三角函数的化简求值

【知识要点】

利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式：

sin sin 2sin cos 22αβ

αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22

αβαβαβ-+-=

cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22

αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2

αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+--

【典型例题】

例1求234cos cos cos cos 9999

π

πππ的值.

例2化简下列各式：

（1）2sin10cos 20sin 20︒-︒︒

（2）22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---（3）66441sin cos 1sin cos θθθθ----

例3已知tan 2α=，求：（1）

4sin 2cos 5sin 3cos αααα

-+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-.

例4已知sin()410πα-

=，7cos 225α=，求sin α及tan()3πα+的值.

例5已知α为第二象限内的角，3sin 5α=

，β为第一象限内的角，5cos 13

β=，求tan （2α-β）的值.

【课堂练习】

1.若sin cos 2sin cos x x x x

+=-，则sin cos x x =（ ）.

A . 34

B . 310±

C . 310 D. 310

-

2.若sin cos cos θθ=，则θ所在象限是（ ）.

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限 D.第四象限

3.已知tan α与cot α是方程2

220x x m -+=的两根，则sin α的值为（ ）.

A B . ±C -4.化简：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα

⋅=+( ). A . tan α B . tan 2α C . 1 D.

12 5. sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒=︒-︒︒

( ).

A . 2+

B

C . 26.在ABC ∆中，若cos()tan sin sin()

C B B A C B -=+-，则这个三角形的形状是（ ）. A .锐角三角形 B .直角三角形

C .钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

7.cos43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒的值为 .

8.已知αβ、均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= .

9.设sin cos θθ、是方程221)0x x m -++=的两根.

（1）求m 与22sin cos sin cos cos sin θθθθθθ

+--的值；（2）求sin cos θθ、及此时θ的值.

10.已知α为锐角，且1tan 2α=，求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα

-的值.

11.化简：

（1

α是第三象限角）（2

（3）222222sin sin sin sin cos cos αβαβαβ+-+

12.已知α是第三象限角，且)

sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα----+

---=f 。

（1）化简)(αf ； （2）若51)23cos(=-πα，求)(αf 的值；（3）若 1860-=α，求)(αf 的值。

【课后作业】

1.若cos 2xcos 3x =sin 2xsin 3x ，则x 的一个值是( )

° ° ° °

2.若ABC ∆的内角A 满足2sin 23

A =，则sin cos A A += ( )

A B ．C ．53

D ．53- °tan 20°+3 (tan 10°+tan 20°)等于( )

A . 23 C . 3 D. 6

4.若02πβα<<<且45513

cos(),sin()αβαβ+=

-=，那么2cos α的值是（ ） A ．6365 B ．6365- C ．3365 D ．5665或1365- 5.︒

︒-︒+︒+︒︒-︒-︒-8tan 7tan 8tan 7tan 18tan 7tan 8tan 7tan 1＝ . 6.设tan α=31,tan (β-α)=-2,则tan β= . 7.若tan (α+β)=m ,tan (α-β)=n ,且mn ≠-1,则tan 2β= .

8. °°+°°的值等于 .

9.若A =22°,B =23°则(1+tanA )(1+tanB )的值是 . °+tan 40°+3tan 20°tan 40°= .

11.求值：

︒︒+20sin 220cos 1-sin 10°(cot 5°-tan 5°)

12.已知：sin α+sin β=

21,cos α+cos β=31,求cos (α-β)的值.

13.已知cos (α-

2β)=-91,sin (2α-β)= 32,2π＜α＜π,0＜β＜2

π,求cos (α+β)之值.