2015年上海市春季高考数学模拟试卷六
2015上海春考数学试卷及答案
2015上海春考数学试卷及答案2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）2015.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 设全集为{1,2,3}U =，{1,2}A =，若集合则U C A =；2. 计算：1ii+= ；（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ； 4. 计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ；5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为 ； 6. 已知向量(1,3)a =，(,1)b m =-，若a b⊥，则m =；7. 函数224y xx =-+，[0,2]x ∈的值域为 ；8. 若线性方程组的增广矩阵为0201ab ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ；9. 方程lg(21)lg 1x x ++=的解集为 ；A. 3(,)4-∞ B.2(,)3-∞ C.2(,)(1,)3-∞+∞D.2(,1)316. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的为（ ）A. 2y x= B.13y x= C.1y x -=D.12y x-=17. 直线3450x y --=的倾斜角为（ ）A. 3arctan 4B. 3arctan 4π- C. 4arctan3D.4arctan3π-18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A.2π B. C. 23πD.19. 以(3,0)-和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ） A. 2211625x y += B.221167x y += C.2212516x y +=D.221716x y +=20. 在复平面上，满足|1|||z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 直线 21. 若无穷等差数列{}na 的首项1a>，公差0d <，{}na 的前n 项和为nS ，则（ ）A. nS 单调递减 B.nS 单调递增C. nS 有最大值 D.nS 有最小值22. 已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ） A.22a b +有最小值 B.有最小值C. 11a b+有最大值 D.有最大值 23. 组合数122mm m nn n CC C --++*(2,,)n m m n N ≥≥∈恒等于（ ）A. 2m n C + B.12m n C ++ C. 1m n C +D.11m n C ++24. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b R ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为，求该四棱柱的表面积；26. 已知a 为实数，函数24()x ax f x x++=是奇函数，求()f x 在(0,)+∞上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值；27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1︒）？28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=(,0)a b >的左右焦点，126F F=，1(0,)B b -，2(0,)B b ；（1）若a =以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB⋅=-，求实数b 的取值范围；29. 已知函数2()|22|x f x -=-(R)x ∈；（1）解不等式()2f x <； （2）数列{}na 满足()naf n =*(N )n ∈，nS 为{}na 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式 12nnS ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分） 1. 对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B⊂≠”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数a 、b ，2()a b kab-≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0}- B. [4,0]- C.(,0]-∞D.(,4][0,)-∞-+∞3. 已知数列{}na 满足413nn n n a a a a ++++=+()n N *∈，那么（ ） A.{}n a 是等差数列 B.21{}n a -是等差数列C.2{}n a 是等差数列 D.3{}n a 是等差数列二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分） 4. 关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C，若7580OA OB OC ++=，则||BC =；6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f xg xh x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”（1）已知()sin f x x =，()cos g x x =，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由； （2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,)+∞，当[,1)x n n ∈+()n *∈N 时，()f x =12sin 1n xn--，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x =的解；参考答案一. 填空题1. {3}；2. 1i-；3. π；4.0.5；5. 22-+-=； 6. 3；7. [3,4]；(2)(6)1x y8. 2；9. {2}；10. 84；11. 320；12. 221=-；y x二. 选择题13. D；14. A；15. D；16. B；17. A；18. D；19. B；20. D；21. C；22. A；23. A；24. A；三. 解答题25. 8；26. 0f x=；x=，min()4a=，227.4.2BC ≈海里，南偏东46︒；28.（1） 3.6d =；（2）b ≥29.（1）4x <；（2）2514k ≤；附加题1. C ；2. B ；3. D ；4.； 5.； 6.,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩；7.（1）不存在，定义域不为R ；（2）2x π=；。
2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷(文科)(3月份)解析
2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）(扫描二维码可查看试题解析)一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为．11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整17．（5分）（2015•上海模拟）实数x 、y 满足x 2+2xy+y 2+x 2y 2=1，则x ﹣y 的最大值18．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围[﹣+2[+2三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长为，点P 、Q 、R 分别在棱AA 1、BB 1、BC 上，Q 是BB 1中点，且PQ ∥AB ，C 1Q ⊥QR （1）求证：C 1Q ⊥平面PQR ；（2）若C 1Q=，求四面体C 1PQR 的体积．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分. 1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是（0，1]．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．•×=故答案为：4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．=27．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为﹣3≤a≤9．﹣﹣﹣﹣8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为（0，5）．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为3．﹣，由此能求出口袋，11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．x==AB••12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．sinx=x=x=，，，+C）（）即可．，sinx=x=x=，，，+C）（）13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．，﹣+）与（﹣，）和（﹣a+，）和（﹣）的距离，即．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整除，222218．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，[﹣+2[+2+2+2[22三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．，由，，BR=QR=．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．，∴，因此，，时，=4n21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．则：即：所以：则：即：得到：=此时：，+22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．[，）≥≥[23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．1P的方程为：，y=，=0，因此1x+1，（﹣，x++=+n=3y=，如图所示，=0参与本试卷答题和审题的老师有：双曲线；若尘；wsj1012；qiss；刘长柏；1619495736；zlzhan；1457446928；sdpyqzh；wkl197822；孙佑中；sxs123；chenzhenji（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷6套
目录2015年上海市春季高考模拟试卷一 ........................................................... 1 2015年上海市春季高考模拟试卷二 ......................................................... 10 2015年上海市春季高考模拟试卷三 ......................................................... 19 2015年上海市春季高考模拟试卷四 ......................................................... 29 2015年上海市春季高考模拟试卷五 ......................................................... 38 2015年上海市春季高考模拟试卷六 (49)2015年上海市春季高考模拟试卷一一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、函数1()x f x x+=的定义域是 ． 2、已知全集{}21,0,1,2U =--，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3、已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5、若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2l i m 1n n Sn →∞-= ． 7、直线1310l x y -+=：，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．8、已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9、2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10、已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12、已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a ≥B ．0a ≤C ．2a ≥D ．2a ≤．14、已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 15、现给出如下命题：①若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面；②空间三点确定一个平面；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； ④样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 ( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③④D ．③④16、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤ B. 9a ≥或7a ≤- C. 2a ≤-或4a ≥ D. 24a -<<17、不等式1|2|≤-x 的解集是（ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]- 18、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则""βα⊥是""β⊥m 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是（ ）A.