PEMFC分数阶子空间建模
有限元的分数阶的hilbert空间
有限元的分数阶的hilbert空间全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：有限元方法是一种常用的数值计算方法，被广泛应用于工程、物理和数学领域。
在有限元方法中，我们通常将区域分割成有限个小单元，通过数值求解方法计算每个小单元中的物理量，并在整个区域上进行拼接得到全局解。
而在一些复杂问题或者非整数阶微分方程的求解中，有限元方法也可以进行拓展，使用分数阶的有限元方法进行数值求解。
分数阶微分方程是一类具有非整数阶导数的微分方程，其在描述复杂系统中的行为时具有更好的适用性。
分数阶微分方程的求解可以通过许多数值方法来实现，其中有限元方法是一种常用的方法之一。
在传统有限元方法的基础上，可以将分数阶导数通过分数阶差分的形式进行离散化，从而得到分数阶有限元方法。
在有限元方法中，我们通常将区域分解为有限个小单元，每个小单元上的物理量通过一组基函数的线性组合来近似表示，在分数阶有限元方法中同样可以使用类似的方法来进行离散化。
区别在于，分数阶微分方程中存在非整数次的导数项，因此需要采用特定的分数阶基函数来进行表示。
在分数阶有限元方法中，我们通常会构建分数阶Hilbert空间来进行数值计算。
Hilbert空间是数学中的一个重要概念，是一个完备的内积空间，并且在此空间中可以定义一组正交基函数。
在分数阶有限元方法中，我们可以通过构建一组合适的基函数来构建分数阶Hilbert空间，从而实现对分数阶微分方程的数值求解。
分数阶有限元方法的应用可以涉及到许多领域，如弹性力学、流体力学、电磁场等。
在这些领域中，分数阶微分方程能够更准确地描述物理现象，并且分数阶有限元方法能够提供更为精确的数值解。
分数阶有限元方法在实际工程问题中具有重要的应用价值。
第二篇示例：有限元方法是一种常用的数值计算方法，它在工程领域中有着广泛的应用。
在有限元方法中，通常会涉及到空间的离散化，即将具有连续性质的问题转化为离散化的问题进行求解。
在传统的有限元方法中，通常使用分段线性形函数来逼近解函数，这种方法可以很好地逼近一阶微分方程的解。
控制系统的分数阶建模及分数阶PI^λD^μ控制器设计
其进 行 近似 处理 ， 由于建模 误 差过 大影 响所描 述 系统 的准确 性 和 控 制性 能。本 文 给 出 了具 有 延迟
环 节 的新型 非整数 阶 类一 阶 系统模 型 （ ｎ ｏ ｎ—ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｅ ｒ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｐ ｌ ｕ ｓ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ， Ｎ Ｉ Ｏ Ｐ Ｔ Ｄ） ， 并 分别 设 计 了 某 高阶 系统 降 阶得 到 的传 统模 型 与新型 类一 阶 系统 近似 模 型 ， 对 比分 析 新 型 类一 阶 系统 模 型 的优
第ｌ ８卷
第 ３期
电 机 与 控 制 学 报
Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ Ｃ Ｍａｃ ｈｉ ｎｅｓ ａ ｎｄ Ｃｏ ｎｔ ｒ ｏｌ
Ｖｏ １ ．１ ８ Ｎｏ ． ３ Ｍａ ｒ ．２ ０１ ４
２ ０ １ ４年 ３月
控 制 系统 的分 数 阶建 模 及 分 数 阶 Ｐ Ｉ Ａ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｐ ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ — ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ，ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｏ ｒ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｐ ｌ ｕ ｓ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｍａ ｋ ｅ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｉ ｔ ，ｂ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｓ ｃ ｉ ｒ ｂ ｅ ｄ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｐ ｅ ｆ ｒ ｏ ｍ ａ ｒ ｎ ｃ ｅ ａ ｒ ｅ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｂ ｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｚ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｏ ｆ
分数阶fokker–planck方程
分数阶Fokker-Planck方程I.概述Fokker-Planck方程在物理学和数学领域有着广泛的应用。
它描述了具有随机性质的系统的演化过程，并在统计物理、金融工程、生态学和化学等领域得到了广泛的应用。
然而，传统的Fokker-Planck方程假设了系统的漂移和扩散过程是由布朗运动描述的，而在实际应用中，很多系统的漂移和扩散行为不能完全由布朗运动来描述。
引入分数阶导数来描述非马尔科夫性质的随机过程，成为了当前研究的热点之一。
II.分数阶导数A.分数阶微积分的概念及应用分数阶微积分是指微分和积分可以取非整数次幂的一种微积分。
在不同的领域中，分数阶微积分有着不同的解释和应用。
在描述复杂介质中的传热传质问题时，分数阶微分方程可以更好地描述材料中的多尺度性质。
在描述非马尔科夫性质的随机过程时，分数阶微分方程可以更好地描述系统的长程记忆和非局域性行为。
B.分数阶导数的定义及性质分数阶导数可以由分数阶积分来定义，具体的定义为：[1] $\frac{d^{\alpha} f(t)}{dt^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau$其中，$\alpha$为分数阶，$\Gamma$为gamma函数。
III.分数阶Fokker-Planck方程的推导A.经典Fokker-Planck方程经典的Fokker-Planck方程描述了布朗运动中粒子位置和速度分布的演化过程，其一维形式可以写为：[2] $\frac{\partial}{\partial t}p(x,t)=\frac{\partial}{\partialx}(\mu(x)p(x,t))+\frac{\partial^2}{\partialx^2}(\sigma^2(x)p(x,t))$其中，$p(x,t)$为粒子在位置x处于时间t时的概率密度函数，$\mu(x)$为粒子的漂移系数，$\sigma(x)$为粒子的扩散系数。
PEMFC电化学建模及其PID控制
V cell = EN ernst - V EN ernst 为单电池的可逆电动势 , Vact 为阴阳极活化过电
压 , Vohm i 为欧姆极化过电压 。( 1) 式中的第一项表示在没有
负载时电池工作的开路电压 ,其余二项表示第一项电压的减
少量 ,从而得到 Vcell,即供给外电路实际电压值 。 外电路开路时 ,可逆电动势是在热动态平衡条件下获得
要因素 。
PEM FC 是 一 个
时变 、非线性的强耦
合系统 , 在其工作中
易受到负载 、温度和
膜的湿度变化等干扰
因素的影响 , 因此对 我们采用增量式 P ID
图 2 PEM FC 的 P ID 控制结构
控制算法 ,并对其三个参数进行调整 ,调整气体压力使输出
电压达到理想值 ,其控制结构图如 2所示 。
