例说方向导数与连续
2.5方向导数与梯度重要例题
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = 而 = 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
同理得
∴
∂u ∂n
1 11 = (6× 2 + 8×3 −14×1 ) = 14 7 P
r r r xi + y j + zk
1 1 = ±( − ) = ± 3 3
(3)在 M0 的最大方向导数与梯度 在 的最大方向导数与梯度:
∂u Q ∂x
M0
= −1,
∂u ∂y
M0
∂u = 1, ∂z
M0
=1
∴ gard u M 0
r r r = −i + j + k ,
and gard u M 0 = 3 .
例
设点电荷 q 位于坐标原点, 在点 M ( x , y , z ) q 处的电位为 v = , 其中, ε 为介电系数, r 4πε r r r r r r = xi + y j + z k , r = || r || , 求电位 v 的梯度.
x2 + y 2 − 0 ∂z f ( ρ cos α , ρ cos β ) − 0 = lim = lim =1 2 2 x →0 ∂ l x →0 ρ x +y y →0 y →0
此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7.
解: 向量 l 的方向余弦为
∂u ∂u ∴ ∂l
2 = 2xyz ⋅ 14 P
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
方向导数讲解
三■三元函数方向导数的定义
对于三元函数u = f (x, y, z),它在空间一点
-
P (x, y, z )沿着方向 e = (cosa,cos 四cos/)
的方向导数，可定义为
= lim f (x +1 cos a, y +1 cos p, z +1 cos y)f (x，y，z)
所以方向导数是偏导数的推广。
定理 如果函数z = f (旳y)在点P (旳y)是可微分的，
那末对于任意单位向量et = (cosa,cos0),函数 z = f(X,
y)在该点方向l的方向导数都存在，且有 f _切 f
= cos a H--cos p o
dl dx dy
证明 由于函数可微，则增量可表示为
处的偏导数是否存在？方向导数是否存在?
思考题解答
Q
f (Ax ,0) - f (0,0)
z
(o,o)=Axmo—&—
Q
=lim1^1.
x
x Ax—0 A
同理等
（oo）= lim
， 匀项Ay
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向，={x, y, z}的方向导数,
dz
lim f（歐, 颂）一 f
瓦(0,0) （0,0）
A,
f (x + Ax, y + Ay) 一 f (x, y) = ： Ax v'^y + o(p)
ox oy
取Ax = t cos a, Ay = t cos 0,两边同除以t,得到
f (x +1 cos a, y +1 cos 月)一 f (x, y)
方向导数讲解
方向导数一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．讨论函数在一点P 沿某一方向的变化率问题．),(y x f z =（如图）它的参数方程为⎩⎨⎧+=+=βαcos cos 00t y y t x x +∞<<∞-t 方向向量的有向直线，为且以面上通过点是为一单位向量，设→→→→e y x P xoy l j βi αe ),(cos +cos =00o y xαl Q ∙x ∆y ∆∙∙Pβ二、定义上任意一点，则有是设l y x Q ),(,)cos ,cos (),(00→→==--=e t t t y y x x PQ βα,t PQ =→的有向距离。
到点为点称Q P t ),()(P f Q f z -=∆当沿着趋于时，Q P l ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα,t z Δ考虑是否存在？.),()cos ,cos (lim 00000),(00ty x f t y t x f l ft y x -++=∂∂→βα记为定义 设函数 z=f(x,y) 在点P(00,y x )的某个邻域内有定义，l 是一非零向量，)cos ,(cos βα=→l e 是与l 同方向的单位向量，如果极限 ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα存在，则称此极限为函数),(y x f z =在P 点处沿l 方向的方向导数(directional derivative)，依定义，函数),(y x f 在点P 沿着x 轴正向}0,1{1=e 、y 轴正向}1,0{2=e 的方向导数分别为y x f f ,；沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 y x f f --,.所以方向导数是偏导数的推广。
(整理)多元函数微分学
模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。
另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。
可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。
方向导数的定义
2. 函数
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
.
提示:
则
(96考研)
z = f (x,y)
N
y l
例1. 求函数
在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解:
向量 l 的方向余弦为
下面计算函数的偏导数：
P0 (1, 1, 1)
二、梯度的概念
grad f 的长度（或模）为 下面考察梯度与方向导数之间的关系.
方向导数公式 令向量
梯度的基本运算公式
内容小结
1. 方向导数 • 三元函数
在点 的方向导数为
沿方向 l (方向角
• 二元函数
在点
的方向导数为
沿方向 l (方向角为
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为ຫໍສະໝຸດ • 二元函数3. 关系 • 可微 •
在点
处的梯度为
方向导数存在
偏导数存在
梯度在方向 l 上的投影.
作业:
P.127 1，2，3
• 当 l 与 x 轴反向
y
l
P0
O
x
方向导数的几何意义
z
z
lim
l P0 0
z
M
lim f (P) f (P0 )
0
Q
lim f ( x x , y y) f ( x , y )
z
z
方向导数
l
是曲面在
P0
点P0 处沿方向l 的变化率，
即半切线 MN 的斜率.
0
x
y
P0
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用引言多元函数微分学是微积分的一个重要分支，通过研究多元函数的极限、连续性、可微性、偏导数、全微分以及二阶偏导数等概念和性质，为解决实际问题提供了强大的工具和方法。
本文将介绍多元函数微分学在实际应用中的一些案例和方法。
1. 函数的极限多元函数的极限是多元函数微分学的基础，它描述了函数在某一点处的趋近性。
在实际应用中，我们常常需要确定一个多元函数在某一点的极限，以便对问题进行分析和计算。
对于给定的多元函数f(x,y)，如果当点(x,y)趋近于某一点(a,b)时，f(x,y)趋近于一个常数L，则称f(x,y)在点(a,b)处有极限，记为$\\lim_{(x, y) \\to (a, b)} f(x, y) = L$。
2. 函数的连续性函数的连续性是多元函数微分学的另一个重要概念。
一个多元函数f(x,y)在某一点(a,b)处连续，意味着在点(a,b)的任意一个邻域内，函数值和点(a,b)的距离趋近于零。
连续函数在实际应用中具有重要的意义，因为它们能够准确地描述函数的行为和性质。
3. 偏导数与全微分在实际问题中，我们常常需要计算多元函数的偏导数和全微分，以便分析函数的变化率和方向导数。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数$\\frac{\\partialf}{\\partial x}$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$分别表示函数在x方向和y方向上的变化率。
全微分df表示函数的微小变化量，它可以用偏导数表示为$df =\\frac{\\partial f}{\\partial x}dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y}dy$。
4. 高阶偏导数在多元函数微分学中，我们还可以计算多元函数的高阶偏导数。
高阶偏导数描述了函数的高阶变化率和曲率性质。
例如，一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}$表示函数在x方向上的曲率，而一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}$表示函数在x和y方向上的变化率的关系。
例说方向导数与连续
$ # ’ ’ （#， ， 不趋于! （ ， ） ， 故知! （#， 在原点不连续。 时， " # ( * ! ! " ! ! $） $( $） # 让我们再来审视一下多元函数的连续性。由于多元函数的连续性对函数本身有较强的要求：
通常我们在求函数条件极值问题时,原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解,本文介绍了利用拉格朗日乘数法和方向导 数法来解决条件极值问题,并将这两种方法进行了比较.
