关于高等数学形成性考核册答案

高等数学（B ）（1）第一次作业

初等数学知识

一、 名词解释

邻域：设a 和δ是两个实数，且0δ>，满足不等式x a δ-<的实数x 的全体称为a 的δ邻域。

绝对值；数轴上的点a 到原点的距离称为a 的绝对值，记为a 。 数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。

实数：实数由有理数和无理数组成。有理数包括整数和分数。 二、 填空题

1、绝对值的性质有（0a ≥）、（ab a b =）、（a a b b

=）

、（a a a -≤≤）、（a b a b +≤+）、（a b a b -≤-）。

2、开区间的表示有（(),a b ）、（ a x b <<）（提示：分别用区间和数轴形式表示）

3、闭区间的表示有（[],a b ）、（ a x b ≤≤）。

4、无穷大的记号（∞）。 5．（-∞，+∞）表示（ 全体实数），或记为（ R ）。 6、（-∞，b ）表示（满足不等式x b <的一切实数x ），或记为（x b -∞<<）。 7、（a ，+∞）表示（（满足不等式x a >的一切实数x ），或记为（a x <<+∞）。 8、去心邻域是指（满足不等式x a δ-<且x a ≠）的全体，用数轴表示即为（P7下图）。 9、满足不等式112-<≤

-x 的数x 用区间可表示为（11,2⎛

⎤-- ⎥⎝⎦

）。 三、 回答题

1、初等数学为高等数学做了哪些准备？ 答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变。符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。 （2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。 （3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。 （4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。

2、有理数包括哪些数？

答：有理数包括整数和分数。

3、 数轴上二个有理数之间都是有理数吗？ 答：二个有理数之间有有理数，也有无理数。

4、 不等式51≤

a) 点1=x 的2

1

=

δ邻域如何表示？ 答：13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

。

5、 计算题

a) 解不等式0232>+-x x

解：0232>+-x x ，()()120x x -->，2x >或1x <； 所以不等式的解为()(),12,-∞⋃+∞。

b) 解不等式0562≥+-x x

解：2650x x -+≥，()()150x x --≥，5x ≥或1x ≤； 所以不等式的解为(][),15,-∞⋃+∞。

c) 解方程0|103|2=-+x x

解：23100x x +-=，()()520x x +-=，5x =-或2x =。

函 数

一、 名词解释 函数

答：设x 和y 是两个变量，若当变量x 在其变动区域D 内取任一数值时，变量y 依照某一法则f 总有一个确定的数值与x 值对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =。 奇函数

答：设函数()y f x =在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的x D ∈，恒有

()()f x f x -=-，则称函数()f x 为奇函数。

偶函数

答：设函数()y f x =在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的x D ∈，恒有

()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数。

定义域

答：在函数的定义中，自变量x 的变动区域，称为函数的定义域。 值域

答：在函数的定义中，y 的取值的集合称为函数的值域。

初等函数

答：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。

三角函数

答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。 指数函数：

答：函数x y a =(0,1)a a >≠，称为指数函数。 复合函数

答：设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x φ=，如果()u x φ=的值哉包含在()y f u =的定义域中，则y 通过u 构成x 的函数，记作()()y f x φ=，这种函数称为复合函数，其中u 称为中间变量。 对数函数

答：函数log a y x =(0,1)a a >≠，称为对数函数。 反函数

答：设设y 是x 的函数()y f x =，其值域为G ，如果对于G 中的第一个y 值，都有有一个确定的且满足()y f x =的x 值与它对应，则得到一个定义在G 上的以y 为自变量，x 为因变量的新函数，称它为()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，并称()y f x =为直接函数。 幂函数

答：函数y x α=（α为实数）称为幂函数。 常数函数

答：函数y c =（c 为实数）称为常数函数，它的定义域是().-∞+∞。

常量

答：一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量。 变量

答：一类量在考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。 二、 填空题

1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就可以从（数量）上确切地描述运动。

2、在历史上第一个给出函数一般定义的是（狄里克雷），并给出了一个不能画出图形的函

数，这就是着名的（狄里克雷函数），它的表示式是（()0,1,x f x x ⎧=⎨⎩是无理数是有理数 ）。

3、函数的三种表示方法：（解析表达式），（图形式），（表格式）。

4、函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则。

5、单值函数是当（自变量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数。

6、奇函数的图像特点是（图像关于原点对称 ）。

7、单调函数的图像特点是（沿x 轴正向逐渐上升或沿x 轴正向逐渐下 降）。 8、反函数的图像特点是（与原函数的图像关于直线y x =对称）。