A BSTRACT: The mode l of p ro ton exchange m em brane fue l ce ll ( PEM FC) is hard to be u sed in the design of contro l system at p re sent, so a e lec trochem ical m ethod is pu t fo rwa rd to estab lish PEM FC m athem a tic s mode l, and the P ID a lgo rithm is adop ted to con tro l the outpu t vo ltage. Firstly, ana lyzing the ope ra tion m echanism w ith in PEM FC, and adop ting the elec trochem ica l m e thod to estab lish its m a them a tic model; then a ssum ing under the situa tion that the exte rnal load curren t in te rfe re s, the ope ra ting tempe ra ture of PEM FC stabilizes in 80 ℃. A nd se tting up the mode l of system under the environm en t of M atlab / sim ulink and sim ula ting the dynam ic change course of ou tp ut vo ltage; u sing P ID a lgo rithm to contro l the inle t ga s p re ssure of anode and ca thode of stack to m ake the ou tp ut vo ltage of PEM FC system reach the setting value. Sim ula tion results show that this model can reflec t the dynam ic charac te ristic of powe r gene ration system , and P ID a lgo rithm can be u sed in the contro l system of PEM FC. KEYW O RD S: Pro ton exchange m em b rane fue l cell ( PEM FC) ; Elec trochem ica l modeling; Propo rtion - integral - differen tia l a lgo rithm
多尺度分数阶微积分模型及其应用
多尺度分数阶微积分模型及其应用随着科技的不断发展，许多传统的学科正在被更新和改进。
微积分作为数学的基础学科，在现代科技应用中有着越来越广泛的应用。
随着数据和信息时代的到来，越来越多需要对时间序列数据分析和处理的问题出现了，而这些问题无法用传统的微积分方法解决。
因此，分数阶微积分应运而生。
基于分数阶微积分的方法具有分形特性和非局域化特性，拥有更合理的数学描述。
而多尺度分析方法则可以更好地揭示时间序列的动态信息，从而更精确地进行时间序列建模、处理和预测等应用。
因此，结合分数阶微积分和多尺度分析成为时序建模领域的热点。
多分辨率分数阶微积分模型以国内外学者研究的多分辨率分数阶微积分模型为例，这是将分数阶微积分与多分辨率分析相结合的一种理论和方法。
针对实际问题，可以根据问题要求选择不同的分辨率，从而建立出相应的多分辨率分数阶微积分模型。
多分辨率分数阶微积分模型最基础的流程如下：首先，将原始的时间序列分解为多个不同分辨率的序列；然后，分别对这些序列进行分数阶微积分处理；最后，将处理好的序列重新组合起来得到整个时间序列的分数阶微积分模型。
这种模型在参数确定方面更加普适，并具有更广泛的适用性。
应用多分辨率分数阶微积分模型及其扩展形式已经被广泛应用于多个领域。
下面列举几个具体领域的实际应用案例。
金融领域：随着金融市场环境不断变化，如何对市场风险进行准确预测成为重要的研究课题。
多分辨率分数阶微积分模型可以用于股票价格的预测，以及量化投资和交易的决策支持。
其中，多分辨率分数阶随机游动模型（MRSW）是一种典型的方法，其可以更好地处理金融数据的波动性和长期依赖性等特点。
信号处理领域：多分辨率分数阶微积分模型在信号处理领域也有很好的应用前景。
一般而言，信号的时域和频域信息要么直接从信号中提取，要么通过傅里叶变换等方法转换到频域。
但是，这种转换可能会导致信息损失。
而多分辨率分数阶微积分模型可以更全面地考虑时域和频域的多尺度特性，从而更好地提取信号的时频信息。
控制系统仿真 薛定宇第九章 分数阶系统的分析与设计课件
n 启动optimfopid界面
控制器控制器
nn
19
分数阶控制系统小结n 给出了分数阶微积分的定义与计算方法n 微积分计算：glfdiff()、fode_sol()n 线性分数阶系统分析与设计n 类的建立：@fotf；fotf.m、display.mn 重载函数 (FOTF互连) 支持 *、+、feedback()n 时域与频域分析：重载函数尽量控制系统工具箱 函数同名，且调用方式尽可能保持一致nstep(), lsim(), bode(), nyquist(), nichols(), isstable(), norm()n 其他内容：解析解法、成比例阶系统、微分算子近似，基于框图的分数阶非线性系统 制 统 真 AD国家级精品课程
控制系统仿真与CAD 国家级精品课程
6
分数阶微积分计算举例n 函数调用n 例11-1 常数的微积分是什么？
n 例11-2 正弦函数的分数阶微分
n 信息量比整数阶微分丰富
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7
11.2 分数阶线性微分方程的求解分数阶线性微分方程
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nMATLAB实现
n Gottfried Leibniz的记号 n微分、积分n 扩展：统一微积分
控制系统仿真与CAD 国家级精品课程
3
分数阶微积分的历史n 法国数学家Guillaume François AntoineL’Hôpitaln 1695年，询问Leibniz， n=1/2？
n Leibniz给出了t 的1/2导数n 彼此关于此问题的通信标志分数阶微积分研究的开始n 早期研究是纯数学研究n 控制方面的研究nManabe，1960开始
n display.m 模型显示 (略) n 例11-6
MATLAB中的分数阶系统建模方法
MATLAB中的分数阶系统建模方法在探索和研究分数阶系统的建模方法时，MATLAB作为一种强大的计算工具，提供了多种有效的工具和函数。
分数阶系统是指微分和积分阶数为非整数的系统，其在现实世界中广泛存在，并且具有许多独特的特性和应用。
本文将介绍MATLAB中几种常用的分数阶系统建模方法，并探讨其原理和应用。
一、分数阶微分方程建模方法1. Caputo导数法Caputo导数是一种常用的描述分数阶系统的方法，可以处理系统的初始条件问题。
在MATLAB中，可以使用“caputoDeriv”函数来计算Caputo导数，并得到相应的微分方程模型。
通过给定系统的参数和初始条件，可以使用MATLAB内置的ODE求解器来模拟和分析系统的行为。
2. Grünwald-Letnikov导数法Grünwald-Letnikov导数是另一种描述分数阶系统的常用方法，可以处理非光滑和非连续系统。
在MATLAB中，可以使用“grunwaldLetnikov”函数来计算Grünwald-Letnikov导数，并得到相应的微分方程模型。
通过给定系统的参数和初始条件，可以使用MATLAB内置的ODE求解器来模拟和分析系统的行为。
