数列求和第一课时公开课
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高中数学数列求和优秀课件
小结与反思：
1.这节课中我们重点复习了数列求和 的哪两种方法？ 2.应用方法需要注意哪些问题？ 3.研究了哪一类问题？从中你获取的 数学经验是什么？
课后延展：
(2014·新课标全国卷Ⅱ)
已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：an
+
1
2
是等比数列，并求{an}的通项公式；
+
+
(n
1 + 1)2
<
1
关键环节：
将 （n
1 1）2
放大为
(n
1 1)
2
-1
n
1 (n
2)
变式 5：(2014 年广东高考改编)证明：对一切正整数 n，有：
1+ 1 + 1 ++
1
<1
2×3 4×5 6×7
2n×(2n + 1) 3
提示：当 n≥2 时， 2n21n＋1<2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1，
(2)错位相减以后，要特别注意成等比数列的项的 首项a1是谁，并推敲成等比数列的项数是n还是n1,另外要特别小心错出去的两项相减后的正负;
(3)养成检验的习惯；
(4)最终答案仅有两项。
问题3：什么情况下可用裂项相消法？ 试举出一个简单的例子来说明
变式
1：求和 Sn
=
1 1×3
+
1 2×4
+
1 3×5
问题2.以下两个数列各用什么方法求其前n项和？
(1)
11 ,3 2
1，5 4
1 8
,7 1 ， 16
,(2n
等比数列求和的公开课教案
等比数列的求和公式一、教学重点、难点本节课的重点是公式的推导、错位相减法的推广使用；难点是公式的推导方法的应用。
二、教学目标：1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用推导方法解决与之有关的问题．2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质。
三、教学过程1、创设情境，提出问题引入：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。
西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。
国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊 。
为什么？你能算出麦粒的总数吗？设问：同学们，你们知道国王给出多少小麦吗？引导学生写出麦粒总数为：?2 (22)216332=+++++2、师生互动，探究问题探讨1: 发明者要求的麦粒总数是？ 生：可能会直接利用公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 求出答案126464-=S （1964108.112⨯≈-，以小麦千粒重为40克计算，麦子质量超过7000亿吨！2010年世界粮食总产量约为22.8亿吨，全世界人民不吃粮食也得300多年才能够生产7000亿吨。
）探讨2：上述的公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 是怎么产生的？ 生：可能会说到错位相减法，但没有具体书写。
师：要求学生回忆教材，具体写出公式的推导方法。
设n n n a a a a a S +++++=-1321 ①乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②①-②：()n n qa a S q -=-11，当1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=1111111 探讨3：还有别的推导方法吗？师：通过学生回忆数列的性质以及等比定理、乘法公式。
数列求和(错位相减法-公开课)
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
n 2
a1q
n1
n1
n
①
②
qSn a1q a1q a1q a1q
①—② ，得
a1q
错 位 相 n 减 a1 an q 法 a1 a1q q 1时 : S n 错位相减法：来自展开，乘公比，错位，相减
即S n 1 2 2 2 2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
2Sn 1 2 2 2 2 3 (n - 1) 2 n n 2 n1 ①-②得 Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
公式法
(3)求数列{a n bn }的前n项和
分组求和法
新问题： 求数列{a n bn } 的前n项和
？
情景重现：
银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。 你能接受这个方案吗？
数列求和(公开课)
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求和方法称 为裂项相消法.