9.期刊论文 刘树利.LIU Shu-li Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性 -潍坊学院学报2006,6(4)
本文利用方向导数对Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性进行了研究,得到了一元函数类似的结论.
1 #
高等数学研究 2 3 4 5 6 7 2 6 89 % : : 7 ; 7< = 3 > 7 < = 3 6 9 2
， ? @ A ! 8 @ A & ， < + B A & # # 1
例说方向导数与连续
潘智民
摘要 关键词 （西安建筑科技大学
!
西安 ! ） " # # $ $
构造了一个例子说明多元函数沿任何方向的方向导数存在时仍不连续。 多元函数； 方向导数； 连续 中图分类号 % " ! &
多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
6.期刊论文 石艳霞.陶玉敏.SHI Yan-xia.TAO Yu-min 多元函数微分法的一点注记 -鞍山钢铁学院学报 1999,22(6)
2-4方向导数与梯度(2)
二、求函数z 1 ( x2 y2 )在点( a , b )处
a2 b2
22
沿曲线 x2 y2 1在这点的内法线方向的 a2 b2
方向导数.
三、 设u,v 都是x, y, z 的函数,u,v 的各偏 导数都存在且连续,证明:
grad (uv ) vgradu ugradv
四、
点的法线的一个方向相同，且从数较
低的等高线指向数值较高的等高线，
而梯度的模等于函数在这个法线方向
的方向导数．
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G
内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
P( x, y, z) G ，都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z) f
都存在,但在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。
证明
z l
(0,0)
lim
0
f
(0
x,0 y)
f
(0,0)
= lim
(x)2 (y)2 0 1
0
(x)2 (y)2
而
lim
x0
f (0
x,0) x
f (0,0)
= lim x 0
|
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y, z}的方向导数,
z lim f (x, y) f (0,0)
l (0,0)
0
(x)2 (y)2
lim
1
0 (x)2 (y)2
故沿任意方向的方向导数均存在
且相等.
练习题
一、 填空题:
1、 函数 z x2 y2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点(2,2 3)的方向的方向导数为___.
方向导数、梯度和泰勒公式
例 4 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(
x,
y,
z)
u
i
u
j
u
k
x y z
(2x 3)i (4 y 2) j 6zk,
故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k.
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
当
cos(
gradf
(
x,
y),
e
)
f 1时， l
有最大值.
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
gradf P
当f 不为零时， x
gradf
f
x 轴到梯度的转角的正切为 tan
其中 为x 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
两边同除以 , 得到
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
x y
故有方向导数
2-4方向导数与梯度(2)
都存在,但在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。
证明
z l
(0,0)
lim
0
f
(0
x,0 y)
f
(0,0)
= lim
(x)2 (y)2 0 1
0
(x)2 (y)2
而
lim
x0
f (0
x,0) x
f (0,0)
= lim x 0
梯度，记为
gradf ( x, y) f i f j x y
设e
cos i
sin j 是方向
l
上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos,sin}
l
x
gradf
(
y
x, y)
e|
P( x x, y y)为 l 上的另一点且P U( p)
记 | PP | (x)2 (y)2 ,
z f ( x x, y y) f ( x, y),
当 P沿着 l 趋于P时， 如果
f ( x x, y y) f ( x, y)
i
f
j
f
k.
x y z
类似地,设曲面 f ( x, y, z) c为函数 u f ( x, y, z)的等量面，此函数在点 P( x, y, z)的梯度的方向与过点 P 的等 量面 f ( x, y, z) c在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面 指向数值较高的等量面，而梯度的模 等于函数在这个法线方向的方向导数.
x 0 y 0
方向导数
例1. 求函数 3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
∂u ∂u ∴ ∂l
2 = 2xyz ⋅ 14 P
3 + x y⋅ 14
2
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例2. 求函数 朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解: 将已知曲线用参数方程表示为 x = x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x=2 = (1, 4) 1 4 ∴ cosα = , cos β = 17 17
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内容小结
1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 ∂f ∂f ∂f ∂f = cosα + cos β + cosγ ∂l ∂x ∂y ∂z
• 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为
α, β )的方向导数为
∂ f ∂f ∂f = cosα + cos β ∂y ∂l ∂x
∂f f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 记为 | P = lim+ . ρ →0 ρ ∂v
依定义， 依定义，函数 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向 e1 = {1,0} 、
y 轴正向e 2 = {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
∂f ∂f ∂f ∂f cosα + cos β + cosγ = ∂v ∂ x ∂y ∂z
v
v
ρ
P′
证明: 证明 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得 ∂f ∂f ∂f v ∆f = ∆x+ ∆ y+ ∆ z + o (ρ ) ∂x ∂y ∂z
《方向导数》课件
在曲线积分中的应用
曲线积分是数学分析中的一种基本运算，用于计算曲线上的函数值的累积。通过引入方向导数，我们可以更准确地计算曲线 积分的值。
在计算曲线积分时，方向导数可以帮助我们确定积分的方向。例如，在计算电流时，我们需要确定电荷移动的方向，这时可 以使用方向导数来确定电流的方向。
03
公式
方向导数 = (Δz/Δx)*cos(θ) + (Δz/Δy)*sin(θ)，其中Δx、Δy为沿x 、y轴方向的微小位移，Δz为对应的 函数值变化，θ为方向与x轴的夹角。
导数定义法
总结词
