0,,0,1),(0,0,1(0,0,1))BD B C BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =，则由0BD n x y ×=+=和10,B C n x z ×=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n\=- \异面直线BD 与B 1C 的距离：的距离：111||13|cos ,|33BB n d BB BB n n ×=<>===4.4.四棱椎四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD D 为正三角形，为正三角形，平面,ABCD PCD 平面^PB PD E AC 为,^中点中点. . （1）求证：）求证：PB PB PB∥∥ 平面AEC AEC；；（2）求二面角E —AC AC——D 的大小的大小. . 解：设AD a CD ==,，过,,H CD PH P 垂足为作^A B C DP C D 平面平面^ ^\PH 平面ABCD ，又是矩形底面ABCD 故可以分别以OH OH、、HC HC、、HP 所在直线为x 轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴建立空间直角坐标系H-xyz H-xyz。

平面直角坐标系和极坐标

第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的建立为了确定平面上点的位置：（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。

2. 平面上点的坐标建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。

反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点.由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。

就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。

我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。

根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II 象限内的是（—，+），第III 象限内的是（—，—），第IV 象限内的是（+，—）。

坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。

同理，在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。

空间直角坐标系ppt课件

坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6，故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的对称点为 P2 ，点 P2 关于 z 轴的对称点为 P3 ，则 (点2，P－3 的3，坐1)标为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？提示 (x，y，z)；(x，y，z).

空间直角坐标系

的几何特性. 为顶点的三角形ABC的几何特性. 解由空间两点间距离公式有
| AB |2 = (10 − 4)2 + (−1−1)2 + (6 − 9)2 = 49,
同理有
| AC | = 49, | BC |2 = 98.
2
Q AB | =| AC | , ∴AB= AC， |
2 2
因而△ 为等腰三角形. 因而△ABC为等腰三角形.
2 2
2 2
2
2
= ( x 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
所以空间两点间的距离所以空间两点间的距离
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) .
2 2 2
特地，特别地，
点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
z
a aa Q( , , ) 2 22
D’ A’ B’
C’
Q
O A x C
Q’
B
y
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体），），其图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞，例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体），），其图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞，例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．后试写出全部钠原子所在位置的坐标．

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB//CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角1 , 2)、B(2, 4, 0), •- BC =(-2,3,2) , CD=(0, -1,0).坐标系，则C （0,设BC i与CD所成的角为vCD 3 '1717二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.3解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—,3•••在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0,C1 第3 /—,—,0 .I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄<a<3,I2丿22由EAL EB，得EAEB =0,CDBA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角.訳=BA = （0,0八 2） , EA 二三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCDAB 丄 VA又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则J-1显1 I 22丿即「2，一皿］ X ,2—aJ< 2 丿+a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 |4 I 2丿3 4 即-2或a =| (舍去).故E 佇，,0 . ■ 3i3 去（3,0,_Q,时,2, -纠辽 2丿 I 2 2丿，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V =灵晁^，即ta —子EA'B 1A 1(1)证明 AE 丄平面VAD(2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值.解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0）， VA =（ 1，0， — V 3 ）.由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得AB 丄平面VAD故所求二面角的余弦值为 —217四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ,高为h .即 cos Z DEB =「6a 2 h ：； 10a 1 2 +h 2(2)因为E 是VC 的中点，又BE! VCc 2 , 23 2 a h a 0 ,• h -、2a . 2 2 21 1，即 cos Z DEB 二-一• EB[DV 」i,o,J 3)=o ,••• E 吐 DV又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角.(1) 求/ DEB 的余弦值;(2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值.解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a ,a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿•晁…3a ,I 2a h 2 2) 丨h a,_ •- cos ：. BE ,DEBE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 22,2 心，a ，-h )“ , 这时 cos ；： BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2E 八EB .'21 …cosEB _ 7图4所以五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥 P — ABCDfQ-ABCD 勺高都为 2, AB= 4.(1) 证明：PQL 平面ABCD(2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;(3) 求点P 到平面QAD 勺距离.(2)由题设知，ABCDI 正方形，且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评：禾U 用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出•第(3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ，利用为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ，- 2),PB =(0,2、2- 2), cos ：： AQ ,PB =AQ PB1 arccos —. 3(3)由(2)知，点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4).设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量，则 0[nLAD = 0,得、，2x • z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) •点P 到平面QAD 勺距离d -PQL nn| =2】2 .。