5.倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加， 有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来， 这一求和的方法称为倒序相加法。
课堂诊断
1 1 1 1 ． 数 列 ， ， ， „ ， 2· 5 5· 8 8· 11 1 ，„的前 n 项和为( B ) (3n－1)· (3n＋2) n n A. B. 3n＋2 6n＋4 n＋1 3n C. D. 6n＋4 n＋2
2 －1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ， 2 321 其前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( D ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
1 2 n 变式、求和： S n 2 n a a a
【解析】 (1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋„＋n＝ n(n＋1) ； 2 1 2 3 n (2)a≠1 时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n① a a a a n－1 1 1 2 n S n ＋ n＋1② n＝ 2＋ 3＋„＋ a a a a a 由①－②得
1 1 1－ n 2 2 1 ＝2 n－ ＝2n－1－ + 1 2n 1－2 1 ＝2n－2＋ n－1. 2
思维升华：要求和，先弄清通项（长什么 样用什么样的方法）！
错位相减法
例3、数列 {an }中a1 3,已知点（an , an 1）在 直线y x 2上， （ 1 ）求数列 {an }的通项公式； （2）若bn an 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
数列求和公开课教案(1)
数列求和公开课教案(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。
本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。
教学难点：解题过程中方法的正确选择。
3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。
数列求和【公开课教学PPT课件】
1 2
Tn
1 2
3 22
5 23
2n 3 2n 1
2n1
2n
(1
1 2
)Tn
2
1 2
1 22
1 23
Tn
6
2n 3 2n1
1 2n2
2n 1 2n
3
2n 3 2n
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(2)Sn
a1(1 qn ) 1 q
2n 1, bn
an1 Sn Sn1
Sn1 Sn Sn Sn1
1 Sn
1 Sn1
Tn b1 b2 b3 bn
( 1 1 )( 1 1 ) ( 1 1 )
S1 S2
S2 S3
Sn
1 S1
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点二 分组、并项求和法
例2. 设等比数列{an}的通项公式为an＝3n ，等差数列{bn}的通项 公式为bn＝2n＋1.
(1)记cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. (2)记dn＝(-1)nbn ，求数列{dn}的前n项和Tn.
解：(1)
cn an bn，an,bn分别为等差、等比数列。
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点一 倒序相加法
例1. 若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求
S Cn0a1 Cn1a2 Cn2a3 + Cnnan1
第讲数列的求和精选课件
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以 考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说 的分组求和．
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
高中阶段最全的数列求和(10种)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
4．处理非等差、等比数列旳求和，主要有两种思绪
(1)转化旳思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想措施往往经过通项分解或错位相减来完 毕．
(2)不能转化为等差或等比数列旳数列，往往经过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最主要 旳措施．是高考要点考察旳内容，应熟练掌握．
(其中d＝an＋1－an)．
常见旳拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1
1[ 1
1
]
即数列an的周期是 4,
a4=-1 又 a3 2 ,
故 a1+a2 +a3 +a4 =2 , a2009 a45021 a1 ,
a1+a2 +a3 +a4 +.......+a2009 502(a1+a2 +a3 +a4 ) a2009 1003
练习：
已知在数列 an
中，
a1
2
，
an1
(3)求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10， …，前n项和Sn.
例1：求和：
1. 4 6 8 ……+（2n+2）
2.
11 1 1 2 22 23
1 2n
3. x x2 xn
10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数
例2、已知lg(xy) 2
数列求和(公开课课件)
思维升华
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差 或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝abnn，，nn为为奇偶数数，，其中数列{an}， {bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n项和.
d≠0，
解得a1＝1，d＝1， ∴数列{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)设bn＝2an ＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
(√ ) (2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根
据错位相减法求得.( × )
(4)求数列21n＋2n＋3的前 n 项和可用分组转化法求和.( √ )
1.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为
设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，
①
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，
②
①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100项和S100.
高考数学复习第六章数列6.4数列求和理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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考点 4 裂项相消法求和
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裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和．
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(2)常见的裂项技巧：
①nn1＋1＝1n－n＋ 1 1.
②nn1＋2＝121n－n＋ 1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
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考点 3 错位相减法求和
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错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
26/85
(1)[教材习题改编]数列 1，1＋1 2，1＋12＋3，…，1＋2＋1…＋n 2n
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[2015·天津卷]已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是 等差数列，且 a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
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解：(1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题 意知 q>0.
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2Tn＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n ＝23＋11－ －331－－1n－(n－1)×31－n ＝163－62n×＋33n ， 所以 Tn＝1132－64n×＋33n ， 经检验，n＝1 时也适合． 综上知，Tn＝1132－64n×＋33n .