3. 时序法时序法是一种基于离散数据准则的分数阶系统建模方法。
在MATLAB中，可以使用“fracdiff”函数来进行时序建模，并得到相应的差分方程模型。
通过给定系统的参数和初始条件，可以使用MATLAB内置的差分方程求解器来模拟和分析系统的行为。
二、分数阶传递函数建模方法分数阶传递函数是描述分数阶系统的常用数学工具，适用于线性和时不变系统。
在MATLAB中，可以使用“sfrac”函数来定义分数阶传递函数，并进行系统建模和频域分析。
通过给定系统的参数，可以使用MATLAB内置的频域工具箱来计算系统的响应和稳定性。
三、分数阶状态空间建模方法分数阶状态空间模型是一种用于描述分数阶系统的有效工具，可以处理多输入多输出系统和时变系统。
《2024年边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》范文
《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程问题成为了众多数学和物理研究领域的热点问题。
分数阶Sturm-Liouville问题，作为一种重要的数学模型，广泛应用于电子、力学、量子物理等领域。
特别是在涉及边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题上，其理论研究和实际应用具有重要的学术价值和实践意义。
本文将探讨该问题及其求解方法，旨在为相关研究提供参考和借鉴。
二、问题描述在数学模型中，分数阶Sturm-Liouville问题常常用来描述一维或多维空间的某些特定性质的波动问题。
本论文中我们关注的是具有边界条件的分数阶Sturm-Liouville问题，其中边界条件中包含了谱参数。
具体来说，我们考虑以下形式的分数阶微分方程：Dαu(x) + λu(x) = 0其中Dα表示分数阶微分算子，u(x)是未知函数，λ是谱参数，x是自变量。
此外，我们还需考虑以下边界条件：u(a) = c1, u(b) = c2,其中a和b是边界点，c1和c2是给定的常数。
这种类型的方程和边界条件在物理、工程和其他应用领域中具有广泛的应用。
三、研究方法为了解决上述问题，我们采用了有限差分法与谱方法相结合的方法。
首先，我们使用有限差分法将分数阶微分方程进行离散化处理，得到一系列的线性代数方程组。
然后，我们利用谱方法中的某些技巧来处理边界条件中的谱参数。
在求解过程中，我们采用了迭代法和数值逼近等方法来得到近似解。
四、结果分析通过我们的研究，我们发现谱参数的存在对问题的解具有显著影响。
当谱参数λ取不同的值时，解的形态和性质会发生变化。
此外，我们还发现边界条件对解的影响也非常重要。
通过调整边界条件中的常数c1和c2，我们可以得到不同的解。
这些解在物理和工程应用中具有重要的意义。
五、结论与展望本文研究了边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville 问题。
超级电容器分数阶建模与其控制方法分析
华北电力大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《超级电容器分数阶建模及其控制方法研究》，是本人在导师指导下，在华北电力大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。
据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。
本声明的法律结果将完全由本人承担。
作者签名：日期：年月日华北电力大学硕士学位论文使用授权书《超级电容器分数阶建模及其控制方法研究》系本人在华北电力大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。
本论文的研究成果归华北电力大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。
本人完全了解华北电力大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。
本人授权华北电力大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。
本学位论文属于（请在以上相应方框内打“√”）：保密□，在年解密后适用本授权书不保密□作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日摘要摘要超级电容器是一种具有发展前景的储能元件，建立其精确的模型对于进一步研究超级电容器的实际应用具有重要的意义。
本文对不同规格的超级电容器的阻抗在不同充电程度下的频率特性进行了测量，对基于超级电容器阻抗的分数阶特性进行了分析。
提出了利用分数阶矢量匹配法进行阻抗拟合，进而建立超级电容器分数阶模型的方法。
综合矢量匹配结果以及超级电容器的经典等效电路和多孔电极理论，并考虑了超级电容器内部的法拉第过程，提出一种新的超级电容器的电路模型。
通过对不同电压下的频域特性的拟合得到了参数与电压的关系，建立了超级电容器分数阶非线性模型。
通过对比模型充放电仿真与实验结果，证明了该模型的准确性。
对于超级电容器分数阶模型的阶跃响应，分别在频域利用了分数阶达尔文粒子群算法进行了基于主导极点法的分数阶PID控制器设计，在时域利用了遗传算法与NCD 优化相结合的方法进行了基于优化算法的分数阶PID控制器设计，控制结果仿真说明了分数阶控制器在超级电容器上的应用是成功的，且在对分数阶系统的控制中分数阶控制器显著优于整数阶控制器。
基于模糊建模技术的PEMFC非线性控制
基于模糊建模技术的PEMFC非线性控制李曦;曹广益;朱新坚;付晓薇【期刊名称】《电源技术》【年(卷),期】2005(029)004【摘要】针对PEMFC等一类具有严重非线性的复杂被控对象,提出一种基于模糊模型的非线性预测控制算法对PEM-FC系统进行建模与控制.在建模与控制过程中,采用离线学习和在线修正辨识出对象的模糊模型;其中,模型的参数通过模糊聚类初始化和离线反向传播算法进行学习,必要时,可通过在线调整后件参数,使模型的预测精度能满足实时控制的需要.线性辨识方法在线建立PEMFC控制系统的T-S模糊预测模型,然后基于分支定界法的基本原理对控制量进行离散寻优,从而实现PEMFC的非线性预测控制.仿真和实验结果证明了该算法的有效性和优越性.【总页数】5页(P245-249)【作者】李曦;曹广益;朱新坚;付晓薇【作者单位】上海交通大学,电信学院,自动化系燃料电池研究所,上海,200030;上海交通大学,电信学院,自动化系燃料电池研究所,上海,200030;上海交通大学,电信学院,自动化系燃料电池研究所,上海,200030;武汉科技大学,计算机学院,湖北,武汉,430081【正文语种】中文【中图分类】TM911.4;TP183【相关文献】1.基于Matlab/Simulink的PEMFC建模与非线性控制 [J], 杨顺风;朱星光;徐翥2.基于模糊建模的非线性鲁棒模型预测控制 [J], 刘志远;周建锁;裴润;陈虹3.基于自抗扰技术的柴油机SCR装置非线性控制器设计与仿真 [J], 刘丙善4.基于非线性控制模型的优化控制技术在超超临界机组应用 [J], 卢松城5.基于一种改进自适应模糊神经技术的PEMFC系统建模和控制 [J], 卫东;曹广益;朱新坚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《2024年空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》范文
《空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》篇一一、引言在数学建模和数值分析领域，空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统扮演着重要角色。
随着科学与技术的进步，这两个模型在众多领域如生物学、材料科学和电磁学中得到了广泛应用。
有限元方法作为一种有效的数值计算工具，常被用来解决复杂的数学模型问题。
