(5)广义积分敛散性的判别法,
微积分学广义积分敛散性判别说课讲解
(5) 无穷积分也可 分按 的照 换定 元积 法.进行计算
( 6 ) 若 [ a , ) 上 在 f ( x ) g ( x ) ,则 f ( x ) d x g ( x ) d x .
a
a
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际, 我 上们可以将定 无义 穷式 积写 分成 的下 : 面
a
a
则(1 由 )立即可: 得 f(x 出 )dx收 矛.敛 盾 a
与级数的情 , 比 形较 类判 似别法也 穷是 积判 分别 敛散性的重 . P要 积方分法是重要的 之比 一 . 较标
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f(x ),g (x )为定 [a , 义 )上在 的, 非 A [a ,负 ), 函
a f( x ) d x F ( x )0 x l iF ( m x ) F ( a ) . b f( x ) d x F ( x )b F ( b ) x l iF m ( x ). f( x ) d x F ( x ) x l i F ( m x ) x l i F ( m x ) .
x
G (x) g(t)dt
在 [a, )上有 . 上界
a
由 a x 时 , 0 f( x ) g ( x )得
x
x
0af(t)dtag(t)dt,
从而, 积分上限函数
x
F(x) f(t)dt
在 [a, )上有, 上界
a
故积 f分 (x)dx收.敛 a
(2) 运用反证.法
如 f果 ( x ) d x 发 ,积 散 g 分 ( x 时 ) d x 收 , 敛
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例5
讨P 论 －积a 分 d xp x (a0)的敛散性，
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性判别探讨
摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
广义积分敛散性的一个判别准则
［ 关键 词］ 无 穷小 ； 穷 大； 穷积分 ； 无 无 瑕积 分 ； 敛散 性 ［ 中图分 类号］ Ｏ１ ２ ２ ［ ７． 文献 标识 码］ Ａ ［ 文章 编号］ １０ —７ ８ ２ １ ） １０ ９ —３ ０ ８４ ３ （ ０ ２ ０ —０ ５０
韩建 玲
（ 闽南理 工学 院 信息 管理 系 ，福建 石 狮 ３ ２ ０ ） ６ ７ ０
［ 摘
要］ 运 用定 义及 比较 审敛 法在判 断 广义 积分 的 敛散 性 时 ， 由于被 积 函数 不存 在初 等 函 会
数 的原 函数或 用 来比小与 无 穷大 出发 ， 从 研
韩 建玲 ： 义积 分敛 散性 的一 个判 别准 则 广 由于 ． ｚ 厂 ）是 一 。 （ × 的无 穷小 ， ｉ 厂ｚ 。时 ｌ （ ）一 ｍ
０且 ｌ ｆ（ ｉ ｍｘ ）一 ０ 因此 ｌ 厂（ ）一 ０， ｉ 厂 ｉ ａ ｒ ｌ ａ ｒ （ ）一 ０ （） ３
广义 积 分包 括 两类 ， 一类 为 无穷 积 分， 第 如 无穷 大 ） 。
ｒ ∞ ． ＋ ｔ ＇ ｂ
Ｉ ｆ ｘ ｄ 第 二 类 为 瑕 积 分， Ｉ （ ）ｘ， （）ｘ； 如 ｘｄ 且 ｆ
Ｊ ｄ Ｊｎ
１ ２ 无 穷 积 分 敛 散 性 的判 定 嘲 ．
设 函数 ， ｚ 在 区 间［ ， 。 连续 ， ｆ ｘ ≥ （） ｎ ＋。 ） 且 ｉ） ０ 若 ｚ一 。 。 。时 ｆ ｘ ｉ ）是 的 高 阶无 穷 小 ， 积 分 则
无穷大） ， ｆｘ 时 称 ｉ ）与 ｇ ） 同 阶无穷 小 （ 同阶 （ 是 或
ｌ （ 一ｂ ］ ｉ ｍ［ ｆ（）
因为 ｂ ＜ ＜ Ｃ Ｃ ＋ 。 ， 是 一 ＋ ∞ 。 ，一 。于
广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
高等数学(微积分)课件§广义积分敛散性的判别
'
x (1 x)2
,
x (1,1)
23
幂函数性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运用(求和函数)