、9B.16C.25D.225 20、函数||y m x =与21y x =+在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（ ）A.2m >B.2m ≥C.1m ≥D.1m > 21、设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10D ．不存在22、已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x （ ）A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）24、已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足（ ） A ．abk >|| B ．a b k <|| C ．ba k >|| D ．bak <||三、解答题 25、（本题满分7分）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=，443S ≤≤．求函数22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-的最大值、最小值．A DC 1D 1 A 1B 1BC26、（本题满分7分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离. 27、（本题满分8分）用行列式讨论关于,x y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况，并说明各自的几何意义. 28、（本题满分13分） 已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[)x A a b ∈=，(A D ⊂≠，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．29、（本题满分13分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是2(2,0)F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线l 的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于BA ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上． （3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．附加题30、（本题满分8分）某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数2()300020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()500C x x b =+（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．（1）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（2）在经济学中，对于函数()f x ，我们把函数(1)()f x f x +-称为函数()f x 的边际函数，记作()Mf x ．对于（1）求得的利润函数()P x ，求边际函数()MP x ；并利用边际函数()MP x 的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等） 31、（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足223()n n S a n N *+=∈.数列1112n n n b a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若对于任意n N *∈，不等式(1)n b n λ≥+恒成立，求实数λ的最大值.31、（本题满分14分）已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．（1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；（3）记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C ：2222221(0)x y a b c a b a b +=>>=-，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．2015年春季高考模拟 一参考答案1、[10)(0)，，-? ；2、{}0；3、21log (1)y x x =+ ；4、63y x =；5、2a = ；6、1；7、6p ；8、1；9、3003；10、6-；11、34；12、38215+；13-16BADC ；17-20BBCD ；21-24BCAA25、∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，，443S ≤≤，又1s i n 2S b c x =，∴cos 8bc x =，4tan S x =即 1tan 3x ≤≤∴所求的x 的取值范围是43x ππ≤≤.∵43x ππ≤≤，22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，∴252366x πππ≤+≤，13sin(2)262x π≤+≤. ∴min max ()()2()()3134f x f f x f ππ====+，.26、建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A ，，、1(0,,)D a a 、1(,0,)B a a 、1(,,)C a a a ，向量1()C A a a a =---，，，1(0)AD a a =，，，1(,0,)AB a a =．设()n x y z =，，是平面11AB D 的法向量，于是，有1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ay az ax az +=⎧⎨+=⎩．令1z =-，得11x y ==，．于是平面11AB D 的一个法向量是(1)n =，1，-1．因此，1C 到平面11AB D 的距离1||33||C A n d a n ⋅==．(也可用等积法求得) 27、()()4221m D m m m ==-+，()242x m D m m m m +==-，()()2211y m m D m m m+==-+（1）当2m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x DD y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即212m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩+； （2）当2m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为()2R 2x t tt y =⎧⎪-∈⎨=⎪⎩； （3）当2m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 几何意义：设1:42l mx y m +=+，2:l x my m += 当2m ≠±时，方程组唯一解，则直线1l 与2l 相交； 当2m =-时，方程组无解，则直线1l 与2l 平行； 当2m =时，方程组无穷多解，则直线1l 与2l 重合.28、（1）∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121l o g l o g 011aam mx m mxx x---++=+-． 化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =．∴1()log (11)1a x f x D x -==-+，，． （2）当1a >时，函数1()log (11)1a xf x D x-==-+在，上是单调减函数． 理由：令12111x t x x-==-+++． 易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x+在(11)D =-，上是随x 增大而减小， 故12111x t x x-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 于是，当1a >时，函数1()log (11)1axf x D x-==-+在，上是单调减函数 （3） ∵[)A a b D ⊂=≠，，∴011a a b <<<≤，． ∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1axf x A x-=+在上是增函数， 即1()1log 11a af a a-==+，，解得21(21)a a =-=--舍去．若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1a bb-+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有1b =．因此，所求实数a b 、的值是211a b =-=、． 29、（1）2=c 222b ac +=2234a a +=∴ 3,122==∴b a 1322=-∴y x 双曲线为． （2）:l 0)2(=+-y x m 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=13222y x m m x y 得0344)3(2222=--+-m x m x m由0>∆，得0)34)(3(4224>+-+m m m ，0391222>-+m m ，恒成立即012>+m121200x x x x +>⎧⎨⋅>⎩又 ，03340342222>-+>-m m m m ，32>∴m (,3)3,)m ∴∈-∞-+∞ 设),(),,(2211y x B y x A ，则3222221-=+m m x x 36232222321--=+--=+m mm m m y y )36,32(222---∴m mm m M AB 中点3)3(12963)3(36)3()3(3)3(36)132(3222242222222222222=--++⋅=---+⨯=----m m m m m m m m m m m m 上在曲线3)1(322=--∴y x M ．（3）),(),,(2211y x B y x A , 为锐角使设存在实数AOB m ∠,,0>⋅OB OA 则 02121>+∴y y x x因为221221221214)(2)2)(2(m x x m x x m m mx m mx y y ++-=+-+-=04)(2)1(2212212>++-+∴m x x m x x m0)3(48)34)(1(22422>-+-++∴m m m m m 即0123722>-+m m532<∴m ， 矛盾与32>m ，不存在∴ 30、（1）由题意，0,4000x b ==，所以()5004000C x x =+22()()()30002050040002025004000,0100P x R x C x x x x x x x =-=---=-+-≤≤2125()20()741252P x x =--+（0100x ≤≤，x N ∈），所以62x =或63x = max ()(62)63)74120P x P P ===（百元）（2）()(1)()402480MP x P x P x x =+-=-+（099x ≤≤，x N ∈）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当0x =时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当62x =时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大31、（1）12a =，223n n S a += 11223n n S a +++=()n N *∈ 所以11233n n n a a a ++=- 即：13()n na n N a *+=∈恒成立 所以，{}n a 为以2为首项，公比为3的等比数列。
2015年上海市高考数学试卷模拟卷
2015年上海市高考数学试卷模拟卷(理科)一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零1．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ，则)(N C M U ⋂= ．2、如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么αsin ＝ ． 3．不等式120010321x x x +-≥的解为 ． 4．在二项式52)1(xx -的展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字表示） 5．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z zi||231_____（其中z 是z 的共轭复数）． 6．若函数2()log f x x =，则方程112()2x f x --=的解x = ．7．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127．则该样本的标准差=s8.在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．9．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P=____.10．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ．11.已知等差数列{}n a 中，,101=a 当且仅当5=n 时，前n 项和n S 取得最大值，则公差d 的范围是.___________12．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A 、B 、C 三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=⋅+-⋅成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知1(3,1)P 、2(1,3)P -，且向量3OP 是直线:100l x y -+=的法向量，则“向量3OP 关于1OP 2OP 和的终点共线分解系数”为 ．13．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14. 