本文旨在探究如何应用有限元方法来处理这两个复杂系统的数学问题。
二、空间分数阶Gray-Scott模型空间分数阶Gray-Scott模型是一个常用于描述复杂反应扩散系统的偏微分方程模型。
它具有非线性特性和空间分数阶导数，为解决此类问题提供了数学框架。
本文将详细介绍该模型的数学形式、物理背景以及其求解的必要性。
三、时间分数阶Maxwell系统时间分数阶Maxwell系统则是用于描述电磁波传播及物质响应的数学模型。
其方程中的时间分数阶导数使得模型能够更好地反映实际物理现象的复杂性和非局部性。
本部分将详细阐述该系统的数学表达、物理意义及其在电磁学中的应用。
四、有限元方法的基本原理在解决上述两个复杂系统的问题时，有限元方法是一种有效的数值计算工具。
本部分将详细介绍有限元方法的基本原理、步骤和特点，包括其求解过程、计算效率和精度等优势。
五、空间分数阶Gray-Scott模型的有限元方法实现本部分将详细描述如何将有限元方法应用于空间分数阶Gray-Scott模型的求解过程。
包括离散化处理、基函数选择、数值积分等关键步骤的详细解释和实现过程。
此外，还将讨论该方法在求解过程中的稳定性和收敛性等问题。
六、时间分数阶Maxwell系统的有限元方法实现类似地，本部分将详细介绍如何将有限元方法应用于时间分数阶Maxwell系统的求解过程。
包括系统的离散化、时间步长的选择、电磁场量的离散化处理等关键步骤的详细解释和实现过程。
此外，还将讨论该方法在处理复杂电磁现象时的优势和局限性。
《2024年空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》范文
分数阶能量模型方法分数阶能量模型方法是一种用于信号处理和系统建模的方法，它在时间和频率域上具有更广泛的适用性。
该方法基于分数阶微积分理论，不仅能够处理传统的整数阶系统，还能更好地描述非平稳、非线性和长时间记忆的信号。
分数阶微积分理论是将整数阶微积分推广到分数阶的一种数学理论。
在整数阶微积分中，阶数是整数，而在分数阶微积分中，阶数可以是任意实数。
这种推广使得分数阶微积分能够更好地描述信号的非局域性和长时间记忆特性。
在分数阶能量模型方法中，最常用的是分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FRFT）。
FRFT是对传统的傅里叶变换进行了推广，用于分析和处理非平稳信号。
与传统的傅里叶变换只能分析平稳信号不同，FRFT能够对非平稳信号进行频率分析，并得到不同频率分量的权重。
除了FRFT，分数阶小波变换（Fractional Wavelet Transform，简称FWT）也是分数阶能量模型方法的重要组成部分。
FWT是对传统小波变换进行了推广，能够更好地处理非线性信号。
与传统的小波变换只能分析线性信号不同，FWT可以分析非线性和非平稳信号，并提取出信号中的不同尺度分量。
分数阶能量模型方法在信号处理和系统建模中的应用非常广泛。
例如，在音频处理中，传统的整数阶方法往往无法很好地处理音频信号的非平稳性和长时间记忆特性。
而分数阶能量模型方法可以更好地描述音频信号的频谱特性，并提取出信号中的重要特征。
分数阶能量模型方法还可以应用于图像处理、语音识别、生物医学工程等领域。
在图像处理中，分数阶能量模型方法可以更好地处理图像的纹理和边缘等细节特征。
在语音识别中，分数阶能量模型方法可以提取出语音信号的频谱特征，用于语音识别和语音合成任务。
在生物医学工程中，分数阶能量模型方法可以更好地处理和分析生理信号，如脑电图和心电图等。
总而言之，分数阶能量模型方法是一种用于信号处理和系统建模的强大工具。
《2024年空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》范文
《空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》篇一一、引言有限元方法作为一种强大的数值技术，在解决复杂偏微分方程问题中发挥着重要作用。
本文将探讨空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法的应用。
首先，我们将简要介绍这两个模型及其在各自领域的重要性。
然后，我们将概述有限元方法的基本原理及其在处理此类问题中的优势。
二、空间分数阶Gray-Scott模型Gray-Scott模型是一种经典的化学反应-扩散模型，用于描述两种化学物质在空间中的相互作用和扩散过程。
空间分数阶Gray-Scott模型则是在传统模型的基础上引入了空间分数阶导数，以更好地描述非局部和长程相互作用的影响。
在本文中，我们将详细介绍空间分数阶Gray-Scott模型的数学表达式、物理意义及在化学反应动力学中的应用。
我们将通过合适的离散化方法和数值技巧，将该模型转化为适合有限元方法求解的形式。
三、时间分数阶Maxwell系统Maxwell系统是描述电磁场行为的经典理论。
时间分数阶Maxwell系统则是在传统Maxwell方程的基础上引入了时间分数阶导数，以更好地描述电磁波在介质中的传播和衰减过程。
我们将概述时间分数阶Maxwell系统的基本形式和物理含义，并讨论其在实际电磁场问题中的应用。
类似地，我们将通过合适的离散化方法和数值技巧，将该系统转化为适合有限元方法求解的形式。
四、有限元方法的应用有限元方法是一种强大的数值技术，适用于解决各种复杂的偏微分方程问题。
在处理空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统时，有限元方法具有以下优势：1. 灵活性：有限元方法可以处理具有复杂几何形状和边界条件的问题。
2. 适应性：有限元方法可以处理非均匀和各向异性的材料属性。
3. 精度：通过选择合适的离散化和数值技巧，有限元方法可以提供高精度的解。
在本文中，我们将详细介绍如何将空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统转化为有限元方法求解的问题。
分数阶能量模型方法
分数阶能量模型方法分数阶能量模型方法是一种用于信号处理和系统建模的方法，它在时间和频率域上具有更广泛的适用性。
该方法基于分数阶微积分理论，不仅能够处理传统的整数阶系统，还能更好地描述非平稳、非线性和长时间记忆的信号。
分数阶微积分理论是将整数阶微积分推广到分数阶的一种数学理论。
在整数阶微积分中，阶数是整数，而在分数阶微积分中，阶数可以是任意实数。
这种推广使得分数阶微积分能够更好地描述信号的非局域性和长时间记忆特性。
在分数阶能量模型方法中，最常用的是分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FRFT）。
FRFT是对传统的傅里叶变换进行了推广，用于分析和处理非平稳信号。
与传统的傅里叶变换只能分析平稳信号不同，FRFT能够对非平稳信号进行频率分析，并得到不同频率分量的权重。
除了FRFT，分数阶小波变换（Fractional Wavelet Transform，简称FWT）也是分数阶能量模型方法的重要组成部分。
FWT是对传统小波变换进行了推广，能够更好地处理非线性信号。
与传统的小波变换只能分析线性信号不同，FWT可以分析非线性和非平稳信号，并提取出信号中的不同尺度分量。
分数阶能量模型方法在信号处理和系统建模中的应用非常广泛。
例如，在音频处理中，传统的整数阶方法往往无法很好地处理音频信号的非平稳性和长时间记忆特性。
而分数阶能量模型方法可以更好地描述音频信号的频谱特性，并提取出信号中的重要特征。
分数阶能量模型方法还可以应用于图像处理、语音识别、生物医学工程等领域。
在图像处理中，分数阶能量模型方法可以更好地处理图像的纹理和边缘等细节特征。
在语音识别中，分数阶能量模型方法可以提取出语音信号的频谱特征，用于语音识别和语音合成任务。
在生物医学工程中，分数阶能量模型方法可以更好地处理和分析生理信号，如脑电图和心电图等。
总而言之，分数阶能量模型方法是一种用于信号处理和系统建模的强大工具。
