传热学导热问题的数值解法
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传热学考研题库【名校考研真题】(导热问题的数值解法)【圣才出品】
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第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
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第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
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传热学第二章导热问题数学描述
由Fourier定律：
qn
t
n
w
t nw
h
twtf
当: h , twtf 转化为第一类边界条件
当: h0,nt w0qw0
（绝热）转化为第 二类边界条件
导热微分方程＋定解条件 求解温度场热流场
补充：其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
grt aL dim n i j k
n 0 n n x y z
梯度的性质：
1．方向导数等于梯度在该方向上的投影；
2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向
（法线方向）。
4）傅里叶定律 一般形式：
A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
b.第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流
密度或温度变化率，
q s
qw或 n t s
qw
最简单的形式：恒热流， qw const
恒热流的特例是绝热边界条件：
t 0 n s
c.第三类边界条件:已知物体边界与周围流体间的表
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
传热学讲义-2
导热基本定律及稳态导热
• 导热基本定律 • 导热微分方程式及定解条件 • 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变 截面物体的导热 • 通过肋壁的导热 • 具有内热源的导热和多维导热 • 例题与小结
导热基本定律
基本概念 基本定律—傅立叶定律 导热系数
基本概念
温度场
温度场是某一时刻导热物体中各点温度分布的总称，一般 是空间坐标和时间坐标的函数，在直角坐标系下，有： t=f（x，y，z，τ）
导热系数
t q / nn
导热系数 λ表示在单位温度梯度作用下物体内所产 生的热流密度，它表征了物质导热本领的大小。 导热系数是物性参数，它取决于物质的种类和热力 状态(即温度、压力等)。变化特征和机理见下页。 四种典型物质的导热系数数值（t=20 ℃。） 纯铜 λ =399W／(m· K)；
热流密度：q=λ0 [1+b/2（t2+t1）]（t1 - t2）/δ
曲线凹凸向判断
根据稳态导热的特点，沿热量传递方向，热流量为 常数，即 Φ=-λAdt/dx=const 则有： λdt/dx=const ？？ 设t1＞t2，当b＞0时，λ（t1）（ ＜＞？ ）λ（t2） x=0处的dt/dx， x=δ处的dt/dx 相对大小 曲线的凹凸向与斜率的关系 结论：
导热微分方程式 定解条件 求解思路
导热微分方程式
依据：能量守恒定律、傅里叶定律 假设：
各向同性的连续介质 比热容、密度、导热系数为已知 物体内具有内热源φ（w/m3）***
方程组成：导热项、内热源生成项***及非稳态项组成 适应范围：满足傅里叶定律的导热过程 目的：具体实际问题经简化后能得到解决的具体表达式 。
多层壁
复合壁
通过单层平壁的导热
传热学——概念汇总
概念汇总1.绪论1.传热学：研究热量传递规律的科学。
2.热量传递的基本方式：导热、对流、辐射。
3.热传导（导热）：物体的各部分之间不发生相对位移，依靠微观粒子的热运动产生的热量传递现象。
4.纯粹的导热只能发生在不透明的固体之中。
5.热流密度：通过单位面积的热流量（W╱m2）。
6.热对流：由于流体各部分之间发生相对位移而产生的热量传递现象。
7.热对流只发生在流体之中，并伴随有导热现象。
8.自然对流：由于流体密度差引起的相对运动。
9.强制对流：由于机械作用或其他压差作用引起的相对运动。
10.对流换热：流体流过固体壁面时，由于对流和导热的联合作用，使流体与固体壁面间产生热量传递的过程。
11.辐射：物体通过电磁波传播能量的方式。
12.热辐射：由于热的原因，物体的内能转变成电磁波的能量而进行的辐射过程。
13.辐射换热：不直接接触的物体之间，由于各自辐射与吸收的综合结果所产生的热量传递现象。
14.传热过程：热流体通过固体壁面将热量传给另一侧流体的过程。
15.传热系数：表征传热过程强烈程度的尺寸，数值上等于冷热流体温差1K时所产生的热流密度[W╱（m2•K）]16.单位面积上的{传热热阻：R k=1k。
导热热阻：Rλ=δλ。
对流换热热阻：R h=1h。
17.热流量：单位时间内所传递的热量。
18.对比串联热阻大小就可以找到强化传热的主要环节。
19.单位：物理量的度量标尺。
20.基本单位：基本物理量的单位。
21.导出单位：由物理含义导出，以基本单位组成的单位。
22.单位制：基本单位与导出单位的总和。
23.导热系数，表面传热系数和传热系数之间的区别：导热系数是表征材料导热性能优劣的参数，即是一种物性参数。
不同材料的导热系数值不同，即使是同一种材料，导热系数值还与温度等因素有关。
表面传热系数是表征对流换热强弱的参数，它不仅取决于流体的物性以及换热表面的形状、大小与布置，而且还与流速有密切的关系，是取决于多种因素的复杂函数。
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
V4-第四章-导热数值解法-2014
为什么要建立边界节点的离散方程？
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
导热问题数值解法