例 求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
解 s(xn ) 1 (1n )n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , 1 x
(1x1)
两边积分得
x
s(t)d tln1 (x)
n0
(anxn) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
22
幂函数性质的运用(求和函数)
例：求幂 级n数 xn的和函数。
n1
解：由 1
1－x
n0
xn,
x (1,1)
1－1x
'
n0
xn
'
(xn )'
n0
n1
nxn1,
x (1,1)
上式两边乘以x，可得：
nxn
n1
x 1－1 x
解：由于该幂级数的系 数a 2n1 0(n 0,1,2,...), 故不能直接用前面的定 理。
而直接利用比值判别法 。
lim un1 n un
lim
n
x 2(n1) 2 n 1
2n x2n
1 x2 2
由比值判别法：1 x2 1, 即当 x
2时，
1 x2n绝对收敛；
2
n1 2n
当 x
2时，
n0
(R,R)内可积 ,且对x(R,R)可逐项积分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx
x 0
anxndx
n0
n0an xn1. n0 n1
判别法判断积分敛散性
判别法判断积分敛散性
积分敛散性是数学中比较重要的概念，它可以提供我们不同的性质的函数的收敛情况的信息。
它可以帮助我们更好地了解函数的特性，对函数的研究和应用也有很大帮助。
积分敛散性是指一个函数从$- \infty $ 到$ + \infty $上的固定横跨长度之和所构成的函数。
如果一个函数$y = f(x)$在某一闭区间上是敛散的，则定义符号$ \int_{a}^{b}f(x)dx$为指定的函数在横跨的变量x的横跨值$a$和$b$之间的积分值，即为$y$之和。
当积分值为正，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是敛散的；当积分值为负，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是散敛的。
（当积分值等于零时，函数$f(x)$在某一闭区间上就是稳定的，不具有任何无动力收敛或者散散现象）。
积分敛散性主要涉及到函数在定义域有效的极限，可以通过对函数解析，判断其边界等概念来判断其积分敛散性。
直线和抛物线，它们在定义域上的无穷点收敛散散良好；反之，如倒钩函数则会出现收敛紊乱等现象。
综上所述，积分敛散性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地了解函数的特性，如果能够掌握其运算的技巧，也可以用于函数的研究和应用。
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ax e dx
收敛 .
0
0
|
e ax
sin bx
|
dx
收敛，故题设广义积分收敛 .
例7 判别广义积分
sin x3 a x2 dx
.
解 由于
(a 0) sin x3 1
|
| ,
x2
x2
而
1 dx a x2
收敛，故
a
|
sin x3 x2
|
dx
收敛，即
的敛散性. 解 因为
lim
x
x
x3/2 1 x2
lim
x
x2 1
x x2
,
故根据推论2知，题设广义积分发散.
例4 判别广义积分
1 ex dx
1x
的敛散性. 解 因为当 x 1 时，1 ex 1 ,
xx
故由推论1知，题设广义积分发散 .
例5 判别广义积分
a
sin x x2
3
dx
绝对收敛 .
（三）无界函数的广义积分审敛法 定理：（比较原理）设函数 f (x), g(x)
在区间 (a,b] 上连续，， 1）如果：
当x充分靠近点a时有 lim f (x) xa
0 f (x) g(x),
b
b
且 g(x)dx 收敛，则 f (x)dx
例9 判别广义积分
3 dx 的收敛性.
1 ln x
解 被积函数在点 x 1
的右邻域内无界.又由洛必达法则知
1
1
lim(x 1) lim 1,
x1
ln x 1 x1
x
故根据推论4知，题设广义积分发散.
