中考试题精选《菱形的性质》(含答案)

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菱形的性质和判定经典试题综合训练(含解析)

菱形的性质和判定经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC2．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD6．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于（）A．6 B．3 C．1.5 D．0.757．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（）A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm8．如图，作菱形ABCD的高AE，E为CD的中点．AE=cm，则菱形ABCD的周长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．8cm9．如图，菱形ABCD中，过A作BD的平行线交CD的延长线于点E，下列结论：（1）∠EAC=90°，（2）DA=DE，（3）∠ABC=2∠E，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（）A．AB=AC B．∠BAC=90°C．∠BAC=120°D．∠BAC=150°11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．412．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（）A．DF⊥AB B．CG=2GA C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣114．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称△EOD图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC 翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C． D．3二．填空题（共9小题）16．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．17．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件．19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．20．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．21．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．22．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．23．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为．三．解答题（共9小题）25．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．26．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．27．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．29．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．32．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．33．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．菱形的性质和判定经典试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．2．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，故选B．3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=cm．故选：B．5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF=GH=AB，EH=FG=CD，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF=GH=AB，EH=FG=CD，∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．故选：D．6．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于（）A．6 B．3 C．1.5 D．0.75【分析】连AP，由菱形ABCD的周长为16，根据了菱形的性质得AB=AD=4，并且S菱形ABCD=2S△ABD，则S△=×12=6，由于S△ABD=S△APB+S△APD，再根据三角形的面积公式得到•PE•AB+•PF•AD=6，即可得到ABDPE+PF的值．【解答】解：连AP，如图，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=AD=4，∴S菱形ABCD=2S△ABD，∴S△ABD=×12=6，而S△ABD=S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD，∴•PE•AB+•PF•AD=6，∴2PE+2PF=6，∴PE+PF=3．故选B．7．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（）A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式整理可得AO•BO=60，根据菱形的周长求出AB=13，再利用勾股定理可得AO2+BO2=169，然后利用完全平方公式整理并求出AO+BO，再求解即可．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，∵菱形的面积为120cm2，∴AC•BD=120，即×2AO•2BO=120，所以，AO•BO=60，∵菱形的周长为52cm，∴AB=13cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得，AO2+BO2=AB2=132=169，所以，（AO+BO）2=AO2+2AO•BO+BO2=169+60×2=289，所以，AO+BO=17，所以，AC+BD=2（AO+BO）=2×17=34cm．故选D．8．如图，作菱形ABCD的高AE，E为CD的中点．AE=cm，则菱形ABCD的周长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．8cm【分析】通过解直角三角形ADE得到边AD的长度，然后由菱形的周长公式进行解答．【解答】解：在菱形ABCD中，AD=CD．∵E为CD的中点，AE⊥CD，∴ED=CD=AD，∴∠DAE=30°，∵AE=cm，∴AD===2（cm），∴菱形ABCD的周长=4AD=8cm．故选：D．9．如图，菱形ABCD中，过A作BD的平行线交CD的延长线于点E，下列结论：（1）∠EAC=90°，（2）DA=DE，（3）∠ABC=2∠E，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质等知识一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=2∠ABD，∵AE∥BD，∴AE⊥AC，∴∠EAC=90°，故①正确，∵AB∥DE，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∠E=∠ABD，∴AD=DE，故②正确，∴∠ABC=2∠E，故③正确，故选D．10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（）A．AB=AC B．∠BAC=90°C．∠BAC=120°D．∠BAC=150°【分析】根据等边三角形性质得出BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，证△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四边形ADEF，根据菱形的判定判断即可．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBE=∠CBA=60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，，∴△DBE≌△ABC（SAS），∴DE=AC，∵△AFC是等边三角形，∴AF=AC，∴AF=DE，同理AD=EF，∴四边形ADEF是平行四边形，当AB=AC时，∵AD=AB，AC=AF，∴AD=AF，∴四边形ADEF是菱形，故选A．11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD，∴AO+BO=3，∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9，∴2AO•BO=4，∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4；故选：D．12．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴①②③能使四边形ABCD是菱形；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴②③④能使四边形ABCD是菱形；∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．故选：D．13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（）A．DF⊥AB B．CG=2GA C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣1【分析】A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A正确；B、由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB•cos∠BAC，AG=，求出AC，AG，即可得出B正确；C、由勾股定理求出DF=，由GE=tan∠2•ED求出GE，即可得出C正确；D、由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出D不正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，∵∠1=∠2，∴∠GAD=∠2，∴AG=GD，∵GE⊥AD，∴GE垂直平分AD，∴AE=ED，∵F为边AB的中点，∴AF=AE，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG≌△AEG（SAS），∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，∴A正确；∵DF⊥AB，F为边AB的中点，∴AF=AB=1，AD=BD，∵AB=AD，∴AD=BD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAC=∠1=∠2=30°，∴AC=2AB•cos∠BAC=2×2×=2，AG===，∴CG=AC﹣AG=2﹣=，∴CG=2GA，∴B正确；∵GE垂直平分AD，∴ED=AD=1，由勾股定理得：DF===，GE=tan∠2•ED=tan30°×1=，∴DF+GE=+==CG，∴C正确；∵∠BAC=∠1=30°，∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，FG=AG=，S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF=×2×1﹣×1×=﹣=，∴D不正确；故选：D．14．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称△EOD图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确，由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC 翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C． D．3【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【解答】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴=，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6﹣t，∴CO=3﹣，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴=，解得：t=2，故选：B．二．填空题（共9小题）16．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4cm．【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，∵OA=OB，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC=×2×OC=4，解得OC=4cm．故答案为：4．17．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是①②③④（只填写序号）【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，则∠2=∠4，∴AD=DC，同理可得：AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形．根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；③四边形ABCD是菱形，正确；④在△ABD和△CDB中∵∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．故答案为：①②③④．18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件AC=BD．【分析】添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故答案为：AC=BD19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．【解答】解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．20．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 2.5．【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB=AD=10，S△ABD=12.5，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴×AB×PE+×PF×AD=12.5，∴×10（PE+PF）=12.5，∴PE+PF=2.5．故答案为：2.5．21．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．22．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．【分析】作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，根据菱形的性质得BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，则∠BCN=∠BGM=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCN中可计算出BN=CN=，在Rt△BMG中可计算出BM=GM=，则MN=BM﹣BN=﹣=2，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S△BCD+S梯形CDFG﹣S△BGF进行计算即可．另一种解法为把阴影部分的面积转化为△BCD的面积进行计算．【解答】解：连接CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，∠A=120°，∴∠DBC=∠FCG=30°，∴BD∥CF，∴S△FDB=S△CDB=S菱形ABCD=•2••32=．故答案为．23．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足AB=CD条件时，四边形EFGH是菱形．【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．【解答】解：需添加条件AB=CD．∵E，F是AD，DB中点，∴EF∥AB，EF=AB，∵H，G是AC，BC中点，∴HG∥AB，HG=AB，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E，H是AD，AC中点，∴EH=CD，∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AB=CD．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为2．【分析】根据正方形的判定定理得到BQ=BP时，四边形QPBP′为正方形进行解答即可．【解答】解：由题意得，当△BPQ为等腰直角三角形时，四边形QPBP′为正方形，则BQ=BP，即6﹣t=×t，解得t=2．故答案为：2．三．解答题（共9小题）25．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．26．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．【分析】（1）连结DB 、DF ．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA ，再利用SAS 证明△BAD ≌△FAD ，得出DB=DF ，那么D 在线段BF 的垂直平分线上，又AB=AF ，即A 在线段BF 的垂直平分线上，进而证明AD ⊥BF ；（2）设AD ⊥BF 于H ，作DG ⊥BC 于G ，证明DG=CD ．在直角△CDG 中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】（1）证明：如图，连结DB 、DF ．∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AD=DE=EF=FA ．在△BAD 与△FAD 中，，∴△BAD ≌△FAD ，∴DB=DF ，∴D 在线段BF 的垂直平分线上， ∵AB=AF ，∴A 在线段BF 的垂直平分线上，∴AD 是线段BF 的垂直平分线，∴AD ⊥BF ；（2）如图，设AD ⊥BF 于H ，作DG ⊥BC 于G ，则四边形BGDH 是矩形，∴DG=BH=BF ．∵BF=BC ，BC=CD ，∴DG=CD ．在直角△CDG 中，∵∠CGD=90°，DG=CD ，∴∠C=30°，∵BC ∥AD ，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．27．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）求证：四边形ABFE 是菱形．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等．（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE 是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB==，∴AD==2．29．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得到x2+2xy+y2=49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，得到x2+y2=36，据此可得xy=，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，Rt△ACD中，DF=AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE=3，设EF=x，AD=y，则x+y=7，∴x2+2xy+y2=49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，∴（y）2+（x）2=32，即x2+y2=36，②把②代入①，可得2xy=13，∴xy=，∴菱形AEDF的面积S=xy=．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中．∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD，∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．32．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形；（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．【分析】（1）首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可证明四边形BDFG是菱形；（2）首先过点B作BH⊥AG于点H，由AF=8，CF=6，可利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF的长，然后由菱形的性质求得BG=GF=DF=5，再求出EF的长即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，∴BD=DF=AC，∴四边形BDFG是菱形，（2）∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，∴AC==10，∴DF=AC=5，∵四边形BDFG是菱形，∴BD=GF=DF=5，∵DE∥AG，CD=AD，∴CE=EF=3∴S菱形BDFG=GF•EF=15．33．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE ≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如下图所示，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=4，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．答：最大值是．。