已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16.观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n ++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n -+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈(C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈17．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表 示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对18设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10．（1）求棱1A A 的长；（2）求点D 到平面11A BC 的距离．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.21．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每x 小时通过管道向所管辖区域供水x 8千吨．（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+F F F ．若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线033:=--y x l 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右顶点为B ，过椭圆右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N两点．ABCD1A 1C 1D①（理）当MBN ∆的面积为726时，求直线l（文）当1=k 时，求MBN ∆的面积；②（理）在x 轴上的点)0,(m P 与点N M ,构成以MN 取值范围．（文）试问：MBN ∆能否为锐角三角形？若能，请求出k 的范围；若不能，请说明理由．23．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 ．从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列．（1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．。
2015年徐汇区一模(春考模拟)试卷
2014学年徐汇区学业水平考（春考）模拟考试高三数学学科（考试时间：90分钟，满分120分） 2014.12一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1、设全集{}{}1,2,3,4,5,6,7=2,4,6U A =，，则=U A ð__________.2、已知i 是虚数单位，则复数1i -的虚部是___________.3、函数()()3log 1f x x =-的定义域为___________.4、函数()f x =的反函数()1f x -=_________.5、已知双曲线2216x y m-=的焦距为14，则实数m =_________.6、函数2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像中两条相邻对称轴之间的距离是_________.7、若等差数列{}n a 的公差为2，且124,,a a a 成等比数列，则1a =_________.8、直线3x =30y -+=的夹角是________.9、已知圆锥的母线长为2_________. 10、若1sin cos ,,82παααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=_________.11、点(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，则22x y +的取值范围是__________.12、已知ABC ∆得顶点()()4,0,4,0A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，且B 点不在长轴上，则sin sin sin A C B+=__________.二、选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分. 13.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.以上都有可能14.在数列{}n a 中，若2*(1)()n n a n N =-∈，则数列{}n a 的极限值是（ ）A.1-B.1C.1或1-D.不存在 15.抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =B. 1x =C. 2x =-D. 1x =-16.“ a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 17.函数()2x f x x =+的零点所在的区间是（ ） A. 1(1,)2-- B. 1(,0)2- C. 1(0,)2 D. 1(,1)218.从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，所取的3个球中至少有一个白球的取法种数是（ ）A.10B.3C.6D.919、已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（ ） A. 2-或52B. 2-C.52D. 52-20、设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 21、某算法如右图所示，若输入27,12A B ==，则输出的结果是（ ）A.27B. 3C. 0D. 1222、若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）A.10B. 20C. 30D. 3523、若长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A. B.C. 50πD.200π24、已知函数()()=1xf x x R x∈+，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.对任意x R ∈，等式()()0f x f x -+=恒成立 B. 函数()f x 的值域为()1,1-C. 对任意12,x x R ∈，若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠D. 方程()0f x x -=在R 上有三个根三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 25、（本题满分6分） 已知集合{{}{}2230,12A x xx B x x =+-<=-≥，求AB .26、（本题满分7分）如图：在长方体1111ABCD A B C D -中，11AC 的中点为1O ，12,3AB BC AA ===，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.27、（本题满分9分）已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()22f x x x =+.若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围.A 128、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分 已知椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 做垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P .（1）求2PF ；（2）过右焦点2F 的直线l ，它的一个方向向量()1,1d =，与椭圆相交于A B 、两点，求1F AB 的面积 29、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()()()2*,,1,1N n n AB S p a CD p n =-=-∈，满足//AB CD ，（其中p 为正常数，且1p ≠）（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若87p =，数列{}n b 对任意*N n ∈，都有 ()12121321718n n n n n b a b a b a b a n n +--⎛⎫++++=-+⋅ ⎪⎝⎭成立，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，最大项是第几项；若不存在，说明理由.2014学年徐汇区学业水平（春考）模拟卷高三数学学科（附加卷）（考试时间：40分钟，满分30分） 2014.12本大题共有3题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 1. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.已知函数()()121,02x x f x a R a a+-+=∈>+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当2a =时，求函数()f x 的值域.2. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.如图，某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径是98米，匀速旋转一圈需要18分钟，如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.（1）当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？（2）当此人距离地面不低于59米时可以看到乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到乐园的全貌？3.（本题满分14分）本题共有3个小题，第2小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分4分.已知数列1234,,,n A x x x x x ⋅⋅⋅：，满足{}()0,11,2,3,i x i n ∈=⋅⋅⋅.定义变换():T A T 将数列A 中原有的每个“1”都变成“0,1”，原有的每个“0”都变成“1,0”，顺序保持不变.若数列()()01:1,0,0,1,2,k k A A T A k +==⋅⋅⋅，规定k A 中连续两项都是1的数列（1,1）的个数为k a ，连续两项是1,0的有序数对()1,0的个数为k b . （1）求数列12,A A ；（2）分别写出1k a +与k b ，1k b +与k a 满足的关系式（只须写出结果）； （3）求k a 的表达式.。
2015年上海春季高考数学试卷
2015年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共36道试题，满分150分．考试时间130分钟（学业水平考，共29题，满分120分．考试时间90分钟；附加题共7题，满分30分．考试时间40分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．第I 卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．设全集{1,2,3}U =．若{1,2}A =，则U A =ð ． 2．计算：1i i += （i 为虚数单位）．3．函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ．4．计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ．5．以点(2,6)为圆心、1为半径的圆的标准方程为 ．6．已知向量(1,3)a =r ，(,1)b m =-r．若a b ⊥r r ，则m = ． 7．函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域是 ．8．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ． 9．方程lg(21)lg 1x x ++=的解为 ．10．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 11．用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）．12．已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ．若动点M满足22122C M C C C A =+uuuu r uuuu r uuu r，则M 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）11a b>（B ）a b ->（C ）22a b > （D ）33a b <14．函数()21y x x =≥的反函数为（ ）（A ）)1y x =≥ （B ）)1y x =≤- （C ）)0y x =≥ （D ）)0y x =≤ 15．不等式2301x x ->-的解集为（ ）（A ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）()2,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ （D ）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16．下列函数中，是奇函数且在()0,+∞单调递增的为 （ ） （A ）2y x =（B ）13y x =（C ）1y x -= （D ）12y x-=17．直线3450x y --=的倾斜角为 ( )（A ）3arctan 4 （B ）3arctan 4π- （C ）4arctan 3 （D ）4arctan 3π-18．底面半径为1、母线长为2的圆锥的体积是 （ ）（A ）2π（B （C ）23π （D ）319．以点()3,0-和()3,0为焦点、长轴长为8的椭圆方程为（ ）（A ）2211625x y += （B ）221167x y += （C ）2212516x y += （D ）221716x y +=20．在复平面上，满足1z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 所对应的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）圆 （C ）线段 （D ）直线 21．