数学百大经典例题

例若＜＜，则不等式－－

＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a

[ ]

A a x

B x a

．＜＜．

＜＜11a

a

C x a

D x x a ．＞或＜．＜

或＞x a a

11

分析比较与

的大小后写出答案． a 1a

解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜

．

选．

0a 1a a x A 11a

a

例有意义，则的取值范围是

．2 x x 2

--x 6

分析 求算术根，被开方数必须是非负数．

解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．

例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知

-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b a

a ()()121

1122

×得

a b =

=-12

12

，．

例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2

(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)

(4)3x 2

-+--+-3132

5113

12

2x x

x x x x ＞＞

()()

分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．

答 (1){x|x ＜2或x ＞4}

(2){x|1x }≤≤

32

(3)∅

(4)R (5)R

说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．

例不等式＋＞

的解集为5 1x 11-x

[ ]

A ．{x|x ＞0}

B ．{x|x ≥1}

C ．{x|x ＞1}

D ．{x|x ＞1或x ＝

0}

分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．

解不等式化为＋－＞，

通分得

＞，即

＞，

1x 0001111

2

2

----x x

x

x

x

∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．

说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

例与不等式

≥同解的不等式是6 0x x

--32

[ ]

A ．(x －3)(2－x)≥0

B ．0＜x －2≤1

C ．

≥23

0--x x

D ．(x －3)(2－x)≤0

解法一原不等式的同解不等式组为≥，

≠．

()()x x x ---⎧⎨⎩32020

故排除A 、C 、D ，选B ．

解法二≥化为＝或－－＞即＜≤

x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x

两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．

例不等式

＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1

[ ]

A a

B a

C a

D a ．＜．＞

．＝

．＝－

121212

12

分析可以先将不等式整理为

＜，转化为 0()a x x -+-11

1

[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}

可知－＜，即＜，且－

＝，∴＝

．a 10a 12a 11

12a -

答 选C ．

说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．

例解不等式

≥．8 23723

2

x x x -+-

解 先将原不等式转化为

3723

202

x x x -+--≥

即

≥，所以

≤．

由于＋＋＝＋＋＞，

---+-+++-2123

21

231478

2

2

2

2

x x x x x x x x 002x x 12(x )02

2

∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，

即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2

≤，若，求的范围．0}B A a ⊆

分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆

解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)

(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