初三中考数学复习菱形的性质与判定专项训练题含答案

2019 初三中考数学复习菱形的性质与判定专项训练题1. 边长为3cm 的菱形的周长是( )A ．6cmB ．9cmC ．12cmD ．15cm2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A ．10B ．8C ．6D ．53. 在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是( )4. 如图，在菱形ABCD 中，M 、N 分别在AB 、CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为( )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°5. 如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( ) A.245 B.125C ．5D ．4 6. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝6.若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A ．4 B.125 C.245D ．5 7. 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A ＝∠EDF ＝60°，有下列结论：①AE ＝BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE ＝∠BEF.其中结论正确的个数是( )A ．3B ．4C ．1D ．28. 学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m 和8m ，则这个花园的面积为_____.9. 如图，菱形ABCD 中，∠A ＝60°，BD ＝7，则菱形ABCD 的周长为 .10. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 .11. 小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD 与四边形AEFG 都是菱形，点C 在AF 上，点E 、G 分别在BC 、CD 上．若∠BAD ＝135°，∠EAG ＝75°，AE ＝100cm ，菱形ABCD 的边长为____________cm.12. 如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E,AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F.求证：AE ＝AF.13. 如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线的长度之比是3∶4，它们的差是2cm ，求菱形的边长．14. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，AO ＝4.求BD 的长．15. 如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F.求证：DF ＝BE.16. 如图，已知四边形ABFC 为菱形，点D 、A 、E 在直线l 上，∠BDA ＝∠BAC ＝∠CEA.(1)求证：△ABD ≌△CAE ；(2)若∠FBA ＝60°，连接DF 、EF ，判断△DEF 的形状，并说明理由．参考答案：1---7 CDCCA CA8. 24m 29. 2810. 45°或105°11. 50＋50312. 解： ∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD.∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴菱形ABCD 的面积＝BC·AE＝CD·AF.∴AE ＝AF.13. 解：在菱形ABCD 中，AC ∶BD ＝3∶4，则BD ＝43AC ，∵DB －AC ＝2cm ，∴43AC －AC ＝2cm ，即AC ＝6cm ，BD ＝8cm.∵菱形的对角线互相垂直平分，∠AOB ＝90°，AO＝CO ＝12AC ＝3cm ，BO ＝DO ＝12BD ＝4cm ，∴由勾股定理得AB ＝32＋42＝5(cm)． 14. 解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO ＝BO ，∵AB ＝5，AO ＝4，∴BO ＝52－42＝3，∴BD ＝2BO ＝2×3＝6.15. 证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD ＝BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝FC ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°.在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ CD ＝CB CF ＝CE ，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE(HL)，∴DF ＝BE.16. 证明：(1)∵四边形ABFC 为菱形，∴AB ＝AC ，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠CEA ，又∵∠2＋∠1＝180°－∠BDA ，∠3＋∠1＝180°－∠BAC ，∴∠2＝∠3，在△ABD 和CAE中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠2＝∠3∠BDA ＝∠CEAAB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE(AAS)；(2)连结AF ，∵四边形ABFC 为菱形，∠FBA ＝60°，∴△ABF 与△ACF 均为等边三角形，∴BF ＝AF ，∠FBA ＝∠FAC ＝60°＝∠BFA ，∵∠2＝∠3，∴∠FBA ＋∠2＝∠FAC ＋∠3，即∠FBD ＝∠FAE ，∵△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，在△FBD 和△FAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ BD ＝AE ∠FBD ＝∠FAEBF ＝AF ，∴△FBD ≌△FAE ，∴DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，∵∠BFA ＝∠BFD ＋∠DFA ＝60°，∴∠AFE ＋∠DFA ＝60°，即∠DFE ＝60°，∴△DEF 是等边三角形．。

菱形的性质专项练习30题(有答案)ok

菱形的性质专项练习30题（有答案)1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．2．如图，菱形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．3．如图，菱形对角线AC，BD相交于一点O，且AC=12cm，BD=16cm．求这个菱形的周长和面积．4．如图，已知菱形ABCD的边长是2cm，BAD=120°．（1）试说明：△ABC是等边三角形；（2）求菱形两条对角线的长．5．如图，菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=3．（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积．6．如图，菱形ABCD的周长为200cm，对角AC与BD交于点O，且AC=60cm，试求菱形ABCD的面积．7．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．9．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．10．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形．11．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．12．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．13．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、AD上，且AF=CE，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AFC的度数．14．如图，平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG：（2）若四边形ABFG是菱形，且AB：BC=2：3，求∠B的度数．15．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，BE=CE，求∠BAD的度数．16．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF 为等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求菱形ABCD的面积．17．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC 与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．18．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．20．已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．21．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．23．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，求DE和AF的长．24．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF 交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，6），D（﹣8，0）．（1）求点C的坐标；（2）设菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E，求经过点E的反比例函数解析式．26．如图，菱形ABCD中，点P是AB的中点，延长DP交CB的延长线于E点．求证：BE=CD．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．28．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．29．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．30．如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）参考答案:1．（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，∴82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，∴菱形周长为40．（2）∵AH=8，CH=4，∴AC==4，∴CO=AO=AC=2，∵BC=10，CO=2，∴BO==4∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，∴△BHE∽△BOC，∴，∴，∴EH=3，∴AE=AH﹣EH=8﹣3=5，∴OE==2．（1）菱形的对角线为AC=6cm，BD=8cm，则菱形的面积为AC•BD=×6×8=24cm2；（2）菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=4cm，AO=OC=3cm，∴AB==5cm，故菱形的周长为20cm，答：菱形的周长为20cm，面积为24cm2．3．∵在菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴S菱形ABCD =×AC×BD=×12×16=96（cm2）．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10cm，∴菱形ABCD的周长为：4×10=40（cm）．故这个菱形的周长为40cm，面积为96cm24．（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BAC=60°，AB=2cm，∴∠ABO=30°，∴OA AB=1（cm），∴OD==（cm），∴AC=2OA=2cm，BD=2OD=2cm．5．（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴菱形ABCD的周长等于5×4=20；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB=，==4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8，∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=246．菱形周长为200cm，则AB=50cm，∵AC=60cm，∴AO=30cm，菱形对角线互相垂直，∴△AOB为直角三角形，在Rt△AOB中，BO==40cm，∴BD=2BO=80cm，∴菱形ABCD的面积为S=×60cm×80cm=2400cm2，答：菱形ABCD的面积为2400cm2．7．由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．8．四边形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形9．（1）四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，∴CD===5，在矩形OCED中，OE=CD=510．1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，∵E为AB的中点，∴M为AD的中点，∴AM=DM；（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴FD=BD，∵DF=2，∴BE=2，∴AB=2BE=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．11．（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=2+AE，由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，∴△CEF的周长=2+12．（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，∵AC，BD为菱形的对角线，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴平行四边形OCED为矩形．（2）菱形ABCD的周长为20，则菱形的边长为5，即=5，矩形OCED的周长为14，则OC+OD=7，解题OC=3，OD=4，∴AC=6，BD=8，∴菱形的面积为×6×8=24．答：菱形ABCD的面积为2413．由菱形ABCD，得∠BAD=∠BCD=130°，∠BAE=25°，∴∠EAF=105°，又∵AF=CE，AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，则∠AFC=180°﹣∠EAF=180°﹣105°=75°．14．（1）∵∠ABE=∠CDG，∠AEB=∠CGD，AE=CG，∴△ABE≌△CDG，∴BE=DG，（2）四边形ABFG是菱形，则BF=AB，∵AB：BC=2：3∴FC=AB，∵AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．∴BE=FC，∴AB=2BE，∴直角△ABE中，∠BAE=30°，∴∠ABE=60°15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°16．（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．∵AD∥CB，∴△BGE∽△AHE，∵AB=AD=6，∴AE=BF=5，CF﹣BE=1，令BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，在△FGE 中，，在△DEH 中，，根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，即有，解得，，∴tan∠A=，∴∠A=60°；（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，故．17．连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴，．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．18．∵菱形ABCD的周长为20，∴菱形的边长AB=5，由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m﹣1，AO•BO=4（m﹣1），∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（2m﹣1）2﹣2×4（m﹣1）=25，整理得：4m2﹣12m+9=25，解得：m=4或﹣1（舍去）．故m=419．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD﹣CE=CB﹣CF，即DE=BF．∴△ADE≌△ABF．∴AE=AF20．菱形ABCD的面积S=×16×12=96，∵AC⊥BD，∴AB=10，∴CD=AB=10，∴×CD×BE=48，∴BE=cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE 的长为cm21．（1）DE=BF．理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∵EF⊥AC，∴EG∥BD，∵E是AD中点，∴EG是△ABD的中位线，∴AG=BG，又∵AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，在△AEG和△BFG 中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴DE=BF；（2）四边形AFBE是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，又∵AE=BF，∴四边形AFBE是平行四边形22．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．∴AB=AC=AD，∴AB=AD=BC=CD=AC，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，∴∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．23．（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠C=∠AFD．∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．∵AD=DC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，∴BE=2，AE=，DE=．∵△ADF∽△DEC，∴．∴AF=．24．△BEC∽△DCF，∴．∴△BED∽△DBF．∴∠BED=∠DBM．∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD= 60°．∴由正弦定理得：2R1=，2R2=．∴R1•R2=•==．25．（1）∵A（0，6），D（﹣8，0），∴OA=6，OD=8，∴由勾股定理可得AD=10，∵四边形ABCD为菱形∴CD=AD=10，∴OC=2，∴C（2，0），（2）∵A（0，6）C（2，0），∴E（1，3），设经过点E 的反比例函数解析式为，将E（1，3）代入求得k=3∴反比例函数解析式为：26．∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，AD∥BC，∴∠A=∠PBE，∵在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（ASA），∴BE=AD，∵AD=CD，∴BE=CD27．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD．∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．28．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AC平分∠BCD，在△BCE和△DCE 中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠EBC=∠EDC，又AB∥DC，∴∠APD=∠EDC，∴∠EBC=∠APD29．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH30．（1）证明：连接OA、AC、BD，∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，∴∠BAO=∠DAO，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，∴O在AC上，∴OB=OD．（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立菱形的性质--11。