若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）n S 单调递减 （B ）n S 单调递增 （C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值22．已知0a >，0b >.若4a b +=，则（ ） （A ）22a b +有最小值 （B（C ）11a b+有最大值（D23．组合数()12**22,,m m m n n n C C C n m m N n N --++≥≥∈∈恒等于（ ）（A ）2m n C + （B ）12m n C ++ （C ）1m n C + （D ）11m n C ++ 24．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b R ∈．下列说法正确的是（ ）（A ）对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （B ）对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 （C ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （D ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 25．（本题满分8分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1D B 和平面ABCD所成角的大小为1A26．（本题满分8分）已知a是实数，函数24()x axf xx++=是奇函数，求()f x在()0,+∞上的最小值及取到最小是时x的值.27．（本题满分8分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30︒方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1︒）？28．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，126F F =，()10,B b -， ()20,B b .（1）若a =(3,4)d =-u r为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若在双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-uuu r uuu r，求b 的取值范围.第II 卷一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分． 1．对于集合A B 、，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠I U ”的( )(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 （D ）既非充分又非必要条件2．对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） (A) {}4,0- （B ）[]4,0- (C) ](0-∞， （D ）][(40-∞-∞U ，,+)3．已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．4．关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．5．已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则BC =u u u r．6．函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ．三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 7． 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的 “()h x 关联函数”。
上海市徐汇、宝山、杨浦2015年高考模拟考数学试卷(理)及答案
y
3cos 4sin
(
为参数，
2
)的交点坐标是
．
8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙
至多一人击中目标的概率为
．
B1
C1
1
2
a12 a22
a1i a2i
a1n a2n
A1
则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为
．
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
a
，二项式
mx2
1 4 x 的展
开式中
x3
项的系数为
a 2
，则常数
m
．
12．设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， g(x) 是定义域为 R 的偶函数，若函数
f (x) g(x) 的值域为[1,3) ，则函数 f (x) g(x) 的值域为
9．矩阵 3
a32
a3i
a3n
中每一行都构成公比为
2
的等比数列，第
n an2 ani ann
B
C
i
列各元素之和为
Si
，则
lim
n
Sn n2 2n
．
A
10．如图所示：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC ， AB BC BB1 ,
点 O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁
的焊接点 A, B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为 C, D ．已知梯形的高是
上海市徐汇区2015届高三数学一模试题理(含解析)
上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。
上海市6校2015届高三3月联考数学文试卷
2015年上海市高三年级六校联考数学试卷（文科）2015年3月6日（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2. 已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅ ，则实数m 的取值范围是 ．3.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4. 若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ．5. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ． 6. 已知向量2a = ，1b =，1a b ⋅= ，则向量a 与a b - 的夹角为 ．7. 执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ． 8. 不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 9. 若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ． 10. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．11. 设,x y ∈R ，若不等式组320,220,10x y x y ax y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数a 的取值范围是 ．12. 从1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ． 13. 已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ． 14. 已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：① 20OB OC OA -⋅≥ ； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不16. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ） （A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x xy --=（D ）22log 2x y x -=+ 17. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且m α∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18. 对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ） （A ）()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭（B ）()221f x x =- （C ）()21x f x =+ （D ）()()2log 22f x x =-三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．19. （本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且1cos22A C +=．（1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．20. （本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠= ．（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．21. （本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？22. （本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知各项为正数的数列{}n a 中，11a =，对任意的*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，公比为k q ；22122,,k k k a a a ++成等差数列，公差为k d ，且12d =． （1）求2a 的值； （2）设11k k b q =-，证明：数列{}k b 为等差数列； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23. （本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O 与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A ，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的轨迹方程；（2）若直线y x =和y x =-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的周长；（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．2015年上海市高三年级 六校联考数学试卷（文科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 125. 56、6π 7. 21 8. (]4,0- 9. 8 10. 311、1[2,]3-- 12. 419013. ()0,1- 14．①③⑤二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19. 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A A A A =-1cos 2222AA -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤-⎥⎝⎦. ………………12分 20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD . ∵ //CD EF ，CD EF DM ==， ∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3分 由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM ===在MEB △中，由余弦定理得222cos 2ME BE BM MEB ME BE +-∠==⋅． ∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE所成的角为 ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分 可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ，∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--，得DF BE ==………………4分设向量,DF BE 夹角为θ，则022422cos DF BE DF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE 所成的角为 ………………7分（2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =. ………………9分 ∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+- ………………2分 ()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数， 可求得[300,75]P ∈--. ………………5分∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． ………………7分 （2）设平均处理成本为90050y Q x x x==+- ………………9分5010≥=， ………………11分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分 22. 解：（1）由题意得2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ………………2分 故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分（2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列， 212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++= 又∵22122,,k k k a a a ++成等差数列， ∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=.∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分 ∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分 （3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k +===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k ad a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,- 这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明： ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-.则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是221212121k k k a k q a k ++++==-， ∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6, 这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k +=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,- 这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-. 显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形.由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-= . ………………13分 对于1,2,4,6, 这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++= . ………………16分23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+ ， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221x y xy++=（,33x y ⎡∈-⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分 （2）由221y x x y xy =⎧⎨++=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，A，C） 同理，可求得B （1,1），D （－1,－1） 所以，四边形ABCD 的周长为：179（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）， 它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称， 同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.·11· 可以求得221x y xy ++=和直线y x =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===. 在y x =-上取点12,,3333F F ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 曲线Γ为椭圆：其焦点坐标为12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭.。
上海市2015届高三十校联考数学试题 Word版含解析[thancy3]
![上海市2015届高三十校联考数学试题 Word版含解析[thancy3]](https://img.taocdn.com/s3/m/a6eef3390b4c2e3f56276305.png)
2015年上海市十校联考高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．（4分）（2015•上海模拟）设集合，则A∪B={x|﹣1≤x＜2}．【考点】：并集及其运算．【分析】：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．【解析】：解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】：本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．（4分）（2015•上海模拟）已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．【解析】：解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．（4分）（2015•上海模拟）在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【考点】：三阶矩阵．【专题】：计算题．【分析】：首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解析】：在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．（4分）（2015•上海模拟）如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【考点】：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解析】：解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．（4分）（2015•上海模拟）设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【考点】：反函数．【专题】：计算题．【分析】：由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可【解析】：解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】：本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．（4分）（2015•上海模拟）方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，}．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质．【分析】：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．【解析】：解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】：本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．7．（4分）（2015•上海模拟）若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．【解析】：解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC=××=，∴棱锥的高SO==，∴三棱锥的体积V=×××××=．故答案是．【点评】：本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．8．（2015•上海模拟）一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为72+18．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据正三棱柱的特点，侧面是长为侧棱长，宽为底边三角形边长的三个矩形，两个底面都是边长为6的等边三角形，然后根据矩形的面积与等边三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【解析】：解：∵一个正三棱柱有三个侧面，∴侧面积=3×（4×6）=72，底面面积=2××6×（6×）=18，所以，则这个棱柱的表面积为72+18．故答案为：72+18．【点评】：本题考查了等边三角形的性质，几何体的表面积，要注意等边三角形的高等于边长的．9．（4分）（2015•上海模拟）函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵f（x）==，由得，∴，∴，函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．10．（4分）（2015•上海模拟）已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为3．【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．【解析】：解：∵||=||=2，与的夹角为，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵与的夹角为，∴在上的投影为|+|cos=3故答案为：3【点评】：本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．11．（4分）（2015•上海模拟）在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【考点】：余弦定理．【专题】：计算题．【分析】：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．【解析】：解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】：此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．12．（4分）（2015•上海模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是（0，1]．【考点】：数列的极限．【专题】：计算题．【分析】：根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．【解析】：解：当q=1的情况，S n+1=（n+1）a1，所以成立，当q≠1是的情况，，所以可以看出当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1]．【点评】：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．13．（2015•上海模拟）已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为139．﹣1【考点】：数列的求和．【专题】：计算题．【分析】：由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解【解析】：解：∵a n=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，∴f（4）﹣f（3）=a1+a2+a3+…+a7﹣（a1+a2+a3+…+a5）=a6+a7=11+27=139故答案为：139【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题14．（4分）（2015•上海模拟）已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．【解析】：解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．15．（4分）（2015•上海模拟）记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18]．【考点】：数列递推式；等差数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．【解析】：解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】：解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．16．（4分）（2015•上海模拟）（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有3个．【考点】：平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由=0可得，分类作图可得结论．【解析】：解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．17．（2015•上海模拟）数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则=．【考点】：数列的极限．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：先利用裂项相消法求出S n，再求极限即可．【解析】：解：S n=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】：本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）18．（5分）（2015•上海模拟）设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．【解析】：解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选B．【点评】：本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．19．（5分）（2015•上海模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S1=1．S2=2，且S n+1﹣3S n+2S n =0，（n∈N*，n≥2），则此数列为（）﹣1A．等差数B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列【考点】：等比关系的确定．【专题】：计算题．【分析】：求的是数列的通项公式条件是数列{a n}的前n项和为S n，由所以由两者间的关系求解．要注意分类讨论．【解析】：解：由S1=1得a1=1，又由S2=2可知a2=1．