利用导数的定义计算方个坐标轴方向上的偏导数的线性 组合，再根据方向向量和偏导数的关系计算方向导数。
详细描述
方向导数是函数在某点处的切线斜率 ，表示函数在该点处沿某一特定方向 的变化率。它可以通过求极限得到， 是函数在某点处所有方向导数中的最 小值。
方向导数的几何意义
总结词
方向导数的几何意义是函数图像 在某点处的切线斜率。
详细描述
方向导数的几何意义表示函数图 像在某点处的切线斜率。当函数 在某点处可导时，其方向导数等 于该点处的切线斜率。
05
总结与展望
方向导数的总结
方向导数的定义
方向导数的几何意义
方向导数是函数在某点处沿某一特定方向 的变化率，是微积分中的重要概念。
方向导数可以理解为函数图像在某点的切 线的斜率，表示函数值在该方向的变化趋 势。
方向导数的计算方法
方向导数的应用场景
通过求偏导数，然后根据给定的方向余弦 计算得出。
方向导数的相关问题
方向导数的相关问题张月梅;李小飞【摘要】通过举反例,说明了函数在某点的方向导数与函数在该点的连续性、可偏导性、可微性等之间的关系,以及方向导数与其计算公式之间的有关问题.【期刊名称】《山东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】4页(P24-26,30)【关键词】方向导数;连续;偏导数;可微分【作者】张月梅;李小飞【作者单位】长江大学信息与数学学院,434020,湖北荆州;长江大学工程技术学院,434020,湖北荆州;长江大学工程技术学院,434020,湖北荆州【正文语种】中文【中图分类】O172.1方向导数是高等数学中的一个重要概念，也是一个难点，不同的教材对方向导数的定义有所不同.本文的讨论完全基于文献[1]，也是目前最普遍的一种定义.这里主要以二元函数为例.定义1[1] 设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，l是以P(x0,y0)为起点的一条射线，el=(cosα,cosβ)是与l同方向的单位向量，P′(x0+tcosα,y0+tcosβ)为射线l上另一点，且P′∈U(P0)，如果极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0处沿方向l的方向导数，记作方向导数的存在性和计算公式如下：定理1[1] 如果函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分,那么函数在该点处沿任一方向el=(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且基于上面的定义和定理，下面讨论方向导数的相关问题.函数在某点沿任意方向的方向导数都存在，但函数在该点处不一定连续，如：例1 设则f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续. 事实上，设射线l的单位向量为el=(cosα,cosβ)，若cosβ=0，即l为x轴正半轴或负半轴，此时f(tcosα,tcosβ)=f(tcosα,0)=0,从而有若cosβ≠0，则有.综合以上两种情况知函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在；但f(x,y)在(0,0)处不连续，如当点(x,y)沿曲线y=kx2趋于(0,0)时的极限为与k有关，从而(x,y)不存在，即f(x,y)在(0,0)处不连续.反之，函数在某点连续，但函数在该点处沿任意方向的方向导数不一定都存在，如：例2 考察函数由初等函数的连续性知f(x,y)在(0,0)连续，但极限为无穷大，故不存在，即f(x,y)在(0,0)处沿任意方向(cosα,cosβ)的方向导数均不存在.由以上两例，我们可得出结论：方向导数的存在与函数的连续无关.由定义1不难得出：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在，且射线l的方向是x轴正向，即el=i=(1,0)，则方向导数若射线l的方向是x轴负向，即el=-i=(-1,0)，则方向导数同理可得沿y轴正、负向的方向导数与偏导数fy(x0,y0)的关系.由此可知：函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在，则f(x,y)在P0(x0,y0)处分别沿坐标轴正、负方向的方向导数存在，但并不意味着任意方向的方向导数都存在，如：例3 设则由偏导数的定义易得函数f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在，且fx(0,0)=fy(0,0)=1，但f(x,y)在点(0,0)处沿非坐标轴(正负)方向的方向导数不存在.事实上，设l的方向为el=(cosα,cosβ)，其中cosα·cosβ≠0，则有不存在，即说明沿l的方向的方向导数不存在.反过来，如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿x(y)轴正、负向的方向导数存在，且互为相反数，则函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)(fy(x0,y0))存在.也就是说即使沿x(y)轴正、负向的方向导数存在，偏导数也不一定存在，甚至是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在，偏导数都不一定存在，如：例4 函数在点O(0,0)处，设l的方向为el=(cosα,cosβ)，则由定义容易计算方向导数，而由于沿坐标轴正负向的方向导数不是互为相反数，故偏导数不存在.定理1已经告诉我们，若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在；反之，若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在，函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处却不一定可微，如例1中函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续，从而f(x,y)在(0,0)处不可微；又如例4中函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，且等于1，但f(x,y)在(0,0)处偏导数不存在，从而f(x,y)在(0,0)处不可微.即使在函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在的基础上，加上f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续且偏导数存在，也不能得出f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微. 例5 设函数由于由夹挤准则可得故知f(x,y)在(0,0)处连续；接下来考虑函数f(x,y)在(0,0)处沿各方向的方向导数.设l的方向为el=(cosα,cosβ).若cosβ=0，即l为x轴正半轴或负半轴，此时从而有若cosβ≠0，则有综合以上两种情况可知f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数均存在，且均为0，从而可得f(x,y)在(0,0)处偏导数存在，且fx(0,0)=fy(0,0)=0.接下来讨论f(x,y)在(0,0)处的可微性.Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)，则极限不存在，从而函数f(x,y)在(0,0)处不可微.此例说明函数在某点连续、偏导数存在、沿任意方向的方向导数存在，都仅仅是可微的必要条件.由定理1可知，当函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分,那么函数在该点处沿任一方向el=(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且都可由公式(1)计算.使用公式(1)计算方向导数的前提条件是要求函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分，也就是说函数不可微时，该公式不一定成立.如下例：例6 设由偏导数的定义易求得fx(0,0)=1，fy(0,0)=0，且容易证明f(x,y)在(0,0)处不可微；取l的方向为则f(x,y)在(0,0)处沿l方向的方向导数为而事实上，定理1的条件是充分的：即使函数f(x,y)在点P(x0,y0)处沿任意方向e l=(cosα,cosβ)的方向导数都存在，且都满足公式(1),也不能得到函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微.例7 设容易求出fx(0,0)=fy(0,0)=0；类似例1的方法，当点(x,y)沿曲线y=kx3趋于(0,0)时的极限与k有关，故函数f(x,y)在(0,0)处不连续，从而不可微.设l的单位向量为el=(cosα,cosβ)，则以上分别基于定义1和定理1讨论了二元函数的方向导数与连续、偏导数、可微分的关系，最后讨论了方向导数的计算公式，希望对方向导数的理解有所帮助.以上讨论的结果均可推广至多元函数以及向量值函数.[1] 同济大学数学系.高等数学(第六版) [M] .北京：高等教育出版社，2007.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版) [M] .北京：高等教育出版社，2001.[3] 周民强.数学分析习题演练(第三册)[M] .北京：科学出版社，2006.[4] 王安平，杨波，周云才,等.高等数学(下册)[M] .长沙：湖南教育出版社，2014.[5] 张月梅.向量值函数的导数[J] .吉林师范大学学报，2014,35(1):57-59.。