菱形性质习题精选（含答案）

菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。

22.3菱形的性质常考题(含详细的解析)

22.3菱形的性质常考题一、选择题（共18小题）1、（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）2、（2010•盐城）如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A、5B、10C、6D、83、（2010•南通）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A、20B、15C、10D、54、（2010•北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A、24B、20C、10D、55、（2009•河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A、3cm2B、4cm2C、cm2D、2cm26、（2009•杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A、35°B、45°C、50°D、55°7、（2008•台州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A、16aB、12aC、8aD、4a8、（2008•江汉区）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A、DA=DEB、BD=CEC、∠EAC=90°D、∠ABC=2∠E9、（2007•嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A、四边形ABCD是平行四边形B、AC⊥BDC、△ABD是等边三角形D、∠CAB=∠CAD10、（2005•扬州）如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于（）A、90°B、60°C、45°D、30°11、（2005•济宁）已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A、6cmB、cmC、3cmD、cm12、（2004•重庆）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A、80°B、70°C、65°D、60°13、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（）A、75°B、60°C、45°D、30°14、菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A、60°B、90°C、120°D、150°15、在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A、AO⊥BOB、∠ABD=∠CBDC、AO=BOD、AD=CD16、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A、4.5cmB、4cmC、5cmD、4cm17、已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A、116cmB、29cmC、cmD、cm18、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）A、25cm2B、16cm2C、cm2D、cm2二、填空题（共12小题）19、（2006•泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为_________．20、（2008•陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为_________．21、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．22、（2008•肇庆）边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是_________cm．23、（2003•盐城）已知菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=8cm，则菱形的边长是_________cm．24、如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长_________．25、（2011•长沙）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则周长是_________cm．26、（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．27、（2009•本溪）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于_________．28、（2008•镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．29、（2008•温州）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=8，则菱形ABCD的周长等于_________．30、（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为_________cm2．答案与评分标准一、选择题（共18小题）1、（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）考点：坐标与图形性质；菱形的性质。

中考数学复习之菱形习题(含答案)

中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。

在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。

本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。

习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BAD=∠DAC=60°。

又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。

又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。

因此，∠CBD的度数为0°。

习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BOA=∠COD=90°。

又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。

根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。

因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。

因此，∠AOB的度数为180°。

习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。

设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。

又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。

根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。

北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题（含答案）

北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题（含答案）《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于F ．求证：.AF AE =例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，?=∠=∠60EAF D ，?=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =．求证：GH 垂直平分CF ．例 5 如图，ABCD中，AB=，E、F在直线CD上，且AD2=．DE=CFCD求证：AFBE⊥．例6 如图，在Rt△ABC中，ο∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE=90是平行四边形．求证：AC与DE互相垂直平分参考答案例1 分析（1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ?是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2 1BD AC S ?= 解（1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =E Θ是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ?是等边三角形，∴DBC ?也是等边三角形．∴.120260?=??=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分，∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =??=?= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且?=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ，∴DF BE =，AD AB =Θ，∴DF AD BE AB -=-，∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴?=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.∴ABC ?与CDA ?为等边三角形.∴?=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB∵?=∠60EAF ，∴CAF BAE ∠=∠∴ACF ABE∴AF AE =∵?=∠60EAF ，∴EAF ?为等边三角形.∴?=∠60AEF∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，∴CEF ∠+?=?+?601860∴?=∠18CEF说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE例4 分析由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形∴BF DE //，CD AB //，ο90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =∴四边形BGDH 是平行四边形∵DF AD =，∴BC DF =在△DFH 和△BCH 中=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =∵四边形BGDH 是平行四边形∴四边形BGDH 是菱形∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =∴GH 垂直平分FC ．例5 分析要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =在△ABG 和△EDG 中 ??=∠=∠∠=∠ED AB E 321∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG = ∵AB AD 2= ∴AB AG =同理：BH AB = ∴BH AG =∵BH AG //∴四边形ABHG 是平行四边形∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形∴BE AF ⊥．例6 分析要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形．所以要连结AD证明∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点∴BE CE AE ==∵四边形BCDE 是平行四边形∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，∴四边形ABCE 是平行四边形∵EC AE = ∴ADCE 是菱形∴AC 与DE 互相垂直平分．。

菱形性质经典练习题(详细答案)

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

2020年中考菱形性质和证明专练(含答案)

2020年中考菱形性质及证明专练（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A.四边形ABCD是平行四边形B.AC⊥BDC.∠CAB=∠CADD.△ABC是等边三角形2.边长为3 cm的菱形的周长是( )A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.15 cm3.如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∠ABD=β，则下列结论正确的是（）A.4 sin5β= B.5cos4β= C.3cos5β= D.3tan4β=4.下列命题中，真命题是（）A. 两对角线相等的四边形是矩形B. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 两对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两对角线相等的四边形是等腰梯形5.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论中正确的个数是（）①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形A．0 B．1 C．2 D．36.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，则下列能判定四边形ABCD为菱形的条件是（）A.AB=CDB.AC=BDC.AB=ADD.AB⊥ADCB DAβDFAB C7.如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120cm 2，对角线AC =24cm ，则四边形ABCD 的周长为( )A.52 cmB.40 cmC.39 cmD.26 cm8.如图，|BD 是菱形ABCD 的对侥幸，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 中点，则tan BFE ∠的值是（）A.12B.2C.3D.3 9.如图，用直尺和圆规作四边形ABCD ，能判定该四边形是菱形的依据是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线分别平分一组对角的平行四边形是菱形10.如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于（）A ．524 B ．512 C ．5 D ．4 二、填空题（共有7道小题）11.若菱形的周长20cm,则它的边长是 cm12.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD 为菱形．13.在菱形ABCD 中，O 是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC 的长为，BD 的长为。

菱形性质测试题及答案

菱形性质测试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项不是菱形的性质？
A. 对角线互相垂直
B. 四边相等
C. 对角线平分每一组对角
D. 内角和为180°
2. 菱形的对角线将菱形分成几个全等的三角形？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 如果菱形的一条对角线长为10，另一条对角线长为8，那么菱形的边长是多少？
A. 4√2
B. 6√2
C. 8√2
D. 10√2
二、填空题
4. 菱形的对角线互相________。

5. 菱形的面积可以通过________来计算。

三、简答题
6. 请简述菱形的判定定理。

四、计算题
7. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形ABCD的边长。

五、证明题
8. 已知菱形ABCD中，E、F分别是边AB和CD上的点，且AE=CF，证明：△AED≅△CFB。

答案：
一、选择题
1. D
2. D
3. A
二、填空题
4. 垂直且平分
5. 对角线乘积的一半
三、简答题
6. 菱形的判定定理包括：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