1
例10
判别广义积分01
sin x x
dx
解 因为
而 sin 1 x
1
,
（D）与m，n的值都无关
解：瑕点：X=0与x=1
1 m ln2 (1 x)
1 2
m
ln2 (1
x)
1 m ln2 (1 x)
0
dx
nx
0
dx
nx
1
2
n x dx I1 I2
对于 I1
m ln2 (1 x)
f (x)
:
m (x)(x)
x
2 m
1 n
,
(
xa0 a
2）如果存在常数 q 1 ，使得：
lim ( x a)q f ( x) d 0
xa0
(或 lim ( x a)q f ( x)=+)
x a 0
b
存在，则广义积分 f (x)dx 发散
a
收敛
（四）无界函数的广义积分审敛法例题
例8 判别广义积分
2 0
xx
1 dx
0x
的收敛性.
收敛，根据比较审敛原理知，
广义积分
1
sin
1 x
dx
0x
收敛，从而题设广义积分也收敛.
例11.考研题（2010.1）
设m，n均为正整数，，则反常积分 的收敛性为（ ）
1
0
m
ln
2 (1 nx
x)
dx
（A）仅与m的值有关 （B）仅与n的值有关 （C）与m，n的值都有关
1.正项级数比较审敛原理(收敛，发散，值)
广义积分比较审敛原理：设 f (x), g(x) 在
区间 [a, );(a 0) 上连续，， 1）如果：
0 f (x) g(x),(a x ) 且 g(x)dx
收敛，则
f (x)dx
a
收敛；2）如果：
a
0 g(x) f (x), (a x ) 且 g(x)dx
x
0
)
nx
nx
分1）n>1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1， m>2讨论
对于 I2
当
0<p<1时
lim
x1
f
(x)(1
x) p
0
（罗比达）
故无论 I1 I2 对于任意的m，n均收敛，故选（D）
1 x4
1 x4/3
,
这里 p 4 1,
3
故由推论1知，题设广义积分收敛.
例2 判别广义积分
dx 1 x 1 x2
的敛散性.
解 因为 lim x2 1 1,
x x 1 x2
这里 p 2 1,
故由推论2知，题设广义积分收敛.
例3 判别广义积分
x 3/ 2 1 1 x2 dx
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
1
cos xm
x
dx
的收敛性.
解 由于
x0
是
f (x) 1 cos x xm
的瑕点，且
1 cos x xm
~
1 x2 2 xm
1 2
1 xm2
(x 0),
所以，当 m 2 1, 即 m 3
时，题设广义积分收敛 ;当 m 2 1,
即 m 3 时，题设广义积分发散 .
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
发散；则 f (x)dx ，发散
a
注：1）.可将广义积分比较原理与级数相应比 较法对比，其是类似的； 2）.可通俗的说：大积分收敛，则小积分收敛； 反之，小积分发散，则大积分发散。
2.P级数（积分）及其敛散性：
Cor1（选p级数作比较对象）
； Cor1.令
g(x)
c xp
, (c
0)
设 f (x) 在区间 [a, );(a 0) 上连续，且
f (x) 0 1.如果存在常数M>0,及p>1,使得：
f
(x)
M xp
,
(a
x
)
则 f (x)dx a
收敛；
2）如果存在常数N>0,使得
则
f (x)dx
发散；
f (x) N , (a x ) x
(x
c a)
p
,
(c
0)
Cor3设 f (x) 在区间 (a,b] 上连续，且
f (x) 0, lim f (x) 1）如果存在常数M>0,及
q 1
xa0
,使得：
f
(x)
(x
M a)q
, (a
x
b)
b
则 f (x)dx
a
收敛；
2）如果存在常数N>0,及q≥1,使得
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
解 因为
0 1 3 x4 1
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
广义积分敛散性的判别法
判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问 题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函 数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来 判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其 它方法来判断广义积分的收敛性.
（一）。无穷限广义积分的审敛法
无穷限广义积分的审敛法与正项无穷级数审 敛法很类似，先复习一下正项级数审敛法以 便与无穷限广义积分的审敛法作比较
arctan x
dx
1x的敛散性. Nhomakorabea解 因为 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
故根据推论2知，题设广义积分发散 .
例6 判别广义积分
eax sin bxdx
0
的收敛性，其中 a,b 都是常数，且 a 0.
解
eax sin bx eax ,而