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设数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则 S9＝___3_7_7___.
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[典题 2] 已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.
考点 4 裂项相消法求和
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裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和．
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(2)常见的裂项技巧：
①nn1＋1＝1n－n＋ 1 1.
②nn1＋2＝121n－n＋ 1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
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考点 3 错位相减法求和
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错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
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(1)[教材习题改编]数列 1，1＋1 2，1＋12＋3，…，1＋2＋1…＋n 2n
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[2015·天津卷]已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是 等差数列，且 a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
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解：(1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题 意知 q>0.
32/85
2Tn＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n ＝23＋11－ －331－－1n－(n－1)×31－n ＝163－62n×＋33n ， 所以 Tn＝1132－64n×＋33n ， 经检验，n＝1 时也适合． 综上知，Tn＝1132－64n×＋33n .
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设数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则 S9＝___3_7_7___.
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[典题 2] 已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.
(完整版)数列求和(错位相减法_公开课)
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n， 数列{bn}的通项公式bn 2n
变式问题：
求数列 {an } 的前n项和 bn
课堂练习 解：an bn
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2 (1)2
2
2
(n 1) ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
新问题：求数列{an bn }的前n项和
解：anbn n 2n
错位相减法：
Sn a1b1 a2b2 anbn 展开，乘公比，错位，相减
即Sn 1 2 2 22 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1
2
2
2
2
① ②得
1 2
Tn
1
1 2
1（1 ）2 2
1（ 1 ）n n ( 1 ) n1
2
2
1 ( 1 ) 2 ( 1 ) n n ( 1 ) n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
高中数学第二章数列数列求和习题课省公开课一等奖新优质课获奖课件
3
由题意得 d=
=
12-3
=3.
3
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{bn-an}公比为q,
4 -4
1 -1
由题意得 q3=
=
20-12
=8,解得
4-3
q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
所以bn=2n-1+3n(n=1,2,…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1,
用错位相减法求和时,应注意:
在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方便下一步准确写
出“Sn-qSn”表示式.若公比是参数(字母),则应先对参数加以讨论,普通情况下分为
等于1和不等于1两种情况分别求和.
10/28
探究一
探究二
探究三
经典例题2
已知正项等差数列{an}前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
2
3
4
5
)
D.-2 016
解析:S2 016=-1+2-3+4+…+(-2 013)+2 014+(-2 015)+2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2
013+2 014)+(-2 015+2 016)=1 008.
答案:A
24/28
1
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=
1
项和.求
1
1
n为
1
1
+ +…+ .
由题意得 d=
=
12-3
=3.
3
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{bn-an}公比为q,
4 -4
1 -1
由题意得 q3=
=
20-12
=8,解得
4-3
q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
所以bn=2n-1+3n(n=1,2,…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1,
用错位相减法求和时,应注意:
在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方便下一步准确写
出“Sn-qSn”表示式.若公比是参数(字母),则应先对参数加以讨论,普通情况下分为
等于1和不等于1两种情况分别求和.
10/28
探究一
探究二
探究三
经典例题2
已知正项等差数列{an}前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
2
3
4
5
)
D.-2 016
解析:S2 016=-1+2-3+4+…+(-2 013)+2 014+(-2 015)+2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2
013+2 014)+(-2 015+2 016)=1 008.
答案:A
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1
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=
1
项和.求
1
1
n为
1
1
+ +…+ .
数列求和公开课
3xn－3nxn＋1，
Sn＝
，
综上，x＝1时，Sn(1)＝ n(n＋1)，
x≠1时，Sn(x)＝
.
12分
11分
3-1．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝______.
解析：∵an＝n·2n
∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n
①
∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1
n－1 1－n＋1 1＋1n－n＋1 2 ＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2.