四、计算题
7. 根据菱形的性质，对角线互相平分，所以AO=CO=4cm，BO=DO=3cm。

根据勾股定理，边长AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5cm。

五、证明题
8. 证明：由于AE=CF，且AD=CD（菱形的四边相等），根据SAS（边角边）相似定理，我们可以得出△AED≅△CFB。

2021年中考真题分类菱形的性质含答案与试题解析

2021年中考真题分类菱形的性质一．选择题（共8小题）1．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为（﹣1，0），∠BCD ＝120°，则点D 的坐标为（）A ．（2，2）B ．（√3，2）C ．（3，√3）D ．（2，√3）2．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（） A ．四条边相等 B ．对角线相等 C ．对角线互相垂直D ．是轴对称图形3．（2021•陕西）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC 、BD ，则AC BD的值为（）A ．12B ．√22C ．√32D ．√334．（2021•南充）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF ＝2，△DEF 的周长为3√6，则AD 的长为（）A ．√6B ．2√3C ．√3+1D ．2√3−15．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（）A ．32B ．√3C ．2D ．526．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点P 从点B 出发，沿折线BC ﹣CD 方向移动，移动到点D 停止．在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形7．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（）A ．BE ＝DFB ．∠BAE ＝∠DAFC ．AE ＝ADD ．∠AEB ＝∠AFD8．（2021•南通）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（） A ．24B ．20C ．10D ．5二．填空题（共9小题）9．（2021•黔东南州）如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，点E 在BC 的延长线上，若∠ADB ＝32°，则∠DCE 的度数为度．10．（2021•贵阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC=√5，则点A的坐标是．11．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．12．（2021•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为．13．（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=√5，则对角线BD的长为.（结果保留根号）14．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是．15．（2021•金华）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2√3cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为cm．16．（2021•凉山州）菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于．17．（2021•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为．三．解答题（共2小题）18．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．19．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．2021年中考真题分类菱形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B 的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（√3，2）C．（3，√3）D．（2，√3）∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA=√3，AB＝2，∴A（0，√3），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，√3），故选：D．2．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．3．（2021•陕西）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC 、BD ，则ACBD的值为（）A ．12B ．√22C ．√32D ．√33设AC 与BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ⊥BD ，∠ABD =12∠ABC ＝30°， ∵tan ∠ABD =AO BO =√33， ∴AC BD=√33，故选：D ．4．（2021•南充）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF ＝2，△DEF 的周长为3√6，则AD 的长为（）A ．√6B ．2√3C ．√3+1D ．2√3−1如图，连结BD ，作DH ⊥AB ,垂足为H ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ,AD ∥BC ,∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3√6，∴DE=√6,设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH=12∠ADB＝30°,∴AD＝2x,DH=√3x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,∴（√3x）²+(2﹣x)²＝(√6)²,解得：x=1+√32(负值舍去），∴AD＝2x＝1+√3，故选：C．5．（2021•乐山）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（）A ．32B ．√3C ．2D ．52设AC 交BD 于O ，如图：∵菱形ABCD ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，∴∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∠DAC ＝∠DCA ＝30°，AD ＝AB ＝2，BD ⊥AC ， Rt △AOD 中，OD =12AD ＝1，OA =√AD 2−OA 2=√3， ∴AC ＝2OA ＝2√3，Rt △APE 中，∠DAC ＝30°，PE =12AP ， Rt △CPF 中，∠PCF ＝∠DCA ＝30°，PF =12CP ， ∴PE ﹣PF =12AP −12CP =12（AP ﹣CP ）=12AC ， ∴PE ﹣PF =√3，故选：B ．6．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点P 从点B 出发，沿折线BC ﹣CD 方向移动，移动到点D 停止．在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，故选：C．7．（2021•成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD 由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；故选：C．8．（2021•南通）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24B．20C．10D．5如图所示，根据题意得AO=12×6＝3，BO=12×8＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB=√AO2+BO2=5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：B．二．填空题（共9小题）9．（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为64度．∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，∴∠CBD＝∠BDC＝32°，∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，故答案为：64．10．（2021•贵阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC=√5，则点A的坐标是（2，0）．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA，∵点B的坐标是（0，1），∴OB＝1，在直角三角形BOC中，BC=√5，∴OC=√BC2−OB2=2，∴点C的坐标（﹣2，0），∵OA与OC关于原点对称，∴点A的坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．11．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为52．∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE=12 AB，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=√32+42=5，∴OE=5 2．12．（2021•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为12．∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，且BD ⊥AC ，又∵点E 是边AB 的中点，∴OE ＝AE ＝EB =12AB ，∴BC ＝AB ＝2OE ＝6×2＝12，故答案为：12．13．（2021•苏州）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝70°，延长BC 到E ，在∠DCE 内作射线CM ，使得∠ECM ＝15°，过点D 作DF ⊥CM ，垂足为F ，若DF =√5，则对角线BD 的长为 2√5 .（结果保留根号）如图，连接AC 交BD 于点H ，由菱形的性质得∠BDC ＝35°，∠DCE ＝70°，又∵∠MCE ＝15°，∴∠DCF ＝55°，∵DF ⊥CM ，∴∠CDF ＝35°，又∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ADC ，∴∠HDC ＝35°，在△CDH 和△CDF 中，{∠CHD =∠CFD ∠HDC =∠FDC DC =DC，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DF＝DH=√5，∴DB＝2√5，故答案为2√5．14．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是7√32．如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE=12PB，∴MP+12PB＝PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin ∠ACB =ME MC =√32， ∴ME =7√32，∴MP +12PB 的最小值为7√32，故答案为7√32． 15．（2021•金华）如图，菱形ABCD 的边长为6cm ，∠BAD ＝60°，将该菱形沿AC 方向平移2√3cm 得到四边形A ′B ′C ′D ′，A ′D ′交CD 于点E ，则点E 到AC 的距离为 2 cm ．如图，连接BD ，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，BD ⊥AC ，∵∠BAD ＝60°，∴三角形ABD 是等边三角形，∵菱形ABCD 的边长为6cm ，∴AD ＝AB ＝BD ＝6cm ，∴AG ＝GC ＝3√3（cm ），∴AC ＝6√3（cm ），∵AA ′＝2√3（cm ），∴A ′C ＝4√3（cm ），∵AD ∥A ′E ，∴A′E AD =CA′AC ， ∴A′E 6=√36√3，∴A ′E ＝4（cm ），∵∠EA ′F ＝∠DAC =12∠DAB ＝30°，∴EF =12A ′E ＝2（cm ）．故答案为：2．16．（2021•凉山州）菱形ABCD 中，对角线AC ＝10，BD ＝24．则菱形的高等于12013 ．由题意得，菱形的面积=12×AC •BD =12×10×24＝120，则AO ＝5，BO ＝12，则AB =√AO 2+BO 2=13，设菱形的高为h ，则菱形的面积＝BC •h ＝13h ＝120，解得h =12013，故答案为12013．17．（2021•连云港）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AD ，垂足为E ，AC ＝8，BD ＝6，则OE 的长为 125 ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，DO ＝BO ，∵AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，∴AD =√AO 2+DO 2=√42+32=5，又∵OE ⊥AD ，∴AO⋅DO 2=AD⋅OE 2， ∴4×32=5OE 2，解得OE =125，故答案为：125．三．解答题（共2小题）18．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且∠ADM ＝∠CDN ，求证：BM ＝BN ．证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ＝CD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠C ．在△AMD 和△CND 中，{∠A =∠C AD =CD ∠ADM =∠CDN，∴△AMD ≌△CND （ASA ）．∴AM ＝CN ，∴AB ﹣AM ＝BC ﹣CN ，即BM ＝BN ．19．（2021•广安）如图，四边形ABCD 是菱形，点E 、F 分别在边AB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，连接CE 、CF ．求证：CE ＝CF ．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ， ∵∠ABC +∠CBE ＝180°， ∠ADC +∠CDF ＝180°， ∴∠CBE ＝∠CDF ，在△CDF 和△CBE 中， {CD =CB ∠CDF =∠CBE DF =BE，∴△CDF ≌△CBE （SAS ）， ∴CE ＝CF ．。

北师大版九年级上册第一章1.1菱形的性质与判定(有答案)