W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室
传热学第四章
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
4-3 一维非稳态导热问题的数值求解
在非稳态导热问题中，不但需要对空间区域进 行离散，还需要对时间变量进行离散，接下来以一 个一维非稳态导热问题为例，重点介绍对非稳态项 的离散方法，以及不同离散方法对计算带来的影响 等。
n
y
m
x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2.建立节点物理量的代数方程
每一个节点都与它周围相邻的节点存在一定的 关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关 系式（属于代数方程式），此关系式又称作节点的 离散方程。
(m,n+1)
(m,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
华北电力大学
(m,n-1)
h,tf
0 q=0 H x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
二、数学描述
华北电力大学
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
Φ& λ
=
0
x=0 x=H y=0
−
∂t ∂x
=
0
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−tf
)
−
∂t ∂y
=
0
y =W
−
λ
∂t ∂y
=
h(t
−tf
)
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
tm,n+1 −tm,n ∆y
(m,n+1)
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
传热学知识点概念总结
一、参考书目:传热学A 《传热学》杨世铭、陶文铨，高等教育出版社，2006年二、基本要求1. 掌握热量传递的三种方式(导热、对流和辐射)的基本概念和基本定律；2. 能够对常见的导热、对流、辐射换热及传热过程进行定量的计算，并了解其物理机理和特点，进行定性分析；3. 对典型的传热现象能进行分析，建立合适的数学模型并求解；4. 能够用差分法建立导热问题的数值离散方程，并了解其计算机求解过程。
三、主要知识点第一章绪论：热量传递的三种基本方式；导热、对流和热辐射的基本概念和初步计算公式；热阻；传热过程和传热系数。
第二章导热基本定律和稳态导热：温度场、温度梯度；傅里叶定律和导热系数；导热微分方程、初始条件与边界条件；单层及多层平壁的导热；单层及多层圆筒壁的导热；通过肋端绝热的等截面直肋的导热；肋效率；一维变截面导热；有内热源的一维稳态导热。
第三章非稳态导热：非稳态导热的基本概念；集总参数法；描述非稳态导热问题的数学模型（方程和定解条件）；第四章导热问题的数值解法：导热问题数值解法的基本思想；用差分法建立稳态导热问题的数值离散方程。
第五章对流换热：对流换热的主要影响因素和基本分类、牛顿冷却公式和对流换热系数的主要影响因素；速度边界层和热边界层的概念；横掠平板层流换热边界层的微分方程组；横掠平板层流换热边界层积分方程组；动量传递和热量传递比拟的概念；相似的概念及相似准则；管槽内强制对流换热特征及用实验关联式计算；绕流单管、管束对流换热特征及用实验关联式计算；大空间自然对流换热特征及对流换热特征及用实验关联式计算。
第六章凝结与沸腾换热：凝结与沸腾换热的基本概念；珠状凝结与膜状凝结特点；膜状凝结换热计算；影响膜状凝结的因素；大容器饱和沸腾曲线；影响沸腾换热的因素。
第七章热辐射基本定律及物体的辐射特性：热辐射的基本概念；黑体、白体、透明体；辐射力与光谱辐射力；定向辐射强度；黑体辐射基本定律：普朗克定律，维恩定律，斯忒藩-玻尔兹曼定律，兰贝特定律；实际固体和液体的辐射特性、黑度；灰体、基尔霍夫定律。
传热学考研题库【章节题库】(导热问题的数值解法)【圣才出品】
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③求解。
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二、计算题
1．如图 4-1 所示，一个二维稳态导热物体，其导热系数 为常数，右侧平直边界面与 环境同时发生对流与辐射换热，其表面发射率为 。环境可看作无限大空间，温度为 T 、 边界面的表面传热系数为 h 。试建立数值求解边界节点温度TM ,n 的离散方程。
t(i) m,n1
t(i) m,n1
2tm(i,)n
]
(x)2
(y)2
t (i1) m,n
Fox
(t (i) m1,n
t (i) m1,n
)
Foy
(t (i) m,n1
t (i) m,n
1
)
[1 2(Fox Foy )]tm(i,)n
Fox
a (x)2
5．非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性，试述不稳定性的物理含义。如何 防止这种不稳定性？
答：（1）不稳定性的物理含义是指在显式格式离散方程中，后一时刻的温度取决于前 一时刻的温度，同一节点温度前的系数有出现负值的可能性。如果出现负值，就意味着该点 温度在前一时刻温度越高，则后一时刻温度将越低，甚至会出现比周围节点温度还要低的现 象，这违背了热力学第二定律。
3．用高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛的解？不能得出收敛的 解时是否因为初场的假设不合适而造成？
答：（1）高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时不一定能得到收敛的解。 （2）不一定能得到收敛的解其原因不是因为初场的假设不合适，而是由于迭代方式不 合适。
4．什么是显式格式？什么是显式格式计算中的稳定性问题？
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二、计算题
1．如图 4-1 所示，一个二维稳态导热物体，其导热系数 为常数，右侧平直边界面与 环境同时发生对流与辐射换热，其表面发射率为 。环境可看作无限大空间，温度为 T 、 边界面的表面传热系数为 h 。试建立数值求解边界节点温度TM ,n 的离散方程。
