例说方向导数与连续
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高等数学研究 2 3 4 5 6 7 2 6 89 % : : 7 ; 7< = 3 > 7 < = 3 6 9 2
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例说方向导数与连续
潘智民
摘要 关键词 （西安建筑科技大学
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构造了一个例子说明多元函数沿任何方向的方向导数存在时仍不连续。 多元函数； 方向导数； 连续 中图分类号 % " ! &
本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
3.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(15)
本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
$# & & & ； ( #$ # # $， （#， # ’% " $） ’ ， #’ # # 其图形 （部分） 如图所示 ) 它是将 # % $ 坐标面 沿$ 轴 “ 卷” 成顶点在原点 “剪” 开， “掀” 起使边沿与 ! 轴重合，
的锥面。为保证是单值函数， 我们将$ 轴仍 “留” 在# % $ 面上， 所 “卷” 部分为不含边界的开区域。 沿任何方向" 由图形直观， 我们可知， 在 原 点 %， （#， 的方向导数都存在， 该方向 （射线） （下） 方 & 的上 $） 对应的曲面的直母线& ’对# % $ 面的斜率即方向导数 ) 同时由于有可无限接近于铅直的直母线， 则在原点的任 （#， 都 是 无 界 的， 不能使邻域中所有" 一邻域中 " $） （ 与" （ 能接近到任意预先指定的程度， 故" #， %， %） $） （#， 在原点不连续。严谨的证明如下： $） ， 则$ 记其与# 轴正向的夹角为 ／ 对任一方向&， !。若#$ # # 为常数* !。记 + , " )证明弱可微：
通常我们在求函数条件极值问题时,原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解,本文介绍了利用拉格朗日乘数法和方向导 数法来解决条件极值问题,并将这两种方法进行了比较.
9.期刊论文 刘树利.LIU Shu-li Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性 -潍坊学院学报2006,6(4)
本文利用方向导数对Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性进行了研究,得到了一元函数类似的结论.
# ／ ’ ’ # 且 满足# ， ， 则当 #"! 时， 故必存在点 （# ， !） 满足 # ( #% ! $ "’ ， $%! $" ’， $ #" (+， !$ ’ ’ #， ／ !&’， 且# 故 # $ $ !# !( !" # ’ $ # ! ’ ’ ’ （# ，!） （ ， ） ・ $ & ! ! $ " # # " * ’ "。 ! ! $ !$ !( !& # # ’ ! （#， 在原点不连续。 所以! $）
7.期刊论文 沈永红.高忠社 多元函数微分学中几个基本概念之间的关系 -高等数学研究2009,12(2)
针对多元函数微分学中用以刻画函数局部性态的基本概念,给出连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系图,采用证明和举反例的方式 ,深入分析这些概念之间的关系.
8.期刊论文 张秀芳.Zhang Xiu-ying 多元函数条件极值的解法探讨 -安徽电子信息职业技术学院学报 2009,8(3)
10.期刊论文 宋虎森 关于非光滑函数凸性的研究 -华北工学院学报2002,23(6)
目的解决多元函数的方向导数问题. 方法借助于一元函数将多元函数的问题简化. 结果由一元函数左、右导数的定义及其性质, 将多元 函数的方向导数转为一元函数左、右导数, 从而解决了微积分学习和研究中的一个难点. 结论学习和研究微积分的过程中, 可以利用已学过 的较简单的知识, 处理和简化较难的问题.
第.卷第’期
潘智民： 例说方向导数与连续
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多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
Leabharlann Baidu
6.期刊论文 石艳霞.陶玉敏.SHI Yan-xia.TAO Yu-min 多元函数微分法的一点注记 -鞍山钢铁学院学报 1999,22(6)
在有限维欧氏空间中的任何子集上定义了实值可微分两次的函数,其梯度的模和Laplace算法的取值都与空间的坐标变换无关.