北师版九年级上册第一章1.1菱形的性质与判定（有答案）一．选择题（共8小题）1．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为（）A ．12B ．24C ．36D ．482．如图，菱形ABCD 的一边中点M 到对角线交点O 的距离为5cm ，则菱形ABCD 的周长为（）A ．40cmB ．30cmC ．20cmD ．10cm2题图 5题图 6题图3．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A ．5B ．10C ．20D ．244．已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO CO =，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（）A ．BO DO =B ．AB BC = C ．AB CD = D ．//AB CD5．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF 是菱形的是（）A ．AC BD ⊥B ．2AC BD = C ．AC 平分BAD ∠ D ．AB BC =6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，3AO =，60ABC ∠=︒，则菱形ABCD 的面积是（）A ．18B ．183C ．36D ．3637．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，若50FPC ∠=︒，则(A ∠= A ）A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．120︒7题图 8题图 9题图8．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，5AD =，DH AB ⊥于点H ，则DH 的长为（ C ）A ．24B ．10C ．4.8D ．6二．填空题（共5小题）9．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(0,0)，(2,0)，60α∠=︒，则顶点C 的坐标是 (3,3) ．10．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，若1AF =，则菱形ABCD 的面积等于 332．10题图 11题图 12题图11．如图，在边长为m 的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 是AD 上不同于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，且AE CF m +=，则BEF ∆面积的最小值为 23316m ． 12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB 、CD 之间任意一点，连结AE 、BE 、DE 、CE ，则EAB ∆和ECD ∆的面积和等于 12 ．13．如图，在菱形ABCD 中，AB BD =，点E 、F 分别是线段AB 、AD 上的动点（不与端点重合），且AE DF =，BF 与DE 相交于点G ．给出如下几个结论：①AED DFB ∆≅∆；②BGE ∠大小会发生变化；③CG 平分BGD ∠；④若2AF DF =，6BG GF =．其中正确的结论有 ①③④ （填序号）．三．解答题（共8小题）14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形．15．如图，在Rt ABC∠=︒，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延∆中，90ABC长到点F，使DF ED=，连接BE、BF、CF、AD．（1）求证：四边形BFCE是菱形；（2）若4EF=，求AD的长．BC=，216．如图，在ABCD中，AE BC=，求证：ABCD⊥于点F，且AE CF⊥于点E，CF AB是菱形．17．如图，在ABC∠，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、∆中，CD平分ACBF、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若30∠=︒，6ED=，求BG的长．∠=︒，45BACB18．已知：如图，在四边形ABCD中，//∠=︒，对角线AC的垂直平分线与BAD BC，90边AD、BC分别相交于点E、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若6BC=，求EF的长．AB=，819．如图所示，在菱形ABCD中，AC是对角线，CD CE=，连接DE．（1）若16CD=，求DE的长．AC=，10（2）G是BC上一点，若GC GF CH=．⊥，垂足为P，求证：2DH CF==且CH GF20．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知2BC OC=，BF EF=，G为CE 中点，连接FG，AG（1）若8CE=，14ACE ACB∠=∠，求AB；（2）求证：33FG AG=．参考答案一．选择题（共8小题）1．B2．A3．C4．B5．B6．B7．A8．C二．填空题（共5小题）9．1011．212．1213．①③④三．解答题（共8小题）14．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形A C∴∠=∠，在DAE∆和DCF∆中，A CAE CFAED CFD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DAE DCF ASA∴∆≅∆，DE DF∴=；（2）由（1）可得DAE DCF∆≅∆DA DC∴=，又四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形．15．（1）证明：D是边BC的中点，BD CD ∴=，DF ED =，∴四边形BFCE 是平行四边形，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 的中点，BE CE ∴=，∴四边形BFCE 是菱形；（2）解：连接AD ，四边形BFCE 是菱形，4BC =，2EF =，122BD BC ∴==，112DE EF ==， 22215BE ∴=+=，225AC BE ∴==，2220162AB AC BC ∴=-=-=，2222AD AB BD ∴=+=．16．证明：AE BC ⊥于点E ，CF AB ⊥于点F ，90CFB AEB ∴∠=∠=︒，在ABE ∆与CBF ∆中B B CFB AEB AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBF AAS ∴∆≅∆，BC BA ∴=四边形ABCD 是平行四边形，ABCD ∴是菱形．17．解：（1）CD 平分ACB ∠，ACD DCG ∴∠=∠，EG 垂直平分CDDG CG ∴=，DE EC =，DCG GDC ∴∠=∠，ACD EDC ∠=∠EDC DCG ACD GDC ∴∠=∠=∠=∠//CE DG ∴，//DE GC∴四边形DECG 是平行四边形，且DE EC =∴四边形DGCE 是菱形；（2）如图，过点D 作DH BC ⊥，四边形DGCE 是菱形，6DE DG ∴==，//DG EC30ACB DGB ∴∠=∠=︒，且DH BC ⊥3DH ∴=，HG ==45B ∠=︒，DH BC ⊥45B BDH ∴∠=∠=︒3BH DH ∴==3BG BH HG ∴=+=+18．证明：（1）EF 是对角线AC 的垂直平分线，AO CO ∴=，AC EF ⊥，//AD BC ，AEO CFO ∴∠=∠，在AEO ∆和CFO ∆中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=，∴四边形AFCE 是平行四边形，又AC EF ⊥，∴四边形AFCE 是菱形；（2）90B ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC ∴==，四边形AFCE 是菱形，AF FC ∴=，在Rt ABF ∆中，设AF FC x ==，则8BF x =-222AB BF AF ∴+=，2226(8)x x ∴+-=，254x ∴=，154OF ∴===， 1522EF OF ∴==． 19．（1）解：连接BD 交AC 于K ．四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，8AK CK ==，在Rt AKD ∆中，6DK ==，CD CE =，1082EK CE CK ∴=-=-=，在Rt DKE ∆中，DE ==．（2）证明：过H 作HQ CD ⊥于Q ，过G 作GJ CD ⊥于J ．CH GF ⊥，90GJF CQH GPC ∴∠=∠=∠=︒，QCH JGF ∴∠=∠，()CQH GJF AAS ∴∆≅∆，QH CJ ∴=，GC GF =，QCH JGF CGJ ∴∠=∠=∠，12CJ FJ CF ==， GC CH =，CHG CGH ∴∠=∠，CDH QCH HGJ CGJ ∴∠+∠=∠+∠，CDH HGJ ∴∠=∠，90GJF CQH GPC ∠=∠=∠=︒，45CDH HGJ ∴∠=∠=︒，2DH QH ∴=，∴22DH QH CF ==．20．（1）解：延长EF 与BC 交于点K菱形ABCD ，AC BD ∴⊥，30OBC ∠=︒，30EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，60ABC ∠=︒，90EKB ∠=︒，60ACB ∠=︒11601544ACE ACB ∠=∠=⨯︒=︒，45ECK ∠=︒，在Rt CKE ∆中，8EK CK ====，在Rt EKB ∆中，BK ==BC CK BK ∴=+=即AB = （2）证明：延长FG 至点H ，使GH FG =，连接CH ，AH ． G 为CE 中点，EG GC ∴=，在EFG ∆与CHG ∆中，FG GH EGF CGH EG GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG CHG SAS ∆≅∆，EF CH ∴=，CHG EFG ∠=∠，CH BF ∴=，//CH EF ，由（1）可知60EBC ∠=︒，90EKB ∠=︒，120BCD ∠=︒，90HCB ∴∠=︒，1209030ACH BCD HCB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，ABF ACH ∴∠=∠，在AFB ∆与AHC ∆中，AB ACABF ACH BF CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFB AHC SAS ∆≅∆，AF AH ∴=，BAF CAH ∠=∠FG GH =，AG FG ∴⊥，FAG HAG ∴∠=∠60BAC BAF FAC ∠=∠+∠=︒，60CAH FAC ∴∠+∠=︒，即60FAH ∠=︒，30FAG HAG ∴∠=∠=︒，∴3tan 303FG AG =︒=，∴33FG AG =。

菱形的性质和判定(含解析)

菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。

5B 。

7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。

5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB．（1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。

解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。

(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)

菱形性质练习题(详细答案)

菱形性质练习题一．选择题（共4小题）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2B．C．1D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15B．C．7.5D．二．填空题（共15小题）5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．10如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．13如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是______cm．14已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图19题图19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？。

中考试题精选《菱形的性质》(含答案)

中考试题精选《菱形的性质》（2013.3.21），则△ABC的周长等于（）2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）4．（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，5．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥B*6．（2012•恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则B8．（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D10．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面，则这个菱形的周长为_________．14．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标_________．15．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________．16．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．17．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．*18．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．19．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．20．（2012•西藏）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD 交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．21．（2012•南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．22．（2012•江西）如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．23．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．*24．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC 延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．*25．（2012•葫芦岛）如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：_________；（2）如图2，点P不是AC的中点，①求证：PF=PD．②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．26．（2011•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．27．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．28．（2010•扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．29．（2010•清远）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF．求证：△ABE≌△DBF．30．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．《菱形的性质》练习题参考答案与试题解析CG BG=AB AB BE=AB=AB BAC=BAO=∠BAD=×CO=BO==5cm=×cm，∴==，解得×，×=××××．故选AB=×BO==4=9.A10．B11.C12.C13.2014．（8，0）或（，0）．OA=AC=OD=BD==10AD=×OA=3：OP=，∴，）或（，）或（，x=×．故答案为：．16．OH=．AO AB．故答案为：．OB=BC BC=4，﹣×．BF=CF=BC，∴△，中，中∵∠，，BEBE，∴=∴菱形的边长为×BE=。

2024成都中考数学一轮复习菱形的性质及判定(含答案)