t(i) m,n1
t(i) m,n1
2tm(i,)n
]
(x)2
(y)2
t (i1) m,n
Fox
(t (i) m1,n
t (i) m1,n
)
Foy
(t (i) m,n1
t (i) m,n
1
)
[1 2(Fox Foy )]tm(i,)n
Fox
a (x)2
5．非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性，试述不稳定性的物理含义。如何 防止这种不稳定性？
答：（1）不稳定性的物理含义是指在显式格式离散方程中，后一时刻的温度取决于前 一时刻的温度，同一节点温度前的系数有出现负值的可能性。如果出现负值，就意味着该点 温度在前一时刻温度越高，则后一时刻温度将越低，甚至会出现比周围节点温度还要低的现 象，这违背了热力学第二定律。
3．用高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛的解？不能得出收敛的 解时是否因为初场的假设不合适而造成？
答：（1）高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时不一定能得到收敛的解。 （2）不一定能得到收敛的解其原因不是因为初场的假设不合适，而是由于迭代方式不 合适。
4．什么是显式格式？什么是显式格式计算中的稳定性问题？
传热学 第4章-导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2、掌握内容：数值解法的实质。
3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。
2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 3.内部角点
T(i,j 1)
y 2
L (i 1 ,j)
(i 1,j)
P(i,j ) R
B (i,j 1)
ti 1, j ti , j x
y 1
ti , j 1 ti , j y
ti , j 1 ti , j x x 1 1 y 2
用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）
建立节点离散方程的方法有两种：
泰勒级数展开法
热平衡法
7
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 一、内节点 1.泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j
来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
ti 1 , j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
若有内热源，则可在上式左边加上内热源项： x v ,i , j ( ) y 1 2
绝热边界，只要令h=0，即可。
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于第二类边界条件，设为qw 则上式中的对流 换热项,用热流密度qw来替代
ti 1,j ti ,j ti ,j 1 ti ,j x ti ,j 1 ti ,j x y 1 1 1 x y 2 y 2 qw y 1 0
2
ti , j 1 2ti , j ti , j 1
y 2
v ,i , j 0
ti 1 ti t ox x i x ti ti 1 t ox x i x
ti 1 ti 1 t o x 2 x i 2x
K 对非稳态导热，从 能量关系来看网格单 k 1 元不仅与相邻的网格 k 单元之间有热量传递， k 1 本身的内能也将随时 间发生变化。 z
z
(i , k 1)
(i 1,k ) (i 1, k )
(i , k 1)
O
x x i 1i i 1 I
一维非稳态导热问题用有限差分法求解 空间，时间的坐标的划分
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
9
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 v 2t 2t 0 微分方程为： 2 2 x y 其节点方程为：
向前差分 格式
ti 1, j 2ti , j ti 1, j
x
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
迭代过程是否已经收敛的判据：
K代表迭代次数 迭代过程能否收敛的判据：
对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的 选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中 其它变量系数绝对值之和，即对角占优，此时用迭代法 求解代数方程一定收敛。
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4.3 非稳态导热问题的数值解法
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
ti 1, j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
8
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
x( i 1 )
i x ( i 1 ) x ( i, j 1 )
x
5
4.1 导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件 求解域离散化
设立迭代初场
建立节点温度代数方程
求解代数方程组 改进初场
否
是否收敛？
是
解的分析
导热问题数值解法的流程图
6
4.2 稳态导热离散方程的 建立和求解
第四章 导热问题的数值解法
主讲人：孙晴
本章知识结构
第四章 导热问 题的数值解法
1、导热问题 数值求解的基 本思想
2、稳态导热 离散方程的建 立和求解方法
3、非稳态导 热的数值解法
2
4.1 导热问题数值求解的基本思想