在多元函数的微分学中， 关于函数 !’ （#， 在一点各方向导数存在 （即弱可微） 时， 是否可 " $） 以断定函数在该点连续这一问题， 回答是否定的。而使学生能接受并理解此判定却是一个难点。 事实上， 当两个偏导数存在时， 由于只能保证函数在沿着与坐标轴平行的四个方向上具连续性 （ " （#， （# ，#） ） ， 故不能由此肯定函数在一点的连续性。然而当各方向导数都存在， 则沿所有 " $） " #$ （#， （# ，#） 时， 学生便无法认识或理解函数 " （#， 在该点仍可能不连续的事 方向都有" " $） " $） #$ 实。 在高等数学教材中虽然有一些由弱可微推断连续性的反例， 但因其结构繁杂而不便反映连续 与弱可微两个概念的本质特点。本文构作了如下一结构简洁的二元函数：
’ ’ 也可以这样证明： 当点 （#， 沿此曲线趋于原点 # # & ( $ &#"! 过原点， $） $ 面上的曲线$ #
$ # ’ ’ （#， ， 不趋于! （ ， ） ， 故知! （#， 在原点不连续。 时， " # ( * ! ! " ! ! $） $( $） # 让我们再来审视一下多元函数的连续性。由于多元函数的连续性对函数本身有较强的要求：
相似文献(10条) 1.期刊论文 汪全珍 多元函数极值判别法的一个简单证明 -高等数学研究2009,12(2)
直接利用一阶偏导数讨论多元函数的极值问题.通过将多元函数方向导数的定义与连续函数的性质相结合,得到多元函数极值存在的一个 充分条件.实例说明此判别法的运用及值得注意的相关必要条件.
2.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(19)
例说方向导数与连续
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 潘智民 西安建筑科技大学,西安,710055 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2004，7(2) 0次
参考文献(3条) 1.同济大学 高等数学 1996 2.吉林大学 数学分析(下册) 1979 3.陈纪修 数学分析 2000
4.期刊论文 朱章 关于多元函数极值存在的必要条件的研究 -黄石高等专科学校学报2002,18(2)
运用一元函数极值的概念和有关知识,并联系方向导数的概念,得出了多元函数极值存在的几种必要条件.
5.期刊论文 陈定元.王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版） 2005,11(2)
［ ］同济大学)高等数学)下册)高等教育出版社， * * , , ) * ’ ) ［ ］吉林大学)数学分析)下册)人民教育出版社， ’ * , . , ) * ’ ) ［ ］陈纪修等)数学分析)下册)高等教育出版社， / ’ ! ! ! ) 0 )
简讯
“深化数学基础课程教学改革研讨会” 召开
由全国高校教学研究中心、 教育部非数学类专业数学基础课程教指委、 高教出版社和上海交大国家工科数学教学基地联合举 办的 “深化大学非数学专业类数学基础课程教学改革” 研讨会， 于’ ! ! /年 * !月 * 1 日 !’ ! 日在上海交大举行 ) 来自全国 2 ! 余所 学校近* “应对小康社会， 建设高等教育强国” 的报告， 他从规 ! !名代表参加了会议)中国高教学会周远请会长在会上做了题为 模、 质量、 结构、 效益和思想等方面详细阐述了对建设高等教育强国的思考)上海交大叶取源副校长就 “一流的理科， 强大的工科” 办学理念和该校数学系的发展， 在开幕式上讲了话。 武汉大学齐民友、 清华大学萧树铁、 冯克勤、 西安交大马知恩、 中国科大李尚志、 北京师大严士健、 上海交大乐经良等教授分别 作了报告， 围绕会议主题从不同角度对深化教改进行了探讨)高教社理工分社徐刚副社长介绍了该社在数学教材和教学资源建 设的情况和发展计划)会议还以三个半天分两个会场进行了分组报告和讨论交流 ) 代表们一致认为， 努力提高教学质量是当前 教学改革的主要任务)数学教改应在不断总结、 调整和完善中持续推向新的阶段； 改革会有不同看法， 会有阻力、 有差异， 不能追 （赵弛） 求一律； 改革需要思想的交流和碰撞， 需要实践和修正， 也需要探索和反思； 提高质量应注重提高学生的数学素质)
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本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200402019.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c20b36aa-e4e0-4af6-bfb8-9dcc00f9cfcf 下载时间：2010年8月8日
函数! （#， 在一点 ’ （ !， ） 连续， 要求点 ’ （#， 以任何方式趋于 ’ 时， 都有 ! （#， "! $） $ $） $） !# ! ! （# ，!） 。在上叙反例中， 点 （#， 沿各条射线趋于原点， 都有! （#， （ ， ） “快慢” " ! ! )但收敛的 $） $） ! !$ 很不相同， 在越接近铅直的母线上， （#， 趋于 ! （ ， ） 越 “艰难” 。由此我们想到， 若对收敛 ("! ! ! $） “快慢” 有所限定， 则只需点 （#， 沿各射线这一种方式趋于 （# ，!） 时， 有! （#， 收敛于 ! （# ， $） $） !$ ! ） ， 即可保证! （#， 在 （# ，!） 处的连续性。 $ $） ! !$ 由连续及二重极限定义， 即可得出结论： 函数! （#， 在’ 其充分必要条件是对 ) "% $） ! 连续， ， ， 不论 ’ 沿任何方向 只要 就有 （#， （# ! * #% ! " 趋于’ $ ’ ’ $ + #， $ & $ + " 成立。 ! $） ! $ !， ! !， !） 这一结论表明， （#， 在一点 ’ 连续， 不仅要求沿各方向都有! （#， 收敛于 ! （# ，!） ， 同 ! $） $） ! !$ 时还需存在一个只与" 相关， 对所有方向都适用的# 使不等式成立。多元函数与一元函数在连续 这一概念上的本质性区别与联系恰好在此！ 参考文献
