数列求和、数列的综合应用

数列求和、数列的综合应用

挖命题

【考情探究】

考点：1.数列求和；

2.数列的综合应用。

内容解读：①掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

②能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题

分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.

2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.

3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.

破考点

【考点集训】

考点一数列求和

1.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{a n}中,a4=5,a7=11.设b n=(-1)n·a n,则数列{b n}的前100项之和S100=( )

A.-200

B.-100

C.200

D.100

答案 D

2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S n为{a n}的前n项和,若a n(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),则S88等于.

答案2332

3.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足

a n

b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为.

答案 1 009

2 020

考点二数列的综合应用

1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比

均为3,则a b

1+a b

2

+a b

3

=( )

A.64

B.32

C.38

D.33

答案 D

2.(2017陕西西安铁一中第五次模拟,9)已知数列{a n}满足a n=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有“优数”的和为( ) A.1024 B.2003 C.2026 D.2048

答案 C

3.已知a n=3n(n∈N*),记数列{a n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,(T n+3

2

)k≥3n-6恒成立,则实数k的取值范围是.

答案k≥2

27

炼技法

【方法集训】

方法1 错位相减法求和

1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na n}的前n项和为S n,且a n=2n,则使得S n-na n+1+50<0的最小正整数n的值为.

答案5

2.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)记b n=a n(a2n-1+1),求数列{b n}的前n项和T n.

解析(1)设数列{a n}的公差为d,

则S n=na1+n(n-1)

2d=d

2

n2+(a1-d

2

)n,

又S n=n2+Bn+C-1,两式对照得{d

2

=1,

C-1=0,

解得{

d=2,

C=1,

所以a1=1,

所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).

(2)由(1)知b n=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,

则T n =1×2+3×22+…+(2n-1)·2n

,

2T n =1×22

+3×23

+…+(2n-3)·2n

+(2n-1)·2n+1

, 两式相减得T n =(2n-1)·2n+1

-2(22

+ (2)

)-2 =(2n-1)·2n+1

-2×22(1-2n -1)1−2

-2

=(2n-3)·2n+1+6.

方法2 裂项相消法求和

1.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列{}的前2 017项的和为( )

A.√2 018+1

B.√2 018-1

C.√2 017+1

D.√2 017-1 答案 B

2.(2018湖南邵阳期末,15)设数列{(n 2

+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=1

54,则数列{3n

a n }的前15项和为 . 答案

1516

3.(2017广东潮州二模,16)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,a n =2·3n-1

(n ∈N *

),若b n =a n+1

S n S n+1

,则

b 1+b 2+…+b n = . 答案 1

2-1

3n+1-1

过专题 【五年高考】

A 组 统一命题·课标卷题组

考点一 数列求和

1.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n

1

S k

= .

答案

2n

n+1

2.(2015课标Ⅰ,17,12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +

3.

(1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1

a

n a n+1

,求数列{b n }的前n 项和.