2－1.求数列1×1 4，4×1 7，…3n－213n＋1，…的前 n 项和．
解：1×1 4＋4×1 7＋…＋3n－213n＋1 ＝131－14＋14－17＋17－110…＋3n1－2－3n1＋1 ＝131－3n1＋1＝3nn＋1.
即：如果一个数列用的乘各公项比是错由位一相个减等法差求数和列时和，一应个注等意比：数列对应 项乘积组成，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an两 边同乘以公比q，得1．到要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
qSn＝a1q＋a2q2＋．…在＋写a出nq，“两Sn式”错与位“相qS减n”整的理表即达可式求时出应S特n. 别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确 写出“Sn－qSn”的表达式．
数列求和公开课
2020/11/26
1
. 高考要求
1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和． 在历年高考要求中，等差数列与等比数列的有限和总是有公式可求。 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 有些特殊数列的求和可采用分部法转化为等差或等比数列的求和(能利用等差、等比数列前n项和公式及其性 质求一些特殊数列的和)或用裂项法，错位相减法，分项和并项求和法，逆序相加法，分组组合法，递推法等求 和。
数列求和1(中学课件201910)
例 ： 求 数 列 a ， 2a2 ， 3a3，…，nan，… (a≠1)的前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2 , 求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
；qq红包群 / qq红包群
；
转掠山南 郡县不能守 所至杀戮 噍类无遗 义宁中 招慰使马元规击破之 俄而收辑余众 兵又大盛 僣称楚帝于冠军 建元为昌达 攻陷邓州 有众二十万 粲所克州县 皆发其藏粟以充食 迁徙无常 去辄焚余赀 毁城郭 又不务稼穑 以劫掠为业 于是百姓大馁 死者如积 人多相食 军中罄竭 无 所虏掠 乃取婴儿蒸而啖之 因令军士曰 "食之美者 宁过于人肉乎 但令他国有人 我何所虑？"即勒所部 有略得妇人小儿皆烹之 分给军士 乃税诸城堡 取小弱男女以益兵粮 隋著作佐郎陆从典 通事舍人颜愍楚因谴左迁 并在南阳 粲悉引之为宾客 后遭饥馁 合家为贼所啖 又诸城惧税 皆相 携逃散 显州首领杨士林 田瓒率兵以背粲 诸州响应 相聚而攻之 大战于淮源 粲败 以数千兵奔于菊潭县 遣使请降 高祖令假散骑常侍段确迎劳之 确因醉 侮粲曰 "闻卿啖人 作何滋味？"粲曰
4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时 超好用的公开课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性
5
3ห้องสมุดไป่ตู้
1
解 (1)∵a15＝ ＋(15－1)d＝－ ，∴d＝－ .
6
2
6
nn－1
又 S n ＝na1＋
d＝－5，
2
解得 n＝15 或 n＝－4(舍)．
8a1＋a8 84＋a8
(2)由已知，得 S 8＝
＝
＝172，
2
2
解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的
∴S10，S20－S10，S30－S20 也成等差数列，
5
(2)若a1=2，a2= ，求S10;
2
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
1
(3)若a1= ，d=
2
1
，
6
-
解： (1) =
( + )
Sn = -5,求n.
( + )
=
=
(2) = - = -2=
×
= +
在问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，它使不同数求和问题转化为相
同数（即101）的求和，从而简化运算，那对于一般等差数列的求和问题，也能否
这样处理呢？ 不行，当n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了
你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？
能否设法避免分类讨论？
某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都
Sn=a 1＋a 2＋a 3＋…… ＋ a n
再将项的次序反过来，Sn可以写成
3ห้องสมุดไป่ตู้
1
解 (1)∵a15＝ ＋(15－1)d＝－ ，∴d＝－ .
6
2
6
nn－1
又 S n ＝na1＋
d＝－5，
2
解得 n＝15 或 n＝－4(舍)．
8a1＋a8 84＋a8
(2)由已知，得 S 8＝
＝
＝172，
2
2
解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的
∴S10，S20－S10，S30－S20 也成等差数列，
5
(2)若a1=2，a2= ，求S10;
2
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
1
(3)若a1= ，d=
2
1
，
6
-
解： (1) =
( + )
Sn = -5,求n.