例说方向导数与连续
例说方向导数与连续
不妨来说说方向导数与连续的关系，它们一直在不断被用于互联网计算机技术之中来满足日渐增加的网络需求。
方向导数和连续技术是互联网中重要的模块，它们被广泛运用于数据收集及存储、数据分析和安全性等领域。
简而言之，方向导数就是一种求导数的方法，它可以快速确定主要变量在某一点处发生了什么样的变化。
例如，对于某一类物料的价格，方向导数可以求出它的范围和浮动，使得商家拥有可操作的边界来调节市场价格，从而提高运营效率。
连续技术是指数据在开发过程中可以持续被更新和改进，因此可以获得更高的可扩展性和可用性，从而为后续的开发提供了可操作的依据。
比如，在物联网开发过程中，可以将收集的数据持续的上传到云端，从而使得用户可以随时获得及时的数据分析和管理，从而极大提高了用户的操作体验。
归结起来，在互联网的数据处理中，方向导数可以迅速确定变量的规律并快速求出其变化范围，而连续技术则可以对数据进行实时的处理更新，以保持较高的可扩展性和可用性，充分满足互联网技术处理中的数据需求。
一、方向导数的定义
讨论函数z f ( x, y) x2 y2 在(0,0)
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
z
令向量
G
(
f x
,
f, y
f) z
grad f
l 0 (cos , cos , cos )
所以方向导数是梯度在方向 l 上的投影. 当 l 0 与 grad f 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f grad f
l
这说明 grad f 方向：f 变化率最大的方向
特别: • 当 l 与 x 轴同向
l
P0
0, 时, 有
2
f l
f x
O
x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 f f
2
l x
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方向导数的几何意义
z
z
lim
l P0 0
l x
y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f x
,f ,f y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
方向导数
第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。
解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。
【精品】链式法则的一般形式
链式法则的一般形式若u=f (x 1,…,x n ),x i =i(t 1,…,t m ),(i =1,…,n ),则∑==ni t i x t j i j x u u 1)(,即∑=∂∂∂∂=∂∂ni j ii j t x x u t u 1(j =1,…,m ).总之,复合函数对自变量的偏导数 等于所有对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和.特例:(t )=f (tx )=f (tx 1,…,tx n ),'(t )=x 1D 1 f (tx )+…+x n D n f (tx ).*△(齐次函数的Euler 公式)(p.123.6对三元函数)若存在k 使f :R n →R 满足f (tx )=t k f (x )(t >0,x ∈R n .书上的定义中k >0,t ∈R ),则称f 为k 次齐次函数.证明:可微函数f 是k 次齐次函数x 1D 1 f +…+x n D n f (=(grad f ,x ))=kf .(*)证f (tx )=t k f (x ).两端对t 求导,得x 1D 1 f (tx )+…+x n D n f (tx )=kt k 1 f (x ).令t =1得(*).设(t )=f (tx )/t k ,(即证(t )=f (x ).由(1)=f (x ),只要证(t )=(1),即证常值),则可微,'(t )=kt 21(t k (x 1D 1f (tx )+…+x n D n f (tx ))kt k 1f (x ))=11+k t(tx 1D 1 f (tx )+…+tx n D n f (tx )kf (tx ))(以tx i 代条件(*)中的x i )=0,故常值,(t )=(1)=f (x ),f (tx )=t k f (x ).*Euler 公式的应用.(1)证明u =xf (x y )+yg (xy)满足x 2u xx +2xyu xy +y 2u yy =0. (2)p.143.3(2).解(1)(u 是一次齐次函数)用两次Euler 公式. (2)u 是1+2+…+(n -1)=½n (n +1)次齐次函数.补充练习△u =x 3sin y +y 3sin x ,求336y x u∂∂∂.(-6(cos x +cos y )△u =e xyz ,求u xyz .(e xyz (1+3xyz +x 2y 2z 2))△u =(x -a )p (y -b )q ,求qp q p y x u∂∂∂+.(p !q !)△u =y x y x -+,求q p q p yx u ∂∂∂+.(1)()(! )1()1(2++-+-+-q p p y x py qx q p )△证明z =x n f (2xy)满足方程xz x +2yz y =nz .△证明z =yf (x 2-y 2)满足方程y 2z x +xyz y =xz .△已知u =121x 4-61x 3(y+z )+21x 2yz+f (y -x ,z -x ),化简u x +u y +u z .(xyz )△证明u =ϕ(x -at )+ψ(x+at )满足u tt =a 2u xx .△证明u =x ϕ(x+y )+y ψ(x+y )满足u xx -2u xy +u yy =0.△设u =ln x ,v =ln(y +21y +),以u ,v 为自变量变换方程xz x +21y +z y =xy . (z u +z v =e u sh v )△设x =r cos ϕ,y =r sin ϕ,变换(1)xu y -yu x ;(2)xu x =yu y ;(3)x 2u xx +2xyu xy +y 2u yy .((1)u ϕ;(2)ru r ;(3)r 2u rr .)△设x =r sin θcos ϕ,y =r sin θsin ϕ,z =r cos θ,变换u x 2+u y 2+u z 2.(u r 2+r -2u θ2+(r sin θ)-2u ϕ2) 七.方向导数与梯度偏导数是函数沿坐标轴方向的变化率,方向导数是函数沿任意方向的变化率.设f :D (⊂R n )→R ,a ∈D °,l 为方向(|l |=1)若极限ta f tl a f t )()(lim0-+→存在,则称之为f 在a 沿方向l 的方向导数,记为D l f (a ),f l (a ),)(a lf∂∂,a l f ∂∂等. 若记g (t )=f (a +tl ),则D l f (a )=g'(0).设l =(l 1,…,l n ),a =(a 1,…,a n ),则g (t )=f (a +tl )=f (a 1+tl 1,…,a n +tl n ).