概率与数理统计第8章 假设检验与方差分析

第8章假设检验与方差分析

【引例】重庆啤酒股份有限公司（以下简称重庆啤酒）于1990年代初斥巨资开始乙肝新药的研发，其股票被视作“生物医药”概念股受到市场热捧。尤其是2010~2011年的两年间，在上证指数大跌1/3的背景下，重庆啤酒股价却从23元左右飙升最高至83.12元，但公司所研制新药的主要疗效指标的初步统计结果于2011年12月8日披露后，股价连续跌停，12月22日以28.45元报收后停牌。2012年1月10日重庆啤酒公告详细披露了有关研究结论，复牌后股价又遭遇连续数日下跌，1月19日跌至20.16元。此公告明确告知：“主要疗效指标方面，意向性治疗人群的安慰剂组与600μg组，及安慰剂组与εPA-44 900μg组之间，HBeAg/抗HBe 血清转换在统计意义上均无差异”。通俗地说，用药与不用药（安慰剂组）以及用药多与少（900μg组与600μg组），都没有明显差异，这意味着该公司研制的乙肝新疫苗无效。有关数据如表8.1所示：

上表数据显示，两个用药组的应答率都高于安慰剂组的应答率，但为什么说“在统计意义上均无差异”？为什么说这个结论表示乙肝新疫苗无效？什么叫“在统计意义上无差异”？如何根据样本数据作出统计意义上有无差异的判断？解答这些问题就需要本章所要介绍的假设检验。

现实中，人们经常需要利用样本信息来判断有关总体特征的某个命题是真还是伪，或对某个（些）因素的影响效应是否显著作出推断，所以假设检验和方差分析有着广泛的应用。例如，在生物医学领域，判断某种新药是否比旧药更有效；在工业生产中，根据某批零件抽样检查的信息来判断整批零件的质量是否符合规格要求；在流通领域，鉴别产品颜色是否对销售量有显著影响等等。这些分析研究都离不开假设检验或方差分析。假设检验与方差分析的具体方法很多，研究目的和背景条件不同，就需采用不同的方法。本教材介绍假设检验与方差分析的基本原理和一些基本方法。但通过本章的学习，理解了有关概念和基本思想，对更为复杂的检验结果也不难作出基本的判断和解读。

本章小结

1.假设检验是基于小概率原理的一种统计推断方法，针对待检验的原假设和备择假设，检验统计量及其分布是检验的理论基础，检验统计量的观测值及P值是作出检验结论的依据。检验结论可能犯的错误有两类，它们的概率α和β此消彼长。

2.参数的假设检验主要包括总体均值、总体方差和总体比例的检验。本章所介绍的检验

χ检验、F检验等等。

方法有Z检验、t检验、2

3. 一个总体参数的假设检验和两个总体参数之差（或比）的检验，其检验统计量不同，要注意它们之间的联系与区别。

4.单因素方差分析法从形式上看是对多个总体均值相等性的一种F检验，实质上是研究一个定性变量对一个定量变量有无显著影响。基本概念主要有系统误差、随机误差、组内平方和、组间平方和、组内方差、组间方差等。方差分析法的基本思想是通过观察组间方差与组内方差之比（F统计量）是否显著偏大来判断有无系统误差的存在，从而检验多个总体均值是否相等。

5.假设检验和方差分析的计算可借助于EXCEL或SPSS等软件来实现。

基本知识梳理

检验方法一览表

练习题

一、单项选择题（在4个备选答案中选出1个正确答案）

1.当检验统计量的观测值未落入原假设的拒绝域时，表示（ ） A 可以放心地接受原假设 B 没有充足的理由否定原假设 C 没有充足的理由否定备择假设 D 备择假设是错误的

2.在其他条件不变的情况下，增加样本量，犯两类错误的概率会（ ） A 都减小 B 都增大 C 都不变 D 一个增大一个减小

3.某企业考虑从外地紧急采购一批加工原料，若这批原料的质量达到标准，企业可盈利10万元，但是如果这批原料质量达不到标准，企业将损失25万元。该企业面临判断：H 0:原料质量达标；H 1：原料质量未达标。对这个问题进行假设检验时，下列说法不正确的是（ ） A 拒绝购买达标原料属于犯Ⅰ类错误 B 购进未达标原料属于犯Ⅱ类错误 C 这个检验中只允许犯第一类错误 D α 不宜太小

