传热学导热问题的数值解法
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22
4.3 非稳态导热问题的数值解法
tik 1 tik
t 2t 2 ( ) k i, k 2 i, 2 !
舍去上式中左边第三项及以后各尾项，移项整理
tik 1 tik t ( ) o( ) i ,k
此式是一阶导数向前差分的表达式。
若取上面两式右边的前三项，并将式两相加，得 二阶导数的中心差分：
ti 1, j 2ti , j ti 1, j 2t 2 ( 2 )i , j o ( x ) 2 x x
截断误差
同样可得：
ti , j 1 2ti , j ti , j 1 2t 2 ( 2 )i , j o ( y ) 2 y y
4
4.1 导热问题数值求解的基本思想 （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的 温度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况， 则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。
y
( j 1 )y jy( i 1, j ) ( j 1 )y
( i, j 1 )
( i 1, j )
2
ti , j 1 2ti , j ti , j 1
y 2
v ,i , j 0
ti 1 ti t ox x i x ti ti 1 t ox x i x
ti 1 ti 1 t o x 2 x i 2x
17
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 3.内部角点
T(i,j 1)
y 2
L (i 1 ,j)
(i 1,j)
P(i,j ) R
B (i,j 1)
ti 1, j ti , j x
y 1
ti , j 1 ti , j y
ti , j 1 ti , j x x 1 1 y 2
上式移项整理 k k k 1 k ti a 2 ( ti 1 ti 1 ) ( 1 2a 2 )ti x x
24
4.3 非稳态导热问题的数值解法 稳定性条件
对于点i上k+1时刻的温度是由该点在第k时刻的基础上综 合相邻点温度后得出。所以如k时刻i点温度较高，则其 下一时刻的温度也较高，反之亦然。其表现在差分方程 的稳定性条件是：各项的系数必须大于或等于零。 a 1 即： 2 x 2
(i 1,j )
T (i,j 1)
(i 1,j )
L
R
B (i,j 1)
11
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 根据傅里叶定律，L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
21
4.3 非稳态导热问题的数值解法 以无内热源，物性参数为常数的一维非稳态导热 为例，导热微分方程为：
k k k 2t ti 2t t 1 i i 1 温度对坐标的二阶导数： （ 2） i,k x Δ x2
t 2t ＝a 2 x
非稳态项，温度对时间的一阶导数有三种不同的 格式。 根据泰勒级数展开，若用节点(i,k)的温度参数来 表示节点（i.k+1）的温度
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
ti 1, j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
8
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
x
y 1 y 1
Z方向取单位长度
x
y
x 1 x 1
12
y
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
则内热源发热量
v , p v ,i , j x y 1
在稳态导热下：
LP QP BP TP VP 0
则
v ,i , j ti 1, j 2ti , j ti 1, j ti , j 1 2ti , j ti , j 1 0 2 2 x y
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
18
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 求解代数方程的迭代法
代数方程组的求解
直接解法——矩阵求逆，高斯消元法等 迭代法——简单迭代法，高斯-赛德尔迭代法，
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
9
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 v 2t 2t 0 微分方程为： 2 2 x y 其节点方程为：
向前差分 格式
ti 1, j 2ti , j ti 1, j
x
K 对非稳态导热，从 能量关系来看网格单 k 1 元不仅与相邻的网格 k 单元之间有热量传递， k 1 本身的内能也将随时 间发生变化。 z
z
(i , k 1)
(i 1,k ) (i 1, k )
(i , k 1)
O
x x i 1i i 1 I
一维非稳态导热问题用有限差分法求解 空间，时间的坐标的划分
类似可得向后差分的表达式： k 1 k t t t i i （ ） 0( ) i ,k 同理可得中心差分的表达式：
tik 1 tik 1 t 2 （ ） 0 ( ) i ,k 2
23
4.3 非稳态导热问题的数值解法 若温度对时间的一阶导数采用向前差分，则导热 微分方程可改写为： k k tik 1 tik tik 2 t t i i 1 a 1 x 2
19
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
迭代过程是否已经收敛的判据：
K代表迭代次数 迭代过程能否收敛的判据：
对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的 选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中 其它变量系数绝对值之和，即对角占优，此时用迭代法 求解代数方程一定收敛。
20
4.3 非稳态导热问题的数值解法
中心差分 格式
向后差分 格式
10
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 2. 热平衡法
P(i ,j ) ti ,j R(i 1,j ) ti 1,j L(i 1,j ) ti 1,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1
x( i 1 )
i x ( i 1 ) x ( i, j 1 )
x
5
4.1 导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件 求解域离散化
设立迭代初场
建立节点温度代数方程
求解代数方程组 改进初场
否
是否收敛？
是
解的分析
导热问题数值解法的流程图
6
4.2 稳态导热离散方程的 建立和求解
用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）
建立节点离散方程的方法有两种：
泰勒级数展开法
热平衡法
7
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 一、内节点 1.泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j
来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
ti 1 , j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
3
4.1 导热问题数值求解的基本思想 数值解法的基本内容与步骤: （1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 建立控制方程及定解条件。 （2）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将 所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网 络线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的 子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子 区域的温度。 （3）建立节点温度代数方程。 （4）设立迭代初场。