由链式法则(u =f (x ),x =a +tl ),当f 在a 可微时,g'(t )=l 11x f (a +tl )+…+l n n x f (a+tl ),f l (a )=l 11x f (a )+…+l n n x f (a ).因此,若设grad f (a ) =(1x f (a ),…,n x f (a ))(=(D 1 f (a ),…,D n f (a ))),则f l (a )=grad f (a )⋅l ≤|grad f (a )|,等号⇔grad f (a )=cl ,即l =|)(|)(a gradf a gradf .称grad f (a )为f 在a 处的梯度(向量).这证明了下列命题若f 在a 可微,则f 沿任何方向的导数都存在,且f l (a )=grad f (a )⋅l .方向导数沿梯度方向达到最大值|grad f (a )|,沿梯度相反方向达到最小值-|grad f (a )|.(换言之,沿梯度方向,函数的变化率最大.)特例:①偏导数.取l =e i =(0,…,0,1,0,…,0),有grad f (a )⋅l =i x f (a ).②二元:l =(cos θ,sin θ).③三元:l =(cos α,cos β,cos γ).n 元:l =(cos(l ,x 1),…,cos(l ,x n )).注1所有方向导数存在(称为弱可微)⇏连续.例⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),( ,0),0,0(),( ,),(242y x y x y x yx y x f 前已证明)0,0(),(lim →y x f (x ,y )不存在,故在(0,0)不连续.(因而不可微,不能用上述命题求方向导数.)但对l =(cos θ,sin θ),D l f (0,0)=0lim →t t f t t f )0,0()sin ,cos (-θθ=0lim →t ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+.0sin ,sin cos ,0sin ,0sin cos sin cos 22422θθθθθθθθt 注2所有偏导数存在⇏所有方向导数存在.例f (x ,y )=⎩⎨⎧≠=+.0 ,1,0 ,xy xy y x f x (0,0)=1=f y (0,0).当cos θ≠0,sin θ≠0时,方向导数0lim →t tf t t f )0,0()sin ,cos (-θθ=0lim →t t 01-不存在. △p.125例1.方向向量)31,32,32(-,l f ∂∂(1,1,1)=(1,2y ,3z 2)⋅)1,1,1()31,32,32(-=31.△(p.127.6(3))证明:grad(uv )=u grad v +v grad u .(ii i x vux u v x uv ∂∂+∂∂=∂∂)(,…) △求D v f (0,0),若||),(22y x y x f -=,v =(cos θ,sin θ),0≤θ≤2π. 解g (t )=f (t cos θ,t sin θ)=|t ||2cos |θ.当2θ=27,25,23,2ππππ时g (t )=0,故 v =(±22,±22)时D v f (0,0)=g'(0)=0.在其它方向,g -'(0)=-|2cos |θ,g +'(0) =|2cos |θ,方向导数不存在.(注.书上定义的是单侧方向导数,=g +'(0),是存在的.)△(p.127.10)设f 可微,l 1,l 2∈R 2线性无关.若21l l f f ==0,则f 常值.八.中值定理与Taylor 公式前已接触过f (x ,y )-f (a ,b )=f x (ξ,y )(x -a )+f y (a ,η)(y -b ),ξ在a ,x 之间,η在b ,y 之间,条件是f 在点(a ,b )附近有偏导数.在求方向导数时已经知道,在连接点(a ,b )与(a+h ,b+k )的线段(x ,y )=(a +th ,b+tk )(0≤t ≤1)上f 是一元函数ϕ(t )=f (a+th ,b+tk )(0≤t ≤1).对它用一元函数中值定理,有(为使ϕ可微,需条件f 可微)ϕ(1)-ϕ(0)=ϕ'(θ)(0<θ<1),即(注意ϕ'(t )=f x (a+th ,b+tk )h +f y (a+th ,b+tk )k )f (a+h ,b+k )-f (a ,b )=f x (a+θh ,b+θk )h +f y (a+θh ,b+θk )k (*)为保证连接任何(a+h ,b+k )与(a ,b )的线段在f 的定义域内,要求f 的定义域是凸的.这样,有 中值定理设D 为R 2的凸开域,f 在D 内可微,则对D 内任意两点(a ,b ),(a+h ,b+k )有θ∈(0,1)使(*)式成立.证设ϕ(t )=f (a+th ,b+tk ),则ϕ在[0,1]上可微,….注1若记x 0=(a ,b ),x =(a+h ,b+k ),连接x 0,x 的线段为Γ,ξ=(a+θh ,b+θk ),则结论成为∃ξ∈Γ使f (x )-f (x 0)=grad f (ξ)⋅(x -x 0).这对n 元函数当然也成立.注2凸域可减弱为星形域.推论设D ,f 同上(可以是n 元函数).(1)若∃M ≥0∀x ∈D |grad f (x )|≤M ,则∀x ,x 0∈D ,|f (x )-f (x 0)|≤M |b -a |;(2)若grad f =0,则f 常值.用同样的思想可以求多元函数的Taylor 公式.为使符号简单,下面只对二元函数讨论.设ϕ(t )=f (a+th ,b+tk )(0≤t ≤1),则),()()(tk b th a f yk x ht ++∂∂+∂∂='ϕ, )()()()()()()(222222k y f h x y f k k y x f h x f h t ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=''ϕ=(h x ∂∂+k y∂∂)2f (a+th ,b+tk ), 一般地,用数学归纳法可得ϕ(m )(t )=(h x ∂∂+k y ∂∂)m f (a+th ,b+tk )=∑=--++∂∂∂m i i i m m i i m i m tk b th a f y x k h C 0),(. 由一元函数的公式ϕ(1)=ϕ(0)+ϕ'(0)+…+!)1()(! )0()1()(+++n n n n θϕϕ,得 f (a +h ,b+k )=f (a ,b )+∑=n k k 1!1(h x ∂∂+k y ∂∂)k f (a ,b )+! )1(1+n (h x ∂∂+k y ∂∂)n +1 f (a+θh ,b+θk ).为使混合偏导数相等,要求所有n +1阶偏导数都是连续的,即f ∈C (n +1).Peano 余项是o(h 2+k 2)n/2,这时只要f ∈C (n ).*注对n 元函数,上面公式中,(h ,k )以h =(h 1,…,h n )代替,h x ∂∂+k y∂∂即(h ,k )⋅grad现在是h ⋅grad,即h 1D 1+…+h n D n ,由多项式展开定理,有(h 1D 1+…+h n D n )m =∑=mi i i i i ik k k D h h 1,,111Taylor 公式是f (a+h )=f (a )+∑=mk k 1!1(h ⋅grad)k f (a )+! )1(1+m (h ⋅grad)m +1 f (a+θh ).(*)如果把一元函数f 的导数f (k )(a )用另一种记号D k f (a ),则f 的Taylor 公式是f (a+h )=f (a )+∑=mk k 1!1(hD )k f (a )+! )1(1+m (hD )m +1 f (a+θh ).容易看出(*)与它的相似性. △计算(1.1)1.02.法一.用微分:f (a+h ,b+k )≈f (a ,b )+hf x (a ,b )+kf y (a ,b ),f (x ,y )=x y ,a =b =1,h =0.1,k =0.02,(1.1)1.02≈11+0.1×yx y -1|(1,1)+0.02×x y ln x |(1,1)=1.1.法二.用二阶Taylor 公式:f (a+h ,b+k )≈f (a ,b )+hf x (a ,b )+kf y (a ,b )+½(h 2f xx +2hkf xy +k 2f yy )(a ,b ),f xx (x ,y )=y (y -1)x y -2,f xy (x ,y )=x y -1+yx y -1ln x ,f yy (x ,y )=x y ln 2x ,(1.1)1.02≈1+0.1+0+½(0.12×0+2×0.1×0.02×1+(0.02)2×0)=1.102.△设|x |,|y |充分小,求f (x ,y )=arctan yx yx +-++11的到二次项的近似公式.