2024成都中考数学一轮复习菱形的性质及判定（学生版）目标层级图课中讲解一.菱形的性质内容讲解（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：.②角的性质：.③对角线性质：.④对称性：.例1．菱形不具备的性质是()A．对角线一定相等B．对角线互相垂直C．是轴对称图形D．是中心对称图形例2．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是()A．10B．20C．24D．48例3．菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为()A．B．10cm C．D．5cm例4．已知菱形的一个内角为120 ，且平分这个内角的对角线长为9cm，则这个菱形的周长为()A．18B．72C．36D．54例5．如图，菱形ABCD 中，对角线A C 、BD 相交于点O ，H 为A D 边的中点，若菱形ABCD 的周长为20，则O H 的长为()A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5例6．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，DE BC ⊥于E ，连接OE ，若140ABC ∠=︒，则OED ∠=．例7．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A ，45OB =，点P 是对角线OB 上的一个动点，(0,1)D ，当CP DP +最短时，点P 的坐标为()A ．(0,0)B ．1(1,2C ．6(5，3)5D ．10(7，5)7过关检测1．菱形不具备的性质是()A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是()A．//=⊥D．OA OC AB DC B．OC OB=C．AC BD3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角4．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，//OE DC，交BC于点E，=，则OE的长为()6AD cmA．6cm B．4cm C．3cm D．2cm5．菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是()A．10B．8C．6D．56．菱形ABCD的边长为4，有一个内角为60︒，则较长的对角线的长为()A．43B．4C．23D．27．如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH AB⊥于点H，且2PH cm=，则PBC∆的面积为(2)cm．A．8B．7C．6D．58．如图，周长为16的菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，60BAD∠=︒，分别以点C，D为圆心，大于12CD为半径画弧，两弧交于点M、N，直线M N交CD于点E，则OCE∆的面积．二．菱形的判定内容讲解菱形的判定：（1）当原图形为平行四边形时：①：一组邻边相等的平行四边形是菱形②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（2）当原图形为普通四边形时①：四边相等的四边形是菱形②：对角线垂直且平分的四边形是菱形例1．下列命题中真命题是()A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形例2．如图，在ABCD中，对角线A C，BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有()∠=∠A．A C B D=D．12=C．AC BD⊥B．AB BC例3．若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形例4．如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作//AG DB 交CB的延长线于点G．（1）求证：//DE BF；（2）若90G∠=，求证：四边形DEBF是菱形．过关检测1．已知ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是()A．12AB AC=B．AB CD=C．对角线互相垂直D．180A C∠+∠=︒2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是()A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形3．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边4．如图，ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若8C E =，120BCF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．三．综合运用内容讲解例1．如图，在菱形ABCD 中，AB BD =，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合）且AE DF =．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG =，则四边形BC D G 的面积为．例2．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE BF=．（1）求证：ADE CDF∆≅∆；（2）若40∠的度数．∠=︒，求D FC∠=︒，65ADEF例3．已知：AC，BD为菱形ABCD的对角线，60∠=︒，点EF分别在AD，CD边上，BAD且60∠=︒．EBF（1）求证：BEF∆是等边三角形；AB=，求BE．（2）当15∠=︒时，1ABE例4．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AE 平分CAB ∠交CB 于点E ，CD AB ⊥于点D ，交AE 于点G ．过点G 作//GF BC 交AB 于F ，连结EF ．（1）求证：CG CE =；（2）判断四边形CGFE 的形状，并证明；（3）若2BF AF =，3AC cm =，求线段DG 的长度．过关检测1．如图，BD 是ABC ∆的角平分线，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，//DF AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形；（2）如果90A ∠=︒，30C ∠=︒，6BD =，求菱形BEDF 的面积．2．如图，在平行四边形ABCD中，BAD∠的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若120∠=︒，连结BG、CG、DG，如图2所示，ABC①求证：DGC BGE∆≅∆；②求BDG∠的度数；3．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分BC DEF BC，交CD于∠，交AB边于点E，//点F，点G是BC边的中点，连接GF，且12∠=∠，CE与GF交于点M，过点M作MH CD⊥于点H．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若1C H=，求BC的长；（3）求证：EM FG MH=+．学习任务1．下列说法中，错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定ABCD为菱形的是()A．90⊥D．OA OC=C．AC BD=，ABC∠=︒B．AC BD=OB OD3．（2006•成都二模）若菱形两条对角线之比为3:4，周长是40cm，则它的面积是．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E，F分别是AB，AO的中点，若1EF=，则菱形ABCD的面积等于()AF=，2A．8B．32C．16D．45．如图，菱形ABCD中，两条对角线长8BD=，则菱形ABCD的面积为．AC=，6cm．6．已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是27．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE DC ⊥于点E ，连接OE ，若40ABC ∠=︒，则OEA ∠的度数是()A ．20︒B ．30︒C ．50︒D ．70︒8．在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则EAF ∠等于()A ．75︒B ．45︒C ．60︒D ．30︒9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABCD 中，若10AB =，12AC =，则BD 的长为．10．如图，在菱形ABCD 中，AB BD =．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE DF =．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：①AED DFB ∆≅∆；②23BCDG S =四边形；③若2AF DF =，则6BG GF =．其中正确的结论有．（填序号）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且16BD=，求菱形AC=，12 ABCD的高DH．12．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作BAD∠的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若6BF=，5AB=，求AE的长．2024成都中考数学一轮复习菱形的性质及判定（解析版）目标层级图课前检测课中讲解一．菱形的性质内容讲解（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．例1．菱形不具备的性质是()A．对角线一定相等B．对角线互相垂直C．是轴对称图形D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．即可判断．【解答】解：根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．进行的对角线相等，而菱形不具备对角线一定相等．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．例2．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是()A．10B．20C．24D．48【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．【解答】解：菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：16824 2⨯⨯=．【点评】此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线乘积的一半是解此题的关键．例3．菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线长10cm ，则它的另一条对角线长为()A ．B ．10cmC ．D ．5cm【分析】根据菱形四条边都相等的性质和对角线垂直且平分，计算出每条边的长度，在直角三角形中应用勾股定理计算可得出答案．【解答】解：菱形ABCD 如右图所示，菱形ABCD 的周长为40cm ，10AB BC CD AD cm ∴====；对角线10BD cm =，5BO DO cm ∴==；在Rt ADO ∆中，AO ===．2AD AO ∴==．故选：A ．【点评】本题主要考查菱形的性质的应用，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；及勾股定理应用是解决本题的关键．例4．已知菱形的一个内角为120︒，且平分这个内角的对角线长为9cm ，则这个菱形的周长A ．18B ．72C ．36D ．54【分析】先证明ABD ∆是等边三角形，得出9AB AD BD cm ===，即可求出菱形的周长．【解答】解：如图所示：四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=︒，AB AD BC CD ∴===，60ADB ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，9AB AD BD cm ∴===，∴菱形ABCD 是周长为936()cm ÷=；故选：C ．【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．例5．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，若菱形ABCD 的周长为20，则OH 的长为()A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【分析】根据菱形的性质可得AO BO ⊥，从而可判断OH 是Rt DAB ∆斜边的中线，继而可得出OH 的长度．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，AC BD ⊥，菱形ABCD 的周长为20，5AD ∴=又点H 是AD 中点，则1155222OH AD ==⨯=，故选：B ．【点评】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．例6．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，DE BC ⊥于E ，连接OE ，若140ABC ∠=︒，则OED ∠=20︒．【分析】由菱形的性质可知O 为BD 中点，所以OE 为直角三角形BED 斜边上的中线，由此可得OE OB =，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出OED ∠的度数．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，DO OB ∴=，DE BC ⊥于E ，OE ∴为直角三角形BED 斜边上的中线，12OE BD ∴=，OB OE ∴=，OBE OEB ∴∠=∠，140ABC ∠=︒，70OBE ∴∠=︒，907020OED ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：20︒．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE 为直角三角形BED 斜边上的中线是解题的关键．例7．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A ，OB =，点P 是对角线OB 上的一个动点，(0,1)D ，当CP DP +最短时，点P 的坐标为()A ．(0,0)B ．1(1,)2C ．6(5，35D ．10(7，5)7【分析】如图连接AC ，AD ，分别交OB 于G 、P ，作BK OA ⊥于K ．首先说明点P 就是所求的点，再求出点B 坐标，求出直线OB 、DA ，列方程组即可解决问题．【解答】解：如图连接AC ，AD ，分别交OB 于G 、P ，作BK OA ⊥于K．四边形OABC 是菱形，AC OB ∴⊥，GC AG =，5OG BG ==，A 、C 关于直线OB 对称，PC PD PA PD DA ∴+=+=，∴此时PC PD +最短，在RT AOG ∆中，22225(25)5AG OA OG =-=-，5AC ∴=，12OA BK AC OB =，4BK ∴=，223AK AB BK =-=，∴点B 坐标(8,4)，∴直线OB 解析式为12y x =，直线AD 解析式为115y x =-+，由12115y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得10757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 坐标10(7，5)7．故选：D ．【点评】本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P 位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．过关检测1．菱形不具备的性质是()A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B ．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．2．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列说法错误的是()A ．//AB DC B ．OC OB =C ．AC BD ⊥D ．OA OC=【分析】根据菱形的性质即可判断．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AC BD ⊥，OA OC =，故A ，C ，D 正确，故选：B ．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A ．两组对边分别相等B ．两条对角线相等C ．四个内角都是直角D ．每一条对角线平分一组对角【分析】由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．【解答】解：菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．故选：D ．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．4．如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，//OE DC ，交BC 于点E ，6AD cm =，则OE 的长为()A ．6cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【分析】根据已知可得OE 是ABC ∆的中位线，从而求得OE 的长．【解答】解：//OE DC ，AO CO =，OE ∴是ABC ∆的中位线，四边形ABCD 是菱形，6AB AD cm ∴==，3OE cm ∴=．故选：C ．【点评】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，属于基础题，关键是得出OE 是ABC ∆的中位线，难度一般．