高中数学讲义：立体几何中的建系设点问题

⽴体⼏何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。

一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。

但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC^（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I æöæöç÷ç÷èøèø2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

空间直角坐标系

z D
4
3
O
y
1
D`
x
P3(1, 1,1) z
o
x
P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y
P2 (1,1, 1)
四、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点: (x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)
的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
z
(0，0，1) D '
(1，0，1) A '
C '(0，1，1)
B '(1，1，1)
O(0，0，0) C(0，1，0) y
A(1，0，0) B(1，1，0)
x
三、特殊位置的点的坐标：
z
•C
1
•
E
•
F
B
O• 1 •
•1
A
•D
x
点P的位置
y
原点O
小提示：坐标轴
[答案] A
空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？
二、空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
Qy
P
M’
x
二、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面

空间直角坐标系

| MM1 || MM 2 |,
即 (0 2) ( y 0) (0 1)
2 2 2

(0 1) ( y 1) (0 3) ，
2 2 2
解此方程得 y= –3，
因此所求点为M(0,–3,0).
例3 试判定以A(4,1,9)，B(10,–1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形ABC的几何特性. 解由空间两点间距离公式有
第二卦限 x<0,y>0,z>0，第三卦限 x<0,y<0,z>0，第四卦限 x>0,y<0,z>0，
第五卦限 x>0,y>0,z<0，
第六卦限 x<0,y>0,z<0，第七卦限 x<0,y<0,z<0，第八卦限 x>0,y<0,z<0.
坐标轴上和坐标面上的点，其坐标各有一定的特征： x轴上点的坐标为(x,0,0)， y轴上点的坐标为(0,y,0)， z轴上点的坐标为(0,0,z)，
Oxy面上点的坐标为(x,y,0)， Oyz面上点的坐标为(0,y,z)， Ozx面上点的坐标为(x,0,z)，
原点O坐标为(0Biblioteka 0,0).二、空间两点间的距离
设M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2)为空间两点.过点M1 ，M2
各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面
围成一个以M1 M2为对角线的长方体.由勾股定理可得
M 1M 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) , |
2 2 2
因而
| M 1 M 2 | ( x2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 )

点到面的距离空间直角坐标系

点到面的距离空间直角坐标系点到面的距离空间直角坐标系是三维空间中，用来计算点到平面距离的一种坐标系。

它在三维计算机图形学、机器视觉以及三维成像等领域有着广泛的应用。

下面将对点到面的距离空间直角坐标系进行详细的介绍。

一、什么是点到面的距离？点到面的距离是指空间中一点到给定平面的最短距离。

在三维空间直角坐标系中，给定的平面可以表示为一个方程ax+by+cz+d=0，其中a、b、c、d是常数，x、y、z是该平面上任意一点的坐标。

给定一点P(x0,y0,z0)，它到平面ax+by+cz+d=0的距离可以通过公式d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²)来计算。

二、点到面的距离空间直角坐标系点到面的距离空间直角坐标系是指一个三维坐标系，它能够直接计算点到平面的最短距离。

这个坐标系的原点在给定平面上，三个坐标轴的方向分别为该平面的法向量所确定的三个方向。

三、如何建立点到面的距离空间直角坐标系？建立点到面的距离空间直角坐标系主要包括以下几个步骤：（1）给定平面方程ax+by+cz+d=0，求出平面的法向量N=(a,b,c)，并将该点作为坐标系原点。

