有限元学习心得

有限元学习心得

吴清鸽车辆工程 50110802411

短短八周的有限元课已经结束。关于有限元，我一直停留在一个很模糊的概念。我知道这是一个各个领域都必须涉及的点，只要有关于CAE分析的，几乎都要涉及有限元。总体来说，这是一门非常重要又有点难度的课程。

有限元方法(finite element method) 或有限元分析(finite element analysis)，是

求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要

基础性原理。将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。将

它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。本课程教学基本内容

有固体力学和结构力学简介；有限元法基础；桁架、梁、刚架、二维固体、板和

壳、三维固体的有限元法；建模技术；热传导问题的有限元分析；PATRAN软件

的使用.

通过有限元分析课程学习使我了解和掌握了一些有限元知识：

1．简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表示位移-应变关系的几何方程，表示应力-应变关系的本构方程和表示内力-外力关系的平衡方程。

2．了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。掌握有限元分

析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方程

的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。

3．具体深入的了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵，局部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。各种结构的实例研究。

4．了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。包括单元类型的选择，单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题，对称性的应用（平面对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用（模拟偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束方程的求解。以PATRAN有限元通用软件为例了解一般商业有限元软件的组成及结构。掌握PATRAN软件的基本使用。利用PATRAN软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析。

课程的具体学习内容：

内容：

1.三节点三角形单元：单元分析、总刚度矩阵组装、引入约束条件修正总刚度

矩阵、载荷移置、方程求解；

2.四边形单元分析、四节点四面体单元分析、八节点六面体单元分析；

3. 其他常用单元形函数、自由度。

1、三节点三角形单元 1.1. 单元分析

1.1.1 分析步骤

单元分析的任务是建立单元平衡方程，形成单元刚度矩阵。不失一般性，从图1-1三角形离散结构中任取一个单元，设单元编号为e ，单元节点按右手法则顺序编号为 i,j,m,在定义的坐标系xOy 中，节点坐标分别为(xi+yi)，(xj+yj)，(xm+ym)，节点位移和节点力表示如图1-1所示。

取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：

其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。

1.1.2 位移模式和形函数

对于平面问题，单元任意一点的位移可用位移分量u, v 描述，他们是坐标x, y 的函数。假定三节点单元的位移函数为x, y 的线性函数，六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3结点三角形单元的位移函数如下：

所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。

位移函数写成矩阵形式为：

{}⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i e

v u v u v u δ{}⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i e

V U V U V U F {}[]{}

e

e e K F δ=结点位移

内部各点位移

应变应力结点力

(1)

单元分析

(4)

(3)(2)⎭

⎬

⎫

++=++=y a x a a y a x a a u 654321v {}⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎬

⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=65432110000001a a a a a a y x y x v u f

将水平位移分量和结点坐写成矩阵： 代入位移函数第一式：

令则有

A 为三角形单元

[T]的伴随矩阵为

令则有

同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式：

最终确定六个待定系数 ：

m

m m j j j i i i y a x a a u y a x a a u y a x a a u 321321321++=++=++=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321111a a a y x

y x y x u u u m m j j i i

m j i []T 111=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡m m

j j i i y x y x

y x []⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪

⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-m j i u u u a a a 1321T A

2T =[]T

*T ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡---------=i j j

i i j j i m i i m m

i i m j m m j j

m m j x x y y y x y x x x y y y x y x x x y y y x y x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m j

i m j

i m j i m m

m

j j

j

i i i

c c c b b b a a a c b a c b a c b a T

*]T [⎪⎭

⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡=⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j

i

m j i

m j

i u u u c c c b b b a a a A a a a 21321⎪⎭

⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢

⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j

i

m j i m j

i v v v c c c b b b a a a A a a a 21654⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡=⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j

i

m j i

m j

i u u u c c c b b b a a a A a a a 21321⎪⎭

⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢

⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j

i

m j i m j i v v v c c c b b b a a a A a a a 21654])()()[(21

m m m m j j j j i i i i u y c x b a u y c x b a u y c x b a A

u ++++++++=

])()()[(21

m m m m j j j j i i i i v y c x b a v y c x b a v y c x b a A

v ++++++++=

{}⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨

⎧=m m j j i i m j

i

m j i

v u v u v u N N N N N N v u f 0

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