∵S n+1﹣3S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），∴S n+1﹣S n﹣2S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），即（S n+1﹣S n）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=0（n∈N*且n≥2），∴a n+1=2a n（n∈N*且n≥2），故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列．故选D．【点评】：【点评】：本题主要考查数列的前n项和通项公式及两者间的关系的应用．20．（2015•上海模拟）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．C．D．【考点】：选择结构．【专题】：压轴题；图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解析】：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，D：f（x）=不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而C：既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故C：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．21．（5分）（2015•上海模拟）关于函数和实数m、n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【考点】：指数函数单调性的应用．【专题】：综合题；探究型．【分析】：观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项【解析】：解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选C【点评】：本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题22．（5分）（2015•上海模拟）函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；【解析】：解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，（5）x=0时，显然函数无零点；综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选：D．【点评】：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f （x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题．23．（2015•上海模拟）已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：作图题．【分析】：先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．【解析】：解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选：B【点评】：本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．三、简答题（本大题满分74分）24．（12分）（2015•上海模拟）（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．【考点】：直线与平面所成的角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得SA⊥BC，CB⊥AB，从而BC⊥平面SAB，∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，由此能求出直线SC与平面SAB所成角．（2）作AE⊥SB于E，由已知AE===，由此能求出几何体的体积．【解析】：（理）解：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又底面ABCD为正方形，∴CB⊥AB，又SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan，∴直线SC与平面SAB所成角为arctan．（2）作AE⊥SB于E，Rt△SBC中，AB=3，SA=4，SB=5，又S△SAB==，∴AE===，∴几何体的体积V===．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．25．（2015•上海模拟）（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．【考点】：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】：计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知BC∥AD，∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，由此能求出直线SC与AD所成角．（2）利用等体积可求点B到平面SCD的距离．【解析】：解：（1）∵BC∥AD，∴∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，∵SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan∠SCB=，∴直线SC与AD所成角为arctan．（2）连接BD，设点B到平面SCD的距离为h．∵V S﹣BCD=V B﹣SCD，∴=，∴，∴h=，∴点B到平面SCD的距离为．【点评】：本题考查直线与直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．（14分）（2015•上海模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】：计算题．【分析】：（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．【解析】：解：（1）（2分）=（5分）∴，则A=60°（7分）（2）证明：B+C=120°，所以，（8分），则（9分），所以B+30°=60°或B+30°=120°（12分）B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形（14分）【点评】：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．27．（14分）（2015•上海模拟）已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【考点】：指、对数不等式的解法；函数单调性的判断与证明．【专题】：计算题；综合题．【分析】：（1）由题意可得≥3x从中解得﹣1≤3x≤，解此指数不等式即可求得x的取值范围；（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（﹣1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x1，x2∈R，x1＜x2，再作差f（x1）﹣f（x2），最后判断符号即可．【解析】：解：（1）由题意，≥3x，化简得3•（3x）2+2×3x﹣1≤0…（2分）解得﹣1≤3x≤…（4分）所以x≤﹣1…（（6分），如果是其它答案得5分）（2）已知定义域为R，所以f（0）==0⇒a=1，…（7分）又f（1）+f（﹣1）=0⇒b=3，…（8分）所以f（x）=；…（9分）f（x）==（）=（﹣1+）对任意x1，x2∈R，x1＜x2，可知f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=﹣（）…（12分）因为x1＜x2，所以﹣＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．…（14分）【点评】：本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．28．（2015•上海模拟）（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？【考点】：函数最值的应用．【专题】：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）设第n年开始，盈利为y万元，从而可得y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108；从而令y＞0解得即可．（2）分别计算两种方案的总获利，比较即可．【解析】：解：（1）设第n年开始，盈利为y万元，则y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108，（n∈N*）；令y＞0得，3n2﹣﹣54n+108＜0，故9﹣3＜n＜9+3，∵n∈N，∴第3年开始盈利．（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：∵y=﹣3n2+54n﹣108=﹣3（n﹣9）2+135，∴当n=9时，y max=135；故共可获利135+3=138万元；方案二：年平均盈利为=54﹣3（n+）≤18，（当且仅当n=，即n=6时，等号成立），共可获利18×6+30=138万元；但方案一的时间长，故方案二合算．【点评】：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．29．（16分）（2015•上海模拟）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【考点】：函数恒成立问题；反函数．【专题】：计算题．【分析】：（1）欲判断函数f（x）=﹣x=1，lg（x）=2x﹣1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；（2）先求出函数f（x）的反函数f﹣1（x），然后直接根据题中的定义判断f﹣1（x）是否是M的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．【解析】：解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M （2分）因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…（6分）又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…（9分）所以f﹣1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得＜1即…（13分）若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）【点评】：本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．30．（2015•上海模拟）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【考点】：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．【专题】：计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】：（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．【解析】：解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【点评】：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．31．（18分）（2015•上海模拟）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．【考点】：数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）根据“生成数列”的定义，数列{b n}满足，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结论；（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c n}的“生成数列”{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．【解析】：解：（1）∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，∴3分综合得：b n=2n﹣14分（2）6分当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4（常数）所以此时数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列8分当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分此时c1+c3≠2c2，∴此时数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．10分（3）11分当n=1时，T n=p1=312分当n≥2时=3+（3•2+3•22+…+3•2n﹣1）+（3+5+…+2n﹣1）=3•2n+n2﹣4，14分所以，15分若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，则2012≤T n≤626016分由于{T n}对于一切自然数是增函数，T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260所以存在唯一的自然数m=10满足若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0成立18分．【点评】：本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．32．（2015•上海模拟）（文）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1=a1，b n=a n+a n﹣1（n≥2，n∈N*），则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．（1）若数列{a n}的通项为数列a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{d n}的通项为数列d n=2n+n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由a n=n，可得b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=2n﹣1，即可得出．