有限元学习心得

有限元学习心得吴清鸽车辆工程 50110802411短短八周的有限元课已经结束。

关于有限元，我一直停留在一个很模糊的概念。

我知道这是一个各个领域都必须涉及的点，只要有关于CAE分析的，几乎都要涉及有限元。

总体来说，这是一门非常重要又有点难度的课程。

有限元方法(finite element method) 或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。

将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。

将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。

本课程教学基本内容有固体力学和结构力学简介；有限元法基础；桁架、梁、刚架、二维固体、板和壳、三维固体的有限元法；建模技术；热传导问题的有限元分析；PATRAN软件的使用.通过有限元分析课程学习使我了解和掌握了一些有限元知识：1．简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表示位移-应变关系的几何方程，表示应力-应变关系的本构方程和表示内力-外力关系的平衡方程。

2．了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。

掌握有限元分析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方程的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。

3．具体深入的了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵，局部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。

各种结构的实例研究。

4．了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。

包括单元类型的选择，单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题，对称性的应用（平面对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用（模拟偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束方程的求解。

以PATRAN有限元通用软件为例了解一般商业有限元软件的组成及结构。

掌握PATRAN软件的基本使用。

利用PATRAN软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析。

课程的具体学习内容：内容：1.三节点三角形单元：单元分析、总刚度矩阵组装、引入约束条件修正总刚度矩阵、载荷移置、方程求解；2.四边形单元分析、四节点四面体单元分析、八节点六面体单元分析；3. 其他常用单元形函数、自由度。

1、三节点三角形单元 1.1. 单元分析1.1.1 分析步骤单元分析的任务是建立单元平衡方程，形成单元刚度矩阵。

不失一般性，从图1-1三角形离散结构中任取一个单元，设单元编号为e ，单元节点按右手法则顺序编号为 i,j,m,在定义的坐标系xOy 中，节点坐标分别为(xi+yi)，(xj+yj)，(xm+ym)，节点位移和节点力表示如图1-1所示。

取结点位移作基本未知量。

由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。

单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。

1.1.2 位移模式和形函数对于平面问题，单元任意一点的位移可用位移分量u, v 描述，他们是坐标x, y 的函数。

假定三节点单元的位移函数为x, y 的线性函数，六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3结点三角形单元的位移函数如下：所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。

位移函数写成矩阵形式为：{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i ev u v u v u δ{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i eV U V U V U F {}[]{}ee e K F δ=结点位移内部各点位移应变应力结点力(1)单元分析(4)(3)(2)⎭⎬⎫++=++=y a x a a y a x a a u 654321v {}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=65432110000001a a a a a a y x y x v u f将水平位移分量和结点坐写成矩阵： 代入位移函数第一式：令则有A 为三角形单元[T]的伴随矩阵为令则有同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式：最终确定六个待定系数 ：mm m j j j i i i y a x a a u y a x a a u y a x a a u 321321321++=++=++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321111a a a y xy x y x u u u m m j j i im j i []T 111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡m mj j i i y x y xy x []⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-m j i u u u a a a 1321T A2T =[]T*T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------=i j ji i j j i m i i m mi i m j m m j jm m j x x y y y x y x x x y y y x y x x x y y y x y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m ji m ji m j i m mmj jji i ic c c b b b a a a c b a c b a c b a T*]T [⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j im ji u u u c c c b b b a a a A a a a 21321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m ji v v v c c c b b b a a a A a a a 21654⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j im ji u u u c c c b b b a a a A a a a 21321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i v v v c c c b b b a a a A a a a 21654])()()[(21m m m m j j j j i i i i u y c x b a u y c x b a u y c x b a Au ++++++++=])()()[(21m m m m j j j j i i i i v y c x b a v y c x b a v y c x b a Av ++++++++={}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m m j j i i m jim j iv u v u v u N N N N N N v u f 0000令（下标i ，j ，m 轮换）[N]称为形态矩阵， N i 称为位移的形态函数 1.1.3 位移函数的收敛性选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。

因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。

6个参数 到 反映了三个刚体位移和三个常量应变。

(2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。

(线性函数的特性)1.1.4 应变矩阵和应力矩阵利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。

用结点位移表示单元的应变的表达式为：[B]矩阵称为几何矩阵由物理方程，可以得到单元的应力表达式： 为应力矩阵1.1.5 单元刚度矩阵)(21y c x b a AN i i i i ++={}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=m m j j i i m j i ev u v u v u δδδδ1a6a{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=εm m j j i i m mjjiim j i m j i v u v u v u b c b c b c c 0c 0c 00b 0b 0b A 21x v y u y v x u eB }]{[}{δε=[][]mj iB B B B =[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i i i i i b c c b A B 0021{}[]{}[][]{}eB D D δεσ==[][][]B D S =[][]mjiS S S S =[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==i i i i i ii i b c c b c b A E B D S 2121)1(22μμμμμ讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。

由应力推算结点力，需要利用平衡方程。

用虚功方程表示出平衡方程。

考虑上图三角形单元的实际受力，任意虚设位移，节点位移结点力和内部应力为： 与内部应变为：微小矩形的内力虚功为根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。

虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程接上式，将应力用结点位移表示出有 令 则{}{}{}{} dxdydz σεF δT *T *⎰⎰⎰=⎪⎫⎪⎧i i V U ⎫⎧⎪⎫⎪⎧**i v u {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧g εε=ε*xy *y *x *mm m m j j j j i i i *i V v U u V v U u V v U u +++++=T []⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=m m j j i i *m *m *j *j *i *i V U V U V v u v u v u {}{}e eT*F δ=dy)(γtdx)(τdy)(εtdx)(σdx)(εtdy)(σdU *xy xy *y y *x x ⨯+⨯+⨯=)tdxdyτγσεσ(εxy *xy y *y x *x ++=[]tdxdy τσσ γεεxy y x *xy *y *x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧={}{}{}{}⎰⎰σε=δtdxdyF T*eT e *{}[]{}{}T Te *T e*T *[B]δ)δB (ε=={}{}{}{}⎰⎰=tdxdy B F TTeeTeσδδ][**{}{}⎰⎰=tdxdy σ[B]F Te{}[][]{}e δB D σ={}{}⎰⎰=eT e δy [D][B]tdxd [B]F []⎰⎰=y[D][B]tdxd [B]K Te{}[]{}e e e δK F =[]eK建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称为单元刚度矩阵。