解f (x ,y )≈f (0,0)+xf x (0,0)+yf y (0,0)+21(x 2f xx (0,0)+2xyf xy (0,0)+y 2f yy (0,0) =4π+x -xy . 九.(局部)极值与最大最小值极大、极小、严格极大、严格极小、最大、最小值.极值点只限于定义域的内点. 极值必要条件若f 在a 处有极值,且各个偏导数都存在,则grad f (a )=0.证f 在a =(a 1,…,a n )处有极值⇒g i (t )=f (a 1,…,a i -1,t ,a i +1,…,a n )在a i 处有极值⇒g i '(a i )=0⇒i x f (a )=0(i =1,…,n ).驻点=稳定点=梯度为0的点.鞍点=非极值点的驻点.如(0,0)是z =xy 的鞍点(图见p.91). 例f (x ,y )=22y x +在(0,0)极小,偏导数不存在.对多元函数,不能从偏导数的符号变化判断极值,如z =xy . 以下对二元函数考虑极值充分条件.设有二元函数z =f (x ,y ),(a ,b )是其驻点.显然,f (a ,b )是否极值,由△z =f (a+h ,b+k )-f (a ,b )当|h |,|k |充分小时的符号确定.设在(a ,b )的某邻域内f ∈C (2)(这是为了用Peano 余项),则有 △z =½(h 2f xx (a ,b )+2hkf xy (a ,b )+k 2f yy (a ,b ))+o(ρ2)(ρ=22k h +),当△z ≥0时f (a ,b )极小,≤0时极大,不定时不是极值.为记号简单,设A =f xx (a ,b ),B =f xy (a ,b ),C =f yy (a ,b ),Q (h ,k )=Ah 2+2Bhk +Ck 2,则 △z =½(Ah 2+2Bhk +Ck 2)+o(ρ2)=½Q (h ,k )+o(ρ2).1°若∀h ,k ,Q (h ,k )>0(即二次型Q 正定),则f (a ,b )极小.事实上,△z =21ρ2(Q (ρh ,ρk )+α(ρ)),其中α(ρ)=222)(o ρρ→0(ρ→0).Q (ρh ,ρk)关 于h ,k 连续且(ρh )2+(ρk )2=1,故在单位圆周上达到最小值,设为m ,则∀h ,k ,Q (ρh ,ρk)≥m >0.因为α(ρ)→0(ρ→0),故ρ充分小时|α(ρ)|<m ,从而ρ充分小时△z ≥0,即在(a ,b )附近△z ≥0.2°若∀h ,k ,Q (h ,k )<0(即二次型Q 负定),则f (a ,b )极大. 3°在其它情形(即Q 不定时),f (a ,b )不是极值.(反证法)设f (a ,b )极小,则Q (h ,k )≥0.事实上,设∃(h 0,k 0)使Q (h 0,k 0)<0.(下面证明f (a ,b )不是极小值,即在(a ,b )的任何邻域内有点,其对应的函数值<f (a ,b ).这样的点在由(a ,b )和(a+h 0,b+k 0)确定的直线上就有.)记ρ02=h 02+k 02,则对f (a+th 0,b+tk 0)-f (a ,b )=21t 2ρ02(),(0000ρρk h Q +α(t ρ0))有),(0000ρρk h Q =201ρQ (h 0,k 0)<0.因为t →0时t ρ0→0,故t 充分小时),(00ρρk h Q +α(t ρ0)<0,从而f (a+th 0,b+tk 0)<f (a ,b ),与f (a ,b )极小矛盾.类似地,f (a ,b )极大时Q (h ,k )≤0.注以上证明了f (a ,b )是极值⇒Q 半定.极值充分条件设在(a ,b )的某邻域内f ∈C (2)且(a ,b )是f 的驻点,A =f xx (a ,b ),B =f xy (a ,b ),C =f yy (a ,b ),则当二次型Ah 2+2Bhk+Ck 2(h ,k ∈R )(等价地,矩阵⎪⎭⎫⎝⎛C B B A －Hessia 矩阵)正定时f (a ,b )极小,负定时极大,不定时不是极值.(又,f (a ,b )极小时上述二次型正半定,极大时负半定.)推论设∆=CB BA .若∆>0,A >0,则f (a ,b )极小;若∆>0,A <0,则f (a ,b )极大; 若∆<0,则f (a ,b )是鞍点;若∆=0,则不能确定.证Q (h ,k )=A ((h +A B k )2+22A B AC -k 2)⎩⎨⎧<>∆<>>∆>.0,0,0,0,0,0A A若∆<0,则Q (h ,k )不定.若∆=0,则Q (h ,k )=A (h +AB k )2⎩⎨⎧<≤>≥,0 ,0,0 ,0A A 不能确定.例如设f (x ,y )=x 2-y 4,则(0,0)是驻点,∆=0,但(0,0)是鞍点:y ≠0时f (0,y )<0,x ≠0时f (x ,0)>0;设g (x ,y )=(x 2+y 2)5/2,则(0,0)是驻点,∆=0,但f (0,0)极小.注1.对一元函数,∆=A ,成为一元函数极值的二阶导数判别法.2.对n 元函数,类似的结论成立.Hessia 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()()(1111a f D a f D a f D a f D nn n n,二次型 Q 现在是Q (h 1,…,h n )=∑=nj i j i ij h h a f D 1,)(.Hessia 矩阵的n 个顺序主子式均>0时极小,负正相间时极大.3.当只有一个驻点(设为a )时,如果能从所论函数本身判明它确有极值,则a 就是极值点.这时只要计算D 11 f (a ),>0时极小,<0时极大.△p.138例6.△(p.138例8)讨论f (x ,y )=(y -x 2)(y -2x 2)在原点是否取得极值. 解f (x ,y )=y 2-3x 2y +2x 4.由f x (x ,y )=-6xy +8x 3=0,f y (x ,y )=2y -3x 2=0得驻点(0,0).(f xx (0,0)=f xy (0,0)=0,△=0,不能用推论.)因为x 2<y <2x 2时f (x ,y )<0,y <x 2或y>2x 2时f (x ,y )>0,故在(0,0)的邻域内f 总能取得正值与负值(如f (x ,23x 2)<0,f (x ,21x 2)>0),从而f (0,0)=0不是极值.*注但在通过原点的任一直线上f (0,0)极小.事实上,设g (x )=f (x ,kx )=k 2x 2-3kx 2+2x 4,则g'(0)=0,g"(0)=2k 2>0(k ≠0),故g (0)极小.当k =0时g (x )=2x 4,g (0)也极小.因此本例说明函数沿直线极小时它不一定极小.△f (x ,y )=xy -x 3y -xy 3.由f x (x ,y )=y -3x 2y -y 3=0,f y (x ,y )=x -x 3-3xy 2=0得9个驻点:P 1(0,0),P 2(1,0),P 3(-1,0),P 4(0,1),P 5(0,-1),P 6(½,½),P 7(-½,-½),P 8(½,-½),P 9(-½,½).f xx (x ,y )=-6x y ,f xx (x ,y )f yy (x ,y )-f xy 2(x ,y )=(-6xy )2-(1-3x 2-3y 2)2.对P 1,△=-1<0;对P 2,P 3,P 4,P 5,△=-4<0,都是鞍点.对P 6,P 7,P 8,P 9,△=2>0,P 6,P 7极大(1/8),P 8,P 9极小(-1/8).△考察函数f (x ,y )=(1+e y )cos x -ye y 的极值. 解f x (x ,y )=-sin x (1+e y ),f y (x ,y )=(cos x -1-y )e y ,驻点P n (n π,(-1)n -1)(n ∈Z ).f xx (x ,y )=-cos x (1+e y ),f xy (x ,y )=-e y sin x ,f yy (x ,y )=(cos x -2-y )e y .对P 2n ,A =-2<0,△=-2×(-1)-02=2>0,极大(2);对P 2n -1,A =1+e -2>0,B =0,C =-e -2,△<0,不是极值点.*△考察函数f (x ,y ,z )=x 2-2xy +2y 2+z 2-yz+x+3y -z 的极值.解驻点(32,37,617---),Hessia 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210142022,极小.求函数的最大最小值.步骤:1.确定是否有最大、最小值(从连续函数性质或问题的实际意义确定); 2.求驻点及定义域内部有一个偏导数不存在的点(即梯度不存在的点); 3.