高等数学研究 2 3 4 5 6 7 2 6 89 % : : 7 ; 7< = 3 > 7 < = 3 6 9 2
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例说方向导数与连续
潘智民
摘要 关键词 （西安建筑科技大学
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本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
3.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(15)
本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
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的锥面。为保证是单值函数， 我们将$ 轴仍 “留” 在# % $ 面上， 所 “卷” 部分为不含边界的开区域。 沿任何方向" 由图形直观， 我们可知， 在 原 点 %， （#， 的方向导数都存在， 该方向 （射线） （下） 方 & 的上 $） 对应的曲面的直母线& ’对# % $ 面的斜率即方向导数 ) 同时由于有可无限接近于铅直的直母线， 则在原点的任 （#， 都 是 无 界 的， 不能使邻域中所有" 一邻域中 " $） （ 与" （ 能接近到任意预先指定的程度， 故" #， %， %） $） （#， 在原点不连续。严谨的证明如下： $） ， 则$ 记其与# 轴正向的夹角为 ／ 对任一方向&， !。若#$ # # 为常数* !。记 + , " )证明弱可微：
通常我们在求函数条件极值问题时,原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解,本文介绍了利用拉格朗日乘数法和方向导 数法来解决条件极值问题,并将这两种方法进行了比较.
9.期刊论文 刘树利.LIU Shu-li Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性 -潍坊学院学报2006,6(4)
本文利用方向导数对Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性进行了研究,得到了一元函数类似的结论.
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7.期刊论文 沈永红.高忠社 多元函数微分学中几个基本概念之间的关系 -高等数学研究2009,12(2)
针对多元函数微分学中用以刻画函数局部性态的基本概念,给出连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系图,采用证明和举反例的方式 ,深入分析这些概念之间的关系.
8.期刊论文 张秀芳.Zhang Xiu-ying 多元函数条件极值的解法探讨 -安徽电子信息职业技术学院学报 2009,8(3)
10.期刊论文 宋虎森 关于非光滑函数凸性的研究 -华北工学院学报2002,23(6)
目的解决多元函数的方向导数问题. 方法借助于一元函数将多元函数的问题简化. 结果由一元函数左、右导数的定义及其性质, 将多元 函数的方向导数转为一元函数左、右导数, 从而解决了微积分学习和研究中的一个难点. 结论学习和研究微积分的过程中, 可以利用已学过 的较简单的知识, 处理和简化较难的问题.
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潘智民： 例说方向导数与连续
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多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
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6.期刊论文 石艳霞.陶玉敏.SHI Yan-xia.TAO Yu-min 多元函数微分法的一点注记 -鞍山钢铁学院学报 1999,22(6)
在有限维欧氏空间中的任何子集上定义了实值可微分两次的函数,其梯度的模和Laplace算法的取值都与空间的坐标变换无关.
在多元函数的微分学中， 关于函数 !’ （#， 在一点各方向导数存在 （即弱可微） 时， 是否可 " $） 以断定函数在该点连续这一问题， 回答是否定的。而使学生能接受并理解此判定却是一个难点。 事实上， 当两个偏导数存在时， 由于只能保证函数在沿着与坐标轴平行的四个方向上具连续性 （ " （#， （# ，#） ） ， 故不能由此肯定函数在一点的连续性。然而当各方向导数都存在， 则沿所有 " $） " #$ （#， （# ，#） 时， 学生便无法认识或理解函数 " （#， 在该点仍可能不连续的事 方向都有" " $） " $） #$ 实。 在高等数学教材中虽然有一些由弱可微推断连续性的反例， 但因其结构繁杂而不便反映连续 与弱可微两个概念的本质特点。本文构作了如下一结构简洁的二元函数：
’ ’ 也可以这样证明： 当点 （#， 沿此曲线趋于原点 # # & ( $ &#"! 过原点， $） $ 面上的曲线$ #
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相似文献(10条) 1.期刊论文 汪全珍 多元函数极值判别法的一个简单证明 -高等数学研究2009,12(2)
直接利用一阶偏导数讨论多元函数的极值问题.通过将多元函数方向导数的定义与连续函数的性质相结合,得到多元函数极值存在的一个 充分条件.实例说明此判别法的运用及值得注意的相关必要条件.