《2024年空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》范文
《空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》篇一一、引言随着科技的发展，许多复杂系统的建模与仿真成为研究热点。
在众多领域中，生物模型和物理系统模型的模拟尤其重要。
有限元方法作为现代数学计算领域中的一种数值方法，广泛地被用于模拟各类系统模型。
本篇文章旨在阐述利用有限元方法处理空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统模型的方案，深入讨论该方法的理论基础及其在实际问题中的应用。
二、空间分数阶Gray-Scott模型1. 模型简介Gray-Scott模型是一个典型的生物反应扩散模型，它被广泛应用于描述种群生长、化学动力学等领域的复杂现象。
而空间分数阶Gray-Scott模型则是考虑了空间分数的扩展，它使得模型的模拟更具有复杂性且更能准确地反映实际情况。
2. 有限元方法的实现对空间分数阶Gray-Scott模型的模拟，我们需要将其分解为多个空间小单元进行有限元划分，并根据物理特性和系统的实际行为在每一个小单元中计算和分析模型的参数。
我们将依据这些参数建立合适的方程系统，通过解这些方程得到每一时间步的状态变化，从而达到模拟的效果。
三、时间分数阶Maxwell系统1. 模型简介Maxwell系统是描述电磁场行为的经典模型。
时间分数阶Maxwell系统则是在传统Maxwell系统的基础上引入了时间分数的概念，使得模型能够更好地描述电磁场的动态行为。
2. 有限元方法的实现时间分数阶Maxwell系统的有限元方法要求我们在每个时间点对电磁场进行精确的数值分析。
我们需要对每个小单元（或称为“单元”）的电磁场变化进行准确的估计，然后将所有的估计汇总，最终形成一个对全系统的分析结果。
在这个方法中，需要充分考虑到不同时间的因素，并根据具体需要对其进行准确的预测和调整。
四、有限元方法的理论基础和实际应用1. 理论基础有限元方法是一种基于变分原理和加权余量法的数值计算方法。
基于IECSDE算法的PEMFC改进分数阶子空间辨识模型
基于IECSDE算法的PEMFC改进分数阶子空间辨识模型秦灏;戚志东;于灵芝;童新【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2024(50)6【摘要】为准确描述质子交换膜燃料电池(PEMFC)在其发电过程中的特性及变量影响关系,提出一种基于信息交流布谷鸟搜索差分进化(IECSDE)算法的改进分数阶子空间辨识方法来建立PEMFC分数阶模型。
首先基于状态空间方程建立PEMFC 模型,为了描述PEMFC的分数阶特性,将分数阶微分理论融入到模型中,引入Poisson滤波函数预处理实验数据,解决数据多阶不可导的问题,同时引入变步长记忆法处理分数阶微分时的权系数,提高子空间辨识精度。
其次在辨识过程中的参数对于建模效果具有重大影响,因此基于IECSDE算法并对其进行优化,对布谷鸟搜索(CS)算法中的控制参数进行自适应处理,受到粒子群优化(PSO)算法的启发,改进随机游走方式提高收敛精度和速度,并引入差分进化(DE)算法与改进CS算法分别对种群进行优化,同时在寻优过程中进行信息交流提高种群的多样性和算法的鲁棒性。
仿真结果表明,IECSDE算法的寻优能力在8种测试函数下比其他5种优化算法至少提升了10倍;通过对PEMFC测控平台收集到的实验数据进行模型辨识,所建立的模型将误差缩小到基于短记忆法的分数阶子空间辨识方法误差的20%,输出功率误差控制在0~0.1之间,输出电压误差控制在0~0.2之间,能够精准地模拟PEMFC发电过程。
【总页数】12页(P346-357)【作者】秦灏;戚志东;于灵芝;童新【作者单位】南京理工大学自动化学院【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.基于短记忆原理的分数阶系统时域子空间辨识2.基于状态空间模型分解的分数阶系统辨识算法3.基于改进状态空间模型遗传算法的分数阶PID控制器优化设计4.质子交换膜燃料电池模型的频域分数阶子空间辨识5.基于ALMBO算法的PEMFC 分数阶时域子空间模型研究因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
质子交换膜燃料电池的分数阶非线性状态空间模型研究
质子交换膜燃料电池的分数阶非线性状态空间模型研究戚志东;何永康;戈卫平;孙琦【摘要】针对质子交换膜燃料电池(PEMFC)发电过程中的分数阶和非线性特性,本文提出了一种分数阶子空间辨识方法建立了PEMFC非线性状态空间模型.首先,为了降低建模复杂度,采用典型相关分析法和相关分析法确定了模型输入变量;其次,将分数阶微分理论与Hammerstein模型子空间辨识方法相结合,采用Poisson矩函数对输入输出数据进行预处理,构造了子空间辨识方法的输入输出矩阵,并引入分数阶短时记忆法减少辨识算法计算量;最后,选取多项式作为Hammerstein模型前端静态非线性环节,采用模糊遗传算法优化系统分数阶阶次和系数矩阵.仿真结果验证了算法的有效性,改进的辨识算法可以明显减小计算时间,所得PEMFC辨识模型能够准确地描述PEMFC的动态过程.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2019(036)003【总页数】8页(P420-427)【关键词】质子交换膜燃料电池;分数阶;Hammerstein模型;子空间辨识【作者】戚志东;何永康;戈卫平;孙琦【作者单位】南京理工大学自动化学院,江苏南京210094;南京理工大学自动化学院,江苏南京210094;南京理工大学自动化学院,江苏南京210094;南京理工大学自动化学院,江苏南京210094【正文语种】中文1 引言质子交换膜燃料电池(proton exchange membrane fuel cell,PEMFC)是一个包括流动、传热、传质和电化学反应等多种物理化学现象的复杂系统,具有典型的分数阶和非线性特性[1–2].PEMFC分数阶建模与控制是很有意义的研究方向.近年来,研究人员尝试采用分数阶理论建立PEMFC模型,做出了有益的探索.卞慧娟[3]对电堆气体传质和热扩散过程进行机理分析,分别建立了电堆气压和温度的分数阶微分方程.张明[4]采用内部机理方法、系统结构方法和等效电路方法建立电堆的分数阶传递函数模型.Miassa等人[2]根据等效电路方法分别建立了PEMFC的分数阶和整数阶阻抗模型.上述方法中电堆都被简化为单输入单输出系统,忽略的因素较多.在PEMFC发电过程中,气体流量、气体压力、负载电流、堆温和室温等都会影响系统的输出电压和功率,因此建立电堆的多输入多输出模型有望更加准确地描述实际系统.目前这方面的研究还比较少[5–7],冷博阳[8]在恒温条件下,由分数阶气体传输方程和稳态电压方程建立了电堆的多输入单输出分数阶状态空间模型,但其模型复杂,不利于实际应用.Hu[9]将PEMFC视为弱非线性系统,通过子空间辨识算法得到了空冷堆电特性分数阶状态空间模型.但以上模型对PEMFC非线性特性考虑不足.综上所述,目前还没有同时准确描述PEMFC分数阶和非线性特性的状态空间模型.Hammerstein模型是一种典型的非线性模型,可以描述PEMFC等非线性系统[10].本文首次结合分数阶理论和子空间辨识方法建立了一种PEMFC分数阶Hammerstein状态空间模型.为了使输入输出数据分数阶可导,利用泊松矩函数[11]对数据进行滤波,为了降低算法计算量,引入分数阶短时记忆法[12]重构增广输入输出方程,实现辨识数据和分数阶阶次的分离.辨识结果表明,本文提出的建模方法大大缩短了算法的计算时间,所建立的PEMFC分数阶Hammerstein状态空间模型能够准确描述系统发电过程并且避免了复杂的内部机理分析.2 建模变量选取PEMFC是一个将氢能转换为电能的发电装置.空冷型PEMFC发电系统如图1所示. 