若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则
tik tik 1
tik1 2tik tik1 a x 2
25
4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理后可得隐式差分格式：
k 1 1 k 1 k (1 2F ) ti F( tik t ) t 1 i 1 i
16
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
2.外部角点
C
D
x
2
E
y
2
T ( i, j 1 )
L ( i 1, j )
B
ti 1, j ti , j
A( i , j )
h1
tf1
h2
tf2
ti , j 1 ti , j x y 1 1 x 2 y 2 y x 1 h1 (t f 1 ti , j ) 1 h2 (t f 2 ti , j ) 1 xy v ,i , j 0 2 2 4
13
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 二、边界节点离散方程的建立
1. 位于平直边界上的节点
P(i ,j ) ti ,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1 L(i 1,j ) ti 1,j
t i 1 , j L
x 2
y 2
t ht ht f x
T ti , j 1
P
ti , j
ti , j 1 B
14
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
红色框内为平直边界上P点的网格单元。 边界条件： 第三类边界热平衡式为：
ti , j 1 ti , j x ti , j 1 ti , j x y 1 1 1 x y 2 y 2 ht f ti , j y 1 0 ti 1, j ti , j
边界的热容项
1
t ht ( t f) x
x
2
3
4
O
x
X
27
4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理上式：
t2 t1 Bi ( t
若有内热源，则可在上式左边加上内热源项： x v ,i , j ( ) y 1 2
绝热边界，只要令h=0，即பைடு நூலகம்。
15
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于第二类边界条件，设为qw 则上式中的对流 换热项,用热流密度qw来替代
ti 1,j ti ,j ti ,j 1 ti ,j x ti ,j 1 ti ,j x y 1 1 1 x y 2 y 2 qw y 1 0
第四章 导热问题的数值解法
主讲人：孙晴
本章知识结构
第四章 导热问 题的数值解法
1、导热问题 数值求解的基 本思想
2、稳态导热 离散方程的建 立和求解方法
3、非稳态导 热的数值解法
2
4.1 导热问题数值求解的基本思想
数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离 散点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值 的求解问题。 通过对各离散节点建立代数离散方程，将导热微 分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问 题。
优缺点：隐式格式计算工作量大，但对步长无限制，不 会出现解得震荡；显式格式计算量小，但易出现震荡。
26
4.3 非稳态导热问题的数值解法 用热平衡法建立边界节点的节点方程
如图是一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针 对边界节点，其节点方程
k k 1 k t1k t2 t t x k 1 1 h( tf t1k ) c x 2
4.3 非稳态导热问题的数值解法
tik 1 tik
t 2t 2 ( ) k i, k 2 i, 2 !
舍去上式中左边第三项及以后各尾项，移项整理
tik 1 tik t ( ) o( ) i ,k
此式是一阶导数向前差分的表达式。
若取上面两式右边的前三项，并将式两相加，得 二阶导数的中心差分：
ti 1, j 2ti , j ti 1, j 2t 2 ( 2 )i , j o ( x ) 2 x x
截断误差
同样可得：
ti , j 1 2ti , j ti , j 1 2t 2 ( 2 )i , j o ( y ) 2 y y
4
4.1 导热问题数值求解的基本思想 （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的 温度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况， 则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。
y
( j 1 )y jy( i 1, j ) ( j 1 )y
( i, j 1 )
( i 1, j )
2
ti , j 1 2ti , j ti , j 1
y 2
v ,i , j 0
ti 1 ti t ox x i x ti ti 1 t ox x i x
ti 1 ti 1 t o x 2 x i 2x
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 3.内部角点
T(i,j 1)
y 2
L (i 1 ,j)
(i 1,j)
P(i,j ) R
B (i,j 1)
ti 1, j ti , j x
y 1
ti , j 1 ti , j y
ti , j 1 ti , j x x 1 1 y 2
上式移项整理 k k k 1 k ti a 2 ( ti 1 ti 1 ) ( 1 2a 2 )ti x x
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4.3 非稳态导热问题的数值解法 稳定性条件
对于点i上k+1时刻的温度是由该点在第k时刻的基础上综 合相邻点温度后得出。所以如k时刻i点温度较高，则其 下一时刻的温度也较高，反之亦然。其表现在差分方程 的稳定性条件是：各项的系数必须大于或等于零。 a 1 即： 2 x 2
(i 1,j )
T (i,j 1)
(i 1,j )
L
R
B (i,j 1)
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 根据傅里叶定律，L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
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4.3 非稳态导热问题的数值解法 以无内热源，物性参数为常数的一维非稳态导热 为例，导热微分方程为：
k k k 2t ti 2t t 1 i i 1 温度对坐标的二阶导数： （ 2） i,k x Δ x2
t 2t ＝a 2 x
非稳态项，温度对时间的一阶导数有三种不同的 格式。 根据泰勒级数展开，若用节点(i,k)的温度参数来 表示节点（i.k+1）的温度
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
ti 1, j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
x
y 1 y 1
Z方向取单位长度
x
y
x 1 x 1
12
y
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
则内热源发热量
v , p v ,i , j x y 1
在稳态导热下：
LP QP BP TP VP 0
则
v ,i , j ti 1, j 2ti , j ti 1, j ti , j 1 2ti , j ti , j 1 0 2 2 x y
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 求解代数方程的迭代法
代数方程组的求解
直接解法——矩阵求逆，高斯消元法等 迭代法——简单迭代法，高斯-赛德尔迭代法，
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
9
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 v 2t 2t 0 微分方程为： 2 2 x y 其节点方程为：