数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离 散点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值 的求解问题。 通过对各离散节点建立代数离散方程，将导热微 分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问 题。
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
2.外部角点
C
D
x
2
E
y
2
T ( i, j 1 )
L ( i 1, j )
B
ti 1, j ti , j
A( i , j )
h1
tf1
h2
tf2
ti , j 1 ti , j x y 1 1 x 2 y 2 y x 1 h1 (t f 1 ti , j ) 1 h2 (t f 2 ti , j ) 1 xy v ,i , j 0 2 2 4
(i 1,j )
T (i,j 1)
(i 1,j )
L
R
B (i,j 1)
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 根据傅里叶定律，L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
3
4.1 导热问题数值求解的基本思想 数值解法的基本内容与步骤: （1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 建立控制方程及定解条件。 （2）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将 所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网 络线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的 子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子 区域的温度。 （3）建立节点温度代数方程。 （4）设立迭代初场。
优缺点：隐式格式计算工作量大，但对步长无限制，不 会出现解得震荡；显式格式计算量小，但易出现震荡。
26
4.3 非稳态导热问题的数值解法 用热平衡法建立边界节点的节点方程
如图是一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针 对边界节点，其节点方程
k k 1 k t1k t2 t t x k 1 1 h( tf t1k ) c x 2
t ht ht f x
T ti , j 1
P
ti , j
ti , j 1 B
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
红色框内为平直边界上P点的网格单元。 边界条件： 第三类边界热平衡式为：
ti , j 1 ti , j x ti , j 1 ti , j x y 1 1 1 x y 2 y 2 ht f ti , j y 1 0 ti 1, j ti , j
若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则
tik tik 1
tik1 2tik tik1 a x 2
25
4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理后可得隐式差分格式：
k 1 1 k 1 k (1 2F ) ti F( tik t ) t 1 i 1 i
22
4.3 非稳态导热问题的数值解法
tik 1 tik
t 2t 2 ( ) k i, k 2 i, 2 !
舍去上式中左边第三项及以后各尾项，移项整理
tik 1 tik t ( ) o( ) i ,k
此式是一阶导数向前差分的表达式。
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 二、边界节点离散方程的建立
1. 位于平直边界上的节点
P(i ,j ) ti ,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1 L(i 1,j ) ti 1,j
t i 1 , j L
x 2
y 2
类似可得向后差分的表达式： k 1 k t t t i i （ ） 0( ) i ,k 同理可得中心差分的表达式：
tik 1 tik 1 t 2 （ ） 0 ( ) i ,k 2
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4.3 非稳态导热问题的数值解法 若温度对时间的一阶导数采用向前差分，则导热 微分方程可改写为： k k tik 1 tik tik 2 t t i i 1 a 1 x 2
边界的热容项
1
t ht ( t f) x
x
2
3
4
O
x
X
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4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理上式：
t2 t1 Bi ( t
x
y 1 y 1
Z方向取单位长度
x
y
x 1 x 1
12
y
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
则内热源发热量
v , p v ,i , j x y 1
在稳态导热下：
LP QP BP TP VP 0
则
v ,i , j ti 1, j 2ti , j ti 1, j ti , j 1 2ti , j ti , j 1 0 2 2 x y
中心差分 格式
向后差分 格式
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4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 2. 热平衡法
P(i ,j ) ti ,j R(i 1,j ) ti 1,j L(i 1,j ) ti 1,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1