粗糙集与数据约简

U 1 2 3 4 5 6 R C B A D A C X / + + / + +
αR(X1)=Card(R-(X1))/Card(R-(X1))=3/5 αR(X2)=Card(R-(X2))/Card(R-(X2))=1/3
根据 R-(X1) R-(X2) if R 高考成绩(A,B) 高考成绩(D) Then X 一定(+)能上 一定(/)不能 上 根据 R-(X2) Bnd(X1) if R 高考成绩(C,D) 高考成绩(C) Then X 可能(/)不能上 可能(+)也可能 (/) 可能(+)也可能
2.1 粗糙集的基本概念
下近似集和上近似集
下近似集：根据现有知识 R，判断U 中所有肯定属于集合 X 的对象所组成的 集合，即 R-(X)={x∊U,[x]R ⊆X} 其中， [x]R 表示等价关系R下包含元素x的等价类。 上近似集：根据现有知识 R，判断U 中一定属于和可能属于集合 X的对象所 组成的集合，即 R－(X)={x∊U,[x]R ∩X≠φ} 其中， [x]R 表示等价关系R下包含元素x的等价类。 给定知识表达系统 S={U,R,V,f}，对于每个样本子集 X ⊆U 和等价关系 R， 所有包含于 X 的基本集的并（逻辑和）为 R-(X)；所有与 X 的交 ( 逻辑积 )不 为空集的基本集的并为R－(X)。
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1、不确定性理论
经典集合、模糊集合、粗糙集的关系
经典集合认为一个集合完全有其元素所决定，一个元素要么属于这个集合， 要么不属于这个集合。其隶属函数μX(x)∊{0,1}是二值逻辑。 模糊集合认为事物具有中介过渡性质，而非突然改变，集合中每一个元素 的隶属函数μX(x)∊[0,1]，即在闭区间 [0,1] 可以任意取值，隶属函数可 以是连续光滑的，因此模糊集合对不确定信息的刻划是精细而充分的。但 隶属函数不可计算，凭人的主观经验给定。 粗糙集合把用于分类的知识引入集合。一个元素x是否属于集合X，需要根 据现有知识来判定，可分为三个情况：①x肯定不属于X；②x肯定属于X； ③x可能属于也可能不属于X。到达属于哪种情况依赖于我们所掌握的关于 论域的知识。粗糙集的隶属函数为阶梯 状，对不确定性信息的描述是粗糙的， 1.0 但粗糙隶属函数是可计算的。粗糙集主 0.8 0.6 要用于对信息系统进行约简和分类。
2.1 粗糙集的基本概念
基本集合
由论域中相互不可分辨的对象组成的集合称之为基本集合，它是组成论域 知识的颗粒。 决策属 属性 条件属性C 性D 例如：考虑条件属性：头疼和 对象 头疼r1 肌肉疼r2 体温r3 流感 肌肉疼。对于x1,x2,x3这三个 x1 是 是 正常 否 对象是不可分辨的。x4,x6在这 x2 是 是 高 是 两个属性上也是不可分辨的。 x3 是 是 很高 是 由此构成的不可分辨集{x1,x2, x4 否 是 正常 否 x3},{x4,x6},{x5}被称为基本 x5 否 否 高 否 x6 否 是 很高 是 集合。 设论域U为有限集，R是U的等价关系簇，则K={U,R}称为知识库，知识库的 知识粒度由不可分辨关系Ind(R)的等价类反映。
2.1 粗糙集的基本概念
粗糙度（近似精确度） 对于知识 R（即属性子集），样本子集 X 的不确定程度可以用粗糙 度αR(X)来表示为
R X
Card R X Card R X
αR(X)亦称近似精确度，式中Card表示集合的基数（集合中元素的 个数）。 0≤αR(X)≤1，如果 αR(X)＝1，则称集合 X 相对于 R 是确定的，如 果αR(X)<1则称集合X相对于R是粗糙的，αR(X)可认为是在等价关 系R下逼近集合X的精度。
2 粗糙集的基本理论与方法
1
粗糙集的基本概念
2
粗糙集的基本思想
3
粗糙集的基本特点
2.2 粗糙集的基本思想
RS的基本思想