（2）由于对于给定平面上任意一点P(x0,y0,z0)，其到原点的向量的长度就是P到平面的距离，因此可以把点到面的距离定义为点P在该坐标系下的坐标值。

即点P在该坐标系下的坐标为P'=(x0,y0,z0)·N/|N|。

（3）为了方便计算，可以对该坐标系进行平移和旋转变换。

例如，可以将坐标系沿着法向量方向平移d个单位，使得原点恰好在该平面上。

然后，可以根据需要进行旋转变换，将其与其他坐标系对齐。

四、点到面的距离空间直角坐标系的应用点到面的距离空间直角坐标系在三维计算机图形学、机器视觉以及三维成像等领域中有着广泛的应用。

例如，在三维渲染中，可以使用该坐标系来计算光线与平面的交点。

在机器视觉中，可以使用该坐标系来计算点云数据中点到平面的距离，进而实现三维重建、目标检测等任务。

没有直角的建系方法

没有直角的建系方法
在数学中，建系法是一种常用的方法，通过建立坐标系可以将几何问题转化为代数问题，从而更方便地解决问题。

以下是一些没有直角的建系方法：
- 方法一：以BC、AB为x轴、y轴建立平面直角坐标系。

- 优点：简单易懂，适合初学者。

- 缺点：计算过程较为繁琐。

- 方法二：以BC、AB为x轴、y轴建立平面坐标系。

- 优点：计算简单，可以更快地得出答案。

- 缺点：需要一定的数学基础。

建系的方法还有很多，如利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系、利用线面垂直关系建立空间直角坐标系、利用面面垂直关系建立空间直角坐标系等。

你可以根据具体问题的特点选择合适的建系方法。

如何建立直角坐标系

B
系建立的比较好。
共同探究
2.如图,小强告诉小华
图中A、B两点的坐
标分别为(-3,5)、 (3,5),小华一下就说
.A .C
.B
出了C在同一坐标系
下的坐标.你知道小
华是如何知道的吗?
O
你想到了吗？
1、解决本题的关键在于如何建立直角坐标系，原点在什么位置？ 2、本题如果只告诉A点坐标，你能知道B点、C点坐标吗？
平面直角坐标系(3)
——如何建立合适的坐标系
复习巩固
1. 点P(10,3)在___第__一___象限，P1(-10,3)在 ____第__二___象限，P2(-10,-3)在__第__三____象限，P3(10,-3)在____第__四_____象限。 2.点P(10,3)关于x轴的对称点是__(_1_0_,-_3_) 。 3.点P(10,3)关于y轴的对称点是_(-_1_0_,3_)__。 4.点P(10,3) 关于原点的对称点是_(-_1_0_,-_3_)。
5.在 y轴上的点的横坐标是（ 0 ），在 x 轴上的点的纵坐标是（ 0 ）. 6.点 M（- 6，8）到 x轴的距离是( )，到8y轴的距离是( ). 6 7.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是
( B ). （A）关于原点对称（B）关于 x轴对称（C）关于 y轴对称（D）不能构成对称关系
10.如果点P(5,y)在第四象限,则y的取值范围是( A )
A.y<0 B.y>0 C.y≤0 D.y≥0
11.点A在x轴上,位于原点的右侧,距离坐标原点5个单位长度,则此点的坐标为_(-_5,_0_) ;点B在y轴上,位于原点的下方,距离坐标原点5个单位长度,则此点的坐标为__(0_,-_5)_;点 C在y轴左侧,在x轴下方,距离每个坐标轴都是5个单位长度,则此点的坐标为__(-5_,_-5_) _.

二次函数实际问题之建立直角坐标系-课件

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练习2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26.2.9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，问距水面1.5米处水面宽是否超过1米?
A
B
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
∴此球不能投中
物线对应的函数为：
y ax 42 4 (0≤x≤8)
(选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到
抛物线经过点 0，20
20
9
a0 42 4
9
的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
若假设出手的角度和力度都不变, 探究则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点（2）向前平移一点
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
3 0.5 x2
x 6
这时水面宽度为2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 ( 2 6 4 )m
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解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示
增加了 ( 2 6 4 )m
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解三如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)