比较函数在这些点及在边界上的值,最大(小)者即为最大(小)值. △求函数f (x ,y )=xy -x 3y -xy 3在正方形[0,1]2上的最大、最小值.解驻点为(½,½).在驻点处的函数值为1/8,在边界上的函数值为f (0,y )=f (x ,0)=0,f (1,y )=-y 3(0≤y ≤1),f (x ,1)=-x 3(0≤x ≤1),故最大值为1/8,最小值为-1.△求函数f (x ,y )=ax 2+2bxy+ay 2(b >a >0)在x 2+y 2≤1上的最大、最小值. 解驻点(0,0).在边界上,f (x ,±21x -)=a ±2bx 21x -=g (x )(|x |≤1).由g'(x )=0得x =±2/2.因为g (1)=g (-1)=a ,g (2/2)=a ±b ,g (-2/2)=a b ,f (0,0)=0,故有最大值a+b ,最小值a -b .注1.因为以-x ,-y 代x ,y 时f 及区域不变,故考察边界时可只考虑)1,(2x x f -.2.本题也可用初等方法解决:-(x 2+y 2)≤2xy ≤x 2+y 2,两个等号依次当且仅当x =-y 和x =y 时成立,故a -b ≤(a -b )(x 2+y 2)≤f (x ,y )=a (x 2+y 2)+2bxy ≤(a+b )(x 2+y 2)≤a+b 且x =y 时右边两不等式成立,x =-y 时左边两不等式成立.用初等方法有时会更简便,但它通常依赖于技巧,而高等数学方法有普适性.△证明:圆内接三角形中,正三角形的面积最大.证设圆内接三角形三边所对的圆心角为x ,y ,2π-x -y ,圆半径为r ,则三角形面积为½r 2(sin x +sin y -sin(x+y ))(x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π).设f (x ,y )=sin x +sin y -sin(x+y ),D ={(x ,y )|x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π}.令f x (x ,y )=f y (x ,y )=0,得D 内有唯一的驻点(32π,32π).在D 的边界上,f (0,y )=f (x ,0)=f (x ,2π-x )=0,故面积最大值为433r 2,此时三角形三内角为π/3,即为正三角形. △证明:xy ≤x ln x -x+e y (x ≥1,y ≥0).证即证f (x ,y )=x ln x -x+e y -xy 在D ={(x ,y )|x ≥1,y ≥0}上有最小值0.由f x (x ,y )=f y (x ,y )=0得y =ln x ,即驻点为(x ,ln x ).因为f (x ,ln x )=0,f (1,y )=-1+e y -y =g (y )(y ≥0)⇒g'(y )=e y -1=0⇒y =0⇒g (0)=0,f (x ,0)=x ln x -x +1=h (x )(x ≥1)⇒h'(x )=ln x =0⇒x =1⇒h (1)=0,又,x →∞或y →∞或(x ,y )→(∞,∞)时f (x ,y )→∞,故最小值为0.△已知f (a ,b )是连续函数f :R 2→R 的唯一极小值,且|x |,|y |→∞时f (x ,y )→∞.证明f (a ,b )是最小值.证∃M >0使|x |,|y |≥M 时f (x ,y )>f (a ,b ).在[-M ,M ]2上f 有最小值且必是f (a ,b ),否则f 将在(-M ,M )2内有另一最小值,从而也是极小值.因此∀x ,y ,f (x ,y )≥f (a ,b ).△(p.139例10.最小二乘法)已知n 个点(x i ,y i )(i =1,…,n ),x i 互不相等.求直线y =ax+b ,使它与这些点的垂直距离的平方和(称为偏差平方和)最小,即使∑=ni 1(ax i +b -y i )2最小.解设f (a ,b )=∑(ax i +b -y i )2(a ,b ∈R )(需要求它的最小值点).令⎩⎨⎧=-+==-+=∑∑,0)(2),(,0)(2),(i i b i i i a y b ax b a f y b ax x b a f 即⎩⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑,,2i i i i i i y nb x a y x x b x a 解得2220220)(,)(∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑--=--=i i i i i i i i i i i i i x x n x y x y x b x x n y x y x n a .(注在Cauchy 不等式(∑x i y i )2≤∑x i 2∑y i 2中取y i =1知分母>0.)由A =f aa (a 0,b 0)=2∑x i 2>0,B =f ab (a 0,b 0)=2∑x i ,C =f bb (a 0,b 0)=2n ,AC -B 2>0,故f (a 0,b 0)极小.|a |,|b |→∞时f (a ,b )→∞,故f (a 0,b 0)最小,所求直线的方程为y=a 0x +b 0.备考最小二乘法是测量与实验中常用的一种数据处理方法.一般提法是:已知观 测数据(x i ,y i ),求函数y =f (x )使∑=ni 1(f (x i )-y i )2最小.这又称曲线拟合问题:找一条曲线使观测点尽量在曲线上或与曲线上的点"最接近",从而使离散问题连续化.。
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7.期刊论文 沈永红.高忠社 多元函数微分学中几个基本概念之间的关系 -高等数学研究2009,12(2)
针对多元函数微分学中用以刻画函数局部性态的基本概念,给出连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系图,采用证明和举反例的方式 ,深入分析这些概念之间的关系.
8.期刊论文 张秀芳.Zhang Xiu-ying 多元函数条件极值的解法探讨 -安徽电子信息职业技术学院学报 2009,8(3)
10.期刊论文 宋虎森 关于非光滑函数凸性的研究 -华北工学院学报2002,23(6)
目的解决多元函数的方向导数问题. 方法借助于一元函数将多元函数的问题简化. 结果由一元函数左、右导数的定义及其性质, 将多元 函数的方向导数转为一元函数左、右导数, 从而解决了微积分学习和研究中的一个难点. 结论学习和研究微积分的过程中, 可以利用已学过 的较简单的知识, 处理和简化较难的问题.
函数! （#， 在一点 ’ （ !， ） 连续， 要求点 ’ （#， 以任何方式趋于 ’ 时， 都有 ! （#， "! $） $ $） $） !# ! ! （# ，!） 。在上叙反例中， 点 （#， 沿各条射线趋于原点， 都有! （#， （ ， ） “快慢” " ! ! )但收敛的 $） $） ! !$ 很不相同， 在越接近铅直的母线上， （#， 趋于 ! （ ， ） 越 “艰难” 。由此我们想到， 若对收敛 ("! ! ! $） “快慢” 有所限定， 则只需点 （#， 沿各射线这一种方式趋于 （# ，!） 时， 有! （#， 收敛于 ! （# ， $） $） !$ ! ） ， 即可保证! （#， 在 （# ，!） 处的连续性。 $ $） ! !$ 由连续及二重极限定义， 即可得出结论： 函数! （#， 在’ 其充分必要条件是对 ) "% $） ! 连续， ， ， 不论 ’ 沿任何方向 只要 就有 （#， （# ! * #% ! " 趋于’ $ ’ ’ $ + #， $ & $ + " 成立。 ! $） ! $ !， ! !， !） 这一结论表明， （#， 在一点 ’ 连续， 不仅要求沿各方向都有! （#， 收敛于 ! （# ，!） ， 同 ! $） $） ! !$ 时还需存在一个只与" 相关， 对所有方向都适用的# 使不等式成立。多元函数与一元函数在连续 这一概念上的本质性区别与联系恰好在此！ 参考文献
本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
3.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(15)
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4.期刊论文 朱章 关于多元函数极值存在的必要条件的研究 -黄石高等专科学校学报2002,18(2)
运用一元函数极值的概念和有关知识,并联系方向导数的概念,得出了多元函数极值存在的几种必要条件.