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，p1=d1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣1=3×2n﹣1+2n﹣1．可得p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2时，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，即可判断出．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，判断l2﹣l1与l3﹣l2是否相等即可得出．【解析】：解：（1）∵a n=n，∴b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=n+n﹣1=2n﹣1，当n=1时也成立，∴b n=2n﹣1．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，p1=d1=21+1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣1=2n+n+（2n﹣1+n﹣1）=3×2n﹣1+2n﹣1．∴p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2时，T n=3++=3+3×2n﹣6+（n﹣1）（n+1）=3×2n+n2﹣4．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，此时l2﹣l1=2A+B，l3﹣l2=2A，∵2A≠2A+B，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．综上可得：当B=0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．【点评】：本题考查了新定义“生成数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2001-2015上海春季高考数学答案汇总.doc
an 对任意的 n N 都成立，则下列数列中可取
B． a3k 1
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17． （本题满分 12 分） 已知 R 为全集，A= {x | log 1 (3 x) ≥ 2} ，B= {x |
2
5 ≥ 1} ，求 A B ． x2
2 2
）
2 / 92
A．充分不必要条件 B．充要条件 14．若直线 x =1 的倾斜角为 ，则 A．等于 0 B．等于
C．必要不充分条件 D．既非充分条件也非必要条件 （ ）
4
C．等于
2
D．不存在 ）
15．若有平面 与 ，且 l , , P , P l ，则下列命题中的假命题 （ A．过点 P 且垂直于 的直线平行于 C．过点 P 且垂直于 的直线在 内 16．若数列 {an } 前 8 项的值各异，且 an8 遍 an 前 8 项值的数列为（ A． a2 k 1 ） C． a4 k 1 D． a6 k 1 B．过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 D．过点 P 且垂直于 l 的直线在 内
17．[解]由已知 log 1 (3 x) ≥ log 1 4 ．
2
2
由 由
3 x ≤4 解得-1≤ x ＜3．所以 A {x | 1 ≤ x 3} ． 3 x 0,
5 ≥1，解得-2＜ x ≤3．所以 B {x | 2 ＜ x ≤ 3} ． x2
于是 A {x | x 1或x ≥ 3} ，故 A B {x | 2 x 1或x 3} ．
上海市高中数学综合练习试卷第 1 套
考生注意：本试卷共有 22 道试题，满分 150 分． 一、填空题 1． x 1( x ≥ 1) ．
上海春季高考数学模拟试卷一
2015年上海市春季高考模拟试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分•请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上.）x 1f（ X ）=1、函数X 的定义域是3、 已知函数y =f （x ）是函数f （x）=2（X-1）的反函数，则f（X ）二（要求写明自变量的取值范围）•2 24、 双曲线2x _3y"的渐近线方程是实数a=l i m^n —丿 n 2 -1 =7、直线l：3x-yV=0 , I 2： x ，5=0，则直线h 与>2的夹角为=•8、 已知0 ：：： m ：：1（m R ）,:是方程 x 2 mx 0 的根，则1=•/ 21、15（X ）9、 x的二项展开式中的常数项是（用数值作答）•■4H■> 4^4 H H 4 410、 已知©、◎是平面上两个不共线的向量，向量 a= 2° 一色,b = me ■ 3曳•若aL b ,则实数m=•11、 已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同，若圆柱 M 与球O 的表面积相等，贝U 它们2、已知全集 U ={—2—1,0,1,2 }，集合2,x 、n Zn —1 J 则 CA5、若函数 f (x)二 2cos(4x ) -17 与函数 g （x ） =5tan®-1） 2的最小正周期相同，则6、已知数列'是首项为 1，公差为2的等差数列, S n （n • N ）是数列的前n 项和，则的体积之比V圆柱："球= （用数值作答）•12、 已知角〉、'的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，…（°，二），角一的 二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分•请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上.）13、已知〉：x 一 a ， ： ： I X -卅：：：1•若：•是：的必要非充分条件，则实数 a 的取值范围是 ()A. a _0 B . a _0C a X2D a 兰2 .14、 已知直线 I : ax by =1 占 P(a ,: 八、、 2 2b ）在圆C ： x y 1外，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）A .相交B.相切C.相离D.不能确定15、现给出如下命题： ① 若直线1与平面〉内无穷多条直线都垂直，则直线 I -平面;② 空间三点确定一个平面；③ 先后抛两枚硬币，用事件 A 表示第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示第二次抛出现④样本数据-1, -1，0，1,1的标准差是1 •则其中正确命题的序号是 （ ）A .①④B .①③C .②③④D .③④16、在关于 x 的方程 x 2 -ax • 4=0 , X a -1 x ^^0 , x 2 • 2ax • 3a 1^0 中，已知至 少有一个方程有实数根，则实数 a的取值范围为（）A. -4 _a J4B. a 色9或 a<^C .a 兰一2 或 aK4D . —2vav417、 不等式〔 2 xj 的解集是（ )A. [-3, -1]B .【1,3】C .[-3,1]D. [-1,3]18 已知a,"仃 1 B "m 为平面a 内的一条直线，则—是3表示两个不同的平面， 终边与单位圆交点的横坐标是cos =13，角■的终边与单位圆交点的纵坐标是 4 5，则 反面向上”，则事件A 和B 相互独立且 P(AB)1P(A)P(B匕"m-■"的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 219、已知F「F2是椭圆25 9 的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则1 PF11 1 PF21的最大值是（）20、函数y =m 1 x 1与y =x 1在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（）A. m 2B.m _ 2C.m 1D . m 1三、解答题25、（本题满分7 分）f （x ）=2、,3si n 2（x ） 2COS 2X 「：；'34士 S 士 4、3 •求函数4的最大值、最小值. A.、 9 B.16C.2525 D.221、 设函数22、 JIcos(x )已知 62m23、 B . 1C . 10D .二 m cos x cos(x，则-3^ (B .- 2mC .■, 3m 个角（如图 1 所示 A 、 B 、C 分别是D. ±< 3m24、已知方程b X -a[k(x _ b)] _ ab = 0(ba 0)的根大于a ,则实数k 满足()|k| b|k 卜:匕|k| a|k 卜:£A . aB . aC .bD .b在ABC 中，记BAC =x （角的单位是弧度制 ），也ABC 的面积为s ,且AB ，AC = 8 ,不存在)1f （x ）二旳妙-1），则f （0）的值为（GHI三边的中体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）26、（本题满分7分）已知正方体ABCD-ABGD1的棱长为a.求点C1到平面AB）D1的距离.4 / 1327、（本题满分8分）mx 亠4y = m 亠2用行列式讨论关于x，y的二元一次方程组.x5y=m的解的情况，并说明各自的几何意义.28、（本题满分13分）2m -1 - mx, 小八f（x）=loga --------------- （a>0, a 式1）已知函数x 1是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）.（1）求实数m的值，并写出区间D;（2）若底数a 1，试判断函数—f（X）在定义域D内的单调性，并说明理由；「A睾D（3）当X，A=[a, b）（, a是底数）时，函数值组成的集合为[1,二）,求实数a、b的值.29、(本题满分13分)(1 )求双曲线C 的方程; (2)设经过焦点F2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支相交于A, B2 2 不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明 AB 中点M 在曲线3(x -1) - y 二3上.(3) 设(2)中直线1与双曲线C 的右支相交于A，B两点，问是否存在实数 m ，使得• AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由.附加题30、(本题满分8分)某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0'x 「00，x ・N)时，销售收入函数2R(x) =3005-20x (单位：百元)，其成本函数满足C(x) =500x (单位：百元).已知 该公司不生产任何产品时，其成本为4000 (百元).(1) 问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？ (2)在经济学中，对于函数f(x)，我们把函数f(x 1^f (x)称为函数f (x )的边际函数， 记作Mf (x).对于(1 )求得的利润函数P (x)，求边际函数MP(x)；并利用边际函数MP(x)的性质解释公司生产利润情况.(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零 点等)已知双曲线C : 2x ~2a2爲=1 (a ■ 0,b 0)b的一个焦点是F 2（2,0），且 b = 43a31、(本题满分8分)1 n =1 bn二 已知数列仏"的前n项和为Sn ，满足2+益匸N 冷.数列二 a n 1 n_2.n(1)求证：数列力山为等比数列;(2)若对于任意N ,不等式g —(n 恒成立，求实数■的最大值.31、(本题满分14分)已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线l l： X 二-2的距离为d i ，到点F(_1,°)的距离为d 2，且d i2.(1) 求动点P 所在曲线C 的方程；(2) 直线I 过点F 且与曲线C 交于不同两点 A 、B(点A 或B 不在X 轴上)，分别过A 、B 点 作直线11 :X二-2的垂线，对应的垂足分别为 M 、N ，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆 的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况 )；(3)记S应AM , 5 =S ^MN , S B ^S^BN (A 、B 、M 、N 是⑵中的点)，问是否存在实 数’，使S2二‘^足成立•若存在，求出’的值；若不存在，请说明理由.玄211 ： X = — _. . c \进一步思考问题：若上述问题中直线C 、点F(-c, °)、曲线C :2 2 ________________________________________________X 2岭=1(a b °, c = a 2 -b 2)S _. s sa b，则使等式S一S 1S 3成立的’的值仍保持不变.请给出你的判断(填写 不正确”或 正确”限于时间，这里不需要举反例，或证明).2015年春季高考模拟一参考答案 1、 [-1,0)?(0,? ) ； 2、 {°}- 3、 y = 1+ log 2 x(x? 1). ;°、 . 4、o 76 y=?TP6、1; 7、6; 8、1; 9、 3003 ； 10. - 6 ； 11、4 ； 12、 13-16BADC ； 17-20BBCD ； 21-24BCAA 25、 N BAC = X ,TC AB=8 , 4ESE4V3 ,又S=4tanx 即1<tanx 所求的x 的取值范围是 f(x)=2、、3sin 2(x ) 2cos 2 x - 4 兀 5兀 2x 6 6 f (x)min H 「才2, 26、建立空间直角坐标系, B(a,O,a)、G(a,a,a) 设n=(x , y, z)是平面 15bccosx = 8 ,2.3 = \ 3 sin 2x cos2x 1 二 2sin(2 x )1,61 二 sin(2 x —) f(X )max = f()4 可得有关点的坐标为 A（0，0 0）、D 1 （0,a, a ）、，向量 C 1A =(_a ，—a ，—a), AD 1=(0,a, AB D 1 I n AD<| = 0 的法向量，于是，有n 阴=0 a) AB 1 = (a,0,a) ay az = 0 即 axaz = 0令z rT ,得X 二1，y 二1.于是平面 d=ICH^a l n l 3.