图1 空冷型PEMFC测控系统框图Fig.1 Block diagram of air-cooled PEMFC measurement andcontrol system影响PEMFC发电过程的因素有气体流量、气体压力、堆温、湿度和负载电流等.氢气经过减压阀和流量计为电堆提供燃料,风扇为电堆提供空气同时带走电堆热量调节电堆温度,排气阀调节电堆的温度和湿度,电子负载可实时改变负载大小.通过检测装置采集负载电流、氢气流量、氢气压力、输出电压、输出功率、电堆温度、环境温度等变量的电信号传送给控制器,进而调节风扇电压、氢气流量来实现电堆的输出电压和温度控制.显然,PEMFC是一个典型的多输入多输出系统,为了减小建模复杂度,本文采用典型相关分析法[13]选取与PEMFC电特性相关性最大的输入变量,并采用相关性分析去除冗余输入变量.2.1 典型相关分析典型相关分析是一种测度两组变量之间相关性的多元统计方法,与主成分分析法类似.分别通过两组变量X=(x1,x2,···,xp),Y=(y1,y2,···,yp)的线性组合,将两组变量相关性转化为两个变量相关性,即式中:i为线性组合组数,(i),(i)分别为线性组合的系数向量.一组i,i的组合称为一对典型变量,它们之间的相关系数称为典型相关系数.如果一对典型变量的典型相关系数较大,选其作为典型变量.如果相关性不显著即典型相关系数较小,则说明这对变量不具有代表性,直接舍弃这对典型变量.由矩阵(XTYT)T的协方差矩阵可得到相关系数矩阵Σ11,Σ12,Σ21,Σ22.再根据矩阵的特征值算术根求取典型相关系数,具体计算方法可以参考文献[14].根据所选典型变量的(i)中元素的绝对值大小选取输入变量.因为i中系数绝对值较大的n个变量对i起主要作用,所以当一对变量相关性显著时,这n个变量便与中q个变量的线性组合具有很大相关性,则选取该n个变量作为输入变量.在电堆输入变量中,多个变量之间均有一定的相关性,例如氢气流量与氢气压力,温度与负载电流等,若两个变量的相关性达到80%,可以认为这两个变量呈线性关系,不必同时选为输入变量.因此,采用相关性分析可对输入变量进行进一步缩减,以保留可控可测变量、舍弃不可控不可测变量为原则.2.2 辨识变量选择先从5个输入变量中确定对电堆输出电压和功率影响最大的输入变量.在电堆不加控制的情况下,随机调节可控的输入变量即氢气流量和负载电流,每隔1 s对所有可测变量各采集100组数据.首先采用典型相关性分析的方法对100组5个输入参数(氢气流量、氢气压力、负载电流、环境温度和电堆温度)和2个输出参数(输出电压和功率)的数据进行分析,去除3对相关性不显著的典型变量,得到2对典型相关系数分别为0.9998,0.5257的典型变量,具体分析结果如表1所示.表1中,氢气流量、氢气压力和负载电流对应的线性组合系数较大,即对电堆输出影响较大,可作为候选输入变量.由相关性分析可知,氢气流量和氢气压力相关性较大,其相关系数为0.999.考虑氢气流量直接影响氢气压力,且可控可测性比后者好,所以保留氢气流量作为输入变量.表1 典型相关性分析结果Table 1 Results of canonical correlation analysis输入变量0.0799[V]−0.959[P]1.1393[V]+0.6203[P]氢气流量1.7601 −108.3964氢气压力−1.7583 109.3878负载电流−1.0003 0.0957电堆温度 0.0059−0.0796环境温度−0.0022 −0.1650输出变量综上,本文选取氢气流量和负载电流作为辨识模型输入变量,输出电压和功率作为辨识模型输出变量.3 分数阶Hammerstein模型子空间辨识Hammerstein系统是一类以线性动态过程为主体,在输入端存在非线性环节的非线性系统,该系统已经在工业过程建模中得到了广泛的运用.PEMFC是一个包含气液流动、传热传质、电化学反应的非线性系统,可采用Hammerstein模型结构描述其发电过程.本文将分数阶微积分原理与子空间辨识方法相结合,提出一种分数阶Hammerstein模型,其结构形式见图2.图2 数阶Hammerstein模型结构Fig.2 Structure of fractional Hammerstein model图2中:u(t),y(t)分别为可测输入和输出量,u∗(t)为中间变量,w(t),v(t)为系统过程噪声和测量噪声.上述分数阶Hammerstein模型的数学表达式为其中:0<γ<2为系统分数阶阶次.A∈Rn×n,B∈Rn×m,C ∈ Rl×n,D ∈ Rl×m,m和l分别为输入和输出的围数,n为系统的阶次.f是m维输入映射到m维输出的非线性函数,可以描述为一组已知基函数的线性组合其中:r∈N,基函数的系数矩阵αk∈Rn×n.基函数φk():Rm → Rm,k=1,2,···,r,常见的基函数有多项式基函数、高斯径向基函数等.3.1 构造增广输入输出矩阵当分数阶阶次已知时,令分数阶Hammerstein模型状态空间方程可以改写为对上式两边求导迭代,得到增广输入输出方程其中:Γq是增广能观矩阵,q为固定值,满足q>n.矩阵Wq(t),Vq(t)的定义同Yq(t)类似.选择合适的采样时间Ts,令tk=kTs(k=1,2,···,N),N为采样数.令u(k)=u(tk),y(k)=y(tk),可以得到其中:q,N−k+1,Wq,N−k+1,Vq,N−k+1的矩阵形式与Yq,N−k+1的矩阵形式类似,不再赘述.3.2 短时记忆原理在上述推导增广输入输出方程过程中,假设方程的辩识数据均是(q−1)γ阶可导的,而实际数据很难满足该要求,本文采用Poisson矩函数对辨识数据进行预处理来解决此问题.Poisson矩函数的表达式如下[11]:式中β和λ为滤波器增益和常数.定义运算符M{·}其中:f(t)为关于时间t的任意函数;g(t)为G(s)的拉普拉斯逆变换;∗为卷积运算符,则根据分数阶微积分的相关性质有使用Poisson矩函数对辨识数据进行预处理后,原本对于辨识数据的各阶分数阶可导条件转化为对Poisson矩函数的各阶可导.函数g(t)显然满足(q−1)γ阶可导,因此可以得到由上式可知,通过Poisson矩函数对数据进行预处理本质是对原始数据进行滤波,降低高频噪声对于辨识结果的干扰.仿照以上步骤对式(8)整体滤波,便可得到满足假设条件的系统模型经过滤波后,可以求解输入输出数据的高阶分数阶导数.但是从分数阶微积分GL定义可知,求解滤波后的M{Yγ,q,N},M{˜Uγ,q,N}依然需要q(N−k+1)分数阶微分运算.当对分数阶微分阶次进行遍历迭代时,依然需要同样的计算量.随着迭代次数的增加,计算量将会产生灾难.为了解决这一难题,将分数阶短记忆法[12]引入输入输出数据的微分计算.根据短时记忆原理可知,当t>>a时,函数某一时刻的值主要取决于最近一段时间的函数值,因此可将对矩函数D(q−1)γg(k)的各阶分数阶求导转化为时刻矩函数值向量与GL定义系数的乘积,即式中L为短时记忆长度.因此,式(13)改写为式中:⊗为kronecker算子,Ωq为短时记忆矩阵,L,N和YL,N为滤波后的增广输入输出矩阵:3.3 求取增广可观测矩阵对式(15)移项并对方程两边同时乘列满秩矩阵的正交投影(Γq⊥)T,整理后可得对矩阵进行奇异值分解可以得到其主元分析[15]从而可以得到其中:Q为非奇异矩阵,并有合适的阶次,一般取单位阵.θ21和θ22为θ2分解出来的具有合适维度的矩阵.由上式求得由式(19)和式(20)即可得到Γq和Hq的估计值,进一步可以求取系统矩阵.3.4 求取系统矩阵和多项式矩阵α从式(19)中很容易得到A和C的估计式中:为Moore-Penrose伪逆,(1:m(l−1),:)为MATLAB表达式,表示取矩阵的第1到m(l−1)行.从式(20)中可以直接得到Bα和Dα.为了精确地确定系数矩阵B,D,α,将辨识问题转化为一个优化问题,形式如下:通过奇异值分解(SVD)可以解决该优化问题[16]式中:U和V都为正交矩阵,S为对角矩阵.在基函数已知的条件下,α的辨识结果是唯一的.因此得到3.5 分数阶阶次γ优化分数阶Hammerstein模型的分数阶阶次对模型的准确性至关重要,可采用模糊遗传算法来确定.模糊遗传算法[17–18]是一种利用模糊逻辑自动调节交叉和变异概率的改进型遗传算法,具有收敛速度快,避免不成熟收敛等优点.