RS认为知识就是将论域中的对象进行分类的能力。对对象的认知程度取决 于所拥有的知识的多少，知识越多，则分类能力越强。知识越少，则对象 间的区分越模糊。 在没有掌握所有关于对象域的知识的情况下，为了刻画模糊性，RS使用了 一对称为下近似与上近似的精确概念来表示每个不精确概念，即使用一对 逼近来描述对象域上的集合。下近似和上近似的差是一个边界集合，它包 含了所有不能确切判定是否属于给定类的对象。这种处理可以定义近似的 精确度，能够很好的近似分类，得到可以接受质量的分类。 在RS中，论域中的对象可用多种知识来描述(通常描述为属性)。当两个不 同的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在系统中被归于同一类，它 们的关系称之为不可分辨关系或等价关系。不可分辨关系是RS理论的基石， 它反映了论域知识的颗粒性。 影响分类能力的属性很多，不同的属性重要程度不同，其中某些属性起决 定性作用；属性的取值不同对分类能力也会产生影响。RS理论提出知识的 约简方法、在保留基本知识、对对象的分类能力不变的基础上，消除重复、 冗余属性和属性值，实现了对知识的压缩和再提炼。
R X
CardR X 1 0.25 Card R X 4
体温r3 正常 高 很高 正常 高 很高 决策属 性D 流感 否 是 是 否 否 是


2.1 粗糙集的基本概念
例：右表是考生情况调查表，其中U为被调查对象，即论 域；R为高考成绩(A－优，B－良，C－中，D－差)；X为 升学情况(+为上，/为未上)。 根据高考成绩和升学情况进行分类时： 按成绩：U/R={{1,6},{2},{3,5},{4}}={Y1,Y2,Y3,Y4} 按升学：U/X={{2,3,5,6},{1,4}}={X1,X2} 分别计算出下近似集、上近似集、边界域和近似精度： R-(X1)=Y2∪Y3={2,3,5} R-(X2)=Y4={4} R-(X1)=Y2∪Y3∪Y1 ={2,3,5,6,1} R-(X2)=Y1∪Y4={4,6,1} Bnd(X1)=Y1={1,6} Bnd(X2)=Y1={1,6}
0.4 0.2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
粗糙集与数据约简
1
不确定性理论
2 3
4 5 6
粗糙集的基本理论与方法
知识的约简
决策表的约简
粗糙集数据约简的具体实现与应用
粗糙集的研究现状与展望
2、 粗糙集的基本理论与方法
1
粗糙集的基本概念
2
粗糙集的基本思想
3
粗糙集的基本特点
2.1 粗糙集的基本概念
2.1 粗糙集的基本概念
知识表达系统
一个知识表达系统或信息系统S可以表示为有序四元组 S={U,R,V,f} 其中，U={x1,x2,…,xn}为论域，它是全体样本的集合； R＝C∪D 为属性集合，其中子集C是条件属性集，反映对象的特征，D为决策 属性集，反映对象的类别； V Vr 为属性值的集合，V 表示属性r的取值范围； r rR f:U×R→V 为一个信息函数，用于确定 U 中每一个对象 x 的属性值，即任一 xi∊U，r∊R，则f(xi,r)=Vr
2.1 粗糙集的基本概念
正域、负域和边界域 正域： Pos(X)=R-(X)，即根据知识 R，U 中能完全确定地归入集合 X 的元素的集合。 负域：Neg(X)=U-R-(X)，即根据知识R，U中不能确定一定属于集合 X的元素的集，它们是属于X的补集。 边界域：Bnd(X)= R-(X) - R-(X) ，边界域是某种意义上论域的不 确定域，根据知识R，U中既不是肯定归入集合 X，又不能肯定归入 集合~X，的元素构成的集合。 边界域为集合X的上近似与下近似之差，如果Bnd(X) 是空集，则称 集合X关于R是清晰的；反之，如果Bnd(X) 不是空集，则称集合X为 关于R的粗糙集。因此，粗糙集中的“粗糙”（不确定性）主要体 现在边界域的存在。集合X的边界域越大，其确定性程度就越小。
2.1 粗糙集的基本概念
