离散数学第六章资料

如例2中的 Z, ，Q, ，R, ， P(A), ，
Zn, 都是阿贝尔群。
例3、Klein四元群。
G e, a,b,c，运算o由下表给出：
3、群的阶。 群 有 无限 限群 群
有限群 G 的阶， 记 G 。 例如： Zn, 的阶为 n ，
Klein 四元群的阶为4。
4、群中元素的幂 xn 。 对于群 G ，定义：xn (x1)n 则可以把独异点中的关于 xn 的定义扩充为： x0 e xn1 xn ox ( n 为非负整数) xn (x1)n ( n 为正整数) 有关幂的两个公式：xm oxn xmn
(xm )n xmn (m, n Z )
5、群中元素 x 的阶 (或周期)。
群 G中元素 x 的阶x
的阶
有限，记 x k 无限(不存在以上的k
)
例如：Klein 四元群中，
a,b, c的阶都是2，记 a b c 2。
e 的阶为1，记 e 1 。
例如： Z , ， N, 都是 Z, 的子半群，
且 N, 是 Z, 的子独异点。
二、群。 1、定义。
代数系统 G,o 满足：
①结合律， ②有幺元， ③任意元有逆元，
则称 G,o 为群。
例2、(1) Z, ，Q, ， R, 都是群， 因任意元素 x 的逆元(x)存在， 而 Z , ，N, 不是群， Z , 没有幺元，
第六章 几个典型的代数系统 第一节 半群与群
内容：半群，群，子群。 重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，
2、群，交换群 (阿贝尔群)的定义及性质， 3、群的阶的定义， 4、循环群，生成元的定义及例子， 5、子群的定义及判定。
一、半群。
1、定义：满足结合律的代数系统 S,o 称为半群。 例1、(1) Z , ，N, ，Z, ，Q, ，
R, 都是半群。 (2) Mn (R),g 是半群。 (3) P(A), 是半群，其中 表示集合的对称
差运算。
一、半群。
1、定义：满足结合律的代数系统 S,o 称为半群。
(4) Zn, 是半群，其中 Zn 0,1, 2,L , n 1，
表示模 n 的加法。
可交换半群
2、独异点 (含幺半群)： 记作 S,o, e 如例1中除了 Z , 不是独异点外，其余的均是 独异点，分别记作 N, ,0 ， Z, ,0 ， Q, ,0
N, 除0外，其余元素都没有逆元。 (2) Mn (R),g 不是群，
因不是所有的 n 阶矩阵都可逆。
(3) P(A), 是群， 为幺元， x P(A) ，x1 x (x x )
(4) Zn, 是群，0为幺元，
x Zn
，x1
n
0
x
x0 x0
2、交换群 (也称阿贝尔 ( Abel)群)。
例6、如果 G中的每一个元素 a都满足 a2 e， 则 G 是阿贝尔群。 证明：a,b G ， 由题设知，a1 a ，b1 b，(ab)1 ab 从而 ab (ab)1 b1a1 ba ， 所以 G是阿贝尔群。
例7、设群G不是阿贝尔群，则 G中存在两个 非幺元的元素a, b ，a b ，使得 ab ba 。 证明：(1) 先证存在 a G ，使 a1 a 。 事实上，若a G ，都有 a1 a，即 a2 e 由例6知，G 是阿贝尔群，与题设矛盾。
证明：设 G 为阿贝尔群， 则 a,b G ，有 ab ba ， 故 (ab)2 (ab)(ab) a(ba)b
a(ab)b (aa)(bb) a2b2
例5、证明 G是阿贝尔群当且仅当对a,b G， (ab)2 a2b2 。
证明：反之，设 a,b G ，(ab)2 a2b2 ， 即 (ab)(ab) (aa)(bb) ， 即 a(ba)b a(ab)b ， 由消去律，得 ba ab ， 故 G 为阿贝尔群。
R, ,0 ，Mn (R),g, E ，P(A), , ， Zn,,0 。
3、半群中元素幂 xn 。 定义运算的幂，x S ，xn 指的是： x1 x xn1 xn ox ( n 为正整数) x0 e xn oxm xnm (xn )m xnm (m、n为非负整数)
4、子半群。 半群的子代数叫子半群， 独异点的子代数叫子独异点。
(2) 再证结论成立。
设 a G，a1 a ，令 b a1 ， 则 a, b非幺元，且 a b ，但 ab ba 。
三、子群。
1、定义： 设群 G, ，H 是 G 的非空子集， 若 H, 为群，则称H 为G的子群，记作 H G。 例8、(1) 群 Z, ，
令2Z 2z z Z，则 2Z, 是 Z, 的子群，
同样，0, 也是 Z, 的子群。
三、子群。
1、定义： 设群 G, ，H 是 G 的非空子集， 若 H, 为群，则称H 为G的子群，记作 H G。 例8、(2) Klein四元群，
G a,b,c,e有5个子群： e，e, a，e,b ，e,c，G
其中e和 G是平凡子群，其余均为真子群。
2、判定。
定理： 设 G 为群，H 是 G 的非空子集，若对任意 x, y H ，都有xy1 H ，则H 是 G 的子群。
若 ab ac ，则 b c ， 若 ba ca，则 b c 。
6、群的性质。 (4) 幺元是群中唯一的幂等元。
(5) a,b G ，方程 ax b和 ya b 在 G
中有唯一解。 (6) 有限群的运算表中，每一行 (每一列)都是
G中元素的一个排列。
不同行 (列)的排列不同。
例5、证明 G是阿贝尔群当且仅当对a,b G， (ab)2 a2b2 。
例4、Z6 0,1, 2,3, 4,5，求模6的加群 Z6,
中各元素的阶。
解：因 2 2 2 0 ，即 23 0 ， 所以 2 3 。
同理可得：1 6 ，3 2， 4 3
5 6 ，0 1。
6、群的性质。
(1) x, y G，(x1)1 x，(x o y)1 y1 o x1 。 (2) 若 G 1，则 G 中无零元。 (3) G中消去律成立，即