( + )
=
=
(2) = - = -2=
×
= +
在问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，它使不同数求和问题转化为相
同数（即101）的求和，从而简化运算，那对于一般等差数列的求和问题，也能否
这样处理呢？ 不行，当n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了
你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？
能否设法避免分类讨论？
某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都
Sn=a 1＋a 2＋a 3＋…… ＋ a n
再将项的次序反过来，Sn可以写成
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1) 4
(1 4
1) 5
(1 1 ) n
2 n 2 2(n 2)
(
n
1 1
n
1
2
)
变式1
求11121213121341231n,(nN*)。
解：由题知
··· ···
··· 2[ 1 1 1 1 ]
1 2 2 3 3 4 n(n 1) ···
2n n 1
变式２：已知 an
Sn
na1
2
an
na1
nn 1
2
d
2.等比数列前n项和:
na1
q 1
Sn
a1
1
qn
q 1
1 q
基础训练
1． S n 为数列an 的前n项和an n(n 1)，则
S5 _______
2. 2 4 6 ... 2n _________
11 1
3.
1 ... _________
1 n n1
，若 an 前n项和
为10，则项数n为____1_2_0____.
即时小结
在什么情况下，用裂项求和？
点评：如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f (n) 形式，常采用裂项求和的方法．特别地，
当数列形如
an
1 an
1
，其中
a
n
是等差数列，可尝试采用此法．
小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式
2.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项 之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的 项的和可求出来，这一求和的方法称为倒序相加法
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
4.分组转化法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这 类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并即可.
5.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此 法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首 尾若干少数项之和，这一求和方法称 为裂项相消法.
巩固练习
1、求和：1 1 2 1 3 1 [n (1)n ]
2 48
2
1 2
n(n 1)
1 2n
1
1 2、求和：1 3
基础训练:
1． S n 为数列an 的前n项和an n(n 1)，则
S5 __7__0___
2. 2 4 6 ... 2n __n__2___n__
11
1
2 1
3. 1 2 4 ... 2n ______2_n__
复习:
数列{a }的前n项和 n
S n
a1
a2
an
1.等差数列前n项和:
化简数列 an
f (0)
f (1) n
f (2) n
f (n 1) n
f (1)
分析:
数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和。 根据数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和 的目的。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小
时候巧解算术题）。
倒序相加法
（2）求数列前n项的和2 224 Nhomakorabea2n
公式求和
变式1
···
=(2+4+···+2n)
··· ···
变式2：求和 ···
解：由题知
···
···
(2 1) (22 1) (2n 1)
···
想一想
···
分组求和
❖ 即时总结： 求前n项和关键的第一步：
例1
(1) 函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x) f (1 x) 1 2
1 3
5
(2n
1 1)(2n
1)
n 2n 1
3． f (x) 1 ，则 f (5) f (4) f (0) f (6) 3 2
2x 2
4．502 492 482 472 ... 22 12 _1__2__7__5
设 Sn
2 4 2 22
6 23
2n 2n
①
1
246
2n
2 Sn
22
23
24
2 n1
②（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
22nn（1 错位相减）
∴
1
2n
2
n2
2 n1
2 n1
Sn 4 2n1
例2
裂项相
消
求和
Sn
1 23
1 3 4
1 45
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
分析
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
错位相减法
求数列前n项的和.
2, 2
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
解：由题可知，{
2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1
}的通项之积
2n
2n
(n
1 1)(n
2)
分析：此 数列为特殊数列，其 通项的 分母是两个因式之积，且两数 相差1
若把通项作适当变形为 1 1 1 ，
(n 1)(n 2) n 1 n 2
求和
Sn
1 23
1 3 4
1 45
(n
1 1)(n
2)
解:
1
11
an
(n
1)(n
2)
n
1
n
2
Sn
(
1 2
1) 3
(1 3