2.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(19)
例说方向导数与连续
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 潘智民 西安建筑科技大学,西安,710055 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2004，7(2) 0次
参考文献(3条) 1.同济大学 高等数学 1996 2.吉林大学 数学分析(下册) 1979 3.陈纪修 数学分析 2000
4.期刊论文 朱章 关于多元函数极值存在的必要条件的研究 -黄石高等专科学校学报2002,18(2)
运用一元函数极值的概念和有关知识,并联系方向导数的概念,得出了多元函数极值存在的几种必要条件.
5.期刊论文 陈定元.王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版） 2005,11(2)
［ ］同济大学)高等数学)下册)高等教育出版社， * * , , ) * ’ ) ［ ］吉林大学)数学分析)下册)人民教育出版社， ’ * , . , ) * ’ ) ［ ］陈纪修等)数学分析)下册)高等教育出版社， / ’ ! ! ! ) 0 )
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“深化数学基础课程教学改革研讨会” 召开
由全国高校教学研究中心、 教育部非数学类专业数学基础课程教指委、 高教出版社和上海交大国家工科数学教学基地联合举 办的 “深化大学非数学专业类数学基础课程教学改革” 研讨会， 于’ ! ! /年 * !月 * 1 日 !’ ! 日在上海交大举行 ) 来自全国 2 ! 余所 学校近* “应对小康社会， 建设高等教育强国” 的报告， 他从规 ! !名代表参加了会议)中国高教学会周远请会长在会上做了题为 模、 质量、 结构、 效益和思想等方面详细阐述了对建设高等教育强国的思考)上海交大叶取源副校长就 “一流的理科， 强大的工科” 办学理念和该校数学系的发展， 在开幕式上讲了话。 武汉大学齐民友、 清华大学萧树铁、 冯克勤、 西安交大马知恩、 中国科大李尚志、 北京师大严士健、 上海交大乐经良等教授分别 作了报告， 围绕会议主题从不同角度对深化教改进行了探讨)高教社理工分社徐刚副社长介绍了该社在数学教材和教学资源建 设的情况和发展计划)会议还以三个半天分两个会场进行了分组报告和讨论交流 ) 代表们一致认为， 努力提高教学质量是当前 教学改革的主要任务)数学教改应在不断总结、 调整和完善中持续推向新的阶段； 改革会有不同看法， 会有阻力、 有差异， 不能追 （赵弛） 求一律； 改革需要思想的交流和碰撞， 需要实践和修正， 也需要探索和反思； 提高质量应注重提高学生的数学素质)
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本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200402019.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c20b36aa-e4e0-4af6-bfb8-9dcc00f9cfcf 下载时间：2010年8月8日
函数! （#， 在一点 ’ （ !， ） 连续， 要求点 ’ （#， 以任何方式趋于 ’ 时， 都有 ! （#， "! $） $ $） $） !# ! ! （# ，!） 。在上叙反例中， 点 （#， 沿各条射线趋于原点， 都有! （#， （ ， ） “快慢” " ! ! )但收敛的 $） $） ! !$ 很不相同， 在越接近铅直的母线上， （#， 趋于 ! （ ， ） 越 “艰难” 。由此我们想到， 若对收敛 ("! ! ! $） “快慢” 有所限定， 则只需点 （#， 沿各射线这一种方式趋于 （# ，!） 时， 有! （#， 收敛于 ! （# ， $） $） !$ ! ） ， 即可保证! （#， 在 （# ，!） 处的连续性。 $ $） ! !$ 由连续及二重极限定义， 即可得出结论： 函数! （#， 在’ 其充分必要条件是对 ) "% $） ! 连续， ， ， 不论 ’ 沿任何方向 只要 就有 （#， （# ! * #% ! " 趋于’ $ ’ ’ $ + #， $ & $ + " 成立。 ! $） ! $ !， ! !， !） 这一结论表明， （#， 在一点 ’ 连续， 不仅要求沿各方向都有! （#， 收敛于 ! （# ，!） ， 同 ! $） $） ! !$ 时还需存在一个只与" 相关， 对所有方向都适用的# 使不等式成立。多元函数与一元函数在连续 这一概念上的本质性区别与联系恰好在此！ 参考文献