5．菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是()A ．10B ．8C ．6D ．5【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm 和16cm ，求得OA 与OB ，再由勾股定理即可求得菱形的边长．【解答】解：如图，菱形ABCD 中，12AC =，16BD =，162OA AC ∴==，182OB BD ==，AC BD ⊥，10AB ∴=．即菱形的边长是10．故选：A ．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．6．菱形ABCD 的边长为4，有一个内角为60︒，则较长的对角线的长为()A ．B ．4C ．D ．2【分析】利用菱形的每条对角线平分一组对角，则1602BAO BAD ∠=∠=︒，即ABC ∆是等边三角形，由此可求得4AC AB ==，再根据勾股定理即可求出BO 的长，则BD 也可求出．【解答】解：在菱形ABCD 中，111206022BAO BAD ∠=∠=⨯︒=︒，又在ABC ∆中，AB BC =，60BCA BAC ∴∠=∠=︒，18060ABC BCA BAC ∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴∆为等边三角形，4AC AB ∴==，2AO ∴=，BO ∴==，2BD BO ∴==，故选：A ．【点评】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．7．如图，菱形ABCD 边长为5cm ，P 为对角线BD 上一点，PH AB ⊥于点H ，且2PH cm =，则PBC ∆的面积为(2)cm ．A ．8B ．7C ．6D ．5【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P 到BC 边的距离PH =，然后由三角形的面积公式解答．【解答】解：如图，过点P 作PM BC ⊥于点M ．四边形ABCD 是菱形，BD 是对角线，∴直线BD 平分ABC ∠．又PH AB ⊥，2PH PM cm ∴==．211525()22PBC S BC PH cm ∆∴==⨯⨯=．故选：D ．【点评】本题主要考查了菱形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握菱形的对角线平分对角这一性质的合理运用．8．如图，周长为16的菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 为半径画弧，两弧交于点M 、N ，直线MN 交CD 于点E ，则OCE ∆．【分析】利用基本作法得到得MN 垂直平分CD ，即CE DE =，则12OCE COD S S ∆∆=．由菱形的性质则可求出答案．【解答】解：由作法得MN 垂直平分CD ，即CE DE =，四边形ABCD 为菱形，周长为16，4AD CD AB ∴===，60BAD ∠=︒，60DCB ∴∠=︒．DCB ∴∆为等边三角形，122DO DC ∴==，30DCO ∠=︒，OC ∴=，∴11222COD S DO OC ∆=⨯⨯=⨯⨯=∴12OCE COD S S ∆∆==．．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质和解直角三角形．二．菱形的判定内容讲解菱形的判定：（1）当原图形为平行四边形时：①：一组邻边相等的平行四边形是菱形②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（2）当原图形为普通四边形时①：四边相等的四边形是菱形②：对角线垂直且平分的四边形是菱形例1．下列命题中真命题是()A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形【分析】要证四边形是菱形，只需通过定义证明或对角线平分、垂直的四边形是菱形证明即可．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；B、四条边都相等的四边形是菱形，故正确；C、对角线互相平分垂直的四边形是菱形，故错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是钜形，故错误．故选：B．【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．例2．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有()A ．AC BD ⊥B ．AB BC =C ．AC BD =D ．12∠=∠【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A 、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B 、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C 、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D 、正确．可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C ．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．例3．若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是()A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．【解答】解：如图，AC BD =，E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EH ∴、FG 分别是ABD ∆、BCD ∆的中位线，EF 、HG 分别是ACD ∆、ABC ∆的中位线，12EH FG BD ∴==，12EF HG AC ==，AC BD=EH FG FG EF ∴===，则四边形EFGH 是菱形．故选C ．【点评】本题利用了中位线的性质和菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．例4．如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作//AG DB交CB 的延长线于点G ．（1）求证：//DE BF ；（2）若90G ∠=，求证：四边形DEBF 是菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF BE =，//AB CD ，根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD 是矩形，根据直角三角形的性质得到ED EB =，证明结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，//AB CD ，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，DF BE ∴=，又//AB CD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，//DE BF ∴；（2）//AG DB ，//AD CG ，∴四边形AGBD 是平行四边形，90G ∠=︒，∴平行四边形AGBD 是矩形，90ADB ∴∠=︒，又E 为边AB 的中点，ED EB ∴=，又四边形DEBF 是平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，注意：平行四边形的对边平行且相等，题目是一道比较好的题目，难度适中．过关检测1．已知ABCD ，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是()A ．12AB AC =B ．AB CD =C ．对角线互相垂直D ．180A C ∠+∠=︒【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．【解答】解：A 、添加12AB AC =，不能证明ABCD 是菱形，故此选项错误；B 、添加AB CD =，不能证明ABCD 是菱形，故此选项错误；C 、添加对角线互相垂直，可以证明ABCD 是菱形，故此选项正确；D 、添加180A C ∠+∠=︒不能证明ABCD 是菱形，故此选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是()A ．对角线互相垂直且相等的四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的平行四边形D ．对角线互相平分且垂直的四边形【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【解答】解：A 、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C 、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D ．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是()A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．【解答】解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．4．如图，ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若8CE =，120BCF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．【分析】（1）由D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，易证得EF BC =，//EF BC ，即可判定四边形BCFE 是平行四边形，又由EF BE =，即可证得四边形BCFE 是菱形；（2）由120BCF ∠=︒，易证得EBC ∆是等边三角形，又由8CE =，即可求得菱形BCFE 的高，继而求得菱形BCFE 的面积．【解答】（1）证明：D 、E 分别是AB 、AC 的中点，//DE BC ∴且2DE BC =，又2BE DE =，EF BE =，EF BC ∴=，//EF BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又BE FE =，∴四边形BCFE 是菱形；（2）解：120BCF ∠=︒，60EBC ∴∠=︒，EBC ∴∆是等边三角形，∴菱形的边长为8，高为，∴菱形的面积为：8⨯=．【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意利用三角形的中位线证得//DE BC 且2DE BC =以及证得EBC ∆是等边三角形是解此题的关键．三．综合运用内容讲解例1．如图，在菱形ABCD 中，AB BD =，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合）且AE DF =．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG =，则四边形BCDG 的面积为【分析】过点C 作CM GB ⊥于M ，CN GD ⊥于N ，则90CMG CNG ∠=∠=︒，先判定()AED DFB SAS ∆≅∆，即可得出ADE DBF ∠=∠，进而得到120BGD ∠=︒；再判定()CBM CDN AAS ∆≅∆，即可得出CN CM =，BCDG CMGN S S =四边形四边形，再根据()CMG CNG HL ∆≅∆，即可得到2CMG CMGN S S ∆=四边形，求得CMG ∆的面积即可得出结论．【解答】解：如图，过点C 作CM GB ⊥于M ，CN GD ⊥于N ，则90CMG CNG ∠=∠=︒，四边形ABCD 为菱形，AB AD ∴=．又AB BD =，ABD ∴∆为等边三角形．60A BDF ∴∠=∠=︒．又AE DF =，AD BD =，()AED DFB SAS ∴∆≅∆，ADE DBF ∴∠=∠，60BGE BDG DBG BDG ADE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，120BGD ∴∠=︒，又菱形ABCD 中，60BCD A ∠=∠=︒，180BGD BCD ∴∠+∠=︒，180CBM CDG ∴∠+∠=︒，又180CDN CDG ∠+∠=︒，CDN CBM ∴∠=∠，又CD CB =，90CMB CNG ∠=∠=︒，()CBM CDN AAS ∴∆≅∆，CN CM ∴=，又CM GB ⊥，CN GD ⊥，CG ∴平分BGD ∠，60MGC ∴∠=︒，CBM CDN ∆≅∆，BCDG CMGN S S ∴=四边形四边形，CG CG =，CM CN =，90CMG CNG ∠=∠=︒，()CMG CNG HL ∴∆≅∆，2CMG CMGN S S ∆∴=四边形，60CGM ∠=︒，CM GM ⊥，30GCM ∴∠=︒，12GM CG ∴==，32CM ==，12232CMG BCDG CMGN S S S ∆∴===⨯=四边形四边形．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质的综合运用．注意准确作出辅助线构造全等三角形是解此题的关键．例2．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，且BE BF =．（1）求证：ADE CDF ∆≅∆；（2）若40A ∠=︒，65DEF ∠=︒，求DFC ∠的度数．【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS ”即可证明ADE CDF ∆≅∆；（2）根据ADE CDF ∆≅∆，得到DE DF =，再求出25EDB FDB ∠=∠=︒，根据四边形ABCD 是菱形，40A ∠=︒，求出70ADB ∠=︒，45ADE ∠=︒，再根据三角形的内角和为180︒，即可解答．【解答】解：（1）四边形ABCD 是菱形，A C ∴∠=∠，AB CB =，AD DC =，BE BF =，AE CF ∴=，在ADE ∆和CDF ∆中，AD DC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CDF ∴∆≅∆；（2）ADE CDF ∆≅∆，DE DF ∴=，65DEF ∠=︒，25EDB FDB ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，40A ∠=︒，70ADB ∴∠=︒，702545ADE ∴∠=︒-︒=︒，180404595DFC ∴∠=︒-︒-︒=︒．【点评】本题主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．例3．已知：AC ，BD 为菱形ABCD 的对角线，60BAD ∠=︒，点EF 分别在AD ，CD 边上，且60EBF ∠=︒．（1）求证：BEF ∆是等边三角形；（2）当15ABE ∠=︒时，1AB =，求BE ．【分析】（1）由“ASA ”可证ABE DBF ∆≅∆，可得BE BF =，即可证BEF ∆是等边三角形；（2）过点E 作EH AB ⊥于H ，作15GEB ABE ∠=∠=︒，利用直角三角形的性质可求HE 的长，由勾股定理可求BE 的长．【解答】证明：（1）四边形ABCD 是菱形AB AD BC CD ∴===，且60BAD ∠=︒ABD ∴∆是等边三角形，120ADC ∠=︒AB AD BD ∴==，60ABD ADB ∠=∠=︒60ABD EBF BDC ∴∠=∠=︒=∠，ABE DBF ∴∠=∠，60BAD BDF ∠=∠=︒，且AB BD=()ABE DBF ASA ∴∆≅∆BE BF ∴=，且60EBF ∠=︒．BEF ∴∆是等边三角形（2）如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，作15GEB ABE ∠=∠=︒，30EGH ∴∠=︒，GE GB =，设HE x =，在Rt GHE ∆中，30EGH ∠=︒2GE x BG ∴==，HG =，在Rt AHE ∆中，60BAD ∠=︒3AH x ∴=，1AB AH HG BG =++=+∴213x x +=+x ∴=HE ∴=32BH ∴=222BE HE BH =+，22233()()22BE +∴=+，BE ∴=【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出HE 的长是本题的关键．例4．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AE 平分CAB ∠交CB 于点E ，CD AB ⊥于点D ，交AE 于点G ．过点G 作//GF BC 交AB 于F ，连结EF ．（1）求证：CG CE =；（2）判断四边形CGFE 的形状，并证明；（3）若2BF AF =，3AC cm =，求线段DG 的长度．【分析】（1）由角平分线的性质和余角的性质可得CEG AGD CGE ∠=∠=∠，可得CG CE =；（2）由“ASA ”可证AGC AGF ∆≅∆，可得CG FG =，由菱形的判定可得结论；（3）由题意可求9AB cm =，由勾股定理可求BC =，2CE CG ==，由三角形的面积公式可求CD 的值，即可求DG 的长．【解答】证明：（1）AE 平分CAB∠CAE BAE∴∠=∠90ACB ∠=︒，CD AB⊥90CAE CEA BAE AGD ∴∠+∠=∠+∠=︒CEG AGD CGE∴∠=∠=∠CG CE ∴=（2）四边形CGFE 是菱形理由如下：//GF BCAEC EGF CGE∴∠=∠=∠AGC AGF∴∠=∠又CAE BAE ∠=∠，AG AG=()AGC AGF ASA ∴∆≅∆CG FG∴=//CE FG ∴且CE FG=∴四边形CEFG 是平行四边形又CG CE =，∴四边形CEFG 是菱形．（3）AGC AGF∆≅∆3AC AF cm ∴==，26BF AF cm ∴==，9AB cm =，2262BC AB AC cm ∴=-=四边形CGFE 是菱形//EF CG ∴，且CD AB⊥EF AB ∴⊥，设CE EF x ==，在Rt EFB ∆中，222EF BF BE +=，2236(62)x x ∴+=-，解得322x =322CE CG cm ∴==又90ACB ∠=︒，且CD AB ⊥，1122ABC S AC BC AB CD ∆=⨯⨯=⨯22AC BC CD cm AB∴==3222222DG CD CG cm ∴=-=-=【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出CG 的长是本题的关键．。