例：以医疗信息表为例，对于属性子集 属性 条件属性C R={头疼,肌肉疼}={r1,r2},计算样本子 对象 头疼r1 肌肉疼r2 集X={x1,x2,x5}的上近似集、下近似集、 x1 是 是 正域、边界域。 x2 是 是 x3 是 是 解： x4 否 是 ①计算论域U的所有R基本集： x5 否 否 U|Ind(R)={{x1,x2,x3},{x4,x6},{x5}} x6 否 是 令R1={x1,x2,x3} R2={x4,x6} R3={x5} ②确定样本子集X与基本集的关系 X∩R1={x1,x2}≠φ X∩R2=φ X∩R3={x5}≠φ ③计算R-(X)、R－(X)、Pos(X)、Bnd(X)： R-(X)=R3={x5} R－(X)=R1∪R3={x1,x2,x3,x5} Pos(X)=R-(X)={x5} Bnd(X)=R－(X)-R-(X)={x1,x2,x3} ④计算近似精确度：
知识与分类 在粗糙集理论中，知识被认为是一种分类能力。人们的行为基本是 分辨现实的或抽象的对象的能力。 假定我们起初对论域内的对象（或称元素、样本、个体）已具有必 要的信息或知识，通过这些知识能够将其划分到不同的类别。若我 们对两个对象具有相同的信息，则它们是不可区分的，即根据已有 的信息不能将其划分开。 粗糙集理论的核心是等价关系，通常用等价关系替代分类，根据这 个等价关系划分样本集合为等价类。 从知识库的观点看，每个等价类被称为一个概念，即一条知识（规 则)。即，每个等价类唯一地表示了一个概念，属于一个等价类的 不同对象对该概念是不可区分的。
属性 对象 x1 x2 x3 x4 x5 x6 头疼r1 是 是 是 否 否 否 条件属性C 肌肉疼r2 是 是 是 是 否 是 体温r3 正常 高 很高 正常 高 很高 决策属性D 流感 否 是 是 否 否 是
2.1 粗糙集的基本概念
不可分辨关系
在粗糙集中，论域U 中的对象可用多种信息（知识）来描述。当两个不同 的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在该系统中被归于同一类，它 们的关系称之为不可分辨关系 。 即对于任一属性子集 B⊆R， 如果对象 xi,xj∊U，∀r∊B，当且仅当f(xi,r)=f(xj,r)时，xi和xj是不可分辨的，简记 为Ind(B)。不可分辨关系称为等价关系。 例如：只用黑白两种颜色把空间中的一些物体划分成两类：{黑色物体}、 {白色物体}，那么同为黑色的物体就是不可分辨的，因为描述它们特征属 性的信息是相同的，都是黑色。如果引入方、圆的属性，可将物体进一步 划分为 4 类： { 黑色方物体 } 、 { 黑色圆物体 } 、 { 白色方物体 } 、 { 白色圆物 体}。这时，如果有两个同为黑色方物体，则它们还是不可分辨的。 不可分辨关系这一概念在RS中十分重要，它反映了我们对世界观察的不精 确性。 另一方面，不可分辨关系反映了论域知识的颗粒性。知识库中的知识越多， 知识的颗粒度就越小，随着新知识不断加入到知识库中，粒度会不断减小， 直致将每个对象区分开来。但知识库中的知识粒度越小，则导致信息量增 大，存储知识库的费用越高。
粗糙集与数据约简 (基于粗集理论的数据约简)
1
2
不确定性理论
粗糙集的基本理论与方法
3
4 5 6
知识的约简
决策表的约简
粗糙集数据约简的具体实现与应用
粗糙集的研究现状与展望
1、不确定性理论
自然界和人类的社会活动的各种现象：确定性现象和不确定性现象。 确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象。 不确定性的分类： 随机性：因为事物的因果关系不确定，从而导致事件发生的结果不 确定性。用概率来度量。概率表示事件发生可能性的大小。概率论 的运用是从随机性中去把握广义的因果律——概率规律。 模糊性：因为事件在质上没有明确的含义，在量上没有明确的界限， 导致事件呈现“亦此亦彼”的性态，是事物类属的不确定性，用隶 属度来度量。隶属度表示事物多大程度属于某个分类。模糊集合论 的运用从模糊性中去确立广义的排中律——隶属规律。 粗糙性：因为描述事件的知识（或信息）不充分、不完全，导致事 件间的不可分辨性。粗糙集把那些不可分辨的事件都归属一个边界 域。因此，粗糙集中的不确定性是基于一种边界的概念，当边界域 为一空集时，则问题变为确定性的。