向前差分 格式
ti 1, j 2ti , j ti 1, j
x
K 对非稳态导热，从 能量关系来看网格单 k 1 元不仅与相邻的网格 k 单元之间有热量传递， k 1 本身的内能也将随时 间发生变化。 z
z
(i , k 1)
(i 1,k ) (i 1, k )
(i , k 1)
O
x x i 1i i 1 I
一维非稳态导热问题用有限差分法求解 空间，时间的坐标的划分
类似可得向后差分的表达式： k 1 k t t t i i （ ） 0( ) i ,k 同理可得中心差分的表达式：
tik 1 tik 1 t 2 （ ） 0 ( ) i ,k 2
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4.3 非稳态导热问题的数值解法 若温度对时间的一阶导数采用向前差分，则导热 微分方程可改写为： k k tik 1 tik tik 2 t t i i 1 a 1 x 2
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
迭代过程是否已经收敛的判据：
K代表迭代次数 迭代过程能否收敛的判据：
对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的 选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中 其它变量系数绝对值之和，即对角占优，此时用迭代法 求解代数方程一定收敛。
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4.3 非稳态导热问题的数值解法
中心差分 格式
向后差分 格式
10
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 2. 热平衡法
P(i ,j ) ti ,j R(i 1,j ) ti 1,j L(i 1,j ) ti 1,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1
x( i 1 )
i x ( i 1 ) x ( i, j 1 )
x
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4.1 导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件 求解域离散化
设立迭代初场
建立节点温度代数方程
求解代数方程组 改进初场
否
是否收敛？
是
解的分析
导热问题数值解法的流程图
6
4.2 稳态导热离散方程的 建立和求解
用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）
建立节点离散方程的方法有两种：
泰勒级数展开法
热平衡法
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 一、内节点 1.泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j
来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
ti 1 , j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
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4.1 导热问题数值求解的基本思想 数值解法的基本内容与步骤: （1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 建立控制方程及定解条件。 （2）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将 所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网 络线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的 子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子 区域的温度。 （3）建立节点温度代数方程。 （4）设立迭代初场。
若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则
tik tik 1
tik1 2tik tik1 a x 2
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4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理后可得隐式差分格式：
k 1 1 k 1 k (1 2F ) ti F( tik t ) t 1 i 1 i
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
2.外部角点
C
D
x
2
E
y
2
T ( i, j 1 )
L ( i 1, j )
B
ti 1, j ti , j
A( i , j )
h1
tf1
h2
tf2
ti , j 1 ti , j x y 1 1 x 2 y 2 y x 1 h1 (t f 1 ti , j ) 1 h2 (t f 2 ti , j ) 1 xy v ,i , j 0 2 2 4
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 二、边界节点离散方程的建立
1. 位于平直边界上的节点
P(i ,j ) ti ,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1 L(i 1,j ) ti 1,j
t i 1 , j L
x 2
y 2
t ht ht f x
T ti , j 1
P
ti , j
ti , j 1 B
14
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
红色框内为平直边界上P点的网格单元。 边界条件： 第三类边界热平衡式为：
ti , j 1 ti , j x ti , j 1 ti , j x y 1 1 1 x y 2 y 2 ht f ti , j y 1 0 ti 1, j ti , j
边界的热容项
1
t ht ( t f) x
x
2
3
4
O
x
X
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4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理上式：
t2 t1 Bi ( t
若有内热源，则可在上式左边加上内热源项： x v ,i , j ( ) y 1 2
绝热边界，只要令h=0，即பைடு நூலகம்。
15
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于第二类边界条件，设为qw 则上式中的对流 换热项,用热流密度qw来替代
ti 1,j ti ,j ti ,j 1 ti ,j x ti ,j 1 ti ,j x y 1 1 1 x y 2 y 2 qw y 1 0
第四章 导热问题的数值解法
主讲人：孙晴
本章知识结构
第四章 导热问 题的数值解法
1、导热问题 数值求解的基 本思想
2、稳态导热 离散方程的建 立和求解方法
3、非稳态导 热的数值解法
2
4.1 导热问题数值求解的基本思想
数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离 散点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值 的求解问题。 通过对各离散节点建立代数离散方程，将导热微 分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问 题。
优缺点：隐式格式计算工作量大，但对步长无限制，不 会出现解得震荡；显式格式计算量小，但易出现震荡。
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4.3 非稳态导热问题的数值解法 用热平衡法建立边界节点的节点方程
如图是一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针 对边界节点，其节点方程
k k 1 k t1k t2 t t x k 1 1 h( tf t1k ) c x 2