北师大版九年级数学上专项练习：菱形的性质 (含答案)

１菱形的性质一、选择题1. 若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长是（） A．B．C．12D2. 如图，在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，作EF BC ∥，交AC 于点F ，如果4EF =，那么CD 长为（）A ．10B ．4C ．6D ．83. 如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则CDF ∠等于（） A ．80 B ．70 C ．65 D ．604. 如图所示，在菱形ABCD 中，120A ∠=，周长为a ，则较长的对角线长为（）A．2a B．4a C．8a D．16a5. 菱形ABCD 中，若:2:1A B ∠∠=，CAD ∠的平分线AE 与边CD 间的关系是（）ＡＣＡ２A ．相等B ．互相平分但不垂直C ．互相垂直但不平分D ．垂直平分6. 菱形周长为4p ，两条对角线的差为2(0)m m p <<，则该菱形面积为（）A ．221()4p m -B ．221()2p m -C ．22p m -D ．22p m +7. 若菱形周长52cm ，一条对角线长24cm ，则它的面积是（）2cm ．A ．60B ．80C ．120D ．408. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，则下列性质： ①AO BO CO DO ===；②AO CO =，BO DO =且AC BD ⊥； ③4AB AB BC CD DA =+++； ④BAC DAC ∠=∠，ABD CBD ∠=∠．其中菱形一定具有的是（） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，则下列说法不正确的是（） A ．AO BO ⊥ B ．ABD CBD ∠=∠ C ．AO BO =D ．AO BD =10. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（） A ．对边平行B ．对边相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直11. 菱形的周长等于它的高的8倍，则它各个角是（） A ．30和150 B ．45和135 C ．60和120D ．20和16012. 若菱形的一条对角线是另一条对角线长的2倍，且此菱形的面积为16，则它的边长为（） A ．4B ．2C．D．13. 菱形和矩形一定．．都具有的性质是（） A ．对角线相等． B ．对角线互相平分．Ｂ３C ．对角线互相垂直．D ．每条对角线平分一组对角．二、填空题14. 菱形周长为24cm ，高为3cm ，则菱形相邻两角的度数分别为． 15. 已知菱形两条对角线之比为34∶，它们的差为2cm ，则菱形的面积是________．16. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC =6，BD =8，则菱形的高为_______．17.已知菱形的周长为，两条对角线长的比为12∶，则此菱形两条对角线的长分别为．18. 已知菱形ABCD 的边长为6，60A ∠=，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==AP 的长为．19. 已知菱形的一条对角线长为4cm ，周长为16cm ，则菱形的四个角分别为．20. 菱形的四条边_________对角线__________且每一条对角线__________． 21. 菱形的两条对角线把菱形分割成一些三角形，其中直角三角形有_________个．22. 菱形ABCD 的对线交于O 点，则图中等腰三角形的个数是________个． 23. 已知菱形的周长为40，两个相邻角之比为12∶，则较短对角线长为__________．24. 菱形ABCD 中，点A 到边BC CD ，所在直线的距离．25. 在菱形ABCD 中，AE BC ⊥交BC 于E ，1EC =，513AE AB =∶∶，则菱形ABCD 的周长为．26. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是______．27. 已知菱形的两条对角线的长都是8cm ，则菱形的边长为 cm ．28. 在菱形ABCD 中，AE 、AF 分别垂直平分边BC 、CD ，则∠EAF ＝．DCBA４三、证明题29. 已知如图，在菱形ABCD 中，CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ．请说明：AE AF =．30. 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE DF =．求证：（1）ABE ADF △≌△；（2）AEF AFE ∠=∠．ＣＢＢ５参考答案一、选择题 1. D 2. D 3. D 4. B 5. D 6. C 7. C 8. D 9. C 10. D 11. A 12. D 13. B 二、填空题 14. 30和150 15. 224cm 16. 2.417. 8cm ，16cm18.19. 60，120，60，12020. 都相等，互相垂直平分，平分一组对角 21. 4 22. 4 23. 10 24. 相等 25. 4226.27.28. 60三、证明题29. 提示：AEC AFC△≌△30. （1）利用“边角边”可证；（2）ABE ADF∵△≌△，AE AF∴．∠=∠=∴，AEF AFE６。

九年级数学菱形的性质(基础)(含答案)

菱形的性质（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法错误的是( )A.菱形的对边互相平行B.菱形的对角相等C.菱形的对角线相等D.菱形的每一条对角线平分一组对角答案：C解题思路：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，则菱形的对边互相平行，对角相等，故A，B正确菱形是轴对称图形，对角线所在直线为它的对称轴，则菱形的每一条对角线平分一组对角，故D正确菱形的对角线互相垂直且平分，故C错误试题难度：三颗星知识点：略2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.每条对角线平分一组对角D.对角相等答案：C解题思路：平行四边形的对角线互相平分，邻角互补，对角相等，且菱形具有平行四边形的全部性质，故A，B，D选项错误菱形是轴对称图形，对角线所在直线为它的对称轴，则菱形的每一条对角线平分一组对角，故C正确试题难度：三颗星知识点：略3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48答案：A解题思路：∵四边形ABCD是菱形∴AO=AC=3，BO=BD=4，AC⊥BD在Rt△AOB中，∴这个菱形的周长L=4AB=20试题难度：三颗星知识点：略4.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )A.8B.12C.16D.32答案：C解题思路：如图所示，∵四边形ABCD是菱形∴AO=CO=AC，DO=BO=BD，AC⊥BD∵菱形面积为28∴AC·BD=2AO·DO=28①∵菱形的边长为6∴AO2+DO2=62②联立①②两式可得，(AO+DO)2=AO2+2AO·DO+DO2=36+28=64∴AO+DO=8∴AC+BD=2(AO+DO)=16，该菱形的两条对角线的长度之和为16试题难度：三颗星知识点：略5.如图，菱形ABCD中，∠D=150°，则∠1=( )A.30°B.25°C.20°D.15°答案：D解题思路：∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°∴AB=BC，∠B=∠D=150°在△ABC中，AB=BC，∠B=150°∴∠1=15°试题难度：三颗星知识点：略6.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，则∠CDE的度数为( )A.30°B.25°C.20°D.35°答案：A解题思路：∵AD∥BC∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°∴AE=AB=AD在△DAE中，AE=AD，∠DAE=80°∴∠ADE=50°又∵∠B=80°∴∠ADC=80°∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.80°答案：B解题思路：如图，连接PA∵四边形ABCD是菱形∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=25°，BD所在直线是菱形的对称轴∴PA=PC∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P∴PA=PD∴PC=PD∴∠PCD=∠CDP=25°∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=50°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③答案：D解题思路：根据菱形的对角线互相垂直平分可知，①正确，②错误根据菱形的性质可知，BD所在直线是菱形的对称轴，则∠ADB=∠CDB，③正确根据AB=BC可知，△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形，④错误试题难度：三颗星知识点：略9.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(-2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是( )A.(-5，4)B.(4，-5)C.(-5，3)D.(3，-5)答案：A解题思路：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(-2，0)，点D在y轴上∴CD=AD=AB=5，OA=3∴在Rt△OAD中，∴点C的坐标是(-5，4)试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为( )A.(，)B.(2，-2)C.(，-3)D.(，)答案：D解题思路：如图，连接OB，OB′，作B′H⊥x轴于点H∵四边形OABC是菱形∴OB平分∠AOC∴∠COB=30°又∵菱形OABC的边长为2∴OB=∵菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′∴∠BOB′=75°，OB′=OB=∴∠COB′=∠BOB′-∠COB=45°∴△OB′H为等腰直角三角形∴OH=B′H=∴点B′的坐标为(，) 试题难度：三颗星知识点：略。

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