4.若假设检验为左侧检验，检验统计量为t ，由样本计算的检验统计值为0t ，则检验的P 值等于（ ）

A P{t≤0t }

B P{t>0t }

C 2 P{t<0t }

D 1-P{t<0t }

5.对总体均值进行检验的假设为H 0：μ=100，H 0：μ≠100。由随机样本得到的检验统计量为Z =1.8，则检验的P 值为（ ）

A 0.036

B 0.072

C 0.928

D 0.964

6.如果某项假设检验的结论在0.05的显著性水平下是显著的（即在0.05的显著性水平下拒绝了原假设），则错误的说法是（ ）

A. 检验的P 值不大于0.05

B.在0.01的显著性水平下不一定具有显著性

C. 原假设为真的概率小于0.05

D.在0.10的显著性水平下必定也是显著的 7.关于检验统计量，下列说法中错误的是（ ）

A 检验统计量是样本的函数

B 检验统计量包含未知总体参数

C 在原假设成立的前提下检验统计量的分布是明确可知的

D 检验同一总体参数可以采用多个不同检验统计量

8.已知总体服从正态分布，现抽取一容量为15的样本对总体方差进行假设检验， 0H ：

2σ=1；1:21<σH 。α=0.05，则原假设的拒绝区域为（ ）

A （0,23.685）

B （0,24.996）

C (0,6.571)

D （0,7.261） 9.对两个总体方差相等性进行检验（H 1：σ12≠σ22）。检验的P 值越小说明( )

A.两样本方差的差别越大

B.两总体方差的差别越大

C.越有信心断定两样本方差有差别

D.越有信心断定两总体方差有差别 10.在方差分析中，组内平方和是指( ) A 各水平内部的观察值与其均值的离差平方和 B 各水平总体均值之间的离差平方和 C 由各水平效应不同所引起的离差平方和 D 试验条件变化所引起的离差平方的总和

二、多项选择题（在5个备选答案中选择2-5个正确答案）

1.若θ是待检验参数，θ0代表参数θ的某个具体数值。下列假设检验形式写法错误的有（ ）

A H 0：θ=1，H 1：θ＜1

B H 0：θ0=100，H 1：θ0＜100

C H 0：θ≥1，H 1：θ>1

D H 0：θ=100，H 1：θ≤100

E H 0：θ≠1，H 1：θ=1

2.某机场的塔台面临一个决策问题：如果荧幕上出现一个小的不规则点，并逐渐接近飞机时，工作人员必须作出判断：H 0：一切正常，那只是荧幕上受到一点干扰罢了；H 1：可能会发生碰撞意外。在这个问题中（ ）

A.错误地发出警报属于第一类错误

B.错误地发出警报属于第二类错误

C.错误地发出警报的概率为α

D.错误地发出警报的概率为β E . α的数值宜小

3.随机抽取200个家庭，测得拥有汽车的家庭占26.5%，若要求检验总体这一比率是否超过了25%，下列陈述中正确的有（ ）

A.此检验应为双侧检验

B.此检验应为单侧检验

C.200/%5.73%5.26|%25%5.26|⨯-=Z

D.200

/%5.73%5.26%25%5.26⨯-=

Z

E.200

/%75%25%25%5.26⨯-=

Z

4.若采用方差分析法来推断某个因素对所考察的指标有无显著影响，该因素有K 个水平，样本容量为n ，则下列表述中正确的有（ ）

A 检验统计量＝组间方差/组内方差

B 组间方差＝组间平方和/（K-1）

C 检验统计量＝组间平方和／组内平方和

D 组间方差＝组间平方和/（n-K ）

E 检验统计量的分布为

F （K-1，n-K ）

5.运用单因素方差分析法，则下列表述中正确的有（ ） A 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著 B 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著