为了使辨识模型在各时刻输出电压和功率尽可能接近电堆的实测数据,模糊遗传算法的目标函数可取为式中:N为实验数据个数,为PEMFC辨识模型输出电压和功率,Vi,Pi为实测输出电压和功率.分数阶Hammerstein模型的子空间辨识算法具体流程如图3所示.图3 分数阶Hammerstein模型子空间辨识流程示意图Fig.3 Subspace identification process for fractional Hammerstein model4 PEMFC分数阶Hammerstein模型建立与验证4.1 模型建立模型建立过程主要包括数据采集和预处理、多项式阶次和分数阶微分阶次的选择及系统系数矩阵的求解,具体过程如下:1)采集输入输出变量的实测数据.子空间辨识算法必须保证输入数据是持续激励且采样连续的信号,考虑到电堆的负载、氢气流量等影响因素时常以阶跃形式出现,选择随机阶跃信号作为输入.氢气流量和负载电流的幅值变化范围限定在电堆额定工作范围内,每秒采集一组数据,共计750组50 W空冷型PEMFC电堆正常工作数据.2)数据预处理.对采集的数据进行数据完整性和正确性分析,剔除一部分变化率偏离PEMFC系统工作实际的测试数据.用前500组数据辨识PEMFC分数阶Hammerstein模型,后250组数据验证辨识模型有效性.3)构造增广输入输出矩阵.首先构造式(19)中M{YL,N}M{L,N}滤波后矩阵,Possion 矩函数参数选取λ=1,β=1,q=5.由于高斯径向基函数存在不确定参数且形式复杂,因此选择多项式基函数,短时记忆矩阵中的记忆步长选为L=99.4)选取系统阶次.通过赤池信息准则证明三阶系统可以对PEMFC电特性进行较好的描述,因此可考虑PEMFC状态空间模型为三阶系统.5)选择多项式阶次和分数阶微分阶次.由于多项式阶次过高将会增大计算量且对模型精度影响不大,阶次过低不能很好的描述非线性特性,且对输出误差影响较大.假设系统分数阶阶次为1,确定多项式阶次后再确定系统分数阶微分阶次.仿真结果表明,当多项式阶次为四、五、六阶时,辨识效果较好,模型输出与实际输出对比曲线如图4–5所示.图4 不同多项式阶次辨识输出电压结果Fig.4 Output voltage identification results of different polynomial order图5 不同多项式阶次辨识输出功率结果Fig.5 Output power identification results of different polynomial order从图4–5可以看出,采用六阶多项式的模型辨识结果与实际模型输出平均误差最小.因此,本文采用六阶多项式基函数做PEMFC分数阶Hammerstein模型的非线性静态环节.分数阶系统阶次通常在0～2范围内选取,即0<γ<2.本文采用模糊遗传算法对进行寻优,当时,目标函数取得最小值,即系统辨识误差最小.PEMFC分数阶Hammerstein模型的辨识结果如下:其中:4.2 模型验证PEMFC分数阶Hammerstein模型辨识结果如图6–7所示,可以看出基于短时记忆法的辨识模型与未加入短时记忆法的辨识模型得到的PEMFC输出电压、功率的大小和变化趋势一致,建模精度都能够满足要求.图8–9为输出变量绝对误差曲线图,从图中可以看出,加入短时记忆法后建模误差小于8.74%,辨识模型输出与实测输出值已基本吻合,能够准确描述PEMFC的输出特性.图6 辨识输出电压Fig.6 identification of output voltage图7 辨识输出功率Fig.7 identification of output power图8 输出电压误差绝对值Fig.8 Absolute value of output voltage error图9 输出功率误差绝对值Fig.9 Absolute value of output power error当辨识数据组数分别取500,750,1000,1250,1500,1750时,采用短时记忆法前后模型辨识时间如表2所示.从表中可以看出,数据为500组时,采用短时记忆法的计算时间是采用前的三分之一.当数据量达到1750组时,算法时间减小到四分之一.本文提出的改进方法可以将算法的计算时间缩短3倍以上,大大提高了辨识算法的计算效率.表2 采用短时记忆法前后的辨识时间对比Table 2 Comparison of recognition time before and after using short-term memory method数据组数短时记忆法 500 750 1000 1250 1500 1750采用前/s 5.03 5.98 7.42 8.43 9.85 10.44采用后/s 15.35 19.91 25.78 30.24 35.44 40.245 总结为了更好描述PEMFC系统的分数阶、多变量和非线性特性,本文建立了PEMFC的分数阶Hammerstein模型.为了降低建模复杂度,采用典型相关性分析和相关性分析选取建模输入变量.引入Possion矩函数对输入输出数据滤波以满足数据各阶分数阶可导的要求,并采用短时记忆法减少辨识计算量.仿真结果表明,本文提出的分数阶Hammerstein模型辨识算不仅避免了PEMFC复杂的内部机理分析,而且可以准确描述电堆的输出特性,同时大大缩短了辨识时间,为后续控制器的设计提供了准确实用的控制模型.参考文献:【相关文献】[1]CAO H lL,DENG Z H,LI X,et al.Dynamic modeling of electrical characteristics of solid oxide fuel cells using fractional derivatives.International Journal of HydrogenEnergy,2010,35(4):1749–1758.[2]MIASSA A,OLIVIER B,ElMMANUEL G.identification of a PEMFC fractional order model.International Journal of 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分数阶相场模型
分数阶相场模型
分数阶相场模型是用于描述物理系统中复杂结构演化的动力学模型。
相场模型在物理学中是一种表达物质状态的工具，相当于连续介质中描述物质状态的一组场变量。
在分数阶相场模型中，时间演化是用分数阶微分方程来描述的，这种方程具有非局域性和非马尔科夫性，能够描述物质结构中的长时间记忆和长程相互作用。
分数阶相场模型最早应用于材料科学中的金属晶体学，后来在化学、生物、地球物理、天文等领域得到广泛应用。
例如，在化学领域，分数阶相场模型可以用于描述不同化学物质的相互作用，在生物领域，可以用于描述蛋白质结构和细胞生长，而在天文学中，可以用于描述星云形成和星系演化。
由于分数阶相场模型具有较强的描述能力，目前已成为物理学、数学和计算机科学等领域的研究热点。
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3. PEMFC 分数阶子空间建模
分数阶微积分操作算子 a tα 定义如下：
= a tα
= 1dd,αtR,(Rα()α
)>
0
0
(10)
t
∫a
(
dτ
)−α
,
R
(α
)
<
0
式中， α 为微积分阶次，可以为任意的实数甚至复数， R (α ) 为 α 的实部， t, a 为操作算子的上下线。
Modeling and Simulation 建模与仿真, 2019, 8(3), 125-135 Published Online August 2019 in Hans. /journal/mos https:///10.12677/mos.2019.83015
Open Access
1. 引言