（也可用等积法求得） AB1D 1的一个法向量是n =（1,1,-1)因此, C 1到平面ABiU 的距离 27、 D=mm = m —2 m 2D x ==m m -2 D y D x x -DD y(1) 当m = _2时，D =0方程组有唯一解，此时mx = m 2 m +1 y =m +2 ；(2)当m =2时，D二Dx =D y =0，方程组有无穷多组解，通解可表示为(3)当时，D =0 , D—0 , 6 7，此时方程组无解几何意义：设h：mx4y=m 2, L：x my=m当m = ：2时，方程组唯一解，则直线l i与12相交；当m二二时，方程组无解，则直线l i与12平行；当m =2时，方程组无穷多解，则直线h与12重合.28、( 1 ) •/ y =f(X)是奇函数，.••对任意X € D ,有f( x)+f(- x)=即2 2 2化简此式，得(m—1)x-Rm-1) JnO .又此方程有无穷多解(D是区间)，必有1 _ xf(x H lo g^^—在D 之-1,1)(2 )当a 1时，函数 1 x 上是单调减函数.t —一1+2理由：令1 x 1 x.2易知1 x在D珂-1,1)上是随x增大而增大，1 x在D珂-1,1)上是随x增大而减小,1 —xf(x)=log a ——在D=(—1,1)于是，当a 1时，函数 1 x 上是单调减函数A=[a, b) = D(3) •/,.•• 0 £a v1, a cb 兰1 .1 - x"据⑵的道理，当0S1时，函数心叫门在A上是增函数,2m - 1-mx ,m - 1mx lOgm^-m2「1 =02[(2m -1)一1 =0，解得m =11 — xf(x)g1x，D 十⑷1 -x 1 x21 x在D珂-1,1)上是随x增大而减小.f (a) =1,loga 匕=1即 1 a ，解得 a f 2 -1(舍去 a =r；2 -1).若b ：：：1，则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga^b1 b15 / 13因此，所求实数a、b的值是a = 2 -1、b =1c 2 2丄」2 ‘2丄c2=2 c a b.4=a 3ay = _mx 2m■ AB中点M (三，-迁)m -3 m -3.M在曲线3(x-1)2-y2=3上(3)A(X i,y i),B(X2, y2)设存在实数m,使Z AOB为锐角则OA OB a °X1X2 y』2 02 2 2因为y1 y2 二(_mx1 2m)( -mx2 2m)二m X1X2 -2m (x〔X2) 4m2 2 2(1m )x^2 -2m (x1x2) 4m 0(1 m2)(4m2 3) -8m4 4m2(m2 - 3) 0 即7m23-12m202 3是［1,':：)的要求.(也可利用函数的变化趋势分析, 得出b=1) •••必有b.=诃七双曲线为X229、( 1)c(2) 1 ：m(x -2) y = °由2、 2二1 2 2 2 〜得(3 - m )x 4m x - 4m - 3 二04 2 2得4m (3 - m )(4m 3) 0 12m2+9-3m2>0 即m2 +1>0恒成立4m2又X1 X2 0N x2A Om2 -34m2 3m2 -3 °，m2 3.m 三3® 3，…，)x-i x22m2yi y22m3设A(X1,yJ, B(X2,y2)，则 2 m2-32m26m23(乞-1)2 36m2m2(m23)236m2(m2 -3)2(m2 -3)2 (m2-3)2=3 m46赤9-伽2(m2-3)2-330、(1 )由题意, x=0,b=4000 所以C(x) =500x+4000，rm ^5 与m2>3矛盾二不存在理由：由题意可知，当过点F的直线1的斜率为0时，不合题意, 故可设直线1:x二砒-1,2x_ +因此，动点P所在曲线C的方程是：2y2=1 (2)点F在以MN为直径的圆的外部.2P(x)二R(x) -C(x) =3000x -20x -500x-4000 工-20x22500x -4000,0 乞x 叮00 125 2P(x)二「20(x )2741252 ( 0WxE100 , x^N)，所以x = 62 或x = 63P(x)max 二P(62) = P63) = 74120 (百元)(2) MP(x) =P(x+1)—P(x) = —40x+2480 ( 0 兰x 兰99 , N ) 边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少;2480,说明生产第一台的利润差最大；当x = 62时,当x = 0时，边际函数取得最大值为边际函数为零，说明生产62台时,利润达到最大31、( 1) 6 =2, 2 2S n金2 2Sn 1 =3an 1 (n N )所以2an 1 =3an d_ 3an即: 並=3 (n N )a n恒成立所以，'aJ为以2为首项，公比为3的等比数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年上海市春季高考模拟试卷六一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、不等式304xx -≤+的解集是___________. 2、在ABC ∆中，角,,C A B 满足sin :sin :sin 1:2:7A B C =，则最大的角等于________. 3、若复数z 满足()2z i z =-（i 是虚数单位），则=z ____________. 4、已知全集U R =,集合{}{}0,,13,A xx a x RBx x x R =+≥∈=-≤∈，若()[]2,4U C A B =-,则实数a 的取值范围是___________. 5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 6、设直线1:20l ax y +=的方向向量是1d ，直线()2:140l x a y +++=的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则a =_________.7、若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式101x x a>-+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.9、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p =_________.10、设函数()()[)()36log 1,6,3,,6x x x f x x -⎧-+∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩的反函数为()1f x -，若119f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()4f a +=__________. 11、设()8,a Rx a ∈-的二项展开式中含5x 项的系数为7，则()2l i m nn a a a →∞+++=_________.12、已知定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有3个不同的实数根123,,x x x ，则222123x x x ++=____________.二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 14、已知z 是复数，21,2z i i+=+-则z =（ ） A . 1i - B . 2i + C . 12i - D . 3i + 15、不等式11xx <+的解集是（ ） A . {}10x x -<< B . {},1x x R x ∈≠-且 C . R D . {}01x x << 16.已知,,i j k 表示共面的三个单位向量, i j ⊥,那么()()i k j k +⋅+的取值范围是（ ） A . []3,3- B . []2,2- C . 21,21⎡⎤-+⎣⎦ D . 12,12⎡⎤-+⎣⎦17、已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线23x π=对称，则ϕ的最小正值等于（ ） A . 8π B . 4π C . 3π D . 2π18、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）.A m αβα⊥⊂且 .B m αβα⊥且 .C m n n β⊥且 .D m n αβ⊥且19、5.甲、乙两个小组，甲组有3名男生2名女生，乙组有3名女生2名男生，从甲、乙两组中各选出3名同学，则选出的6人中恰有1名男生的概率等于（ ）A . 3100B . 4100C . 5100D . 610020、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,B A 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O为坐标原点），则实数a 等于（ ）.A 2 .B 2- .C 22-或 .D 66-或21、已知曲线210x y ++=与双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（ ）A . 22B . 23C . 4D . 2522、对于定义在实数集R 上的函数()f x ,若()f x 与(1)f x +都是偶函数，则（ ） A .()f x 是奇函数 B .(1)f x -是奇函数 C .(2)f x +是偶函数 D .(2)f x +是奇函数23、在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，二面角11B AA C --的大小等于060，B 到面1AC 的距离等于3，1C 到面1AB 的距离等于23，则直线1BC 与直线1AB 所成角的正切值等于（ ） A .7 B . 6 C . 5 D . 224、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-. 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） .A ①②③ .B ②③ .C ①③ .D ②③④ 三、解答题25、（本题满分7分）设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .26、（本题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()2s i n ,2c o s m B B = ，()3cos ,cos n B B =-，且1m n ⋅=-.（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.27、（本题满分8分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2,22PA AB AD ===，求 （1）PCD ∆的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成角的大小. 28、（本题满分13分） 在数列{}n a 中，112a =-，()*1212,n n a a n n n N -=--≥∈，设n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； 29、（本题满分12分）抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.PA BCDE30、（本题满分13分）设a 是实数，函数()42x xf x a=+-()x R ∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足()2f x a >的x 取值范围；（3）求函数()y f x =的值域（a 表示）. 31、（本题满分18分）设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ). （1）若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.2015年春季高考模拟试卷2015年春季高考模拟试卷六参考答案1、()[),43,-∞-+∞；2、23π；3、2；4、(),4-∞-；5、12；6、23-；7、223π；8、()2,2-；9、4；10、2-；11、13-；12、5； 13-17、CABDD 18-24CACDC AB25、（1）由28150x x -+=得3x =或5x =，所以{}3,5A =.若15a =，得1105x -=，即5x =，所以{}5B =，故B A Ü. （2）因为{}3,5A =，又B A ⊆.①当B =∅时，则方程10ax -=无解，则0a =； ②当B ≠∅时，则0a ≠，由10ax -=，得1x a =，所以13a =或15a =，即13a =或15a = 故集合11035C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，.26、（1）【3π】（2）【 3】 27、（1）【23】（2）【 4π】28、（1）略（2）【222n n n T +=-】29、（1）【24y x =】（2）【2】（3）【3-】 30、（略）31、解：（1）222,4y x a aQ b b y xab ⎧=⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=⎪⎩， 代入22211a y mx m b b ⎛⎫=+∴=+ ⎪⎝⎭2220ma b b ⇒+-=当1m =时，点 (,)P a b 在圆:M ()2211x y +-=上（2）(),P a b 在椭圆2241x y +=上，即()2221a b += ∴可设1cos ,sin 2a b θθ==又2,a Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2Q Q a x b y b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩222222242cos sin sin Q Q a y mx m m b b θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222164cos 16sin sin m θθθ=-=（令4m =）∴点Q 在双曲线22416y x -=上 （3）圆M 的方程为()2211x y +-=设()()1122:,,,,,AB x ky A x y B x y λ=+由1OA OB ⋅=()()2222222211221122121111221x y x y y y y y y y +⋅+=--+⋅--+=⋅=⇒1214y y = 又()22111x y x ky ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩ ()()2221210k y k y λλ⇒++-+=，21222111421y y k k λλ∴==⇒=++又原点O 到直线AB 距离21d k λ=+ 12d ∴=，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴直线AB 恒与圆221:4S x y +=相切.。