5.期刊论文 陈定元.王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版） 2005,11(2)
# ／ ’ ’ # 且 满足# ， ， 则当 #"! 时， 故必存在点 （# ， !） 满足 # ( #% ! $ "’ ， $%! $" ’， $ #" (+， !$ ’ ’ #， ／ !&’， 且# 故 # $ $ !# !( !" # ’ $ # ! ’ ’ ’ （# ，!） （ ， ） ・ $ & ! ! $ " # # " * ’ "。 ! ! $ !$ !( !& # # ’ ! （#， 在原点不连续。 所以! $）
［ ］同济大学)高等数学)下册)高等教育出版社， * * , , ) * ’ ) ［ ］吉林大学)数学分析)下册)人民教育出版社， ’ * , . , ) * ’ ) ［ ］陈纪修等)数学分析)下册)高等教育出版社， / ’ ! ! ! ) 0 )
简讯
“深化数学基础课程教学改革研讨会” 召开
由全国高校教学研究中心、 教育部非数学类专业数学基础课程教指委、 高教出版社和上海交大国家工科数学教学基地联合举 办的 “深化大学非数学专业类数学基础课程教学改革” 研讨会， 于’ ! ! /年 * !月 * 1 日 !’ ! 日在上海交大举行 ) 来自全国 2 ! 余所 学校近* “应对小康社会， 建设高等教育强国” 的报告， 他从规 ! !名代表参加了会议)中国高教学会周远请会长在会上做了题为 模、 质量、 结构、 效益和思想等方面详细阐述了对建设高等教育强国的思考)上海交大叶取源副校长就 “一流的理科， 强大的工科” 办学理念和该校数学系的发展， 在开幕式上讲了话。 武汉大学齐民友、 清华大学萧树铁、 冯克勤、 西安交大马知恩、 中国科大李尚志、 北京师大严士健、 上海交大乐经良等教授分别 作了报告， 围绕会议主题从不同角度对深化教改进行了探讨)高教社理工分社徐刚副社长介绍了该社在数学教材和教学资源建 设的情况和发展计划)会议还以三个半天分两个会场进行了分组报告和讨论交流 ) 代表们一致认为， 努力提高教学质量是当前 教学改革的主要任务)数学教改应在不断总结、 调整和完善中持续推向新的阶段； 改革会有不同看法， 会有阻力、 有差异， 不能追 （赵弛） 求一律； 改革需要思想的交流和碰撞， 需要实践和修正， 也需要探索和反思； 提高质量应注重提高学生的数学素质)
第.卷第’期
潘智民： 例说方向导数与连续
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（ ， ） （#， （ ， ） ! ! ! & ! ! ! & ! ! ! $） ! " # $ % " # $ % " ! ’ ’ ! !$ ! " $ $" !" $ # #( $ 所以! （#， 在原点弱可微。 $） 取" ， 对原点的任一邻域 % （ ， 不管# 多么小， 在% （ 中取动点 （#， ， ’ )证明不连续： * #） #） $） !"
$# & & & ； ( #$ # # $， （#， # ’% " $） ’ ， #’ # # 其图形 （部分） 如图所示 ) 它是将 # % $ 坐标面 沿$ 轴 “ 卷” 成顶点在原点 “剪” 开， “掀” 起使边沿与 ! 轴重合，
的锥面。为保证是单值函数， 我们将$ 轴仍 “留” 在# % $ 面上， 所 “卷” 部分为不含边界的开区域。 沿任何方向" 由图形直观， 我们可知， 在 原 点 %， （#， 的方向导数都存在， 该方向 （射线） （下） 方 & 的上 $） 对应的曲面的直母线& ’对# % $ 面的斜率即方向导数 ) 同时由于有可无限接近于铅直的直母线， 则在原点的任 （#， 都 是 无 界 的， 不能使邻域中所有" 一邻域中 " $） （ 与" （ 能接近到任意预先指定的程度， 故" #， %， %） $） （#， 在原点不连续。严谨的证明如下： $） ， 则$ 记其与# 轴正向的夹角为 ／ 对任一方向&， !。若#$ # # 为常数* !。记 + , " )证明弱可微：
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直接利用一阶偏导数讨论多元函数的极值问题.通过将多元函数方向导数的定义与连续函数的性质相结合,得到多元函数极值存在的一个 充分条件.实例说明此判别法的运用及值得注意的相关必要条件.
2.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(19)
在多元函数的微分学中， 关于函数 !’ （#， 在一点各方向导数存在 （即弱可微） 时， 是否可 " $） 以断定函数在该点连续这一问题， 回答是否定的。而使学生能接受并理解此判定却是一个难点。 事实上， 当两个偏导数存在时， 由于只能保证函数在沿着与坐标轴平行的四个方向上具连续性 （ " （#， （# ，#） ） ， 故不能由此肯定函数在一点的连续性。然而当各方向导数都存在， 则沿所有 " $） " #$ （#， （# ，#） 时， 学生便无法认识或理解函数 " （#， 在该点仍可能不连续的事 方向都有" " $） " $） #$ 实。 在高等数学教材中虽然有一些由弱可微推断连续性的反例， 但因其结构繁杂而不便反映连续 与弱可微两个概念的本质特点。本文构作了如下一结构简洁的二元函数：
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高等数学研究 2 3 4 5 6 7 2 6 89 % : : 7 ; 7< = 3 > 7 < = 3 6 9 2
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例说方向导数与连续
潘智民
摘要 关键词 （西安建筑科技大学
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西安 ! ） " # # $ $
构造了一个例子说明多元函数沿任何方向的方向导数存在时仍不连续。 多元函数； 方向导数； 连续 中图分类号 % " ! &
’ ’ 也可以这样证明： 当点 （#， 沿此曲线趋于原点 # # & ( $ &#"! 过原点， $） $ 面上的曲线$ #
$ # ’ ’ （#， ， 不趋于! （ ， ） ， 故知! （#， 在原点不连续。 时， " # ( * ! ! " ! ! $） $( $） # 让我们再来审视一下多元函数的连续性。由于多元函数的连续性对函数本身有较强的要求：
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