PEMFC 是一个包括流动、传质、传热和电化学反应等多种物理化学现象的复杂机体，若要对其进行 深入研究，建模是一种直观且快速的手段。根据建模方法划分，PEMFC 模型可分为机理模型和经验模型。 机理模型主要是针对电堆内部的气体、质子、水以及热量分布等进行建模，采用能量守恒方程、传质传 热方程和电化学反应等方程来描述相应参数对 PEMFC 的输出特性的影响。Amphlett [1]提出了 PEMFC 的电化学模型，描述了阴极/阳极气体分压、温度和电流密度对输出电压的影响。朱柳[2]根据能量守衡定 律，考虑了电堆自身的热辐射及欧姆极化的影响，构建了 PEMFC 的热管理模型。Zhang [3]研究了 PEMFC 电堆内部水的气、液两相分布问题，根据质量守恒定律，建立了 PEMFC 的水管理模型。此外，还有不 少学者还考虑了反应物浓度、电堆温度、水、电流密度等因素在二维或者三维空间分布不均对 PEMFC 的影响，建立了更加精确和全面的 PEMFC 模型，但相应的模型也更加复杂[4] [5] [6] [7] [8]。机理建模需 对 PEMFC 系统有大量的先验知识，理解相对复杂，但可以反映电池内部参数变化对输出特性的影响。 机理模型建模过程复杂、模型参数众多且获取难度大，适合对电池性能进行分析，一般不适用于控制。
CO2
=
PO2
5.08×106 × exp (−498
T)
(7)
Vohm 主要是由单电池等效内阻 Rc 引起，满足欧姆定律，可表示为：
Vohm = i ⋅ Rc
(8)
Rc 是与质子交换膜电阻率、电池材料、结构、工作温度以及湿度等因素相关。 Vcon 是在电化学反应中，由于质量传输导致反应物浓度(氢气、氧气、水以及离子等)发生变化而产生 的，其表达式如下：
Y= s Us
bm sβm + bm−1sβபைடு நூலகம்−1 + + b0
sαn
+
a sαn−1 n −1
+ + a0
(13)
DOI: 10.12677/mos.2019.83015
Keywords
PEMFC, Fractional Order Theory, Spatial Identification Method
PEMFC分数阶子空间建模
苏 申，戈未平
南京理工大学自动化学院，江苏 南京
收稿日期：2019年8月7日；录用日期：2019年8月23日；发布日期：2019年8月30日
整数阶系统类似，线性定常分数阶系统可分为以下三种：分数阶传递函数、状态空间方程以及微分
方程[10]。分数阶微分方程可描述如下：
αn
y
(t
)
+
a αn−1 n −1
y
(t
)
+
+
a0
= α0 y (t )
bmβm u (t ) + bm−1βm−1u (t ) +b0β0 u (t )
(11)
EMFC 单电池结构如图 1 所示，主要由双极板、密封圈和膜电极组件(Membrane Electrodes Assembly， MEA)构成，其中 MEA 为 PEMFC 的核心部分，包括质子交换膜、阴/阳极催化层和气体扩散层。
PEMFC 的工作原理实际上是水电解的逆过程，如图 2 所示。氢气经过气体流场注入阳极室，然后通 过气体扩散层到达阳极催化层，在阳极催化剂的作用下，氢气分解为质子和电子，质子穿过交换膜到达
摘要
质子交换膜燃料电池(Proton Exchange Membrane Fuel Cell, PEMFC)是一个复杂的多变量、强耦合、非 线性系统，精确的建模方法是对其进行研究的基础，而先进的控制策略则是提高发电性能的关键。近年 来，不少研究表明PEMFC发电过程中的气体扩散、热量传导以及电化学反应等动态过程存在分数阶特性。 为此，本文将分数阶理论与子空间辨识方法(Subspace Identification Method, SIM)相结合，建立PEMFC
α f (t ) = sα F (s)
(12)
观察上式可知，其形式与整数阶 Laplace 变换一致，当 α 为整数时，分数阶 Laplace 变换则退化为整
数阶的 Laplace 变换。参考式(12)，对式(11)的进行 Laplace 变换形式，可以得到分数阶传递函数形式如下：
( ) (( )) G= s
文章引用: 苏申, 戈未平. PEMFC 分数阶子空间建模[J]. 建模与仿真, 2019, 8(3): 125-135. DOI: 10.12677/mos.2019.83015
苏申，戈未平
的分数阶状态空间模型。
关键词
PEMFC，分数阶理论，空间辨识方法
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
DOI: 10.12677/mos.2019.83015
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建模与仿真
苏申，戈未平
Figure 1. Structural schematic diagram of PEMFC single cell 图 1. PEMFC 单电池结构示意图
阴极，而电子则通过外电路到达阴极，在阴极催化剂作用下和氧气反应生成水，尾气通过排气装置排出。
式中，分数阶阶次满足 αn
>
α n −1
>
>
α0
且
βm
>
βm−1
>
>
β0
。当上式中所有分数阶阶次均为某一常数
的倍数时，则称该系统为同元阶次分数阶系统。若不满足该条件，则称系统为分布阶次系统。
假设函数 f (t ) 在 t = 0 时刻初始值为 0，可以得到 Dα f (t ) 的 Laplace 变换：
= ∆G 2F
+
∆S 2F
T − Tref
+
RT 2F
ln
PH2
+
1 ln 2
PO2
(5)
式中， ∆G 为吉布斯自由能， ∆S 为气体摩尔熵，R 和 F 分别表示气体常数和法拉第常数，T 为电堆工作 温度， Tref 为参考温度， PH2 和 PO2 分别表示氢气和氧气分压。
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建模与仿真
苏申，戈未平
Vact 表示电池电化学反应克服活化对外做功时带来的损耗，可以下式表示：
Vact =η1 +η2T +η3T ln CO2 +η4T ln i
(6)
式中，i 为电堆电流，η1,η2 ,η3 ,η4 表示和电堆相关的经验系数， CO2 表示阴极催化层与反应气体交界面的 氧气浓度，可由亨利定律求得：
Vcon
=−B × ln 1−
J J max
(9)
式中，B 为与电池工况相关的参数，J 为电池平均电流密度， Jmax 为最大电流密度。 由式(4)可知，电堆输出电压除了与本身的材料及结构等参数相关，同时还与其工作状态，如电流、
温度、湿度、反应物浓度及压力等因素相关。可见，PEMFC 机理建模过程十分复杂，且相关参数获取难 度大。因此，亟需寻找新的适用于 PEMFC 的建模方法。
Abstract
Proton Exchange Membrane Fuel Cell (PEMFC) is a complex multi-variable, strongly coupled and non-linear system. Accurate modeling method is the basis of its research, and advanced control strategy is the key to improving the power generation performance. In recent years, many studies have shown that the dynamic processes of PEMFC power generation, such as gas diffusion, heat conduction and electrochemical reaction, have fractional order characteristics. In this paper, a fractional order state space model of PEMFC is established by combining fractional order theory with subspace identification method (SIM).